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• julioc86

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SECCIÓN 7.5 2. Se toma una muestra de tamaño 4 de una población de media 𝝁 y varianza 𝝈𝟐 . Se propone los siguieras estimados de la media: ̂𝟏 = 𝜽

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝟑𝑿𝟒 𝟓

̂𝟐 = 𝜽

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 𝟒

̂𝟑 = 𝜽 ̂𝟒 = 𝜽

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + 𝑿𝟒 𝟒

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + 𝑿𝟒 − 𝟑 𝟑

Indique su orden de preferencia (del mejor al peor) y explique los motivos de su clasificación. Calculando las esperanzas y varianzas tenemos: ̂1 ) = 𝐸(𝜃

𝐸(𝑋1 + 𝑋2 + 3𝑋4 ) 𝐸(𝑋1 ) + 𝐸(𝑋2 ) + 3𝐸(𝑋4 ) 𝜇 + 𝜇 + 3𝜇 = = =𝜇 5 5 5 𝑋1 + 𝑋2 + 2𝑋3 𝜇 + 𝜇 + 2𝜇 ̂ 𝐸(𝜃 )= =𝜇 2) = 𝐸 ( 4 4 𝜇+𝜇+𝜇+𝜇 ̂ 𝐸(𝜃 =𝜇 3) = 4 ̂4 ) = 4𝜇 − 3 𝐸(𝜃 3

̂1 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝜃

1 11𝜎 2 (𝑉𝑎𝑟(𝑋1 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋2 ) + 9𝑉𝑎𝑟(𝑋3 )) = 25 25 3 2 ̂ 𝑉𝑎𝑟(𝜃 2) = 𝜎 8 2

𝜎 ̂ 𝑉𝑎𝑟(𝜃 3) = 4

̂4 ) = 4𝜇 𝑉𝑎𝑟(𝜃 9 Por los valores de las varianzas, ordenando, tenemos: 𝜃̂3 ,𝜃̂2 ,𝜃̂1 , 𝜃̂4 4. Si se dispone de una muestra 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , 𝑿𝟑 de observaciones que siguen una ley exponencial 𝟏

𝜺 (𝜽). Considere los siguientes estimadores: ̂𝟏 = 𝑿𝟏 , 𝜽

̂𝟐 = 𝜽 𝐸(𝑋𝑖 ) =

̂1 ) = 𝜃 𝐸(𝜃 ̂1 ) = 𝜃 2 𝑉𝑎𝑟(𝜃

𝑿𝟏 + 𝑿𝟑 , 𝟐

̂𝟑 = 𝜽

𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 , 𝟐

̂𝟒 = 𝑿 ̅ 𝜽

1 1 = 𝜃 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖 ) = = 𝜃2 (1/𝜃)2 1/𝜃

̂ 𝐸(𝜃 2) = 𝜃

3𝜃 2 5𝜃 2 ̂ ) 𝑉𝑎𝑟(𝜃 = 3 4 ̂ 𝐸(𝜃 3) =

2

𝜃 ̂ 𝑉𝑎𝑟(𝜃 2) = 2 a) ¿Cuáles estimadores son insesgados para 𝜃?

̂4 ) = 𝜃 𝐸(𝜃 2

̂4 ) = 𝜃 𝑉𝑎𝑟(𝜃 3

Son estimadores insesgados para 𝜃 los estimadores 𝜃1 , 𝜃2 y 𝜃4 b) Entre los estimadores insesgados de 𝜃, ¿Cuál estimador escogería usted y por qué? 2

̂4 ) = 𝜃 es la menor varianza. ̂4 ,pues 𝑉𝑎𝑟(𝜃 Escogería 𝜃 3 6. A partir de una población que tiene media 𝝁 y varianza 𝝈𝟐 se tomaron tres muestras de tamaño 𝒏𝟏 = 𝟕, 𝒏𝟐 = 𝟏𝟒 y 𝒏𝟑 = 𝟗. Sean 𝑺𝟐𝟏 , 𝑺𝟐𝟐 y 𝑺𝟐𝟑 las varianzas muestrales calculadas a partir de las muestras. Compruebe que: 𝑺𝟐 =

