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Curso ON LINE

Tema 8

SISTEMAS DE ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ENUNCIADO VERBAL. MÉTODO DE GAUSS Y CALCULADORA

005

Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántas cajas de cada tipo se han comprado y resuelve el problema.

1B 2B

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ "Número de cajas de la marca A". y ≡ "Número de cajas de la marca B". z ≡ "Número de cajas de la marca C". PLANTEAMIENTO: 250x + 500y + 1000z = 2500

→

25x + 50y + 100z = 250

100x + 180y + 330z = 890

→

10x + 18y + 33z = 89

x+y+z=5

→

x + y + z = 5

RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−25)  1 1 1 5  (−10)   (1)  25 50 100 250   10 18 33 89  (1)  

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las indicadas a la derecha. 5  1 1 1   (−8)  0 25 75 125  (25)  0 8 23 39  Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda. 1 5  1 1    0 25 75 125   0 0 − 25 − 25    – 25z = – 25 z = 1

25y + 75z = 125

x+y+z=5

25y = 125 – 75·1

x=5–y–z

25y = 50

x=5–2–1

y = 2

x = 2

SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO: x = 2 ; y = 2 ; z = 1 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA.

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS El lote está envasado en 5 cajas de las cuales 2 cajas son de la marca A, 2 cajas de la marca B y 1 caja de la marca C.

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1

 Abel Martín

006

"Sistemas de ecuaciones. Problemas literales"

Se venden 3 especies de cereales: trigo, cebada y mijo. El trigo se vende cada “saco” por 4 denarios. La cebada se vende cada “saco” por 2 denarios. El mijo se vende cada “saco” por 0.5 denarios. Si se venden 100 “sacos” y se obtiene por la venta 100 denarios, ¿cuántos “sacos” de cada especie se venden. Interpreta la(s) solución(es). SELECTIVIDAD Universidad de Castilla – La Mancha

1B 2B

Junio 1991 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de sacos de trigo". y ≡ "Número de sacos de cebada". z ≡ "Número de sacos de mijo". PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 100 4x + 2y + 0.5z = 100 RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL

(−4) (1)

 1 1 1 100     4 2 0.5 100 

Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones señaladas a la izquierda 1 100  1 1   0 − 2 − 3 . 5 − 300  

∞ SOLUCIONES – 2y – 3.5z = – 300

Æ

2y + 3.5z = 300

Æ 2y = 300 – 3.5z Æ y =

300 − 3.5 z 2

x + y + z = 100 x = 100 – x=

300 − 3.5 z –z 2

200 − 300 + 3.5 z − 2 z 2

Solución generalizada: (

Æ

x=

−100 + 1.5 z 2

−100 + 1.5 z 300 − 3.5 z , , z) 2 2

Algunas soluciones podrían ser: Para

Para z = 80

Para z = 84

(– 50, 150, 0)

(10, 10, 80)

(13, 3, 84)

NO VÁLIDA

VÁLIDA

VÁLIDA

z = 68

Para z = 72

Para z = 76

(1, 31, 68)

(4, 24, 72)

(7, 17, 76)

NO VÁLIDA

VÁLIDA

VÁLIDA

Para

z=0

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Existen infinitas soluciones en cuanto al número de “sacos” de cada especie que se venden; entre ellas podríamos citar 10, 10, 80, o bien 13, 3, 84 etc. siendo las primeras, segundas y terceras cantidades, respectivamente, el números de sacos de trigo, cebada y mijo. La −100 + 1.5 z 300 − 3.5 z solución generalizada sería ( , , z), donde seleccionaremos sólo aquellas 2 2 cuyos valores de "x" , "y" , "z" sean números naturales. 2

Matemáticas y TIC

Curso ON LINE

020

Tema 8

Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos distintos A, B y C. Las cajas de tipo A tienen un peso de 250 gramos y un precio de 0.6 €, las de tipo B pesan 500 gramos y su precio es de 1.08 €, mientras que las C pesan 1 kilogramo y cuestan 1.98 €. A una farmacia se le ha suministrado un lote de 5 cajas, con un peso de 2.5 kilogramos, por un importe de 5.35 €. ¿Cuántas cajas de cada tipo ha comprado la farmacia? SELECTIVIDAD

Castilla - La Mancha

Junio 199

1/2B

Matemáticas II

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de cajas del tipo A" y ≡ "Número de cajas del tipo B" z ≡ "Número de cajas del tipo C" PLANTEAMIENTO: x+y+z=5 0.25x + 0.5y + z = 2.5 0.6x + 1.08y + 1.98z = 5.35 RESOLUCIÓN:

