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• Hermilio Faa

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CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES OPERACIONES CON SEGMENTOS GEOMETRÍA I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍA El objeto de la geometría es el estudio de las figuras geométricas desde el punto de vista de su forma, extensión y relaciones que guardan entre sí.

4. Segmento de recta: comprendida entre dos extremos.

Conjuntos Convexos Definición: Un conjunto “P” del plano recibe el nombre de conjunto convexo, si y solo si, para cada par de puntos A y B de P, se cumple que AB  P . Un conjunto que no es convexo se llama CÓNCAVO.

Geometría plana.- Estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos se encuentran en un mismo plano. Llamada también Planimetría. Geometría del espacio.- Estudia las figuras sólidas o del espacio, esto es, aquellas cuyos puntos no se encuentran en un mismo plano. Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc.

a)

3. Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta cuando se desplaza paralelamente a su posición original. IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS 1. Línea: Está formada por una sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud. 2. Semi-recta: Parte de la recta que carece de punto de origen. 3. Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen. Matemática de 4to

A

B

B

e)

De los conjuntos precedentes (a) son conjuntos convexos.



2. Línea Recta: Sucesión continúa de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada.

c) A

B

d) ___ ___



III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA Los elementos geométricos fundamentales son: 1. Punto: Límite mínimo de la extensión, que se considera sin longitud, latitud ni profundidad. La idea de punto geométrica nos lo da la punta de un alfiler o la marca que deja la punta de un lápiz. Expresa tan solo una idea y no un objeto real.

b) A

II.FIGURA GEOMETRICA Se llaman figuras geométricas a los conjuntos de puntos, tales como las líneas, superficies y cuerpos. El punto representa el conjunto unitario. En toda figura, menos en el punto, distinguiremos su tamaño, su forma y su posición.

Clasificación de las figuras planas:  Congruentes. Cuando tienen igual forma y tamaño.  Semejantes. Cuando tienen igual forma pero diferente tamaño.  Equivalente. Cuando tienen la misma área o el mismo volumen pero diferente forma o tamaño.

Porción de recta puntos que son los



SEGMENTO DE RECTA Definición: Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se denominan extremos. Segmentos consecutivos: Dos o más segmentos se llaman consecutivos, cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común. Los segmentos consecutivos pueden pertenecer a una misma recta o a una poligonal. Congruencia de segmentos: Se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. Punto Medio o Punto Bisector de un segmento: Se dice que el punto “M” de AB es un punto medio. Si: AM=MB a A

a B

M AM =MB = a

Observaciones: a) Todo segmento tiene exactamente un punto medio. b) Si los puntos extremos de un segmento PQ , tienen por coordenadas

 x1, y1 

y

 x 2, y 2  ,

entonces su punto medio tiene por coordenada (m;n). Donde: m 

x x 1

2

2 ; n

y y 1

2

2

Ejemplo: Si: P=(2;4) y Q=(6,8) Hallar la coordenada de su punto medio.

Solución: m 

Reemplazando (1) en (2):

2 6 4 8  4; n 6 2 2

BC  13  6

Luego: M= (4,6)

BC  7

c) Si los puntos extremos de coordenadas

AB

tienen por

x 1 y x 2 , es decir: A  x 1

y

B  x 2 , entonces, su punto medio tiene por coordenada:

m

x x 1

3. En una recta se encuentran los puntos A, B, C y D consecutivos tal que AC = 18 y BD = 20. Hallar CD  AB a) 1

2

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Solución:

2

x Distancia entre A y B:

AB  x

2

A

 x

1

B

CD  BD  BC CD  20  x .......(2)

AB  BC  CD  AD

Restando: (2) menos (1) CD  AB  20  x  (18  x)

B) Resta de Segmentos:

CD  AB  20  x  18  x

B

A

CD  AB  2

D

C

4. Los puntos colineales y consecutivos son tales que: AB + BC = 15; BC  CD  17; AB  CD  20 ; hallar

AB  AD  BD

AB – BC + CD

PROBLEMAS RESUELTOS

a) 12

1. En una recta se encuentran los puntos consecutivos A, B, C donde BC mide 10 y AC , 40. Hallar la medida del segmento AB . a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

