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TAREA 2 – RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

PRESENTADO A: YENIFER GALINDO GAITÁN TUTORA

ENTREGADO POR: MAYERLI VARGAS SABOYA CÓDIGO: 52917.412 SONIA DURAN CORONADO CÓDIGO: 1.022.348.034 LUZ ANGÉLICA RODRÍGUEZ CODIGO: 1.096.484.180 YURY KATHERINE FALLA MENDEZ CÓDIGO: 1.012.417.619

GRUPO:100412_75

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS ECUACIONES DIFERENCIALES 23 DE MARZO DE 2020

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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN................................................................................................................2 OBJETIVOS.......................................................................................................................3 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL..........................4 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA......................................................5 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS.........................................................................19 CONCLUSIONES.............................................................................................................19 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................20

2

INTRODUCCIÓN

Esta actividad esta solucionada en dos pasos una parte individual y la otra grupal, en donde cada integrante del grupo colaborativo selecciona algunos problemas y los resuelve, los socializa en el foro para su respectiva retroalimentación, luego en la parte grupal todas las integrantes damos solución a los problemas planteados llegando a la solución más acertada. El desarrollo de esta actividad se hace para entender los temas de: Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones lineales de segundo orden. Ecuaciones de orden n. Aplicaciones de las ecuaciones de orden superior. Se realizan los ejercicios paso a paso, apoyados del material de estudio sugerido por la tutora, y con otros recursos propios para el óptimo desarrollo los temas aprendidos.

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OBJETIVOS

Luego de estudiar las temáticas de esta unidad, nos propusimos a desarrollar los ejercicios propuestos para apropiar los conocimientos adquiridos. Realizar un trabajo colaborativo para que con apoyo y ayuda de todas las compañeras se resuelvan las dudas presentadas. Aplicar los conceptos básicos del tema ecuaciones diferenciales de orden superior. Usar las técnicas para la solución de ecuaciones diferenciales, e interpretar cada solución, analizando a que grupo pertenecen y la dificultad que presenta.

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ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Sonia Duran Coronado

Alertas

Yury Katherine Falla

Lider

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla los ejercicios A en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios B en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios C en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios E en todos los tres tipos propuestos.

Mayerli Vargas Saboya  Luz Angelica Rodríguez

Entregas Evaluador

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Ejercicio 1. Ecuaciones diferenciales Homogéneas. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo).

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ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Sonia Duran Coronado

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

a.  20 y ´ ´´ −80 y ´´ −100 y ´ =0

Ecuación inicial

20 a3 . e a. t −80 a2 .e a .t −100 a . e at =0

Ahora reemplazamos

20 a3 −80 a2−100 a=0

Dividimos por la exponencial

a (20 a2−80 a 2−100)=0

Hallamos las raíces

a 1=0 20 a2 −80 a2−100=0

Procedemos a resolver la ecuación

a 2−4 a2−5=0 a 1.2=

4 ± √ 4 2−4.1(−5) 4 ± √ 16+20 4−6 = = 2.1 2 2

a 2=5 a 3=−1

s1 ( x ) =e 0.x =1

Encontramos los tres valores de la constante a.

s2 ( x ) =e 5.x s3 ( x ) =e(−1) x =e−x

6

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: YURY KATHERINE FALLA MENDEZ

b.

( 6+ √ 21 ) t ( 6−√ 21 ) t 15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 = c e 3 +c e 3 6 6 1 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6

Esta es una ecuación de segundo orden y tiene la siguiente forma: ay ´ ´ +by ´ +cy =0

5 γt ( ( e ) ) ´ ´−10 ( ( e γt ) ) ´ + 25 eγt =0 2 6

De la y=e γt

 

e

γt

(

ay ´ ´ +by ´ +cy =0reemplazo

Simplifico la ecuación 5 γt ( ( e ) ) ´ ´−10 ( ( e γt ) ) ´ + 25 eγt =0 2 6

5γ2 25 −10 γ + =0 2 6

y 1=

ecuación

)

Resolver la ecuación anterior

6+ √ 21 6−√ 21 y 2= 3 3

e γt

(

5γ2 25 −10 γ + =0y encontrar los resultado de 2 6

)

y Para las dos raíces la solución toma la forma de:

y=c1 e y t+c 2 e y t 1

2

(6 + √21 )t

y=c1 e

3

Solución del ejercicio

(6− √ 21 ) t

+ c2e

3

7

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Mayerli Vargas Saboya c .  2 y ´´ +6 y ´ −176 y=0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2 b2 +6 b+176=0

