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• Darío Fernando Núñez Hernández

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS SERIE DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 4 ESPACIOS VECTORIALES 1. Determinar si conjunto de todas las matrices triangulares superiores de 2  2 es un espacio vectorial.  a     2. Determinar si W   a   es un subespacio de  2a     

3

.

 a     3. Determinar si W   b   es un subespacio vectorial de  a  b  1   

 x 4. Demostrar si el conjunto de vectores de la forma   en  x

2

3

.

es un espacio vectorial.

 0 a   es un espacio vectorial de M 22 5. Determinar si el conjunto V   b 0   

6. Determinar si el subconjunto H  S  M mn | S essimétrica , es un subespacio vectorial de

M mn  a b   7. Determinar si el conjunto W     es un subespacio vectorial de M 22 b 2 a   

8.

Determinar si H   x, y  | y  0 es un subespacio vectorial de V 

2

  0 a  9. Determinar si H   A | A     es un subespacio vectorial de M 2 x 2  b 0  

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10. Sea S   a1 , a2  | a1 , a2 



(a1, a2 ), (b1, b2 )

2

y c

, se definen

(a1, a2 )  (b1, b2 )  (a1  b1, a2  b2 ) y c(a1, a2 )  (ca1, ca 2) . Determinar si S es un espacio vectorial. 11. Determinar si las siguientes expresiones son falsas o verdaderas a) Un espacio vectorial puede tener más de un vector cero. b) En cualquier espacio vectorial ax  bx implica que a  b 12. Demostrar que el conjunto de las funciones pares definidas en los números reales con la suma y producto por escalar usual es un espacio vectorial. 13. Verificar que los siguientes conjuntos son subespacios de



3

| a1  3, a3  a2 



3

| a1 4a2  a3  0

a) W1   a1 , a2 , a3   b) W1   a1 , a2 , a3  

3

14. Dar un ejemplo de un espacio vectorial V y de dos subespacios de V (W1,W2 ) tales que: a) W1  W2 es un subespacio de V b) W1  W2 no es un subespacio de V 15. Determinar si el conjunto de vectores

1, 2,1,1 , 3,0, 2, 2 , 0, 4 1,1 , 5,0,3, 1

es

linealmente independiente. 16. En

n

sea ei el vector cuya coordenada i-ésima es 1 y las demás son 0 . Demostrar que

e1 , e2 ,..., en  es linealmente independiente. 17. Determinar si el conjunto de vectores dado genera el espacio vectorial dado: a) En

3

: 1, 1, 2 1,1, 2  0,0,1

b) En

3

: 1, 1, 2  1,1, 2  0,0,1

18. Encontrar un conjunto de tres vectores linealmente independiente que contenga a los vectores

 2,1, 2  y  1,3, 4  19. Demostrar que el conjunto 1, x, x 2 ,..., x n  es linealmente independiente en Pn ( ) . Página 2 de 7

20. Demostrar que las matrices 1 0 0 1 0 0  ,  ,  , y 0 0 0 0 1 0

0 0   son linealmente independientes en M 22 0 1

21. Dar un ejemplo de tres vectores linealmente dependientes en

2

tales que ninguno de los tres es

múltiplo de otro. 22. Demostrar que el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente:

 1 1  0 1 1 1   S   ,  ,    0 1  1 0  1 1  23. Encontrar una base en

3

para el conjunto de vectores en el plano 2 x  y  z  0

24. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son bases para P2 ( ) a) {1  x  2 x2 , 2  x  2 x2 , 1  2 x  4 x 2} b) {1  2 x  x2 , 3  x2 , x  x2} c) {1  4 x  2x2 ,  2  3x  x 2 ,  3  12x  6x 2} d) {1  2 x  4 x2 , 3  4 x  10 x2 ,  2  5x  6 x 2} e) {1  2 x  x2 , 4  2 x  x2 ,  1  18x  9 x 2} 25. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son bases para a)

1,0, 1 ,  2,5,1 , 0, 4,3

b)

 2, 4,1 ,  0,3, 1 , 6,0, 1

c)

1, 2, 1 , 1,0, 2 ,  2,1,1

d)

 1,3,1 ,  2, 4, 3 ,  3,8, 2

e)

1, 3, 2 ,  3,1,3 ,  2, 10, 2

3

.