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−1)  1 1 1 5  (−0.6)   (4)  0.25 0.5 1 2.5   0.6 1.08 1.98 5.35  (1)   Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha

1 1 5  1   (−0.48)  0 1 3 5  (1)  0 0.48 1.38 2.35 

Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda. 1 5  1 1   0 1 3 5    0 0 − 0.06 − 0.05   

– 0.06z = – 0.05 0.06z = 0.05 z=

0.05 0.06

y + 3· 0.83 = 5 y + 2.49 = 5 y = 5 – 2.49

z = 0.83

y = 2.51

x + 2.51 + 0.83 = 5 x = – 2.51 – 0.83 + 5 x = 1.66

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA O CUALQUIER OTRA CALCULADORA CIENTÍFICA CON CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS.

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

A la vista de los resultados, no se podrían dar simultáneamente las circunstancias del enunciado ya que obtenemos números NO enteros y se supone que las cajas no se pueden fraccionar.

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3

 Abel Martín

024

"Sistemas de ecuaciones. Problemas literales"

Tres personas A, B y C, le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 75.73€. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 0.12 € que paga B, C paga 0.18 €. Plantea un sistema que permita determinar cuánto paga cada persona y resuelve el problema.

1/2B

PAU Universidad de Zaragoza Junio 1996 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ "Número de € que paga la persona A" y ≡ "Número de € que paga la persona B" z ≡ "Número de € que paga la persona C" PLANTEAMIENTO: x + y + z = 75.73 x = 3(y + z) 0.12 y = z 0.18

→

x + y + z = 75.73

→

x + y + z = 75.73

→

x = 3y + 3z

→

x – 3y – 3z = 0

0.18y = 0.12z

→

0.18y – 0.12z = 0

→

RESOLUCIÓN:

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−1)  1 1 1 75.73    (1)  1 − 3 −3 0   0 0.18 − 0.12 0   Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha

1 1 75.73  1   (0.18)  0 − 4 −4 − 75.73  0  (4)  0 0.18 − 0.12

Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda. 1 75.73  1 1    0 − 4 − 4 − 75.73   0 0 − 1.2 − 13.631   – 4y – 4·11.36 = – 75.73 – 1.2 z = – 13.631 1.2 z = 13.631 z = 11.36

– 4y – 45.44 = – 75.73 – 4y = – 75.73 + 45.44 – 4y = – 30.29 4y = 30.29

x + 7.57 + 11.36 = 75.73 x = – 7.57 – 11.36 + 75.73 x = 56.80

y = 7.57

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA O CUALQUIER OTRA CALCULADORA CIENTÍFICA CON CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS.

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Cada uno de los 3 amigos A, B y C aportan para hacer el regalo, respectivamente, 56.8, 7.57 y 11.36 €.

4

Matemáticas y TIC

Curso ON LINE

026

Tema 8

Nuestro proveedor de pilas nos cobra por una pequeña, dos medianas y una grande, 1.83 €. En otra ocasión, por dos pequeñas, tres medianas y dos grandes, 3.03 €. (a) ¿Cuánto nos cuestan 5 pequeñas, 9 medianas y 5 grandes?. (b) ¿Cuál es el precio de una pila mediana?. (c) ¿Cuánto vale una pequeña más una grande?. (d) Si añadimos la condición de que una grande vale el doble de una pequeña, ¿cuál es el precio de cada uno de los tipos de pilas?.

1/2B

PAU Universidad de Junio 19 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Precio en € de la pila pequeña". y ≡ "Precio en € de la pila mediana". z ≡ "Precio en € de la pila grande". PLANTEAMIENTO:

x + 2y + z = 1.83 2x + 3y + 2z = 3.03 RESOLUCIÓN apartado a:

Se nos pide “5x + 9y + 5z” y, como podremos comprobar, se consigue por combinación de las 2 ecuaciones del enunciado: 3) x + 2 y + z = 1.83   1) 2 x + 3 y + 2 z = 3.03

