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• Cristhiam Ticona

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FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA DEFINICIÓN – GRÁFICA – APLICACIONES

Situación problemática Suponga que el producto nacional bruto de un pequeño país (en millones de dólares) está modelado por : G(t) = 15 + 2logt

Donde t es el tiempo en años, para 1 ≤ 𝑡 ≤ 10 Encuentre el PNB para cuando pasen 10 años.

LOGRO DE LA SESIÓN SABERES PREVIOS: • ¿Qué es una función exponencial?

• ¿Qué es una función logarítmica? • ¿Qué relación existe entre la función exponencial y logarítmica? • ¿Qué entiendes por una función creciente y una función decreciente? • ¿Es siempre el argumento de la función logarítmica mayor que cero?

LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas de ingeniería y gestión empresarial, construyendo un modelo matemático, haciendo uso de las funciones exponencial y logarítmica demostrando dominio del tema.

Interés

¿Qué esperamos del comportamiento de los ciudadanos frente al COVID? ¿El crecimiento de contagios frente a la pandemia tiene un comportamiento exponencial?

Descubrimiento

1) Definición de Función Exponencial y Logarítmica

2) Dominio y rango 3) Gráfica. Características 4) Trabajo en equipo

5) Metacognición 6) Referencia bibliográfica.

Descubrimiento

Función exponencial La función exponencial con base 𝑎 se define para todos los números reales x que se relacionan por:

f ( x) = a

x

Donde: a > 0 ; a  1 Es una función en la que la variable x aparece como exponente de una potenciación. Ejemplos de funciones exponenciales: x

f ( x) = 2 Base 2

x

h( x ) = 3 Base 3

x

g ( x) = 10 Base 10

x

1 s ( x) =   2

Base (1/2)

GráficaDescubrimiento de la función exponencial y

CASO 01

f(x) = a ;

10

10

9

9

8

7

7

(-2; a -2 )

6 5

5

(2; a )

4 3

3

-6

-5

-4

-3

-2

1

-1

Función creciente. Dominio:  Rango: 0; ∞ Asíntota: Eje X

2 1

(0; 1) 1

-1

(-1; a -1 )

(1; a1 )

2

(-1; a -1 )

6

2

4

CASO 02

8 f(x) = ax; 0  a  1

a1

x

y

(0; 1)

x 2

3

4

5

-6

-5

-4

-3

Función decreciente. Dominio:  Rango: 0; ∞ Asíntota: Eje X

-2

-1

(1; a1 ) 1

x

(2;3a 2 )4

2

-1

OJO!!

5

Descubrimiento Gráfica de la función exponencial Ejemplo:

f ( x) = 2

x 9

Tabulamos:

La gráfica es continua, creciente y cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1).

f ( x) = 2

8 7

x

f (x)

–2

–1

¼ ½

0

1

3

1

2

2

2

4

1

3

8

trazamos la gráfica…

y

6 5 4

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

x

GráficaDescubrimiento de la función exponencial Ejemplo:

1 f ( x) =   2

x

y 9 8

Tabulamos:

7

x

f (x)

6

–3

8

5

–2

4

4

–1

2

3

0

1

2

1

½

1

2

¼

trazamos la gráfica…

La gráfica es continua, decreciente y cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1). También el eje x es asíntota horizontal.

x -4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

Descubrimiento FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial con base 𝒂 se define para todos los números reales 𝒙 por: 𝒚 = 𝒂𝒙 condición 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏 CASO II: 𝟎𝟏 𝒂=𝟐