Solución: Sea la recta:

A

B

C

40

b) 7

c) 8

d) 9

d) 15

A

C 13

B 12

e) 16

Solución:

A

c

b

a

C

B

D

(*) a + b = 15 ........(1) (*) b + c = 17 .......(2) (*) a + c = 20 ........(3) Sumando: (1) + (2) + (3): 2(a+b+c) = 52

AB  30

e) 5

c  11 Luego: b  6 y Por tanto: a – b + c = 9 – 6 + 11 = 14

5. P, Q y R son 3 puntos consecutivos de una recta PQ =

2QR + 1 y PR = 31. Hallar QR. a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

Solución:

Solución:

18 CD  AD  AC CD  18  12 CD  6.......... ..(1)

BC  BD  CD......(2) Matemática de 4to

c) 14

17

AB  40  10

2. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; son tales que: AD = 18, BD =13 y AC = 12. Hallar BC a) 6

b) 13

(a+b+c) = 26 a = 9

10 AB  AC  BC

D

AB  AC  BC AB  18  x .......(1)

D

C

C 20

OPERACIONES CON SEGMENTOS A) Suma de Segmentos:

A

B 18

D

a Q P Del enunciado tenemos: a = 2b + 1.......(1) a + b = 31 .......(2) Reemplazando (1) en (2): 3b + 1 = 31  b =10 Luego: QR  b  10

b R

e) 13

a

6. Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D, si AB = 3BC = 4CD y AD=19m. Calcular la longitud de BC . a) 4 Solución:

b) 5

c) 6

a

b

d) 7

e) 8

a  b  b  c  c  d  32 a  2b  2c  d  32 ...... (1)

3 5

 a  b  c  d

Reemplazando (2) en (1):

a  (3a  3d )  d  32 a  d  8........(3)

Reemplazando (3) en (2):

2b  2c  3(a  d )

2( b  c)  3(8) b  c  12........( 4) Sumando (3) y (4): a b c  d  20

k = 12 Por tanto:



12

AE  20

3

 BC  4

7. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E. Si AC + BD + CE = 44, AE = 25 y DE = 2AB. Calcular la longitud de AB . a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

9. A, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tal que D sea punto medio de CE y AC +AE = 50. Hallar AD. a) 25

b) 12.5

a b

c

d

A Del enunciado: AC  AE  50

A B C D E Del Dato: (*) a + b + b + c + c + d = 44 a + 2b +2c + d = 44 ....... (1) AE  a  b  c  d  25..... (2)

7AB =8BC y a) 25

Solución: Matemática de 4to

c) 30

D

E

AC = 45, hallar BC.

b) 19

c) 23

d) 21

Solución: a B A Del enunciado, tenemos: 7a  8b  k........( 1)

. Calcular la longitud de AE .

b) 20

C

b

10. A, B y C son puntos colineales y consecutivos, tales que

8. Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C, D y E; si AC + BD + CE = 32 y además:

a) 10

b

AD  a  b  25

 AB  a  2

5

e) N.a.

a  a  2b  50 2(a  b)  50 a  b  25

Reemplazando (2) en (1): (a+b+c+d) +b+c=44 25 + b+c=44 b+c=19 ......(4) Reemplazando (4) en (2): a+d+19=25 a+d=6 ...... (5) Reemplazando (3) en (5) a+2a=6 a=2 Luego:

3AE

d) 20

Reemplazando:

DE  2AB  d  2a..... (3)

BD 

c) 50

Solución:

Solución: a

E

2b  2c  3a  3d......( 2)

k k k    19 3 4

k

d D

5b  5c  3a  3b  3c  3d

c = k4 Reemplazando en (2)

3

C

Del Dato: AC  BD  CE  32

b c 

D

b = k3

BC  b 

c

b B

Además:

c

A B C Del enunciado: (*) a = 3b = 4c = k ...... (1) (*) a + b +c = 19 ..........(2) De (1) a=k

A

d) 40

a  b  45.............(2) De (1):

a e) 50

k 7



b

k 8

Reemplazando “a” y “b” en (2):

b C

e) N.a.

a) 1

k k   45 7 8

c) 3

d) 4

e) 5

7. CD = AB + BC ; AD = 10 mts BC / CD = 2/5. Hallar “x”

k = 168 Luego:

BC  b 

b) 2

x

k 168  8 8

C

B

A

D

 BC  21

a) 3

b) 6

c) 8

d) 10

e) 7

8. AC = 3 mts ; AB . AC = 2( AB2  BC 2 )

PRÁCTICA DE CLASE

Calcular “x” x

1. AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ

A

x A a P

a) 5

C b Q b D

a B

b) 10

c) 15

d) 20

a) 2 e) 25

a) 7

c) 20

d) 15

e) 5

10.

