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• katrin vasquez aquino

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Fortran 95

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SISTEMA NUMERICO BINARIO

Dado el siguiente conjunto de marcas simples e iguales |

| | |

| | |

|

| |

|

si se encierran en óvalos por parejas, a partir de la izquierda, se tiene | |

| |

| |

| |

| |

|

A continuación, también empezando por la izquierda, se encierra cada par de óvalos en otro mayor | |

| |

| |

| |

| |

|

Finalmente, se encierra cada par de óvalos en uno mayor todavía, comenzando también por la izquierda.

| |

| |

| |

23

| |

22

| |

|

21

20

Nótese que el número de marcas dentro de cualquier óvalo es una potencia de 2. El número representado por el numeral | | | | | | | | | | | se obtiene así: 23 + 21 + 20 ( 1 x 23 ) + ( 1 x 21 ) + ( 1 x 20 )

O también

Obsérvese que en esta suma no aparece 22. Como 0 x 22 = 0, entonces la suma puede escribirse así: ( 1 x 23 ) + ( 0 x 22 ) + ( 1 x 21 ) + ( 1 x 20 ) Ahora puede formarse un nuevo símbolo para representar esta suma omitiendo los paréntesis, los signos de operación + y x y las potencias de 2, de la siguiente manera: ( 1 x 23 ) + ( 0 x 22 ) + ( 1 x 21 ) + ( 1 x 20 )

Nuevo símbolo

1

0

1

1

El significado de los números 1 en este nuevo símbolo depende del lugar que ocupan en el numeral. Así pues, el primero de derecha a izquierda representa una unidad; el segundo, un grupo de dos ( o bien 21 ), el cuarto cuatro grupo de dos ( 8 o bien 23 ). El cero es un medio de dar a

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cada “1” su posición correcta. A los números o potencias de 2 que representan el “1” según su posición en el numeral se les llama valores de posición. Un sistema de numeración que usa valores de posición se denomina sistema posicional. El sistema descrito es un sistema de base dos, o sistema binario, porque usa un grupo básico de dos símbolos: 0 y 1. Los símbolos “1” y “0” utilizados para escribir los numerales se denominan dígitos binarios o bits. Conversión de Números Binarios al Sistema Decimal a)

Numeral 101010dos ( se lee: “uno, cero, uno, cero, uno, cero, base dos” ) Se escriben los valores de posición debajo de los dígitos: Dígitos binarios Valores de posición

1 25

0 24

1 23

0 22

1 21

0 20

Multiplicando los valores de posición por los dígitos binarios correspondientes y sumándolos todos, se obtiene el equivalente en decimal. l 01010dos = ( 1 x 25 ) + ( 0 x 24 ) + ( 1 x 23 ) + ( 0 x 22 ) + ( 1 x 21 ) + ( 0 x 20 ) = 42diez ( se lee: “cuatro, dos, base diez” ) b)

1010001dos = 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 81diez

Conversión de Números Enteros del Sistema Decimal al Sistema Binario Para convertir un número n del sistema decimal a un sistema de base b, se divide el número n entre la base b y se registra el cociente c1 y el residuo r1 resultantes; se divide c1 entre la base b y se anotan el nuevo cociente c2 y el nuevo residuo r2. Este procedimiento se repite hasta obtener un cociente ci igual a cero con residuo ri. El número equivalente a n en el sistema de base b queda formado así: ri ri-1 ri-2 ... r1. a)

Convertir 358diez a binario (base 2). 358 179 89 44 22 11 5 2 1

= = = = = = = = =

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x x

179 89 44 22 11 5 2 1 0

+ + + + + + + + +

0 1 1 0 0 1 1 0 1

358diez = 101100110dos

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SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL El sistema de numeración más difundido en la actualidad es el sistema decimal. Es un sistema posicional que usa un grupo básico de diez (base diez). Considérese por ejemplo el numeral 582diez Dígitos decimales Valores de posición Forma desarrollada

5

8

2

102

101

100

( 5 x 102 ) + ( 8 x 101 ) + ( 2 x 100 )

Al escribir números decimales se omite la palabra “diez” y se establece la convención de que un numeral con valor de posición, es un número decimal, sin necesidad de indicar la base.. De ahí que siempre se anote 582 en lugar de 582diez . El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, debido a que los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan sólo dos estados: magnetizados o no magnetizados, ya sea que pase o no corriente por ellos.

