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• Henderson Soplin Velayarce

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PROBLEMA 1 SUPONGAMOS

QUE LA FRACCIÓN DE UNA COHORTE DE PACIENTES CON SIDA QUE SOBREVIVE UN TIEMPO T DESPUÉS DE DIAGNÓSTICO DE SIDA ESTÁ DADA POR:

𝑺(𝒕) = 𝒆−𝒌𝒕 DEMUESTRE

QUE EL TIEMPO PROMEDIO DE SUPERVIVENCIA TPROM DESPUÉS DEL DIAGNÓSTICO DE SIDA PARA UN MIEMBRO DE ESTA COHORTE ESTÁ DADO POR:

𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎

𝟏 = 𝒌

Resolución del problema 1

El tiempo promedio no es más que el tiempo promedio de supervivencia.

t Tprom

𝑎

𝑒 −𝑘𝑡 . 𝑑𝑡 = (1)(𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 )

LIM

𝑎→∞ 0

−𝑘𝑡

𝑒 LIM 𝑎→∞ −𝑘

•:

LIM

𝑎→∞

𝑎

= 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 0

𝑒 −𝑘𝑎 1 − −𝑘 −𝑘

= 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚

LUEGO: 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎

𝟏 = 𝒌

PROBLEMA 2 LA FRACCIÓN DE UNA COHORTE DE PACIENTES CON SIDA QUE SOBREVIVE A UN TIEMPO T SUPERVIVENCIA MEDIA DE UNA COHORTE DE HEMOFÍLICOS DIAGNOSTICADOS CON SIDA ANTES DE 1986, SE ENCONTRÓ T PROM = 64 MESES. ¿QUÉ FRACCIÓN DE LA COHORTE SOBREVIVIÓ CINCO AÑOS DESPUÉS DEL DIAGNÓSTICO DE SIDA?

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 2 COMO TPROM = 64 𝟏 Y TPROM = , ENTONCES: 𝒌

𝟏 𝒌= = 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟔𝟒 𝑺 𝒕 = 𝒆−𝟎,𝟎𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 . 𝒕 T = 5 AÑOS = 60 MESES ES: 𝑺 𝒕 = 𝒆−𝟎,𝟎𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 . 𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟏𝟔 ESTO SIGNIFICA QUE 39%DE LOS PACIENTES SOBREVIVIÓ CINCO AÑOS DESPUÉS DE HABER SIDO DIAGNOSTICADOS CON SIDA.

PROBLEMA 3 LA FRACCIÓN DE UNA COHORTE DE PACIENTES DE SIDA QUE SOBREVIVE A UN TIEMPO T DESPUÉS DE DIAGNÓSTICO DE SIDA ESTÁ DADA POR: 𝑺(𝒕) = 𝒆−𝒌𝒕 EL TIEMPO QUE TARDA S(T) PARA ALCANZAR EL VALOR DE 0.5 SE DEFINE COMO EL PERIODO DE SUPERVIVENCIA Y ESTÁ DENOTADO POR 𝑻𝟏/𝟐 A) DEMUESTRE QUE S(T) SE PUEDE ESCRIBIR EN LA FORMA: 𝑺 𝒕 = 𝟐−𝒕/𝑻 B) DEMUESTRE QUE: 𝑻𝟏/𝟐 = 𝒍𝒏 𝟐 . 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎 donde Tprom = es el tiempo promedio de supervivencia

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 3.A)

𝑇𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑙𝑛2 K 𝑇𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎

𝑆(𝑡) = 𝑒

−𝑘𝑡

𝑡 𝑇1/2

𝑆(𝑡) = 2

𝑙𝑛2 = 𝑘

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 3.B)

EL TIEMPO DE VIDA MEDIA: 𝑻𝟏/𝟐 =

𝒍𝒏𝟐 𝒍𝒏𝟐 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒌 = 𝒌 𝑻𝟏/𝟐

EL TIEMPO PROMEDIO: 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎 =

𝟏 𝟏 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒌 = 𝒌 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎

IGUALANDO: 𝒍𝒏𝟐 𝟏 = 𝑻𝟏/𝟐 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎 ENTONCES:

Por lo tanto, es cierto siempre que T1/2 < Tprom

𝒍𝒏𝟐 . 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎 = 𝑻𝟏/𝟐 𝟎, 𝟔𝟗𝟑𝟏 . 𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎 = 𝑻𝟏/𝟐 DE ELLO SE CONCLUYE QUE EL TIEMPO DE VIDA MEDIA ES EL 69% DE TIEMPO PROMEDIO

PROBLEMA 4 APROXIMADAMENTE EL 10% DE LOS PACIENTES DE CÁNCER DE PULMÓN SE CURAN DE LA ENFERMEDAD, ES DECIR, SOBREVIVEN CINCO AÑOS DESPUÉS DEL DIAGNÓSTICO CON NINGUNA EVIDENCIA DE QUE EL CÁNCER HA REGRESADO. SÓLO EL 14% DE LOS PACIENTES DE CÁNCER DE PULMÓN SOBREVIVEN CINCO AÑOS DESPUÉS DEL DIAGNÓSTICO. SUPONGA QUE LA FRACCIÓN DE PACIENTES CON CÁNCER PULMONAR INCURABLE QUE SOBREVIVEN UN TIEMPO T DESPUÉS DE LA DIAGNOSIS ESTÁ DADA POR EXP(- KT). ENCUENTRE UNA EXPRESIÓN PARA LA FRACCIÓN S(T) DE PACIENTES CON CÁNCER DE PULMÓN QUE SOBREVIVEN UN TIEMPO T DESPUÉS DE SER DIAGNOSTICADOS CON LA ENFERMEDAD. ASEGÚRESE DE DETERMINAR LOS VALORES DE LAS CONSTANTES EN SU RESPUESTA. ¿QUÉ FRACCIÓN DE PACIENTES CON CÁNCER PULMONAR SOBREVIVE DOS AÑOS CON LA ENFERMEDAD?

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 4

𝐒 𝐭 = 𝐒𝐢 + (𝟏 − 𝐒𝐢 )𝐞−𝐤𝐭

EN 5 AÑOS: 𝟎, 𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟗 𝒆−𝒌(𝟓) RESOLVIENDO: 𝟐 = 𝒆−𝟓𝒌 𝟒𝟓 APLICANDO LOGARITMOS: 𝒌 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟐𝟕 LUEGO LA SOLUCIÓN ES: 𝑺(𝒕) = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟗 𝒆−𝟎,𝟔𝟐𝟐𝟕(𝒕) CON EL TIEMPO EN AÑOS, ENTONCES LUEGO DE DOS AÑOS: 𝑺

𝒕

= 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟗 𝒆−𝟎,𝟔𝟐𝟐𝟕

𝟐

EL 36% DE LOS PACIENTES CON CÁNCER AL PULMÓN, SOBREVIVEN A LOS 2 AÑOS.

CONCLUSIÓN

159

MARYLAND QUE DESARROLLARON SIDA EN 1985 SE OBTIENE EL VALOR DE LA FRACCIÓN INMORTAL DE ST = 0.0665 Y UN VALOR DE VIDA MEDIA DE SUPERVIVENCIA DE T1/2 = 0.666 AÑO, SIENDO HABITANTES

DE

EL TIEMPO PROMEDIO DE SUPERVIVENCIA TPROM = 0.960 AÑOS

EN 1993, EASTERBROOK Y COLABORADORES PUBLICARON DATOS DETALLADOS ACERCA DE LA SUPERVIVENCIA DE 1415 ANFITRIONES INFECTADOS QUE FUERON TRATADOS CON ZIDOVUDINA Y CUYAS DENSIDADES CELULARES T4 CAYERON POR DEBAJO DE LOS VALORES

NORMALES[3].

