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UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVÍL

Valencia, 27 de Abril del 2016 Autores: Prof. Ing. Jorge Malavé Prof. Ing. Slawko Bondarenko

DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS CÁTEDRA DE ESTRUCTURAS

ESTUDIO DE ELEMENTOS CON SECCIÓN VARIABLE O NO PRISMÁTICA

El uso de elementos estructurales no prismático es muy usual en las configuraciones estructurales reales, esto se debe a que estos elementos permiten la optimización de los materiales según las solicitaciones que deben soportar, además que en muchos casos las vigas de secciones variables pueden adaptarse mejor a las configuraciones arquitectónicas. Para realizar un análisis estructural en sistemas hiperestáticos conformados por elementos de este tipo primero es necesario conocer las propiedades de los mismos, entre las cuales están la flexibilidad y rigidez

El proceso para obtener estas propiedades es el descrito a continuación:

Un elemento totalmente deformable sin importar su sección transversal posee en el plano 6 posibles movimientos independientes en sus nodos.

ESTUDIO DE ELEMENTOS NO PRISMÁTICOS

JORGE MALAVÉ & SLAWKO BONDARENKO

Si se restringen los posibles movimientos como cuerpo rígido se obtiene un elemento estáticamente determinado.

Este elemento posee ahora solo 3 posibles movimientos independientes, si se aplica el Principio de Trabajo Virtual para cuerpos elásticos, es posible obtener los desplazamientos en dirección de cada grado de libertad producto de una fuerza unitaria, a esto se le conoce como Flexibilidad.

Sistema complementario 1 (Diagrama de Momento)

M 1 ( x ) = −1 +

Sistema complementario 2 (Diagrama de Momento)

x L

M 2 ( x) =

Sistema complementario 3 (Diagrama de Sol. Axial)

P ( x) = 1

x L

Calculando los Coeficientes de Flexibilidad ( fij ). (Despreciando los esfuerzos producidos por el corte y torsión) 2

x  L  −1 +  L f11 = ∫  dx EI ( x) 0

2

 x L   L f 22 = ∫   dx EI ( x) 0

x  x    −1 +    L  L  f12 = f 21 = ∫  dx EI ( x) 0 L

L

f33 = ∫ 0

dx A( x) E

Siendo:

E =Modulo Elástico del material del cual está hecho el elemento Como la sección transversal no es constante el Área y la Inercia del elemento no es un término constante sino que depende de la variable X por lo tanto:

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I ( x ) = Ecuación de variación de la Inercia del elemento a lo largo de su eje.

= Ecuación de variación del Área del elemento a lo largo de su eje.

L = Longitud total del elemento o segmento del elemento donde I ( x ) e describen a la sección transversal.

Para un elemento de sección transversal variable: Cambio de Variable:

I ( x) I0 A( x) A( x) = β A0 ∴ β = A0

I ( x) = α I 0 ∴α =

I0 = Menor Inercia del elemento.

A0 = Menor área del elemento.

X x = ρ L∴ ρ = L dx = d ρ L

Sustituyendo el cambio de variable en las ecuaciones de los coeficientes de flexibilidad. 1

f11 = ∫ 0

(1 − ρ )

2

L

EI 0α

1

f 22 = ∫

dρ

0

ρ 2L dρ EI 0α

1

f12 = f 21 = − ∫

(1 − ρ ) ρ L d ρ

0

1

f33 = ∫

EI 0α

0

d ρL A0 β E

Sacando las constantes de las integrales. L f11 = EI 0

(1 − ρ ) d ρ ∫ 2

1

0

α

L ρ2 dρ EI 0 ∫0 α 1

f 22 =

f12 = f 21 = −

L EI 0

1

∫

(1 − ρ ) ρ d ρ α

0

L dρ A0 E ∫0 β 1

f33 =

Donde se conocen como Funciones de Forma ( φi ) a las siguientes expresiones:

(1 − ρ ) d ρ φ2 = ∫ 2

1

0

α

ρ2 φ1 = ∫ d ρ α 0 1

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1 1− ρ ) ρ ( dρ φ3 = ∫ d ρ φ4 = ∫ 1

0

α

0

β

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Pudiéndose escribir la matriz de Flexibilidad del Elemento en función de las Funciones de Forma.  L φ2  EI 0   L [ f ] = − φ3  EI 0   0 

