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002

Tema 5

En una pequeña comunidad de 1200 habitantes, 640 son conservadores, 410 son liberales y 150 socialistas. De los primeros, el 65 por ciento gana más de tres millones de pesetas anuales; de los segundos, sólo el 40 por ciento, y de los últimos, 42 personas. (a) Formar la matriz que especifique la ideología política, llámala A, y señala sus dimensiones. (b) Forma la matriz que especifique la ideología política en relación con el nivel anual de ingresos y denomínala B. (c) Si se van 4 habitantes de cada ideología, especificar, en forma de matriz, los que se van, atendiendo a la ideología política y denomínala C. (d) Una vez se vayan esos cuatro individuos, especifica la operación de matrices que realizas para obtener la nueva matriz de la ideología política de los que se quedan. Analiza y comenta los resultados.

RESOLUCIÓN:

BH2

RESOLUCIÓN:

habi tan tes

A = Conservadores Liberales Socialistas

 640     410   150   

Dimensión: 3 x 1 RESOLUCIÓN apartado b: millones

Matriz B =

3 65 100 40 100

⋅ 640   ⋅ 410   42 

Al revés

RESOLUCIÓN apartado c:

habitantes Conservadores  4    Liberales  4  4 Socialistas   RESOLUCIÓN apartado d:

 640   4   636        A – C =  410  −  4  =  406   150   4   146        COMENTARIO Y ANÁLISIS: Ahora quedan 636 habitantes conservadores, 406 habitantes liberales y 146 habitantes socialistas.

005

Una compañía de muebles fabrica butacas y mecedoras de tres modelos: E, modelo económico; M, modelo medio y L, de lujo. Cada mes la compañía produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas, y 12 modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras. BH2

(a) Representa en una matriz 3 x 2 dicha información. (b) A partir de la matriz del apartado anterior, obtén la matriz de producción en un trimestre. RESOLUCIÓN apartado a:

Butac Meced . E  20 12    M  15 8  L  10 5 

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RESOLUCIÓN apartado b:

 20 12    3·  15 8   10 5   

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But Mec

=

E  60 36    M  45 24  L  30 15 

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1

 Abel Martín

"Matrices"

A B C Las relaciones comerciales entre tres países, A, B y C, en el año 1.992 A 0 16 69   vienen expresadas en millones de dólares, por la siguiente matriz, donde   el elemento ij de la matriz indica el volumen de exportaciones del país B  18 0 42  C  29 11 0  correspondiente a la fila i al país correspondiente a la columna j

007

A En el año 1.993 la nueva matriz es la derecha: Con esta información, calcular, expresándolo en forma de matriz:

B

C

A  0 17 48    B  15 0 30  C  59 38 0 

(A) Las exportaciones totales en el bienio 1992 - 1993. (B). Las exportaciones medias por año. (C) Si para el año 1994 se espera respecto a 1993 un aumento en exportaciones del 23% ¿Cuál será la nueva matriz que exprese las relaciones comerciales, en millones de dólares. RESOLUCIÓN apartado a:

 0 16 69   0 17 48       18 0 42  +  15 0 30  =  29 11 0   59 38 0      A

=

B

C

 0 33 117     33 0 72   88 49 0   

A B C

RESOLUCIÓN apartado b:

A

1 A · 2 B C A

=

B

B

C

 0 33 107   =   33 0 72   88 49 0   

C

A  0 16.5 58.5    B 16.5 0 36  C  44 24.5 0 

RESOLUCIÓN apartado c:  0 17 48   123  ⋅  15 0 30  100    59 38 0 

A

=

2

B

C

A 0 6.47 59.04    B  18.45 0 36.9  C  72.57 46.74 0 

Matemáticas y TIC

BH2

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Tema 5

La cantidad de $ que cuestan 2 modelos de juguetes en dos tiendas distintas A y B, viene dado por la matriz:

A

B

Jug 1 1.4 2.3    Jug 2 1.2 3.9 

010

BH2

Si el primer año experimentan un aumento del 7%, el segundo un aumento del 9% con respecto al año anterior y el tercer año un descenso del 3%, también con respecto al año anterior. Resolver el problema de forma matricial y contestar mediante una matriz cuál será el precio de ambos juguetes al final de los 3 años en cada juguetería.