4.

M

b) 4

C

D

D

C

c) 12

d) 7

e) 8

PR + QS = 20 mts QR = 6 mts. Calcular : “x”

c) 6

d) 9

1 / AP  2 / AB  1 / AQ ; AP

e) 2

= 2 mts

x P

A

B

b) 10

e) 1,5

BQ = 3 mts. Calcular : “x”

x

a) 4

d) 3

C N

3. AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD = 17 cm. Hallar “x ”

A

B

A

B

M

b) 30

c) 8

x x

a) 50

C

9. AM = MD ; AB + CD = 10 mts BM - MC = 2 mts. calcular “x”

2. AB = 60 cm ; BC = 40 cm AM = MC . Calcular “x”

A

b) 5

B

a) 1

b) 2

11. AB 

AC  CD 2

B

c) 3

Q

d) 4

e) 5

; BD2  2BD  1

Calcular : “x” x

x

a) 14

R

Q

P

b) 11

A

S

c) 13

d) 10

e) 9

a) 2

C

B

b) 7

c) 4

D

d) 8

Matemática de 4to

O

d) 2

e) 0,8

e) 6

b) 32

c) 18

d) 16

e) 24

b) 6

c) 8

d) 9

e) 7

14. Sean los puntos colineales y consecutivos: A, B, C y D. Calcular “AD” si: AC = 7 ; BD = 9 y BC = 4.

x M

c) 7

13. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D cumpliendo la relación: AD – BD – 2CD = 1. Hallar AD, si AB = 3 y AC = 5. a) 5

6. AM = 4 mts , OR = 6 mts 1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar “x”

A

b) 1

D

MB; si AB – BC = 32. a) 8

x A

C

12. Los puntos consecutivos A, M, B y C pertenecen a la misma recta. M es el punto medio de AC . Hallar

5. 7 PC = 2 PD + 5 PB 2AD + 5AB = 14 mts. Calcular “x”

P

a) 9

B

R

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

15. Se tiene los puntos A, B, C consecutivos, tal que AB=4 Calcular “CD”.

a) 2

b) 2 2

c) 4

y D, colineales y y AB.BD = AC.CD.

d) 6

e) 8

16. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que : AC+AB=18 ; si “M” es punto medio de BC . Calcular “AM”. a) 12 b) 9 c) 8 d) 7,5 e) 6 17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de CD . Calcular “MN” si AC = 6 y BD = 8. a) 7

b) 9

c) 12

d) 10

b) 3

c) 3,5

d) 4

e) 5

19. Sobre una recta se dan tres puntos consecutivos M, A y B, tal que AB = 2 y MB . MA = 24. Calcular la distancia de “M” al punto medio de AB . a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

e) 10

20. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60. Hallar “AC”. a) 45

b) 30

c) 15

d) 10

e) 20

1. Se tiene los puntos colineales A, B, C y Calcular “BC”. Si: 2AB + 8 = 3BC + 4CD a) 8

b) 12

c) 9

D. AC=2BD.

d) 10

e) 11

2. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E, tal que AC+BE = 20 . Hallar BC, si AE=BC+12. a) 6

b) 3

c) 4

d) 5

e) 8

3. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, C. Luego se toma el punto medio “M” de BC .

B,

b) 14

c) 28

d) 9

e) N.A.

b) 6

c) 7

d) 8

e) N.a.

