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• Oscar Junior Nuñez Panta

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• Física aplicada e interdisciplinaria
• Ingeniería mecánica
• Mecánica clásica
• Física y matemáticas
• Física

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PROBLEMA 3.5 Un aparato de aire acondicionado que pesa 1200 lb se atornilla en medio de dos vigas paralelas de acero simplemente apoyadas (fi gura P3.5). El claro libre de las vigas es de 8 pies. El segundo momento del área de la sección transversal de cada viga es de 10 pulg4. El motor de la unidad funciona a 300 rpm y, a esta velocidad, produce una fuerza vertical desbalanceada de 60 lb. Desprecie el peso de las vigas y suponga 1% de amortiguamiento viscoso en el sistema; para el acero E = 30,000 ksi. Considere la fuerza desbalanceada y determine las amplitudes de la deflexión en estado estacionario y la aceleración de estado estacionario (en g’s) para las vigas en sus puntos medios.

Solución 

DATOS E = 30 x 106 psi L = 8 ft £=1% 300 2 π = 10 π rads/sec ω= 60

w = 1200 lbs I = 10 in 4

( )

Po = 60 lbs 

HALLAMOS RIGIDEZ DEL SISTEMA k= 2



( 48L3EI )=32.552 lbs¿

OBTENEMOS LA FRECUENCIA NATURAL

ωn =

√

√ √

k k 32.552 = = =102.3 rads/seg m w 1200 g 386 1−(

Rd =

√

ω ) ωn

(¿¿ 2).2 +(2 £ 1 ¿

2

ω ) ωn

1−(

Rd =

√

10 π ) 102.3

(¿¿ 2).2 +(2 0.01

u0 = (ust)0 Rd =

2

10 π ) 102.3

= 1.104

1 ¿

po k

Rd

PROBLEMA 3.16 Un sistema de 1GDL está sometido al desplazamiento u g(t) = ugosenωt del soporte. Demuestre que la amplitud uto del desplazamiento total de la masa está dada por la ecuación (3.6.5).

SOLUCION: Sabemos que: ug ( t )=u g 0 sin ωt …(1) Entonces: u´ g ( t )=ω . u g 0 cos ωt u´ g ( t )=−ω2 .u g 0 sin ωt La ecuación del movimiento es: m u´ + c u´ + ku=−m ´ug =P eff (t)

Entonces: 2 Peff ( t ) =−m u´ g ( t )=ω . m .u g 0 sin ωt ⏟ p0

Luego, sabemos que: p u ( t ) = 0 . Rd sin(ωt−∅) k

2

ω . m .u g 0 u (t)= . Rd sin(ωt−∅)…( 2) k Donde: ω n= Rd =

√

k → k =ωn2 . m…(a) m 1

√[

…( b)

2 2

( ωω ) ] +(2 ξ ωω ) ω 2ξ ( ω ) ∅=tan … (c) ω 1− (ω ) 2

1−

n

n

−1

n

2

n

De (c) podemos graficar el siguiente triangulo y hallar el seno y coseno de dicho ángulo:

Entonces:

sin(∅)=

(

ω ωn

) … (d ) [√ 1−( ωω ) ] +(2 ξ ωω ) 2ξ

2 2

n

2

n

cos(∅)=

ω ωn

2

( ) …(e ) [√ 1−( ωω ) ] +(2 ξ ωω ) 1−

2 2

2

n

n

sin(ωt−∅)=sin ωt cos ∅−cos ωt sin ∅ …(f )

Reemplazando (d) y (e) en (f): 2 ω 1− ωn sin ( ωt−∅ ) = sin ωt+ 2 2 2 ω ω 1− + 2ξ ωn ωn

( ) ( )] (

√[

2

ω ωn

1−

sin ωt− 2ξ

ω cos ωt ωn

2 2

2

ω ωn

+ 2ξ

ω ωn

ω ωn

√[ ( ) ] ( )

[ ( )] ( ) √[ ( ) ] ( ) 1−

sin ( ωt−∅ ) =

)

−2 ξ 1−

2 2

ω ωn

+ 2ξ

ω ωn

cos ωt

2

… (g)

Reemplazado en ecuación (a), (b), (g) en (2): 2

u (t)=

ω . m .u g 0 ω n2 . m

×

[

]{

[ ( )] ( ) √[ ( ) ] ( ) √[ ( ) ] ( ) 1

ω 1− ωn

2 2

×

ω + 2ξ ωn

2

1−

ω ωn

u (t)=

sin ωt− 2 ξ

ω 1− ωn

2

ω .u g 0 ωn

2

2 2

+ 2ξ

( ) ω ω 1− sin ωt− 2 ξ cos ωt …(3) ( ) ( ) [ ω ] ω { } ω ω 1− + 2ξ [ (ω ) ] ( ω ) 2

2 2

n

2

n

Luego, el desplazamiento total es:

n

n

ω cos ωt ωn ω ωn

2

}

t u ( t )=u g ( t ) +u ( t ) …(4)