RESOLUCIÓN: Primer año → Segundo año → Tercer año →

97 100

107 100

109 100

⋅ P = 1.07 ⋅ P

⋅ 1.07 P = 1.1663 ⋅ P

⋅ 1.1663P = 1.131311 ⋅ P

1.4 2.3   1.131311 ⋅ P = 1.131311 ⋅  1.2 3.9  A B Jug 1 1.6 2.6    Jug 2 1.3 4.4 

COMENTARIO Y ANÁLISIS El juguete 1 en la juguetería A cuesta 1.6 $ y en la B 2.6 $; El juguete 2 en la juguetería A cuesta 1.3 $ y en la B 4.4 $

016

A una serie de conferencias internacionales han asistido los siguientes delegados de los diversos países: En el primer semestre, por Estados Unidos han acudido 10 a la conferencia de "desarme", 5 a la ponencia sobre la "capa de Ozono" y 3 a la de "Economía mundial". Por Rusia se han presentado 8, 3 y 12 y por parte de la Comunidad Económica Europea 2, 15 y 20 respectivamente. En el segundo semestre, por Estados Unidos han acudido 15 a la conferencia de "desarme", 6 a la ponencia sobre la "capa de Ozono" y 2 a la de "Economía mundial". Por Rusia se han presentado 10, 4 y 15 y por parte de la Comunidad Económica Europea 12, 5 y 14 respectivamente. (a) Dispón, organizadamente, estos datos mediante matrices. (b) Calcula matricialmente cuál es el número total de delegados, a lo largo del año, que han asistido a cada conferencia según los países. (c) Si la dietas estipuladas por asistir a una conferencia de desarme, capa de Ozono y economía mundial son, respectivamente, 100 $, 200$ y 300 $, calcula matricialmente cuánto tendrá que pagar a cada país, en total, la entidad organizadora. Comenta y analiza los resultados. (d) Si se celebran 3 años consecutivos estás reuniones, con los mismos asistentes y con las mismas dietas, calcula matricialmente cuanto se le pagará en total a cada país. Pruebas de Acceso Universidad de Oviedo.

Página 64, nº 12.

BH2

Cervantes editorial (Periodo 94/98)

RESOLUCIÓN apartado a Siendo A: Desarme, B: Capa de ozono y C: Economía mundial.

1º Semestre: A

B

2º Semestre: C

EEUU 10 5 3    RUSIA  8 3 12  CEE  2 15 20  www.classpad.tk

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A

B

C

EEUU 15 6 2    RUSIA 10 4 15  CEE 12 5 14  www.aulamatematica.tk

3

 Abel Martín

"Matrices"

RESOLUCIÓN apartado b

Total durante todo el año: A

B

C

A

B

C

EEUU 10 5 3  EEUU 15 6 2    +   = RUSIA  8 3 12  RUSIA 10 4 15  CEE  2 15 20  CEE 12 5 14  A

B

C

EEUU  25 11 5    RUSIA 18 7 27  CEE  14 20 34 

RESOLUCIÓN apartado c A

B

C

$

EEUU  25 11 5  A 100    ·   = RUSIA  18 7 27  B 200  CEE  14 20 34  C  300  $

$ EEUU  25 ⋅ 100 + 11 ⋅ 200 + 5 ⋅ 300    = RUSIA  18 ⋅ 100 + 7 ⋅ 200 + 27 ⋅ 300  CEE 14 ⋅ 100 + 20 ⋅ 200 + 34 ⋅ 300 

EEUU  6200    RUSIA 11300  CEE 15600 

COMENTARIO Y ANÁLISIS: A los miembros de Estados Unidos le pagarán en concepto de dietas un total de 6200 $, a Rusia 11.300$ y a la Comunidad Económica Europea 15.600$ RESOLUCIÓN apartado d Multiplicamos por 3 la matriz anterior $

3·

EEUU  6200    RUSIA 11300  CEE 15600 

$

=

EEUU  18600    RUSIA  33900  CEE  46800 

COMENTARIO Y ANÁLISIS: A los miembros de Estados Unidos le pagarán a lo largo de los tres años en concepto de dietas un total de 18 600 $, a Rusia 33 900 $ y a la Comunidad Económica Europea 46 800 $. Una fábrica de muebles produce dos modelos de madera, A y B, en tres terminaciones: R, S y T. Del modelo A produce: 350 unidades en la terminación R, 1750 unidades en la terminación S y 40 unidades en la terminación T. Produce del modelo B: 290 unidades en la terminación R, 90 unidades en la terminación S y 21 unidades en la terminación T. La 019 terminación R lleva 12 horas de taller y 1 hora de ventas. La terminación S lleva 14 horas de taller y 1,5 horas de ventas. La terminación T lleva 15 horas de taller y 1,43 horas de ventas. (a) Representa la información en dos matrices. (b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de ventas empleadas para cada uno de los modelos. RESOLUCIÓN apartado a:

Terminaciones R S T

Taller Ventas R S T

A  350 1750 40    B  290 90 21  RESOLUCIÓN apartado b: 4

Matemáticas y TIC

12 1    14 1.5  15 1.7   

BH2

Curso ON LINE

Tema 5

R

S

T

Taller Ventas

R 12 1    A  350 1750 40    ⋅ S 14 1.5  = B  290 90 21  T 15 1.7 

Taller Ventas A  29300 3043    B  5055 460.7 

460.6 horas →

460 horas + 0.6 · 60 = 36 minutos

460 horas, 36 minutos

Para realizar las 2140 piezas del modelo A se han empleado 29.300 horas de taller y para venderlas se estima que se han empleado 3 043 horas. Para realizar las 401 piezas del modelo B se han empleado 5 055 horas de taller y para venderlas se estima que se han empleado 460 horas y 36 minutos. Un administrador puede adquirir las cantidades requeridas de libretas, lápices, gomas, bolígrafos y cajas de folios de tres proveedores. Los precios de cada proveedor para los materiales vienen dados por la matriz

 80 15 7 22 450    A =  90 14 5 22 457   90 15 6 21 500    020

donde cada fila se refiere a un proveedor y la columna a los materiales, en el orden dado anteriormente. El administrador quiere adquirir todos los materiales de un pedido al mismo proveedor. Actualmente va a hacer tres pedidos: el pedido 1 tiene 21 libretas, 5 lápices, 5 gomas 4 de bolígrafos y 4 cajas de folios; el pedido 2 necesita 16, 0, 8, 9 y 3 y el pedido 3 necesita 31, 11, 21, 11 y 13 unidades respectivamente. (a) Resume esta información en dos matrices A y E señalando sus dimensiones. (b) Señala y di el significado de los elementos a13 y e12 (c) Formar la matriz que nos indique los precios totales que cada proveedor presupuestará para cada pedido. (d) ¿Qué proveedor debe abastecer “teóricamente” cada pedido? RESOLUCIÓN apartado a:

1

Lib Láp Go Bol Fol a A= b c

 80 15 7 22 450     90 14 5 22 457   90 15 6 21 500   

2

BH2

3

 21 16 31   Lápices  5 0 11  E=  5 8 21 gomas   bolígrafos  4 9 11    Cajas − folios  4 3 13  Libretas

RESOLUCIÓN apartado b:

a13 : El proveedor B cobra las gomas a 7 PTAS/unidad. e12 : El administrador pide 16 libretas en el segundo pedido. RESOLUCIÓN apartado c:

1 Lib Láp Go Bol Fol

2

3

 21 16 31   a  80 15 7 22 450   5 0 11    ·  5 8 21 = b  90 14 5 22 457    c  90 15 6 21 500   4 9 11    Cajas − folios  4 3 13 

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Libretas Lápices gomas boli gra fos

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5

 Abel Martín

"Matrices"

1

=

a b c

2

3

 3678 2884 8884     3901 3049 9232   4079 3177 9812   

RESOLUCIÓN apartado d:

Los tres pedidos se harían al proveedor A ya que es el que menos cobra. Un IES tiene que hacer un pedido de bolígrafos, libros, hojas para fotocopiadora y transparencias. Para ello tiene tres proveedores: Almacenes Pérez, Gráficas Z y El avilesino. Les pide precios por unidad de lo que necesitan y les dan los siguientes: Almacenes Pérez les cobra 235 PTAS por cada bolígrafo, 556 PTAS por libro, 469 PTAS por el paquete de hojas y 1575 PTAS por las cajas de transparencias. Gráficas Z, 295, 450, 500 y 1800 PTAS , mientras que El avilesino, 325, 470, 400 y 1300 PTAS , respectivamente.

024

Si el pedido consta de 120 bolígrafos, 100 libros, 250 paquetes de hojas y 25 cajas de transparencias:

BH2

(a) Dispón organizadamente estos datos mediante matrices. (b) Señala el elemento a13 de cada matriz e interprétalo. (c) ¿Calcula matricialmente cuál será el presupuesto total que presenta cada almacén al instituto?. (d) Si tienes que pagar un 6% de IVA. Calcula matricialmente cuál será el presupuesto final que ofrece cada proveedor. (e) Comenta los resultados y sugiere cuál será el proveedor más adecuado RESOLUCIÓN apartado a:

Bol libr hoj

transp.

Almacenes Pérez  235 556 469 1575    Gráficas Z  295 450 500 1800  El Avilesino  325 470 400 1300  Bol.  120    Libros  100  Hojas  250    Transp.  25  RESOLUCIÓN apartado b:

En la 1ª matriz el elemento a13 significa que Almacenes Pérez vende cada paquete de hojas para fotocopiadora a 469 ptas. En la 2ª matriz no existe el elemento a13 RESOLUCIÓN apartado b:

Bol libr hoj

transp.