3x + 6 y + 3 z = 5.49  2 x + 3 y + 2 z = 3.03

5x + 9y + 5z = 8.52 5 pilas pequeñas, 9 medianas y 5 grandes cuestan 8.52 € RESOLUCIÓN apartado b:

para calcular el valor de la pila mediana basta con resolver el sistema: −2)

x + 2 y + z = 1.83   1) 2 x + 3 y + 2 z = 3.03

− 2 x − 4 y − 2 z = −3.66  2 x + 3 y + 2 z = 3.03 

– y = – 0.63 →

y = 0.63

La pila mediana cuesta 0.63 € RESOLUCIÓN apartado c:

x + 2y + z = 1.83 x + 2·0.63 + z = 1.83 x + z = 1.83 – 1.26 x + z = 0.57 La pila pequeña más la grande cuestan 0.57 € RESOLUCIÓN apartado d:

x + 2y + z = 1.83

→

x + 2y + z = 1.83

2x + 3y + 2z = 3.03

→

2x + 3y + 2z = 3.03

z = 2x

→

– 2x + z = 0

RESOLUCIÓN:

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−2)  1 2 1 1.83  (2)   (1)  2 3 2 3.03  − 2 0 1 0  (1) 

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5

 Abel Martín

"Sistemas de ecuaciones. Problemas literales"

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha

 1 2 1 1.83    (4)  0 − 1 0 − 0.63  (1)  0 4 3 3.66 

Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda.  1 2 1 1.83     0 − 1 0 − 0.63   0 0 3 1.14    3z = 1.14

– y = – 0.63

x = 1.83 – 2·0.63 – 0.38

z = 0.38

y = 0.63

x = 0.19

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Las pilas pequeña, mediana y grande cuestan, respectivamente, 0.19, 0.63 y 0.38 €

027

Para un determinado partido de fútbol se ponen a la venta 3 tipos de localidades: Fondo, General y Tribuna. Se sabe que la relación entre los precios de las localidades de Tribuna y General es 19/18 y entre General y Fondo es 6/5. Si al comprar tres localidades, una de cada clase, se pagan en total 78.13 €, ¿cuál es el precio de cada localidad?.

1/2B

Propuesta de PAU Universidad de Oviedo Junio 1994 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ "Precio, en €, de las localidades de Fondo" y ≡ "Precio, en €, de las localidades de General" z ≡ "Precio, en €, de las localidades de Tribuna" PLANTEAMIENTO: z 19 = y 18 y 6 = x 5

→

18z = 19y

→

– 19y + 18z = 0

→

5y = 6x

→

– 6x + 5y = 0

→ x + y + z = 78.13

→ x + y + z = 78.13

x + y + z = 78.13 RESOLUCIÓN:

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (6)  1 1 1 78.13    (1)  − 6 5 0 0   0 − 19 18 0  

Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda 1 78.13  1 1   (19)  0 11 6 78000  (11)  0 − 19 18 0 

Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda. 1 13000  1 1   78000   0 11 6  0 0 312 1482000    6

Matemáticas y TIC

Curso ON LINE

Tema 8

En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente:

312z = 1482000 z = 28.55 11y + 6z = 78000 11y = 78000 – 6·4750 11y = 49500 y = 27.05 x + y + z = 13 000 x = 13000 – 4500 – 4750 x = 22.54 SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO: x = 22.54 ;

y = 27.05 ;

z = 28.55

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS El precio de cada localidad de Fondo, General y Tribuna es de 22.54, 27.05 y 28.55 €, respectivamente.

028

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. (a) Plantear un sistema de ecuaciones y averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. (b) Resolver el problema.

1/2B

PAU Universidad de Oviedo Junio 1994 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ "Número de hombres" y ≡ "Número de mujeres" z ≡ "Número de niños" PLANTEAMIENTO: x + y + z = 20

→

x + y + z = 20

x + y = 3z

→

x + y – 3z = 0

y+1=x

→

x – y = 1

RESOLUCIÓN: Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−1) 1 1 1 20  (−1)   (1) 1 1 − 3 0  1 − 1 0 1  (1) 

Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las operaciones indicadas a la derecha. www.classpad.tk

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7

 Abel Martín

"Sistemas de ecuaciones. Problemas literales"

1 20  1 1    0 0 − 4 − 20   0 − 2 − 1 − 19   

En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: – 4z = – 20 z = 5 – 2y – z = – 19 Æ – 2y – 5 = – 19

– 2y = – 19 + 5

Æ

y = 7 x + y + z = 20 x = 20 – y – z Æ x = 20 – 7 – 5 x = 8 SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x=8 ; y=7 ; z=5

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS El grupo que ha ido de excursión estaba formado por 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.