MANEJO DE NUMEROS EN LA COMPUTADORA Por razones prácticas, sólo puede manejarse una cantidad finita de bits para cada número en una computadora y esta cantidad o longitud varía de una máquina a otra. Por ejemplo, cuando se realizan cálculos de ingeniería y ciencias, es deseable una longitud grande; por otro lado, una longitud pequeña es más económica y útil en una computadora empleada en cálculos y procesamientos administrativos. Para una computadora dada, el número de bits generalmente se llama palabra. Las palabras van desde 8 bits hasta 64 bits. Para facilitar su manejo la palabra se divide en partes más cortas denominadas bytes; por ejemplo, una palabra de 32 bits se divide en cuatro bytes (ocho bits cada uno). Números Enteros Cada palabra, cualquiera sea su longitud, almacena un número, y en ciertas circunstancias se usan varias palabras para contener un número. Consideremos una palabra de 16 bits para almacenar números enteros. De los 16 bits, el primero representa el signo del número; cero significa signo positivo y uno significa signo negativo. Los 15 bits restantes pueden usarse para guardar números binarios desde 000000000000000 hasta 111111111111111. Al convertir este número en decimal se obtiene: 1 x 214 + 1 x 213 + 1 x 212 + . . . + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 que es igual a 32767 = ( 215 – 1). Por tanto cada palabra de 16 bits puede contener un número cualquiera entre el intervalo: –32767 a +32767.

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Número binario

Signo

| bit 0 bit 1

a)

bit 15

Representar el número –26 en una palabra de 16 bits. -2610 = - 110102 1

b)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

Representar el número 525 en una palabra de 16 bits. 52510 = 10000011012 0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

Números Reales ( Punto Flotante ) Cuando se desea almacenar un número real, se emplea en su representación binaria, llamada de punto flotante, la notación: 0 . d1d2 d3d 4 d5 d 6 d7 d 8  2 m1m2 m3m4 m5m6 m7

donde di con i = 1, ..., 8 y mj con j = 1, 2, ..., 7 pueden ser ceros o unos y se guarda en una palabra. El bit cero se usa para guardar el signo del número. En los bits del uno al siete se almacena el exponente (o característica) de la base 2 y los ocho bits restantes se usa para la fracción (o mantisa). El exponente es un número binario de seis dígitos, ya que el bit uno se emplea para su signo. Característica

Signo

Mantisa

|

|

bit 0 bit 1

bit 7 bit 8

bit 15

El número mayor que puede guardarse en una palabra de 16 bits usando la notación de punto flotante es:

2+63

+ bit 0 bit 1

0

0

0.99 bit 7 bit 8

1

1

1

1

1

1

1

bit 15

1

1

1

1

1

1

1

Los números que se pueden guardar en punto flotante binario van de alrededor de 2-64 (si la característica es negativa) a cerca de 263. En decimal, de 10-19 a cerca de 1018 en magnitud (incluyendo números positivos, negativos y cero). Nótese que primero se normaliza el número, después se almacenan los primeros ocho bits y se truncan los restantes.

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a)

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Representar el número decimal –125.32 en una palabra de 16 bits Este número en binario es:

-1111101.010100011110101

y normalizado quedaría así:

-.1111101010100011110101 x 2+111 bits truncados

La palabra de memoria de 16 bits donde se almacena este valor quedaría así: 1

b)

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

Representar el número decimal +0.2 en una palabra de 16 bits Este número en binario es:

+0.0011001100110011...

y normalizado quedaría así:

+.1100110011001100... x 2-10 bits truncados

La palabra de memoria de 16 bits donde se almacena este valor quedaría así: 0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

Doble Precisión La doble precisión es un esfuerzo para aumentar la exactitud de los cálculos adicionando más bits a la mantisa. Esto se logra utilizando dos palabras, la primera en la forma expuesta anteriormente, y la segunda para aumentar la mantisa de la primera. Entonces, con una palabra de 16 bits puede usarse en doble precisión una mantisa de 8 + 16 = 24 bits. Los 24 bits de la mantisa permiten expresar alrededor de 7 dígitos de exactitud en un número decimal, en lugar de 3 dígitos de la precisión sencilla. La desventaja del uso de la doble precisión es que se emplean más palabras, con lo cual se consume más memoria para un programa.