𝟕 𝑺𝟐𝟏 + 𝟏𝟒𝑺𝟐𝟐 + 𝟗𝑺𝟐𝟑 𝟑𝟎

Es un estimador insesgado de 𝝈𝟐 . 𝐸(𝑆 2 ) =

1 1 𝐸(7 𝑆12 + 14𝑆22 + 9𝑆32 ) = (7𝐸(𝑆12 ) + 14𝐸(𝑆22 ) + 9𝐸(𝑆32 )) = 𝜎 2 30 30

Entonces 𝑺𝟐 es estimador insesgado de 𝜎 2 . 8. Si 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 son dos variables aleatorias independientes tales que 𝑬(𝑿𝟏 ) = 𝑬(𝑿𝟐 ) = 𝝁 y 𝑽𝒂𝒓(𝑿𝟏 ) = 𝑽𝒂𝒓(𝑿𝟐 ) = 𝝈𝟐 , determine si el estimador 𝒁=

(𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 )𝟐 𝟐

Es insesgado para 𝝈𝟐 . 𝑍=

(𝑋1 − 𝑋2 )2 𝑋12 − 2𝑋12 𝑋22 + 𝑋22 = 2 2

1 1 𝐸(𝑍) = 𝐸(𝑋12 − 2𝑋12 𝑋22 + 𝑋22 ) = (𝐸(𝑋12 ) − 2𝐸(𝑋12 𝑋22 ) + 𝐸(𝑋22 )) 2 2 Dado que 𝐸(𝑋𝑖2 ) = 𝜇2 + 𝜎 2 y como son independientes, 𝐸(𝑋12 𝑋22 ) = 𝜇𝜇 = 𝜇2 entonces 1 𝐸(𝑍) = (2𝜇2 + 2𝜎 2 − 2𝜇2 ) = 𝜎 2 2 Es decir 𝑍 =

(𝑋1 −𝑋2 )2 2

es estimador insesgado de 𝜎 2 .

̅ 𝟐 son dos medias muestrales calculadas a partir de dos muestras de 10. Suponga que ̅̅̅̅ 𝑿𝟏 y 𝑿 tamaño 𝒏𝟏 y 𝒏𝟐 , respectivamente, obtenidas de una población normal de media 𝝁 y varianza 𝝈𝟐 . a) Se define un estimador de 𝜇: ̅̅̅ 𝑋3 = 𝛼𝑋̅1 + (1 − 𝛼)𝑋̅2 , (0 ≤ 𝛼 ≤ 1). Pruebe que es insesgado. ̅̅̅3 ) = 𝛼𝐸(𝑋̅1 ) + 𝐸((1 − 𝛼)𝑋̅2 ) = 𝛼𝜇 + 𝐸(𝑋̅2 ) − 𝛼𝐸(𝑋̅2 ) = 𝛼𝜇 + 𝜇 − 𝛼𝜇 = 𝜇 𝐸(𝑋 b) Halle el valor de 𝛼 que minimiza Ia varianza. 𝑉𝑎𝑟(𝑋3 ) = 𝛼 2 𝑉𝑎𝑟(𝑋̅1 ) + 𝑉𝑎𝑟((1 − 𝛼)𝑋̅2 ) =

𝛼2𝜎2 𝜎2 + (1 − 𝛼)2 𝑛1 𝑛2

=

𝛼 2𝜎 2 𝜎2 𝛼2𝜎2 𝜎2 𝛼𝜎 2 𝛼 2 𝜎 2 + (1 − 2𝛼 + 𝛼 2 ) = + −2 + 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 𝑛2 𝑛2

Para encontrar el mínimo derivamos respecto de alfa e igualamos a cero 2

𝛼𝜎 2 𝜎2 𝛼𝜎 2 −2 +2 =0 𝑛1 𝑛2 𝑛2 𝛼(

𝛼(

𝜎2 𝜎2 𝜎2 + )= 𝑛1 𝑛2 𝑛2

𝜎 2 (𝑛2 + 𝑛1 ) 𝜎2 )= 𝑛1 𝑛2 𝑛2 𝛼=

𝑛1 (𝑛2 + 𝑛1 )