COMO SUS DENSIDADES DE CÉLULAS T4 CAEN A CERO, ESTAS PERSONAS DESARROLLAN EL SIDA CLÍNICO Y EMPIEZAN A MORIR. LOS SOBREVIVIENTES MÁS LONGEVOS DE ESTA ENFERMEDAD VIVEN PARA VER QUE SUS DENSIDADES T4 SON INFERIORES A 10 CELULAR T4 DE UN ANFITRIÓN CAE POR DEBAJO DE 10 CELULAR/MM3, ENTONCES LA SUPERVIVENCIA DE ESTOS ANFITRIONES FUE DETERMINADA POR EASTERBROOK EN 0.470, 0.316 Y 0.178 TRANSCURRIDO EL TIEMPO DE UN AÑO, UN AÑO Y MEDIO Y DOS AÑOS, RESPECTIVAMENTE. LOS ANFITRIONES INFECTADOS CON DENSIDAD CELULAR T4 EN EL RANGO DE 0-10 CÉLULAS/MM3 PRODUCEN UN VALOR DE LA FRACCIÓN INMORTAL DE ST = 0 Y UNA VIDA MEDIA DE SUPERVIVENCIA DE T1/2 = 0.878 AÑO [4]; EN FORMA EQUIVALENTE, EL TIEMPO PROMEDIO DE SUPERVIVENCIA ES TPROM = 1.27 AÑOS.

ESTOS RESULTADOS MUESTRAN CLARAMENTE QUE LA ZIDOVUDINA NO ES EFICAZ PARA DETENER LA REPLICACIÓN DE TODAS LAS CEPAS DEL VIH, YA QUE QUIENES RECIBIERON ESTE FÁRMACO FINALMENTE MURIERON CASI AL MISMO RITMO QUE QUIENES NO LO RECIBIERON.

EN REALIDAD, LA PEQUEÑA DIFERENCIA DE 2.5 MESES EN LA VIDA MEDIA DE SUPERVIVENCIA PARA LOS ANFITRIONES DE 1993 CON DENSIDADES CELULARES T4 POR DEBAJO DE 10 CÉLULAS/MM3 CON TERAPIA DE ZIDOVUDINA (T1/2 = 0.878 AÑO) Y DE INFECTADOS DE 1985 EN MARYLAND QUE NO TOMARON ZIDOVUDINA (T1/2 = 0.666 AÑO) SE PUEDE DEBER TOTALMENTE A UNA MEJOR HOSPITALIZACIÓN Y A MEJORAS EN EL TRATAMIENTO DE LAS INFECCIONES OPORTUNISTAS RELACIONADAS CON EL SIDA EN EL TRANSCURSO DE ESOS AÑOS

SE HA ESTIMADO QUE LA TERAPIA DE ZIDOVUDINA AMPLÍA LA CAPACIDAD DE SUPERVIVENCIA DE UN PACIENTE INFECTADO CON VIH QUIZÁ POR 5 Ó 6 MESES EN PROMEDIO [4].

POR

ÚLTIMO, JUNTANDO LOS RESULTADOS ANTERIORES DE MODELADO PARA AMBOS CONJUNTOS DE DATOS, ENCONTRAMOS QUE EL VALOR DE LA FRACCIÓN INMORTAL SE ENCUENTRA EN ALGÚN LUGAR DENTRO DEL RANGO 0 < SI < 0.0665 AÑOS Y EL TIEMPO PROMEDIO DE SUPERVIVENCIA SE ENCUENTRA DENTRO DEL RANGO 0.960 AÑOS < TPROM < 1.27 AÑOS.

¿EL SIDA ( SÍNDROME DE INMUNODEFICIENCIA ADQUIRIDA QUE ES LA ETAPA FINAL DE LA INFECCIÓN POR EL VIRUS DE INMUNODEFICIENCIA HUMANA ES INVARIABLEMENTE UNA ENFERMEDAD FATAL ?

AUNQUE LOS TRASPLANTES DE MÉDULA ÓSEA QUE USAN CÉLULAS MADRE DEL DONANTE HOMOCIGÓTICO PARA LA SUPRESIÓN DEL DELTA 32 CCR5 PODRÍAN CONDUCIR A CURAS, LOS DATOS CLÍNICOS RESULTANTES CONSISTENTEMENTE MUESTRAN QUE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD INVARIABLEMENTE FATAL.