Error de Redondeo Como no es posible guardar un número binario de longitud infinita o un número de más dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se está empleando, se almacena sólo un número finito de estos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable. Por ejemplo, si se desea guardar la fracción decimal 0.0001 que en binario es la fracción infinita: +0.000000000000011010001101101110001011101011000 ...

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quedaría, después de normalizado y truncado en una palabra de 16 bits como, .11010001 x 2-1101 Si se desea sumar el número 0.0001 con él mismo diez mil veces, usando una computadora, naturalmente que no se esperará obtener 1 como resultado, ya que los números que se adicionen no serían realmente 0.0001 sino valores aproximados a él.

MANEJO DE ERRORES EN LA COMPUTADORA Existen muchas causas de errores en la ejecución de un programa de cómputo, de las cuales se discutirán ahora algunas de las más importantes. Para esto, imaginemos una computadora que trabaja con números en el sistema decimal, en forma tal que se tiene una mantisa de cuatro dígitos decimales, y una característica de dos dígitos decimales, el primero de los cuales se usa para el signo. Sumados estos seis al bit empleado para el signo del número, se tendrá una longitud de palabra de siete bits. Los números que se van a guardar deben normalizarse primero en la siguiente forma: 3.0 = .3000 x 101 7956000 = .7956 x 107 -0.0000025211 = .2521 x 10-5 Valiéndose de esta computadora, pueden estudiarse algunos de los errores más importantes.

Suma de Números Distintos en Magnitud Supóngase que se trata de sumar 0.002 a 600 en nuestra computadora imaginaria. 0.002 = .2000 x 10-2 600 = .6000 x 103 Estos números normalizados no pueden sumarse directamente y, por tanto, la computadora debe desnormalizarlos antes de efectuar la suma. .000002 x 103 + .600000 x 103 .600002 x 103 Como sólo puede manejar cuatro dígitos, los últimos dos son eliminados y la respuesta es .6000 x 103 ó 600. Aparentemente, la suma nunca se realizó. Este tipo de errores cuyo origen es el redondeo es muy común y se recomienda de ser posible, no sumar o restar números con gran diferencia de magnitud.

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Resta de Números Casi Iguales Supóngase que nuestra computadora imaginaria tiene que restar 0.2144 de 0.2145. .2145 x 100 .2144 x 100 .0001 x 100 Como la mantisa de la respuesta está desnormalizada, la computadora automáticamente la normaliza y el resultado se almacena como .1000 x 10-3. Hasta aquí no hay error, pero en la respuesta sólo hay un dígito significativo; por lo tanto, se sugiere no confiar en su exactitud, ya que un pequeño error en alguno de los números originales produciría un error relativo muy grande en la respuesta de un problema que involucrara este error.

Overflow y Underflow Con frecuencia una operación aritmética con dos números válidos da como resultado un número tan grande o tan pequeño que la computadora no puede manejarlo; como consecuencia se produce un overflow o un underflow, respectivamente. .5000 x 108 x .2000 x 109 .1000 x 1017 Cada uno de los números que se multiplican puede guardarse en la palabra de la computadora imaginaria; sin embargo, su producto es muy grande y no puede almacenarse en ella porque la característica requiere tres dígitos. Entonces se dice que se produjo overflow. Otro caso de overflow puede ocurrir en la división; por ejemplo 2000000 0.000005

=

0.2000 x 107 0.5000 x 10

-5

= 0.4000 x 1012

Las computadoras comúnmente reportan esta circunstancia con un mensaje que varía con la máquina. El underflow puede aparecer en la multiplicación o división, y generalmente no es tan serio como el overflow; las computadoras casi nunca envían mensajes de underflow. Por ejemplo ( 0.3000 x 10-5 ) x ( 0.02000 x 10-3 ) = 0.006 x 10-8 = 0.6000 x 10-10

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Como el exponente –10 está excedido en un dígito, no puede guardarse en la computadora y este resultado se expresa como valor cero.