12. Sea 𝑿𝟏 , … , 𝑿𝒏 una muestra aleatoria de una población con la siguiente distribución discreta: 𝑷𝒓(𝑿 = 𝟏) =

𝟐(𝟏 − 𝜽) 𝜽 , 𝑷𝒓(𝑿 = 𝟐) = , 𝟐−𝜽 𝟐−𝜽

𝜽 ∈ (𝟎, 𝟏)

a) Halle el estimador de 𝜃 por el método de los momentos; 𝑛

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑃𝑘 𝑋𝑘 = 𝑘=1

2(1 − 𝜃) 𝜃 2 − 2𝜃 + 2𝜃 2 1+ 2= = =𝜇 2−𝜃 2−𝜃 2−𝜃 2−𝜃 𝜇̂ 1 =

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 = 𝑥̅ 𝑛

Igualando 𝜇 ̂1 = 𝜇, tenemos que 2 = 𝑥̅ 2−𝜃 De donde 𝜃 =2−

2 𝑥̅

b) Halle el estimador de 𝜃 por máxima verosimilitud; 𝐿(𝜃) = 𝑙(𝜃) = log c) Demuestre que los dos estimadores encontrados coinciden.

14. Sean 𝑿𝟏 , … , 𝑿𝒏 una muestra aleatoria de 𝒆−𝒙+𝜽 , 𝒇(𝒙) = { 𝟎,

(𝜽 ∈ ℝ) 𝒙 > 𝜽, 𝐜𝐚𝐬𝐨 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐫𝐢𝐨

a) Calcule 𝐸(𝑋) y obtenga un estimador de 𝜃 mediante el método de los momentos.

∞

∞

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥(𝑒 −𝑥+𝜃 )𝑑𝑥 = (𝑥 + 1)(−𝑒 𝜃−𝑥 )|𝜃 = 𝜃 + 1 = 𝜇 𝜃

𝜇̂ 1 =

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 = 𝑥̅ 𝑛

Igualando 𝜇 ̂1 = 𝜇, tenemos que 𝜃 + 1 = 𝑥̅ De donde 𝜃 = 𝑥̅ − 1 𝜃̂1 = 𝑥̅ − 1

b) Determine si el estimador es insesgado ̂1 ) = 𝐸(𝑥̅ − 1) = 𝐸(𝑥̅ ) − 𝐸(1) = 𝜇 − 1 𝐸(𝜃 Pero 𝜃 + 1 = 𝜇, de donde 𝐸(𝜃̂1 ) = 𝜃 c) Obtenga el estimador de 𝜃 por el método de la máxima verosimilitud 𝑓(𝑥, 𝜃) = 𝑒 −𝑥+𝜃 𝑛 𝑛

𝑛

𝐿(𝑥, 𝜃) = (𝑓(𝑥, 𝜃)) = ∏ 𝑒

−𝑥𝑖 +𝜃

= exp (∑ −𝑥𝑖 + 𝜃 )

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑙(𝜃) = log (exp (∑ −𝑥𝑖 + 𝜃 )) = ∑ −𝑥𝑖 + 𝜃 𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

∑ −𝑥𝑖 + ∑ 𝜃 = 0 𝑖=1

𝑖=1

𝜃=

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑥̅ 𝑛

𝜃̂2 =

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑥̅ 𝑛

d) ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? 𝑉𝑎𝑟(𝜃̂1 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥̅ ) − 𝑉𝑎𝑟(1)

𝑉𝑎𝑟(𝜃̂2 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑥̅ )

𝑉𝑎𝑟(𝜃̂1 ) = 𝜃 2 + 1

𝑉𝑎𝑟(𝜃̂2 ) = 𝜃 2

e) Calcule el 𝐸𝐶𝑀 de 𝜃̂2

2 𝐸𝐶𝑀(𝜃̂2 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝜃̂2 ) + 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜(𝜃̂2 ) 2

= 𝜃 2 + (𝐸(𝜃̂2 ) − 𝜃)

= 𝜃 2 + (𝜃 + 1 − 𝜃)2 = 𝜃2 + 1 16. A lo largo de un año, la hembra del tigrillo puede tener una o dos crías, o no tener ninguna. Según un estudio realizado por un grupo de zoólogos, la proporción de hembras sin 𝒑

crías es 𝟑, la de las con una cría es

𝟐𝒑 , 𝟑

mientras la proporción de la hembras con dos crías es

𝟏 − 𝒑, donde el parámetro 𝒑 toma un valor entre 0 y 1. a) Halle el número medio de crías por hembra a lo largo de un año

b) AI realizar un estudio de 200 hembras durante un año, el equipo de científicos mencionado encontró 55 hembras que no han tenido crías, 106 que han tenido una cría y 39 que han tenido dos. Estime el parámetro 𝑝 por el método de los momentos.