031

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 4 000 PTAS y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125 000 PTAS: (a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. (b) Resolver el problema. PAU Universidad de Oviedo Junio 1996 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de cajas de 250 gramos" y ≡ "Número de cajas de 500 gramos" z ≡ "Número de cajas de 1000 gramos" PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 60 x=y+5 Si 1 kilogramo vale 4 000 PTAS, suponiendo que son magnitudes directamente proporcionales: Cada caja de 1000 gramos costará 4 000 PTAS Cada caja de 500 gramos costará 2 000 PTAS Cada caja de 250 gramos costará 1 000 PTAS 1 000x + 2 000y + 4 000z = 125 000 x + y + z = 60

→

x + y + z = 60

x=y+5

→

x – y = 5

1 000x + 2 000y + 4 000z = 125 000

→

x + 2y + 4z = 125

RESOLUCIÓN: 8

Matemáticas y TIC

1/2B

Curso ON LINE

Tema 8

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−1) 1 1 1 60  (−1)   (1) 1 − 1 0 5  1 2 4 125  (1)   Fijamos la 1ª y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha.

1 60  1 1   (1)  0 − 2 − 1 − 55  (2)  0 1 3 65  Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda.

1 60  1 1    0 − 2 − 1 − 55  0 0 5 75   En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente:

– 2y – z = – 55 – 2y – 15 = – 55 – 2y = – 55 + 15 – 2y = – 40 y = 20

5z = 75 z = 15

x + y + z = 60 x = 60 – y – z x = 60 – 20 – 15 x = 25

SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 25 ; y = 20 ; z = 15

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Ese día se envasaron 25 cajas de 250 gramos, 20 cajas de 500 gramos y 15 cajas de 1 kilogramo.

034

Se envasa cierto producto en cajas de 250 gr, 500 gr y 1kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 24.04 € y que el importe total de los bombones envasados asciende a 751.25 €: (a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. (b) Resolver el problema.

1/2B

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de cajas de 250 gramos" y ≡ "Número de cajas de 500 gramos" z ≡ "Número de cajas de 1000 gramos" PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 60 (pequeño) x = y + 5 (mediano) Si 1 kilogramo vale 24.04 €, suponiendo que son magnitudes directamente proporcionales: www.classpad.tk

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9

 Abel Martín

"Sistemas de ecuaciones. Problemas literales"

Cada caja de 1000 gramos costará 24.04 € Cada caja de 500 gramos costará 12.02 € Cada caja de 250 gramos costará 6.01 € 6.01x + 12.02y + 24.04z = 751.25 x + y + z = 60

→

x + y + z = 60

x=y+5

→

x–y=5

→ 6.01x + 12.02y + 24.04z = 751.25

6.01x + 12.02y + 24.04z = 751.25 RESOLUCIÓN:

Resolvemos el sistema por el método de Gauss (−1)  1 1 1 60  (−6.01)   (1)  1 −1 0 5   6.01 12.02 24.04 751.25  (1)  

Fijamos la 1ª y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. 1 1 60  1   −1 − 55  (3.005)  0 − 2 (1)  0 6.01 18.03 390.65 

Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda. 1 60  1 1   −1 − 55  0 − 2  0 0 15.025 225.375   

En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente:

15.025z = 225.375 z = 15

– 2y – z = – 55 – 2y – 15 = – 55 – 2y = – 55 + 15 – 2y = – 40 y = 20

x + y + z = 60 x = 60 – y – z x = 60 – 20 – 15 x = 25

SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 25 ; y = 20 ; z = 15

SOLV F1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Ese día se envasaron 25 cajas de 250 gramos, 20 cajas de 500 gramos y 15 cajas de 1 kilogramo.

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Matemáticas y TIC

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037

Tema 8

Una tribu de indios utilizan conchas como monedas. Sabemos que para conseguir 3 espejos, 2 arcos y 4 flechas tenemos que aportar 43 conchas; 4 espejos, 2 arcos y 1 flecha son 36 conchas y que 3 espejos, 5 arcos y 2 flechas han costado 53 conchas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones para calcular el número de conchas que hay que dar por cada espejo, por cada arco y por cada flecha?. (b) Analiza y comenta los resultados.

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DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de conchas que hay que dar por cada espejo" y ≡ "Número de conchas que hay que dar por cada arco" z ≡ "Número de conchas que hay que dar por cada flechas" PLANTEAMIENTO: 3x + 2y + 4z = 43 4x + 2y + z = 36 3x + 5y + 2z = 53 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA O CUALQUIER OTRA CALCULADORA CIENTÍFICA CON CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS. SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x=5 ; y=6 ; z=4 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

El número de conchas que hay que dar por cada espejo, por cada arco y por cada flecha será, respectivamente, 5, 6 y 4.

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