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

7. Tres segmentos tienen sus longitudes proporcionales a los números 5, 8 y 12. Si el mayor tiene 56 unidades más que el menor, entonces la longitud del segmento que no es mayor ni menor es: a) 20 8. Se

tienen

b) 32

c) 64

d) 72

e) 86

los

segmentos consecutivos colineales . El primero es el cuádruple del segundo y el tercero es el doble de AC . Si AD = 30. Hallar la distancia entre los puntos medios de AB y CD . AB , BC y CD

a) 8

b) 12

c) 15

d) 16

e) 18

9. En una recta se toman los puntos colineales O, A, B. Si OA  OB  13m.

Calcular la distancia de “O” al punto medio de AB. b) 6

c) 5,5

d) 6,5

e) 7,5

10. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D. Si AB = 2CD; BC igual a 5CD y BC = 3m. Calcular AB . a) 1,2

b) 6

c) 2,8

d) 1,4

e) 1,6

11. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y D de modo que AC = CD. Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m b) 2

c) 3

d) 5

e) 4

12. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB 

BC 2



CD 3

. Si AD =

24m. Calcular AB. d) 3,5

e) N.A.

4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, cumpliéndose que AC + BD = 10 y BC=3. Hallar AD. Matemática de 4to

c) 8

6. Sobre una línea recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AB, BC y CD están en progresión aritmética. Si AD = 27 y CD = AB + 6. Hallar AB

a) 1

Hallar AM, si: AB+AC=14. a) 7

a) 5

a) 5

PROBLEMAS PROPUESTOS

b) 7

5. En una recta se encuentra los puntos consecutivos A, B, C, D y cumplen la siguiente relación: 4AB - BD - 2CD = 4 ; AB = 3 ; AC = 5 Hallar AD:

a) 2

e) 5

18. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D de manera que AC = 8, BD = 7 y AD = 4BC. Calcular “BC”. a) 2,5

a) 6

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

13. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y C. Hallar AM2 – BM2. Sabiendo que AB x AC = 16 y que M es punto medio de BC.

a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

14. Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D. Calcular AD, si: BC = 6

AB

3



CD

AB

;

2

BC



a) 13cm

AD CD

a) 36 b) 38 c) 42 d) 56 e) 64 15. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, hallar AD, Sí:

AB 2 a) 4

BC



CD



3

b) 16

4

d) 36

e) 45

4

a) 18m

+ MA . MB = 81 b) 12

c) 6

d) 3

e) 9

2. Se tiene los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S” de manera que: PR + QS = 20m, si QR = 6m, halle PS a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 20

3. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo B punto medio de AC. Calcular AB, si:

BD



4 a) 3

AC

y AD  22m

3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 12

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E hallar BE, si:

AB 2 a) 6



BC 3



b) 9

CD 5



c) 24

DE 7

, AE  51 d) 36

e) 45

5. Sobre una recta se dan los puntos: A, B, C, D de modo que AC = 12m, BD = 15m, BC = CD/2, calcular el valor de AB. a) 5m d) 8m

b) 6m e) 9m

c) 7m

6. Sobre una recta XX1 se dan los puntos O, A, C, B de tal manera que OA = 6cm, OB = 15cm y AC CB/2, se pide determinar la longitud OC. a) 8 Matemática de 4to

b) 9

c) 10

d) 7

a) 20m

b) 21

Hallar

d) 16

e) 17

c) 24

d) 25

e) 18

e) 5

LN MQ



1 5

.

NQ LM

a) 12

1. Se tienen los puntos consecutivos: “M” , “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de AB. Calcular OM, sabiendo

AB2

c) 15

8. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de tal manera que se cumpla: AB = BC/2 = CD/3 = DE/4. Calcular AE si AC = 6m

siendo: 2LM = MN y

TAREA DOMICILIARIA

que

b) 14

9. Sean los puntos colineales y consecutivos L, M, N, P, Q,

y AC = 4 + CD

c) 27

7. Sobre una recta se dan los puntos A,B, C, D, E y F consecutivamente de modo que BE = 5/8. AF y AC + BD + CE + DF = 26m. Hallar el valor de AF

b) 1/12

d) 1/13

c) 13

e) N.a.

10. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R entre los puntos Q y R se toma un punto H, tal que:

PH 

HR y QR  4PQ  28. 4

Hallar QH. a) 7

b) 5,6

c) 4,8

d) 4,5

e) N.a.

Matemática de 4to