División Entre un Número muy Pequeño Como se dijo, la división entre un número muy pequeño puede causar overflow. Supóngase que se realiza en la computadora una divisón válida y que no se comete error alguno en la operación; pero considérese que ocurrió un pequeño error de redondeo previamente en el programa, cuando se calculó el denominador. Si el numerador es grande y el denominador pequeño, puede presentarse un error absoluto considerable en el cociente. Si éste se resta después de otro número del mismo tamaño relativo, puede presentarse un error mayor en la respuesta final.

Error de Discretización Cuando un número específico no se puede almacenar exactamente como número binario de punto flotante, el error generado se conoce como error de discretización (error de cuantificación), ya que los números expresados exactamente por la máquina (números de máquina) no forman un conjunto continuo sino discreto. A continuación se presentan ejemplos de cálculo realizados con una PC, precisión sencilla y Quick-Basic: 10000

a)

 0.0001  1.000054 i 1

10000

b) 1 

 0.0001 

2.000166

i 1

10000

c ) 1000 

 0.0001  1001.221 i 1

10000

d ) 10000 

 0.0001  10000 i 1

Cuando se suma 10000 veces 0.0001 con él mismo, debe resultar 1; sin embargo, el número 0.0001 en binario resulta ser una sucesión infinita de ceros y unos que se trunca al ser almacenada en una palabra de memoria, con lo que se perderá información y el resultado de la suma ya no será 1. Nótese que en los tres últimos ejemplos, además del error de discretización, se introdujo el error de sumar un número muy grande con uno muy pequeño.

Error de Salida Puede que no se hayan cometido errores durante la fase de cálculos de un programa; pero, podría presentarse un error al imprimir los resultados.

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Por ejemplo, si después de ciertos cálculos se obtiene el resultado de 0.015625. Cuando este número se imprima con un formato tal como F10.6 o F14.6 se obtiene la respuesta correcta. Si por el contrario, se decide usar F8.3, se imprimirá el número 0.016 (si la computadora redondea), o bien 0.015 (si la computadora trunca), con lo cual se presenta un error.

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PROPAGACION DE ERRORES Una vez que se sabe como se producen los errores en un programa de cómputo, podría pensarse en tratar de determinar el error cometido en cada paso, y conocer de esa manera el error total en la respuesta final. Sin embargo, esto no es práctico. Resulta más adecuado analizar las operaciones individuales realizadas por la computadora para ver cómo se propagan los errores de dichas operaciones. Suma Se espera que al sumar a y b, se obtenga el valor correcto de c = a + b; sin embargo, se tiene en general un valor de c incorrecto debido a la longitud finita de palabra que se emplea. Puede considerarse que este error fue causado por una operación incorrecta del computador  (el signo indica que es suma con error). Entonces el error es: Error = ( a  b ) – ( a + b ) La magnitud de este error depende de las magnitudes relativas, de los signos de a y b, de la forma binaria en que a y b son almacenados en la computadora. Esto último varía de computador a computador, y por tanto es un error muy difícil de analizar y no se vera aquí. Si por otro lado a y b de entrada son inexactos, hay un segundo error posible. Por ejemplo, considérese que en lugar del valor verdadero de a, la computadora tiene el valor de a* el cual presenta un error a a * = a + a y similarmente para b b * = b + b Como consecuencia se tendría, aun si no se cometiera error en la adición, un error en el resultado Error = ( a * + b* ) – ( a + b )

= ( a + a + b + b ) – ( a + b ) = a + b = c o sea c* = c + c El error absoluto es | ( a * + b * ) – ( a + b ) | = | a + b |  | a | + | b | bien

| c |  | a | + | b |

Se dice que los errores a y b se han extendido a c y c se conoce como el error de propagación. Tal error se origina en el almacenamiento inexacto de los valores iniciales y se propaga en los cómputos siguientes, con lo cual causa un error en el resultado final.

Resta

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El error de propagación ocasionado por valores inexactos iniciales a* y b*, puede darse en igual forma que en la adición, con un simple cambio de signo.

