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• Johansh Oviedo Tapia

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02/10/2017

TORSIONES EN BARRAS PRISMATICAS UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO ESCUELA DE POSTGRADO

La teoría de la elasticidad requiere que se cumplan las siguientes ecuaciones:

Las componentes de esfuerzo deben satisfacer las condiciones de equilibrio y las condiciones de borde

La solución de estas ecuaciones es tediosa y conlleva a ecuaciones de segundas derivadas parciales

Veamos que sucede en una barra de sección circular.

β=θz

La sección circular tiene simetría radial. Una sección deformada debe ser la misma si se le mira desde cualquiera de los dos extremos del cilindro

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En base a la suposición, el problema se debe resolver en el plano

Teoría de desplazamientos pequeños

Reemplazando los valores de ecuaciones de deformaciones:

(u,v,w) en las

≈0 No existen deformaciones axiales (normales)

Realizando las operaciones correspondientes se tiene que:

No existen deformaciones normales No hay distorsión en la sección transversal

Reemplazando en la Ley de Hooke: σ =Eε:

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Una vez satisfechas las condiciones de equilibrio deben verificarse las condiciones de borde: En las paredes laterales:

Xs=Ys=Zs=0:

Una vez satisfechas las condiciones de equilibrio deben verificarse las condiciones de borde: En las paredes extremas (caras): ΣFz = ΣMx = ΣMy = 0

Para facilitar el proceso se usa el Principio de Saint Venant (método semi-inverso)

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Las soluciones antes halladas son válidas solo si los esfuerzos σxz y σyz se distribuyen en las caras extremas: Saint Venant resuelve el problema de torsión asumiendo valores de las componentes de desplazamiento (u,v,w)

Los esfuerzos cortantes no dependen de la distancia “z” y son iguales en todas las secciones transversales.

Para secciones sólidas: Para secciones tubulares:

En el caso de secciones no circulares:

Principio de Saint Venant: si el elemento es suficientemente largo, la distribución de esfuerzos den la mayor parte del mismo dependerá del momento torsor T, y no de la distribución de esfuerzos en los extremos.

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El punto P se desplaza en tres direcciones (u,v,w) El desplazamiento w (paralelo al eje z) se produce por alabeo. Los desplazamientos u, v (paralelos a los ejes x, y respectivamente) se producen por una rotación (β) de la sección transversal.

Principio de Saint Venant: β=θz No existen deformaciones axiales (normales)

Conocidas las deformaciones, se desea saber los esfuerzos.

Aplicando la ley de Hooke y el principio de equilibrio:

Bx, By, Bz: fuerzas de cuerpo o de masa

Ecuaciones de equilibrio para un cuerpo deformable

Conocidas las deformaciones, se desea saber los esfuerzos.

Aplicando la ley de Hooke y el principio de equilibrio:

σxz y σyz son independientes de “z”

Ecuación de volumen

Función de esfuerzos Ф(x,y), que debe ser resuelta

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Verificando las condiciones de borde: Como no existen fuerzas en las caras laterales, el esfuerzo cortante debe tener una dirección perpendicular a la normal al borde.

Verificando en la sección transversal y equilibrio: σxz y σyz deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio de la sección transversal

Verificando en la sección transversal y equilibrio:

Las dos primeras ecuaciones se pueden comprobar, asumiendo que Ф(B)=Ф(A)

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Finalmente, para Mz, analicemos el siguiente término:

Al considerar la franja horizontal

Ф(B)=Ф(A)

En resumen, la solución elástica del problema requiere de métodos especiales para hallar las funciones Ф y ψ

Para el caso de una elipse:

Los resultados finales en una elipse son:

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En resumen, la solución elástica del problema requiere de métodos especiales para hallar las funciones Ф y ψ Para el caso de una sección triangular:

Los resultados finales en una sección triangular son:

En resumen, la solución elástica del problema requiere de métodos especiales para hallar las funciones Ф y ψ Para el caso de una sección rectangular:

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En resumen, la solución elástica del problema requiere de métodos especiales para hallar las funciones Ф y ψ Para el caso de una sección rectangular:

Los resultados finales en una sección triangular son: Para el caso de una sección rectangular:

El esfuerzo torsor máximo constantes valores: K y K1

depende

de

dos

Para el caso de una sección rectangular:

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El esfuerzo torsor máximo constantes valores: K y K1

depende

de

dos

Para el caso de una sección rectangular:

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