−

L φ3 EI 0

L φ1 EI 0 0

   φ  2  L  0 =  −φ3  EI 0   0  L  φ4  A0 E  0

−φ3

φ1 0

 0   0   I0  φ4 A0 

Al invertir la Matriz de Flexibilidad anterior se obtiene la Matriz de Rigidez del elemento escrita en función de las constantes elásticas.  c i EI 0  −1 [ f ] = [k ] =  c L  0 

c cj 0

 0   0   A0  ca I 0 

Los coeficientes Ci , C j , C y Ca , se conocen como constantes elásticas del elemento, y son parámetros adimensionales, que dependen principalmente de la rigidez del elemento, los cuales determinan como es el comportamiento de la distribución de solicitaciones, esfuerzos y deformaciones a lo largo del mismo. De igual forma pueden determinarse las constantes elásticas conociendo los valores de las funciones de forma utilizando las siguientes expresiones que provienen del mismo proceso de invertir la matriz de flexibilidad pero de manera simbólica.

ci =

φ1

φ1φ2 − φ3

2

cj =

φ2

φ1φ2 − φ3

2

c=

φ3

φ1φ2 − φ3

2

ca =

1

φ4

Cálculo de momentos de empotramiento perfecto:

Para determinar los momentos de empotramiento perfecto se debe aplicar como herramienta de análisis el Método de las Deformaciones Coherentes (Método de

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las Fuerzas), que hace uso de un sistema de ecuaciones de compatibilidad de deformaciones. El cual es el siguiente: Del elemento doblemente empotrado se liberan las fuerzas redundantes y se genera un sistema llamado Primario:

Estructura Real

Estructura Primaria

Si observamos la estructura primaria, esta coincide exactamente con la analizada anteriormente, por lo tanto el proceso para determinar la matriz de flexibilidad en dirección de estas coordenadas es el mismo.  L φ2  EI 0   L [ f ] = − φ3  EI 0   0 

−

L φ3 EI 0

L φ1 EI 0 0

   φ  2  L  0 =  −φ3  EI 0   0  L  φ4  A0 E  0

−φ3

φ1 0

 0   0   I0  φ4 A0 

Luego al escribir las ecuaciones de compatibilidad solamente considerando los desplazamientos rotacionales, ya que el desplazamiento axial no influye en los demás. Esta queda de la siguiente forma:

[ q]

R

= [ q ] + [ f ][Q] 0

Siendo:

[ q]

R

= Vector de Giros Reales en los extremos

[q]

0

= Vector de Giros en los extremos debido al Problema Primario (Efecto de cargas sobre el sistema estáticamente determinado)

[ f ] = Matriz de Flexibilidad sin considerar la componente axial [Q ] = Vector de Cargas Incógnitas (Reacciones redundantes)

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Desarrollando la expresión de obtiene:  qiR   qi0   f11  R =  0 +   q j   q j   f 21

f12   Q1  f 22  Q2 

 qiR   qi0  L  φ2  R =  0+   q j   q j  EI 0  −φ3

−φ3   Q1  φ1  Q2 

Donde los valores de rotaciones en los extremos debido al problema primario ( θi y 0

θ 0j ) se obtienen de las sumatorias de trabajo virtual, que resultan en las siguientes expresiones: L q =− EI 0 0 i

1

∫ 0

(1 − ρ ) M 0 ( ρ )d ρ α

L q = EI 0 0 j

1

∫ 0

( ρ ) M 0 ( ρ )d ρ α

Y M 0 ( ρ ) es la Ecuación de Momento del problema primario, producto de la carga existente en el sistema real, con el cambio de variable. También se conoce que las rotaciones reales son iguales a cero, debido a que el empotramiento es perfecto y dicho vínculo restringe la rotación. ( qiR = 0 y q Rj = 0 ) Del sistema de ecuaciones, despejamos los valores de las incógnitas Q1 y Q2 quedando de la siguiente manera. Q1 = ci qi0 + cq 0j Q2 = cqi0 + c j q 0j

Para mejor comprensión se puede llamar a las incógnitas Q1 y Q2 como M i j y M ij , así al reescribir la ecuación, resulta. M i j = ci qi0 + cq 0j M ij = cqi0 + c j q 0j

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