Multiplicación Si se multiplican los números a* y b*, se obtiene ( ignorando el error causado por la operación misma ) ( a * x b * ) = ( a + a ) x ( b + b ) = ( a x b ) + ( a x b ) + ( b x a ) + ( a x b ) Si a y b son suficientemente pequeños, puede considerarse que su producto es muy pequeño en comparación con los otros términos, y, por tanto, eliminar el último término. Se obtiene entonces el error del resultado final ( a * x b * ) - ( a x b )  ( a x b ) + ( b x a ) Esto hace posible encontrar el valor absoluto del error relativo del resultado dividiendo ambos lados entre a x b.

a  b   a  b *

*

a  b



b a  b a



b   a b a

El error de propagación relativo en valor absoluto en la multiplicación es aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto.

División Consideramos la división de a* y b* como sigue: a * / b * = ( a + a ) / ( b + b )   a a 

1  b b 

Multiplicando numerador y denominador por b - b a * b* 



 a a   b b   b b   b b  a b  ab a b a b b 2  2b

Si, como en la multiplicación, se considera el producto a .b muy pequeño y, por las mismas razones a b2 y se desprecian se tiene:

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a * b* 



a b a b a b  2  2 b2 b b a a ab   2 b b b

El error es entonces a * b* 

a  a  a  2b b b b

Dividiendo entre a/b, se obtiene el error relativo. Al tomar el valor absoluto del error relativo, se tiene: a * b*  ab

a b

a ab  2 b  b ab



a b  a b



a   b a b

Se concluye que, el error de propagación relativo del cociente en valor absoluto es aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos en valor absoluto de a y b.

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DIAGRAMAS DE FLUJO

Para resolver un problema por medio del computador, hay que realizar un estudio del problema y de la información de partida con la que contamos. Este estudio se realiza por medio del análisis orgánico y del análisis funcional del sistema. Una vez definida claramente la información de partida, hay que hacer el estudio del tratamiento que le vamos a dar a dicha información. Tendremos que indicar:    

Las operaciones aritméticas y lógicas, que vamos a realizar sobre ella. Las decisiones que vamos a necesitar tomar a lo largo del tratamiento. La entrada de datos, cuándo y cómo se va a realizar. La salida de resultados, cuándo y cómo se va a producir, etc.

Todo este estudio se representa por medio de un esquema gráfico, que realiza el analista, y que denominamos flujograma u organigrama de proceso. Así pues, un organigrama es un esquema gráfico, que representa todas las operaciones a realizar por el ordenador, sobre la información de entrada, así como el orden en que deben ser realizadas dichas operaciones. Es conveniente la realización de dicho organigrama:     

Para ver una visión global del problema. Para observar en que áreas se divide dicho problema. Para localizar las entradas y salidas de cada una de las áreas en que hemos dividido el problema. Para poder observar si se han tenido en cuenta todas las posibilidades. Para que a la hora de realizar una corrección, sea más fácil, etc.

A continuación veremos la simbología utilizada para realizar un organigrama y las reglas que hay que seguir para construirlas.

Reglas para la Confección de Organigramas 1.

Todos los símbolos deben estar conectados, por medio de líneas de conexión.

2.

Se debe dibujar de forma que se pueda mirar el organigrama claramente de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

3.

A un símbolo de proceso pueden llegarle varias líneas de conexión.

4.

A un símbolo de decisión pueden llegarle varias líneas de conexión, pero de él sólo pueden salir dos líneas, que corresponden al hecho de que se cumpla la condición y al hecho de que no se cumpla la condición a evaluar.

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5. 6.

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A un símbolo de inicio de proceso no llega ninguna línea de conexión y de él sólo puede partir una línea de conexión. A un símbolo de final de proceso, pueden llegar muchas líneas de conexión, pero de él no puede partir ninguna.

Símbolos Estándar

Preparación de un Organigrama Al realizar un programa para resolver un problema, se pueden realizar distintos tipos de operaciones, las cuales vamos a clasificar en tres grandes grupos:

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1

Operaciones de entrada: Sirven para introducir datos desde el exterior, a las unidades de almacenamiento del ordenador (memoria interna o auxiliar).