𝒚 = 𝟐𝒙 11

−4 𝟎. 𝟎𝟔

y

10

−3 𝟎. 𝟏𝟐

9

−2 𝟎. 𝟐𝟓

8

−1 𝟎. 𝟓 7

0

𝟏

1

𝟐

2

𝟒

3

𝟖

4

4 𝟏𝟔

3

5

𝟑𝟐

2

6

𝟔𝟒

6 5

1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

Descubrimiento FUNCIÓN EXPONENCIAL 𝒙 CASO I: 𝒚 = 𝒂

𝒙

𝟐𝒙

con

𝒂>𝟏 𝒂=𝒆

𝒚 = 𝒆𝒙 11

𝒆𝒙

10

−4 𝟎. 𝟎𝟔 𝟎. 𝟎𝟏

9

−3 𝟎. 𝟏𝟐 𝟎. 𝟎𝟒

8

−2 𝟎. 𝟐𝟓 𝟎. 𝟏𝟑

7

−1 𝟎. 𝟓

𝟎. 𝟑𝟔

0

𝟏

1

𝟐

2

𝟒

𝟕. 𝟑𝟖

3

𝟖

𝟐𝟎. 𝟎𝟖

4

𝟏𝟔

𝟓𝟒. 𝟓

5

𝟑𝟐 𝟏𝟒𝟖. 𝟒

6

𝟔𝟒

y

6

𝟏

5

𝟐. 𝟕𝟏

𝟒𝟎𝟑. 𝟒

4 3 2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

Descubrimiento FUNCIÓN EXPONENCIAL 𝒙 CASO I: 𝒚 = 𝒂 𝒙

𝟐𝒙

𝒆𝒙

𝟑𝒙

con

𝒂>𝟏 𝒂=𝟑

𝒚 = 𝟑𝒙 11 10

−4 𝟎. 𝟎𝟔 𝟎. 𝟎𝟏 𝟎. 𝟎𝟏 −3 𝟎. 𝟏𝟐 𝟎. 𝟎𝟒 𝟎. 𝟎𝟑 −2 𝟎. 𝟐𝟓 𝟎. 𝟏𝟑 𝟎. 𝟏𝟏

−1 𝟎. 𝟓

9 8

𝟎. 𝟑𝟔 𝟎. 𝟑𝟑

0

𝟏

𝟏

𝟏

1

𝟐

𝟐. 𝟕𝟏

𝟑

2

𝟒

𝟕. 𝟑𝟖

𝟗

3

𝟖

𝟐𝟎. 𝟎𝟖

𝟐𝟕

4

𝟏𝟔

𝟓𝟒. 𝟓

𝟖𝟏

5

𝟑𝟐

𝟏𝟒𝟖. 𝟒 𝟐𝟒𝟑

6

𝟔𝟒

𝟒𝟎𝟑. 𝟒 𝟕𝟐𝟗

y

7 6 5 4 3 2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

Descubrimiento Función logarítmica Dado un número real 𝒂 positivo, distinto de 1 y un número x positivo, se llama logaritmo en base 𝒂 de x, al exponente al que hay que elevar dicha base para obtener el número x. f ( x ) = log ( x ); a  0; a  1 a

«logaritmo en base a de x ». Es decir:

y = log ( x ) a (notación logarítmica)



a

y

=x

(notación exponencial)

GráficaDescubrimiento de la función logarítmica CASO 01 y

CASO 02 y

f(x) = Loga x ; a  1

4

5

4

3

3

y = log a x

2

2

1

x 1

2

a3

4

5

6

7

-1

-4

8

y = log a x

1

9

a1

2

3

4

5

6

x 7

-1

-2 -3

f(x) = Loga x ; 0  a  1

base Función creciente Dominio: 0; ∞ Rango:  Asíntota: Eje Y

-2 -3 -4

base Función decreciente Dominio: 0; ∞ Rango:  Asíntota: Eje Y

GráficaDescubrimiento de la función logarítmica Ejemplo:

f(x) = log2 x

y 5

y = log2 x  2 y = x

4 3

Tabulamos:

x=

2y

2

f (x)

¼

–2

½

–1

1

0

-1

2

1

-2

4

2

-3

8

3

graficamos…

y = log 2 x

1

x 1

-1

2

3

4

5

6

7

8

9

La gráfica es creciente, cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0) Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y

10

Descubrimiento Funciones exponencial y logarítmica 7 6

y=x

y

f ( x) = 2 x

5 4

(2; 4)

3 2

(4; 2)

g ( x) = log 2 x

1

-2

-1

1 -1 -2

2

3

4

5

x 6

7

Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su elemento simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.