Para obtener la función que satisface esta ecuación diferencial, se debe hallar las raíces de la ecuación, dividimos en dos cada número. Con lo que se obtiene

b 2+3 b+ 88=0 b= b=

Ahora se utiliza la ecuación cuadrática para obtener los valores de b1 y b2

−b ± √b 2−4 ac 2a

Reemplazamos los valores con relación a la ecuación que se obtuvo b 2+3 b+ 88 b=0

−3± √ 32−4∗88 2 b=

−3± √ 361 = 2

b= b 1=

−3± 19 2

−3+ 19 2

Ahora se utilizara la cuadrática con el signo positivo para obtener un valor de b1 de:

b 1=8 b 2=

Ahora se utilizara la cuadrática con el negativo positivo para obtener un valor de b 2 de:

−3−19 2

b 2=−11

Por último la solución tendrá la siguiente forma: y=c1 e b t +c 2 eb t como ya se tiene b1 y b2 se tiene finalmente

y=c1 e 8 t +c 2 e−11t

1

8

2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: e PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas.

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Sonia Duran Coronado

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

a. y ´ ´ + 9 y=sec x

Tenemos la ecuación 9

y ´ ´ + 9 y=0

Resolvemos la ecuación homogénea relacionada, esta es una ecuación homogénea con coeficientes constantes

e λ∗t

Suponemos solución de la siguiente manera

λ 2+ 9=0

Ahora encontramos las raíces del polinomio

λ 2=3 λ=3

y ( t ) =A e ∧ (−3∗t ) + B∗e ∧(3∗t ) ¿

La solución al problema homogéneo es

el problema yp=−cos ( 3 x )∗integral ( sen ( 3 x ) )∗sec ⁡(x)/3 ¿ dx +senAhora (3 x)∗integral (cosno ( 3 xhomogéneo )∗sec ⁡(x)/3) dx

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: YURY KATHERINE FALLA MENDEZ

b.

3 ´´ 9 ´ 2 e−2 x sin e x x −x −2 x y + y +3 y =sin e = c 1 e +c 2 e − 2 2 3 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

3 ´´ 9   y + y ´ + 3 y=sin e x 2 2

Es una EDO lineal no homogénea de segundo orden y tiene la siguiente forma ay ´ ´ +by ´ +cy =g(x)

a ( x ) y ´ ´ +b ( x ) y ´ + c ( x ) y=g ( x )

La solución general para a ( x ) y ´ ´ +b ( x ) y ´ + c ( x ) y=g ( x )se puede escribir como: y= y h+ y p

y= y h+ y p

y hes la solución para la EDO homogénea a ( x ) y ´ ´ +b ( x ) y ´ + c ( x ) y=g ( x ) y p es la solución particular, es cualquier función 10

que satisface la ecuación no homogénea y h=c1 e− x +c 2 e−2 x

y p=

3 ´´ 9 Hallar y h resolviendo y + y ´ + 3 y=0 2 2

−2 e−2 x sin e x 3 −x

−2 x

y=c1 e + c2 e

−

3 ´´ 9 Hallar y p que satisfaga y + y ´ + 3 y=sin e x 2 2 La solución general de y= y h+ y p es :

2 e−2 x sin e x 3

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Mayerli Vargas Saboya

c.

5 ´´ 5 ´ 5 2 y + y − y =14 x −4 x−11 3 2 3

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

5 ´´ 5 ´ 5 y + y − y=0 3 2 3

La escribimos de la siguiente forma

2 y ´´ +3 y ´ −2 y=0

Se multiplica cada termino por 6/5, con lo que se obtiene

2 r 2+ 3 r−2=0

Ahora se obtiene una ecuación asociada que 11

→ ( 2r −1 )( r +2 )=0

podemos factorizar

1 r 1= , r 2=−2 2

Se obtendrán dos resultados es decir r1 y r2

x

Si se aplica y h=c1 e r x +c 2 er 1

y h=c1 e 2 +c 2 e−2 x y ´=2 a 2 x+ a1

2

x

Sea y=a2 x 2 +a1 x+ a0 se obtiene

y ´ ´=2 a2 5 5 5 2 a2 ) + ( 2 a 2 x +a1 ) − ( a 2 x 2+ a1 x +a 0 )=14 x 2−4 x−11 Por lo tanto se tiene ( 3 2 3 Operando −5 a2 2 5a 10 a2 5 a 1 5 a0 x + 5 a 2− 1 x + + − =14 x 2−4 x−11 3 3 3 2 3

(

a 2=

) (

)

−42 −114 −222 , a1 = , a0= 5 5 5

Se obtiene lo siguiente:

−42 2 114 222 x− x− 5 5 5

Obtenemos

y p=

x

y=c1 e 2 +c 2 e−2 x −

Aplicando y= y h+ y p finalmente se obtiene la solución de la ecuación diferencial no homogénea.