2

Operaciones de proceso: Sirven para manipular los datos almacenados. Estos resultados son también almacenados en unidades de almacenamiento del ordenador.

3

Operaciones de salida: Sirven para extraer los resultados de las unidades de almacenamiento y comunicarlas al usuario (exterior).

Por lo tanto, podemos representar cualquier problema por el organigrama básico: Este diagrama a pesar de ser tan general, puede servir para diseñar otros más detallados. Normalmente es recomendable hacer primero un organigrama general del problema y luego se va detallándolo más.

Definición de Variable y Contenido de Variable Definimos una variable, como un nombre o combinación de caracteres, inventado por el programador, que representa el contenido de una posición de memoria. Así pues, al referirnos en un programa a una variable determinada, nos estamos refiriendo a una determinada posición de memoria. Las variables, según sea su contenido, se clasifican en variables numéricas y variables alfanuméricas. Denominamos variable numérica a aquella cuyo contenido es una constante numérica. Por ejemplo, si la variable X contiene un 10, diremos que es una variable numérica. Normalmente a las variables numéricas se las denomina por medio de una letra o un conjunto de letras. Decimos que una variable es alfanumérica cuando su contenido es una constante alfanumérica, es decir, es un conjunto de números y letras y signos especiales. Por ejemplo “Pedro” o “ftp” serán constantes alfanuméricas. Si la variable A$ contiene una de estas dos constantes, será una variable alfanumérica.

Significado del Signo Igual “=”

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El signo igual en un organigrama se utiliza, para asignar un contenido a una variable, es decir, para darle un valor a una variable. Por ejemplo, si ponemos F = 250, estamos indicando que queremos guardar en la variable F, el valor numérico 250. Si escribimos F$ = “Suma y sigue”, estamos indicando que el literal o constante alfanumérica, lo almacenamos en la variable alfanumérica F$. El signo igual se suele utilizar para inicializar las variables al inicio del programa, es decir, para dar un valor inicial a las variables. Por ejemplo, si en el programa vamos a utilizar la variable A para alguna operación, al principio del programa tenemos que dar un valor inicial A = 0. No es imprescindible inicializar las variables que van a contener el resultado de una entrada de datos, ni tampoco aquellas que van a contener el resultado de una operación. Pero si es necesario inicializar todas las variables que van a intervenir en alguna operación aritmética. Por lo tanto, es recomendable inicializar todas las variables que intervienen en el proceso. El signo igual también lo utilizamos para asignar a una variable el resultado de una expresión aritmética o lógica. Por ejemplo: X=4*A*C/D Las expresiones aritméticas son un conjunto de variables y constantes, relacionadas por medio de operadores aritméticos, los cuales son: + * ** /

suma resta producto potencia división

También se puede almacenar en una variable el resultado de una expresión lógica. Una expresión lógica es un conjunto de variables y constantes, relacionadas por medio de los operadores lógicos, los cuales son: > < =  

mayor que menor que igual menor o igual mayor o igual

Las instrucciones en un programa se ejecutan secuencialmente, una detrás de otra, en el mismo orden en que se escriben. Por lo tanto, para realizar cualquier programa debemos de ir colocando las órdenes tal y como queremos que se ejecuten, sin saltarnos ningún paso. Algunas veces, en un programa, necesitamos ejecutar una instrucción o varias, un número determinado de veces, en el mismo lugar del programa. Para no tener que escribir dichas instrucciones varias veces, lo que se hace es crear un bucle, de forma que se pase varias veces por el mismo conjunto de instrucciones.

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Ejemplo de Organigrama A continuación se tiene un ejemplo sencillo de organigrama: los pasos necesarios para realizar el montaje de una bicicleta: Las instrucciones en un programa se ejecutan secuencialmente, una detrás de otra, en el mismo orden en que se escriben. Por lo tanto, para realizar cualquier programa u organigrama debemos de ir colocando las órdenes tal y como queremos que se ejecuten, sin saltarnos ninguna. Algunas veces en un programa, necesitamos ejecutar una instrucción o varias, un número determinado de veces, en el mismo lugar del programa. Para no tener que escribir dichas instrucciones varias veces, lo que se hace es crear un bucle, de forma que se pase varias veces por el mismo conjunto de instrucciones.

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