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• Alfredo Alejandro Valenzuela

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5.- Integración múltiple

5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. 5.2 Integrales iteradas. 5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. 5.4 Integral doble en coordenadas polares. 5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. 5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. 5.7 Campos vectoriales. 5.8 La Integral de línea. 5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones.

Actividad.1.- Calcular el volumen de sólidos en el espacio mediante la aplicación de integrales dobles o triples. 6.31. Demuestre el teorema de Stokes. Solución Sea S una superficie tal que sus proyecciones sobre los planos xy, yz y xz, sean regiones limitadas por curvas sim-ples y cerradas, como se ilustra en la figura 6-14. Suponga que S tiene la representación z = f (x, y) o x = g(y, z) o y = h(x, z), donde f, g y h son funciones valuadas en un solo valor, continuas y diferenciables, respectivamente. Debemos demostrar que.

Donde C es la frontera de S.

Primero considere

Se sustituye en (1) para obtener

o bien

Ahora sobre S, A1

5.26. Sea F = 2xzi - xj + y2k. Evalúe VF dV donde V es la región limitada por las superficies x = 0, y = 0. Solución: La región V queda cubierta a) manteniendo fijas a x y y e integrando de z = x 2 a z = 4 (de la base a la parte superior de la columna PQ, b) después se mantiene fija a x y se integra de y = 0 a y = 6 (R a S se encuentra en la banda), c) finalmente se integra de x = 0 a x = 2 (donde z = x2 interseca a z = 4). Así, la integral requerida es

6.16. Demuestre el teorema de divergencia encontrar la superficie.

Actividad.2.- Calcular integrales múltiples mediante el uso de coordenadas rectangulares. 7.14. Evalúe V (x2 þ y2 þ z2) dx dy dz donde V es una esfera con centro en el origen y radio igual a a. Solución: La integral requerida es igual a ocho veces la integral evaluada sobre la parte de la esfera contenida en el primer octante (vea la figura 7-10a)).

Entonces, en coordenadas rectangulares, la integral es igual a:

5.9. Suponga que un campo de fuerzas está dado por

Calcule el trabajo realizado cuando se mueve una partícula alrededor de un círculo C en el plano xy con centro en el origen y radio igual a 3. Solución: En el plano z = 0, F = (2x - y)i + (x + y)j + (3x - 2y)k y dr = dxi + dyj, por lo que el trabajo realizado es

Actividad.3.- Calcular integrales múltiples mediante el uso de coordenadas cilíndricas y esféricas.

7.9. Dibuje un elemento de volumen en coordenadas a) cilíndricas y b) esféricas, y diga las magnitudes de sus aristas. Solución: a) Las aristas del elemento de volumen en coordenadas cilíndricas (vea la figura 7-9a)), tienen magnitudes r df, dr y dz. Esto también podría verse por el hecho de que las aristas están dadas por:

Las aristas del elemento de volumen en coordenadas esféricas (vea la figura 7-9b)) tienen magnitudes dr, r du y r sen u df. Esto también se evidencia con el hecho de que las aristas están dadas por

7.14. Evalúe V (x2 þ y2 þ z2) dx dy dz donde V es una solido con centro en el origen y radio igual a a.

Solución: La integral requerida es igual a ocho veces la integral evaluada sobre la parte de la esfera contenida en el primer octante (vea la figura 7-10a)). Entonces, en coordenadas rectangulares, la integral es igual a:

Actividad.4.- Calcular integrales múltiples mediante el uso de TIC´S. 5.6. Suponga que A = (3x2 + 6y)i -14yzj + 20xz2k. Evalúe A dr de (0, 0, 0) a (1, 1, 1), a lo largo de las trayectorias C siguientes:

5.12. a) Demuestre que F = (2xy + z3)i + x2j + 3xz2k es un campo de fuerzas conservativo. b) Encuentre el potencial escalar. c) Calcule el trabajo realizado cuando un objeto se mueve de (1,-2, 1) a (3, 1, 4).

Act.5.- Investigar situaciones reales donde se aplica la integración múltiple.

INVESTIGAR O PROPIAS PALABRAS

Actividad.6.- Leer la bibliografía recomendada para sus diferentes subtemas participar en las discusiones grupales para establecer conclusiones.

y

La siguiente es una lista de nueve sistemas especiales de coordenadas ortogonales además de las rectangulares ha-bituales (x, y, z). Coordenadas cilíndricas (r, f, z).

Coordenadas esféricas (r, u, f).

Coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z).

UNA BREVE CONCLUSION DEL TEMA DE UNOS 4 RENGLONES Actividad.7.- Utilizar TIC´S para graficar diferentes curvas en el plano y delimitar la región de la superficie que se requieren calcular. Tanto en coordenadas rectangulares como en coordenadas polares. 7.14. Evalúe V (x2 þ y2 þ z2) dx dy dz donde V es una esfera con centro en el origen y radio igual a a. Solución: La integral requerida es igual a ocho veces la integral evaluada sobre la parte de la esfera contenida en el primer octante (vea la figura 7-10a)). Entonces, en coordenadas rectangulares, la integral es igual a:

Se eligen las ecuaciones paramétricas de la circunferencia como x = 3 cos t y y = 3 sen t, donde t varía de 0 a 2π (como se observa en la figura 5-4). Entonces, la integral de línea es:

Actividad.8.- Resolver ejercicios que permitan al estudiante el dominio procedimental asociado a los contenidos de este tema 6.21. Demuestre que:

Solución: Sea A = f=c en el teorema de divergencia. Entonces,

Entonces:

O bien:

Lo que demuestra la primera identidad de Green. Al intercambiar en la ecuación (1) f y c,

Al restar la ecuación (2) de la (1) queda:

Que es la segunda identidad de Green o teorema simétrico. En la demostración supusimos que f y c eran funciones escalares de posición con derivadas continuas de al menos segundo orden. Actividad.9.- Utilizar TIC´S para la representación de regiones de integración tanto en el plano como en el espacio.

5.13. Demuestre que si P2 F dr es independiente de la trayectoria que une dos puntos P1 y P2 en una región dada, entonces F dr ¼ =0 para todas las trayectorias cerradas en la región, y a la inversa.

Solución:

EJEMPLO 5.22. Suponga que F = yi + (x - 2xz)j - xyk. Evalúe ÐÐ S ( r F) n dS, donde S es la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 sobre el plano xy (vea la figura 5-9).