42 2 114 222 x− x− 5 5 5

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

12

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ejercicios 3. Ecuaciones de Cauchy - Euler. Solucionar a la siguiente ecuación de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Sonia Duran Coronado

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2 3 ´´´ 8 2 ´´ 4 x y + x y − y=0 7 7 7

Ecuación inicial

y=x m

Ahora derivamos

y ´=mxm−1 y ´ ´=m( m−1) x m−2 y ´ ´ ´=m(m−1)(m−2) x m−3

2 8 4 Sustituimos m ( m−1 ) ( m−2 ) x m−3 x3 + m( m−1) x m−2 x 2− x m=0 7 7 7

13

2 3 ( m −3 m2 +2 m ) x m + 8 ( m2 −m ) x m− 4 x m =0 7 7 7

Reducimos

2 m 3 x [ ( m −3 m 2+ 2m ) + 4 ( m 2−m ) −2 ]=0 7

Hallamos el factor común

2 m 3 2 x ( m + m −2 m−2 )=0 7

Reducimos de nuevo

2 m x ¿ 7

Factorizamos

m= √ 2

Ahora hallamos las raices

m=− √ 2 m=−1 m= √ 2 da y 1 ( x )=c1 x√

Ahora establecemos el criterio de raices

2

m=− √ 2 da y 2 ( x )=c 2 x

− √2

m=−1 da y 3 ( x ) =

c3 x

Y encontramos la solución general

y ( x ) = y 1 ( x ) + y 2 ( x ) + y 3 (x) y ( x ) =c 1 x √ 2+ c 2 x−√ 2 +

c3 x

Reemplazamos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: YURY KATHERINE FALLA MENDEZ

b.

1 3 ´´´ 3 2 ´´ x y − x y + 3 x y ´ −3 y=0 = c 1 x +c 2 x2 + c3 x 3 2 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 1 3 ´´´ 3 2 ´´ ´   x y − x y + 3 x y −3 y=0 2 2

RAZÓN O EXPLICACIÓN Esta ecuación de Euler tiene la siguiente forma a n x n y (n) +…+ a1 xy ´ + a0 y =0

14

1 3 r 3 x ( ( x ) ) ´ ´ ´− x 2 ( ( x r ) ) ´ ´ + 3 x ( ( x r ) ) ´ −3 x r=0 2 2

xr

(

Reemplazo y en la ecuación y=x r

Simplifico la ecuación 1 3 r 3 x ( ( x ) ) ´ ´ ´− x 2 ( ( x r ) ) ´ ´ + 3 x ( ( x r ) ) ´ −3 x r=0 2 2

r 3 xr −6 r 2 x r +11r x r −6 x r =0 2 xr

)

r 1=1 r 2=2 r 3 =3

Resolver la ecuación xr

y=c1 x r +c 2 x r +…+ c n x r 1

2

(

r 3 xr −6 r 2 x r +11 r x r −6 x r =0 y encontrar r 2 xr

)

Para las raíces reales la forma que toma la ecuación es:

n

y=c1 x+ c 2 x 2+ c 3 x 3

Solución del ejercicio

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Mayeri Vargas Saboya

C.

3 2 ´ ´ 15 ´ x y + x y +6 y=0 2 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

y=x m → y ´ =m x m−1 → y ´ ´=m ( m−1 ) x m−2

Sabemos que si derivamos una y dos veces se obtiene:

3 2 15 x [ m ( m−1 ) x m −2 ]+ x [ m x m−1 ] + 6 x m=0 2 2

Reemplazamos en la ecuación original los valores de y en la ecuación de cauchy a m 2 + ( b−a ) m+ c=0

m ( m−1 ) x m +5 m x m + 4 x m=0

Operando podemos factorizar el X m se tiene el factor común

[m ( m−1 ) +5 m+4 ] x m=0

2

m

Operamos los factores que están dentro del

[m + 4 m+4 ] x =0 15

paréntesis. m

Si lo factorizamos nos resulta

[m+2] x =0 m=−2

Por último con el caso de raíces iguales y=x m [c 1 +c 2 Lnx ]

y=x −2 [c 1 +c 2 Lnx ]

se obtiene:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ejercicio 4. Situación problema. A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del 16

problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Problema: La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 m es para t=0, θ=0,2 rad y la velocidad angular inicial

d2θ +10 θ=0: Si d t2

dθ rad =1 , determine θ en función de t para dt s

el movimiento se tiene: 1 sin √ 10t √ 10 1 sin √ 10 t b. θ ( t )=0,2 cos √ 10t + √ 10 1 sin √ 10 t c. θ ( t )=0,5 cos √ 10 t − √ 10 1 sin √ 10 t d. θ ( t )=0,2 cos √ 10t− √ 10 a. θ ( t )=0,5 cos √ 10 t +