26. Determinar si el siguiente conjunto es una base para el espacio vectorial M 22 .

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 3 1   3 2   5 1   0 1    , , ,   0 0   0 0   0 6   0 7   27. Encontrar una base en  x 28. Escribir     y

2

3

para el conjunto de vectores en el plano 2 x  y  z  0

en términos de la base dada:

 1  1  2  3 a )   ,   b)   ,   1  1  3   2 

5  3  c)   ,    7   4 

 1   1 d)  ,    2   2 

29. En los siguientes ejemplos demostrar si el primer vector se puede expresar como combinación lineal de los otros dos: a)

 2, 0,3 , 1,3, 0  ,  2, 4, 1

b)

 3, 4,1 , 1, 2,1 ,  2, 1,1

c)

 5,1, 5 , 1, 2, 3 ,  2,3, 4

d) x3 - 3 x + 5,

x3 - x + 1,

e) 6 x3 - 3 x 2 + x + 2,

x3 + 3 x 2 - 1

x3 - x 2 + 2 x + 3,

2 x3 + x2 - 3 x + 1

30. Demostrar que el conjunto W = {f (t) = er t , g (t) = es t } donde r  s es linealmente independiente. 31. Demostrar que los conjuntos S   2, 3,5 , 1,0, 2  ,  0, 2, 1 y

W  1, 3, 2  ,  4,1,0  ,  0, 2, 1 son bases para

3

32. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son bases para P2 



a) {1 + 2 x - x 2 , 4 - 2 x + x 2 , -1 + 18 x - 9 x 2}

b) {-1 - x + 2 x 2 , 2 + x - 2 x 2 , 1 + 2 x + 4 x 2}   a b    0 a  33. Sea V  M 22 y consideremos los siguientes subespacios W1      y W2    a b    c d    encontrar la dimensión de W1  W2 y de W1  W2

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34. Empleando el proceso de ortonormalización de Gram Schmidt, encontrar una base ortonormal para el conjunto dado de vectores: 1  1  2           1  ,  0  ,  1   1  2   0  

35. Construir una base ortonormal para

2

1  1  , empezando con los vectores base   ,     1   1  

36. Comprobar si el siguiente conjunto dado de vectores es una base en P2

1  x, 1  x , 1  x  x  2

2

 1   0   1  1    2 37. Dado el vector V    , la base B    ,    y la base C    ,     3  0   1   1  1  Hallar lo siguiente: a) El vector de coordenadas V B y V C b) La matriz de cambio de base  P C B c) Con la matriz de cambio de base del inciso anterior, comprobar la siguiente expresión

V C   PCB V B 38. Verificar si la siguiente expresión es un producto interno (sugerencia: puede emplear el método de los 4 axiomas o representar el productor interno de forma matricial y mostrar que A es una matriz definida positiva):

u, v  4u1v1  u1v2  u2v1  4u2v2 39. Sean u = (u1, u 2 ) , v = (v1, v2 ) vectores en

2

, comprobar que

u, v =3u1v1 + 4u 2 v2 es un producto interno.

40. Dado el siguiente conjunto de vectores, hallar una base ortonormal mediante el algoritmo de ortonormalización de Gram Schmidt.

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1 0  3     1   1 ,  2   3  y  3   2   1  3  4       41. Dada la matriz A , determinar el núcleo, imagen, rango y nulidad, así como el espacio renglón y el espacio columna:

1   1 2   A   2  4  2  3 6 3   42. Determinar si la operación binaria  u, v  u1v1  2u2v1  2u1v2  8u2v2 es un producto interno.

Sean S  v1, v2 , v3 y T  w1, w2 , w3  bases para

3

, calcular la matriz de transición PS T de la base

S a la base T . 1  0  1       v1   0  , v2   1  , v3  1  2  3  1      

y

 2 1  0       w1   1  , w2   0  , w3   2  1  0 1      

43. Probar si el conjunto de polinomios es linealmente independiente.

{1 - 2 x, 3 x  x2 - x3 , 1  x2  2 x3 , 3  2 x  3 x3} en P3 . 44. Probar si las matrices de M 22 son linealmente independientes.

 1 1  1 1  1 0    ,  ,    0 1 1 0   3 2   45. Sea W el subespacio generado por los vectores v1  (1, 2, 5, 3) , v2  (2, 3, 1, 4) ,

v 3  (3, 8, 3, 5) . Hallar la dimensión de W . 46. En

2

1  2   2 supongamos que V    donde 1    ,    Escriba V en términos de la base  1 1 1  3  

 0   5  

 2    ,    . 3 1   



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47. Empleando el proceso de ortonormalización de Gram Schmidt, encontrar una base ortonormal para el conjunto dado de vectores: 1  1  2           1  ,  0  ,  1   1  2   0  

2   48. Escribir el vector V   1 en 3  

3

en términos de la base ortonormal

   1     

 1 2   1  1 , 1  0 2   2  

 1 , 1 6   1 6  6

  3   3    3 

    

Bibliografía 

Grossman, Stanley. Ibarra, Joel. Matemáticas IV Algebra lineal. 2015. McGraw Hill. ISBN 9781456246518.



Larson, Ron. Ibarra, Joel. Matemáticas IV Algebra lineal. 2017, CENGAGE LEARNING. ISBN 9786075265544.

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