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• Juan Reyes

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SISTEMAS DE TRES CAPAS

La figura, muestra un sistema de tres capas y las tensiones en las interfaces sobre el eje de simetría. Estas tensiones incluyen tensión vertical en la interface 1, σz1, tensión vertical en la interface 2, σz2, estrés radial en el fondo de la capa 1, σr1, estrés radial en la parte superior de la capa 2, σ’r1, estrés radial en el fondo de la capa 2, σr2 y estrés radial en la parte superior de la capa 3, σ’r2. Obsérvese que, en el eje de simetría, las tensiones tangenciales y radiales son idénticas y la tensión pura es igual a 0.

Cuando la relación de poisson es 0.5, se tiene la ecuación 2.20a y 2.20b las cuales indican que la deformación radial es igual a la mitad de la deformación vertical y es opuesta en signo:

La ecuación 2.21 puede visualizarse físicamente por el hecho de que cuando un material es incompresible y tiene una relación de poisson de 0,5, la deformación horizontal es igual a la mitad de la deformación vertical y la suma de Ez, Er y Et debe ser igual a 0.

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TABLAS DE JONES: Las tensiones en un sistema de tres capas dependen de la relación k1, k2, A y H, definida como:

Jones (1962) presentó una serie de tablas para determinar σz1, σz1 - σr1, σz2 y σz2 - σr2. Sus tablas también incluyen valores de σz1 - σ'r1 en la parte superior de la capa 2 y σz2 - σ'r2 en la parte superior de la capa 3, pero estas tabulaciones en realidad no son necesarias porque pueden determinarse fácilmente a partir de las de la parte inferior de las capas 1 y 2. La continuidad del desplazamiento horizontal en la interface implica que las deformaciones radiales en la parte inferior de una capa son iguales a la de la parte superior de la siguiente capa o, a partir de la ecuación 2.20b.

Las tablas presentadas por jones consisten en cuatro valores de k1 y k2 (0,2, 2, 20 y 200), por lo que las soluciones para valores intermedios de k1 y k2 pueden obtenerse por interpolación. Dado que las soluciones para los sistemas de tres capas pueden ser obtenidas fácilmente por KENLAYER y la interpolación de las tablas es impráctica y requiere una gran cantidad de tiempo y esfuerzo, sólo los casos más realistas (k1 = 2, 20 y 200 y k2 = 2 y 20) para conservar el espacio. La tabla 2.3 presenta los factores de estrés para los sistemas de tres capas. La convención de signos es positiva en compresión y negativa en tensión. Se muestran cuatro conjuntos de factores de estrés, -ZZ1, ZZ2, ZZ1-RR1 y ZZ2-RR2. El producto de la presión de contacto y los factores de tensión da las tensiones:

Ejemplo 2.11: Dado el sistema de tres capas mostrado en la figura 2.30, con a = 4.8in (122mm), q = 120psi (828kPa), h1 = 6in (152mm), h2 = 6in (203mm), E1 = 400000psi (2.8GPa), E2 = 20000psi 138MPa), y E3 = 10000psi (69Mpa), determinar todos los esfuerzos y tensiones en las dos interfaces sobre el eje de simetría.

En el ejemplo anterior, los parámetros k1, k2, A y H son exactamente los mismos que los mostrados en la tabla, por lo que no se necesita interpolación. Porque cada interpolación requiere tres puntos, la interpolación de un solo parámetro requiere al menos tres veces el esfuerzo. Si los cuatro parámetros son diferentes de los de la tabla, el eforrt total requerido será 3 x 3 x 3 x 3, o 81 veces. 

GRAFICAS DE PEATTIE’S: Peattie (1962) trazó la tabla de jones en formas gráficas. La figura 2.31 muestra un conjunto de gráficos para los factores de deformación radial (RR1 - ZZ1) / 2, en la parte inferior de la

capa 1. Como se indica en la ecuación 2.20b, la deformación radial puede determinarse a partir de:

Las tensiones radiales en el fondo de la capa 1 deben estar en tensión. Aunque las soluciones obtenidas de los gráficos no son tan exactas como las de la tabla, el gráfico tiene la ventaja de que la interpolación para A y H puede realizarse fácilmente. Sin embargo, la interpolación para k1 y k2 sigue siendo engorrosa.

Ejemplo 2.12: Para el mismo caso que el ejemplo 2.11, determinar la deformación radial en la parte inferior de la capa 1, como se muestra en la figura 2.32. Si h2 = 8in (203mm), ¿cuál es la deformación radial en la parte inferior de la capa 1?