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

r 2 +10=0 con soluciones r =± √ 10 i

d2θ +10 θ=0 debemos buscar una ecuación d t2 característica

θ ( t )=c 1 sen ( √ 10 t ) +c 2 cos ( √ 10 t )

Se obtienen raíces imaginarias, por lo tanto se tendrá la siguiente forma:

Velocidad angular

Se debe derivar para obtener la velocidad y velocidad angular

θ ´ ( t )=

dθ =√ 10 c1 cos ( √ 10 t ) −√ 10 c2 sen ( √10 t ) dt

Aceleración Angular θ ´ ´ (t)=

d2 θ =−10 c 1 sen ( √ 10 t ) −10 c 2 cos ( √ 10 t ) dt2 Con las condiciones iniciales se puede escribir:

θ0 =θ ( 0 )=c1 sen ( √10 ( 0 ) ) + c 2 cos ( √ 10(0) ) c 2=θ 0

θ ´ 0 =θ´ ( 0 )=√ 10 c 1 cos ( √10 ( 0 ) ) −√ 10 c 2 sen ( √ 10 (0) ) Si tenemos la velocidad angular inicial θ ´ 0 para t=0 17

θ ´ 0 =√10 c 1 c 1=(

1 )θ ´ 0 √ 10 Sustituimos ambas constantes de la función de desplazamiento y se tiene que:

1 θ ´ 0 sen ( √ 10 t ) +θ 0 cos ( √ 10 t ) √ 10

( )

θ ´ ( t )=

θ ( t )=( 0,31 ) sen ( √ 10 t ) + 0,2cos ( √ 10 t )

Los parámetros iniciales son:

por lo tanto la respuesta correcta es la b.

θ0 =0,2 rad θ ´ 0 =1rad /s 1

c 1=

( ( ))

∗1rad

1 √ 10 s

s

=0,31 rad

c 2=0,2 rad Con los anteriores datos finalmente se obtendrá:

Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada.

A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.

Situación problema:

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EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Enunciado: La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son m 1 y m 2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son k 1 y k 2. El movimiento horizontal del suelo es y .

La ecuación diferencial debe estar

Para el caso en que las masas son idénticas ( m1=m2=m) y las rigideces son idénticas ( k 1=k 2 =k ) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea.

expresada en una sola variable, no en dos puesto que el sistema solo tiene variación mecánica en una dimensión, por lo tanto las componentes en y se hacen cero

Se tiene la siguiente situación:

m x¨1 +2 k x 1−k x 2=ky → m x¨1 +2 k x 1−k x 2=0 Finalmente la derivada de 0 será 0 Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: m x¨1 +2 k x 1−k x 2=ky m x¨2−k x1 +k x 2=0 Dividiendo

la

ecuación

entre

x¨1−2 α x 1+ α x 2=α y

(1)

asumiendo α =

k el resultado es: m

m

y

19

x¨2+ α x 1−α x 2=0

(2)

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de x 1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener: d 4 x1 d2 x1 d2 x2 d2 y +2 α −α =−α dt 4 dt 2 dt 2 dt 2 Ahora sustituyendo x¨2 de la ecuación (2) y x 2 de la ecuación (1) se obtiene: d 4 x1 d2 x1 2 d2 y 2 +3 α + α x =α y+ α 1 dt 4 dt 2 dt 2 Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: β 4 +3 α β 2 +α 2=0. Como no hay ningún término en β 3 ni β, esta ecuación es cuadrática en β 2 y se puede usar la fórmula cuadrática: β 2=

−3 α ± √ 9 α 2−4 α 2 −3 ± √ 5 = α 2 2

(

)

Entonces, las raíces características son: β=± 0,618 i

β=± 1,618 i

√ √

k m k m

Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma: x 1 ( t )=C 1 sin 0,618

√

m m m m t +C 2 cos 0,618 t+C 3 sin1,618 t+C 4 cos 1,618 t k k k k

√

√

La solución contiene oscilaciones con k frecuencias en radianes de 0,618 y m k −1,618 m

√

√

20

√

TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS

Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

Link video explicativo

Mayerli Vargas Ejercicio 1 (c) Saboya

21

CONCLUSIONES

Mediante el presente trabajo aplicamos los conocimientos presentados en la presente unidad para el desarrollo de los problemas planteados en los cuales identificamos ecuaciones de primer orden. Las ecuaciones diferenciales nos ayudan a determinar diferentes formas de tratar la realidad donde utilizamos problemas que contienen situaciones del mundo real. La aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior, permite analizar aspectos de la vida cotidiana mediante análisis matemático, lo cual es muy útil para el planteamiento de alternativas de solución.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 59-79). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10584022 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 72-76). Recuperado de  http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=11017467 López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?

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