1.3 Características de la gráfica Descubrimiento

g ( x) = log a x

1. La gráfica siempre contiene el punto (1;0), porque log a1 = 0 2. Cuando a > 1, la gráfica crece de izquierda a derecha, del cuarto al primer cuadrante. 3. Cuando 0 < a < 1, la gráfica decrece de izquierda a derecha, del primer cuadrante al cuarto. 4. El eje y es la asíntota vertical 5. El dominio es (0, ∞) y el rango es (- ∞, ∞) Una función logarítmica especial es cuando la base es“e”. Si se intercambian los roles de x e y.

f ( x) = e x Se obtiene de g ( x ) = log e x . El símbolo especial para el logaritmo en “e”. De x es ln x. Es decir x = e  2.7182818 ln x = log e x y = ln e = 1

2.2Descubrimiento EJEMPLO

Grafique la función f ( x) = log1/ 2 x indicando su dominio y rango

x 1/4 1/2 1 2 4

y 2 1 0 -1 -2

2 1 1/2

.

.

0 1/2 1

Dom( x) = 0, +

-1

Ran( x ) = R

-2

y = log1/2x

. .

2

4

4. APLICACIONES Descubrimiento

Suponga que se invierte una cierta cantidad P a una tasa del 2,5%, capitalizada de forma continua según el modelo: A =𝑃𝑒 𝑟𝑡 donde r es la tasa de interés porcentual anual y t es tiempo de duración

del préstamo expresado en años. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la inversión se triplique?

Descubrimiento 4. APLICACIONES Solución: Se desea obtener el valor de t en la fórmula de interés con capitalización continua que hará que la cantidad A sea igual 3P (puesto que deseamos que la inversión inicial, P, se triplique) A = Pe rt 3P = Pe 0,025t 3 = e 0,025t ln 3 = ln e 0,025t ln 3 = 0, 025t ln 3 t= 0.025 t = 43, 9444916

Ahora tú… La cantidad de tiempo que tardaría una cantidad determinada en duplicarse en las condiciones especificas

Redondeando a un decimal. Por lo tanto, las condiciones indicadas, cualquier inversión P tardaría aproximadamente 43,9 años en triplicarse

Descubrimiento FUNCIÓN EXPONENCIAL El valor 𝑽 de un objeto a los 𝒕 años de su adquisición se calcula mediante la función 𝑽 𝒕 = 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝒆−𝟎.𝟔𝟐𝟖𝟔 𝒕 con 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟎 1. ¿Cuál es el valor inicial del objeto? 2. ¿Qué valor tendrá a los 5 años? Solución

1. El valor inicial del objeto, corresponde a 𝑽 𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟔𝟐𝟖𝟔(𝟎) = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏 = 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 por lo que el objeto vale inicialmente S/. 15 000 2. El valor que tendrá a los 5 años, corresponde a 𝑽 𝟓 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟔𝟐𝟖𝟔(𝟓) = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟏𝟓 = 𝟔𝟒𝟕. 𝟐𝟗𝟕𝟏

Entonces después de 5 años el objeto tendrá un valor aproximado de S/. 647.30 12/11/2020

Aprendizaje evidenciado TRABAJO EN EQUIPO En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3

Instrumento de evaluación METACOGNICIÓN

1 ¿Para qué me sirvió conocer las funciones exponenciales y logarítmicas?

2 ¿En qué casos cotidianos podría aplicar lo aprendido?

3 ¿Cuáles fueron las dificultades que hemos encontrado en el desarrollo de este tema?

Instrumento de evaluación conclusiones Identifique el valor de veracidad de los siguientes enunciados: La función exponencial siempre es creciente

F

La gráfica de una función logarítmica tiene argumento positivo

V

Una función neperiana tiene como base a “e”

V

La función exponencial y logarítmica son inversas entre si

V

La función exponencial es creciente cuando la base es mayor que 2

V

Una función es logarítmica es decreciente si la base esta entre 0 y 1

V

Referencias

CÓDIGO

AUTOR

TÍTULO

UBICACIÓ N

510 Haeussler, Ernest; Matemática para HAEU/M Richard Paul Administración y Economía

UPN LIMA

510 MILL / Matemática: Razonamiento y Miller, Charles D. M Aplicaciones 512.5 Grossman, Álgebra Lineal GROS Stanley

UPN LIMA UPN LIMA