Almacenes Pérez  235 556 469 1575    Gráficas Z  295 450 500 1800  El Avilesino  325 470 400 1300   240425    =  250400   218500   

Bol.  120    Libros  100  · = Hojas  250    Transp.  25 

RESOLUCIÓN apartado c:

 240425   106  ⋅  250400  100    218500 

 25485.5   

=  265424   231610   

RESOLUCIÓN apartado b:

6

Matemáticas y TIC

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Tema 5

Si realizamos el pedido a Almacenes Pérez tendremos que pagar 25486 PTAS, si es a Gráficas Z ascenderá a 265 424 PTAS y si es al Avilesino será de 231 610 PTAS, por lo que el más adecuado sería el tercero (El Avilesino) ya que es el que nos sale más barato.

025

En una confitería elaboran tres tipos de tarta (A, B y C), cuyos ingredientes básicos son: harina, almendra y azúcar. Una tarta de tipo A contiene 100 gr. de harina, 200 de almendra y 100 de azúcar; una de la variedad B contiene 150, 120 y 80 gr. de cada ingrediente, respectivamente; una tarta de tipo C contiene 200 de harina, 150 de almendra y 90 gr. de azúcar. Cierto día, se consumieron en la elaboración de las tartas 10 kg. de harina, 8.9 de almendra y 5.3 de azúcar. a) Plantear un sistema para determinar el número de tartas elaboradas de cada variedad. b) Expresar ese sistema matricialmente. c) ¿Cuántas tartas se elaboraron ese día de cada variedad. Resuélvelo por el método de la matriz inversa? Pruebas de Acceso Universidad de Oviedo.

Página 61, nº 3.

Cervantes editorial

BH2

(Periodo 94/98)

RESOLUCIÓN apartado a:

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x: Número de tartas de la variedad A. y: Número de tartas de la variedad B. z: Número de tartas de la variedad C. PLANTEAMIENTO: 100x + 150y + 200z = 10 000

10x + 15y + 20z = 1 000

¸ ¸ ¸

200x + 120y + 150z = 8 900 100x + 80y + 90z = 5 300

20x + 12y + 15z = 890 10x + 8y + 9z = 530

RESOLUCIÓN apartado b:

PLANTEAMIENTO en forma matricial:  10 15 20   x  1000         20 12 15  · ·  y  =  890   10 8 9   z   530        RESOLUCIÓN apartado c:

Resolvemos el sistema por el método de la matriz inversa Multiplicamos por la izquierda ambos miembros de la igualdad:  10 15 20     20 12 15   10 8 9   

−1

 10 15 20   x   10 15 20        ·  20 12 15  ·  y  =  20 12 15   10 8 9   z   10 8 9       

−1

1000    ·  890   530   

Como A-1 · A = I  x   10 15 20       y  =  20 12 15   z   10 8 9     

−1

1000    ·  890   530   

Averiguamos la matriz inversa por el método de Gauss Jordan  10 15 20     20 12 15   10 8 9   

−1

 −6 115  =  −3 23  4  23

5

46 −11 23 7 23

  23  −18  23  −3

46

25

y efectuamos el producto

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7

 Abel Martín

"Matrices"

 x   −6 115     y  =  −3 23 z  4    23

5

46 −11 23 7 23

 1000     25 23  ·  890  −18   530  23    −3

46

 x   10       y  =  20   z   30     

SOLUCIÓN: Aplicando la definición de igualdad de matrices: x = 10

y = 20

z = 30

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Se han elaborado 10 tartas del tipo A, 20 tartas de tipo B y 30 de tipo C.

026

Un examen consta de tres pruebas. Cada una de ellas se califica con una puntuación de 0 a 10. No obstante, debido a su diferente nivel de dificultad, cada prueba tiene una ponderación distinta a la hora de determinar la calificación global del examen. Las ponderaciones son 0.25 para la prueba 1; 0.35 para la prueba 2 y 0.4 para la prueba 3. La calificación global se calcula multiplicando la puntuación obtenida en cada prueba por la correspondiente ponderación y sumando estos resultados. Obtener, utilizando el cálculo matricial, la calificación global de 3 alumnos, si han sacado las puntuaciones siguientes Pruebas de Acceso Universidad de Oviedo.

Página 61, nº 1

Alumno/prueba Juan María Pablo

1ª 3 6 8

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2ª 3 6 7

(Periodo 94/98)

3ª 8 3 9

RESOLUCIÓN: 1

PTOS

2 3

Juan  3 3 8    María  6 6 3  Pablo  8 7 9 

1  0.25   2  0.35  3  0.4 

· 

=

PTOS Juan  5    María  4.8  Pablo  8.05 

COMENTARIO Y ANÁLISIS: La nota final de Juan será de 5 puntos, la de María 4.8 puntos y la de Pablo 8.05 puntos.

8

Matemáticas y TIC

BH2