Reemplazando (1) y (3) en (4): 2

t

u ( t )=u g 0 sin ωt +

ω . ug 0 ωn

( ) ω ω 1− sin ωt− 2ξ cos ωt ( ( ω )] ω ) } ω ω {[ 1− + 2ξ [ (ω ) ] ( ω ) 2 2

2

n

{

ut ( t )=u g 0 sin ωt +

ut ( t )=

ut ( t )=

2

2 2

2

n

2 2

+ 2ξ

2 2

[ ( )] (

+ 2ξ

2 2

[ ( )] (

+ 2ξ

n

n

n

ω ωn

{) [

ω ωn

{) [

ω ωn

{) [

ug0 ω 1− ωn

2

ω ωn

ug0 ω 1− ωn

n

( ) ω ω × 1− sin ωt− 2 ξ cos ωt ( ( ω )] ω ) [ ] ω ω 1− + 2ξ [ (ω ) ] ( ω )

[ ( )] (

t

u ( t )=

n

n

ug0 ω 1− ωn

2

2

2

2

1−

( )] ω ωn

2

2

1−

1−

La ecuación (6) es de la forma: ut ( t )=C sin ωt + D cos ωt …(7)

(

ω ω sin ωt + ωn ωn

ω 2 ω + 2ξ ωn ωn

( )(

)

) ( ) [ ( ) ]] 2

ω ω ω + 2ξ + ωn ωn ωn

( )(

( )[ ( )]

2

sin ωt + 2 ξ

)]

}

2

1−

2

sin ωt −2ξ

ω ωn

2

1−

ω ωn

2

2

3

sin ωt −2 ξ

}

ω cos ωt ωn

( )

ω 3 cos ωt …(6) ωn

( )

3

sin ωt−2 ξ

ω cos ωt ωn

( )

}

Donde: u = √ C 2+ D2 … (8) t 0

Identificando los valores C y D de la comparación de la ecuación (6) y (7): C=

D=

ug0 2 2

ug 0

[ ( )] ( ) ω 1− ωn

2 2

[ ( )] ( ) [ ( )] ω 1− ωn

ω ωn

+ 2ξ

2

ω + 2ξ ωn ω ωn

−2ξ

2

[ ( ) ( )] 1−

ω 2 ω + 2ξ ωn ωn

2

3

Luego: u g 02

2

C =

{[

2 2

( )] (

ω 1− ωn

2

)} 2

ug 02

2

D=

ω + 2ξ ωn

{[

2 2

( )] (

ω 1− ωn

ω + 2ξ ωn

2

)} 2

[

2 2

( )]

ω 1+(4 ξ −1) ωn 2

3 2

[ ( )] ω −2 ξ ωn

Entonces:

{

ut0= u g 02 ×

4 4 ω 2 ω 2 ω 4 ω 4 ω 2 ω 1+8 ξ −2 +16 ξ −8 ξ + +4 ξ2 ωn ωn ωn ωn ωn ωn 2

( ) ( )

Agrupando adecuadamente:

( ) ( ) ( ) ω ω 1− + 2ξ ( ) ( {[ ω ] ω ) } 2 2

n

2

n

2

}

6 1 2

( )

ut0=u g 0

{

ut0=u g 0

{

t 0

{

ut0=u g 0

2 2

6

2 2

2 2

ω + 2ξ ωn

ω 2 ω +4 ξ +16 ξ 4 ωn ωn 2

2

2

[ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) {[ ( ) ] ( ) }

{

u =u g 0

ω 2 ω 4 ω + 4ξ −8 ξ 2 +4 ξ2 ωn ωn ωn 2

ω 1− ωn

t 0

u =u g 0

4

ω 1− ωn

ω + 1− ωn

2

ω 1− ωn

2 2

2

ω ω ω × 2ξ + 2ξ + 2ξ ωn ωn ωn 2 2

ω + 2ξ ωn

2

2

[ ( )][ ( )] ( )[ ( )] {[ ( ) ] ( ) }

{

ω 1− ωn

2 2

ω 1− ωn

{[

2 2

{[

2

ω + 2ξ ωn 2 2

ω ωn

ω + 2ξ ωn

2

( ) ω ω 1− + 2ξ ( ) ( [ ω ] ω) 1+ 2 ξ 2 2

n

ω + 2ξ ωn

2

n

2

ω 1+ 2 ξ ωn

( )] (

ω 1− ωn

2

ω + 2ξ ωn

) }[ (

( )] (

ω 1− ωn

2

ω 1+ 2 ξ ωn

}

1 2

2

)} 2

ω 1+ 2 ξ ωn

2

)] 2

}

1 2

2

}

1 2

4

}

1 2

}

4 1 2

[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) {[ ( ) ] ( ) } ω 2 ω 1−2 + ωn ωn

ut0 TR= = ug0

{

ω 1+ 2ξ ωn

2

( ) [1−( ωω ) ] +(2 ξ ωω ) 2 2

n

2

n

}

1 2

PROBLEMA 4.12 El tanque de agua elevado de la fi gura P4.12 pesa 100.03 kips cuando está lleno de agua. La torre tiene una rigidez lateral de 8.2 kips/pulg. Si la torre de agua se trata como un sistema de 1GDL, estime el desplazamiento lateral máximo debido a cada una de las dos fuerzas dinámicas mostradas, sin hacer ningún análisis dinámico “exacto”. En vez de eso, utilice su comprensión de como la respuesta máxima depende de la razón del tiempo de crecimiento sobre la fuerza aplicada, para el periodo de vibración natural del sistema; desprecie el amortiguamiento. PROBLEMA 4.17 El edificio de un piso del ejemplo 4.1 se modifica de modo que las columnas están fijas en la base en vez de articuladas. Para la misma excitación, determine el desplazamiento máximo en la parte superior del marco y el esfuerzo flexionante máximo en las columnas. Comente acerca del efecto de la fijación en la base.