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Matemática II Ingeniería Civil Mg. Mat. Edinson Idrogo Burga

1

REGLA DE LA CADENA Si 𝑤 = 𝑔(𝑥; 𝑦 ; 𝑧) es una función real de 3 variables (𝑚 = 3) y cada variable es función de otras, digamos 𝑢 y

𝑣, 𝑛 = 2 , entonces

REGLA DE LA CADENA Si 𝑤 = 𝑔(𝑥; 𝑦 ) es una función real de 2 variables (𝑚 = 2) y cada variable es función de otra, digamos 𝑡. (𝑛 = 1)

𝒙

entonces

𝑤

𝒕 𝒚

𝒅𝒘 𝝏𝒘 𝒅𝒙 𝝏𝒘 𝒅𝒚 = . + . 𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒚 𝒅𝒕

EJEMPLO 1

Calcule 𝜕𝑢 𝜕𝑠

+

𝜕𝑢 𝜕𝑡

si 𝑢 = cos(3𝑥 + 5𝑦 ); 𝑥 = 2𝑠 + 𝑡; 𝑦 = 𝑠 2 − 4𝑡 Solución

EJEMPLO 2 Sea f ( x, y, z )  x  x 2 y  ze y , en donde x, y, z están relacionados con u y v a través de la transformación x  uv, y  u 2  v 2 , z  u 2  v f f Calcule , en el punto (u , v)  (2,2) u v Solución

EJEMPLO 3 El radio de un cono circular recto está aumentando a razón de 1,8 pulgadas por segundo, mientras que su altura está disminuyendo a razón de 2 pulgadas por segundo. Calcule la rapidez está cambiando el volumen del cono cuando el radio es 120 pulgadas y la altura 140 pulgadas. Solución

EJEMPLO 4 Al calentar un cilindro circular recto sólido, su radio r y altura h aumentan; por lo tanto, también lo hace el área S de su superficie. Suponga que en el instante en que r = 10 centímetros y h = 100 centímetros, r esta creciendo a razón de 0.2 centímetros por hora y h aumenta a 0.5 centímetros por hora. ¿Qué tan rápido crece S en ese instante? Solución

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS Y TRES VARIABLES i) Sea z = f(x,y) una función de x, y tal que existen fx y fy. El gradiente de f, denotado por ∇f(x,y) es el vector:

f ( x, y)  f x ( x, y)i  f y ( x, y) j ii) Sea w = f(x,y,z) una función de x, y, z tal que existen wx, wy y wz. El gradiente de f, denotado por ∇w(x,y,z) es el vector:

w( x, y, z )  wx ( x, y, z )i  wy ( x, y, z ) j  wz ( x, y, z )k Observación: Geométricamente el gradiente es un vector normal a una curva o superficie en el espacio en la cual se estudia.

EJEMPLO 1

Ejemplo 2 Calcular el gradiente de la siguiente función en el punto indicado

f ( x, y, z )  3zLn( x  y), p  (1,0,1)

PROPIEDADES DEL GRADIENTE

EJEMPLO 2

Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 𝐴 5; 4 de una placa metálica cuya temperatura en (𝑥; 𝑦) es: 𝑇 𝑥; 𝑦 = 100 − 𝑥 2 − 3𝑦 2 Calcule la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura. Solución

DERIVADAS DIRECCIONALES Sea 𝑓: 𝐃 ⊂ ℝ2 → ℝ una función de dos variables con dominio 𝐃 ⊂ ℝ2 , y sea 𝑢 = (𝑢1 ; 𝑢2 ) un vector unitario en ℝ2 . La derivada direccional de 𝑓 en el punto (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 en la dirección del vector unitario 𝑢, es la función de dos variables denotada por 𝑓 𝑥; 𝑦 + ℎ𝑢 − 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 = lim ℎ→0 ℎ Siempre que este límite exista.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 Pendiente en el punto 𝑃 de la curva 𝐶 orientada en la dirección de 𝑢 generada por la intersección de la grafica de 𝑓 y el plano perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por el punto 𝑃′ y 𝑄′ y es paralelo a 𝑢 .

Imagen extraída de: https://goo.gl/images/hNTuyg

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE I) Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es:

Du f ( x, y)  f ( x, y).u II) Si f es una función diferenciable de x, y, z, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es:

Du f ( x, y, z )  f ( x, y, z ).u

Ejemplo 01 Calcular la derivada direccional de la función f(x,y) = x² - xy - y² en el punto P(1,2) y en la dirección que forma con el eje x un ángulo de 60º

EJEMPLO 2

Calcule la derivada direccional de la función 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) en el punto 𝑃0 (2; 2; −4) en la dirección que va de 𝑃1 (2; 2; −4) a 𝑄1 (3; 1; −5) Solución

EJEMPLO 3

La temperatura en el punto (x, y, z) esta dado por:

T ( x, y, z )  200e

 x 2 3 y 2 9 z 2

Donde T se mide en grados Celsius y x, y, z se miden en metros.

a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura, en el punto P = (2, -1, 2) en la dirección hacia el punto (3, -3, 3). b) ¿En que dirección aumenta mas rápidamente la temperatura en P? y ¿Cuál es la máxima razón de aumento de T en P?