• Author / Uploaded
• vvvvh

Citation preview

MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA SESIÓN 1: VECTORES EN EL ESPACIO, ECUACIONES DE LA RECTA Y PLANO EN R3

Situación problemática Un ingeniero civil desea saber la ecuación vectorial de un panel solar triangular ubicado estratégicamente en una esquina de la azotea de una edificación y si el panel no sobrepasa los 30° de elevación con respecto al piso, tal como se muestra en la figura. Halle las dos incógnitas.

3m

3m

4m

¿Qué es lo que debería hacer el ingeniero para hallar dichas incógnitas?

Los vectores en nuestra vida cotidiana ¿Cómo crees que se distribuyen las fuerzas de tensión en un puente?

¡ La FUERZA es un VECTOR !

Los vectores , rectas y planos en nuestra vida cotidiana De las siguientes imágenes ¿En donde están presentes los vectores rectas y planos? Puente del Ejercito

Saberes previos Responde las siguientes preguntas: ¿Qué entiendes por vector?

¿Qué tipos de vectores conoces? ¿Qué es la norma de un vector? ¿Cuál es la diferencia básica entre: producto escalar y vectorial, entre vectores? ¿Qué ecuaciones de la recta y plano en R3 conoces?

LOGRO

Al finalizar la sesión, el estudiante identifica vectores en R3, multiplica escalar y vectorialmente, determina su norma y ángulos entre vectores, así como las ecuaciones de recta y plano en R3 utilizando las reglas del algebra lineal, de forma correcta y ordenada en base al análisis y síntesis que todo estudiante de ingeniería debe de poseer.

Temario VECTORES EN EL ESPACIO R3 • • • • •

Producto escalar. Norma de un vector. Paralelismo y ortogonalidad de vectores. Ángulo entre vectores. Producto vectorial: aplicaciones. Triple producto escalar: aplicaciones.

ECUACIONES DE LA RECTA Y PLANO EN R3 • Ecuaciones de la recta en R3 • Ecuaciones del plano en R3

ORGANIZADOR VISUAL VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN R3

VECTORES EN R3

PRODUCTO ESCALAR. NORMA DE UN VECTOR

ECUACIONES DE LA RECTA Y DEL PLANO EN R3

ECUACIONES DE LA RECTA EN R3

ECUACIONES DEL PLANO EN R3

PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE VECTORES.

VECTORIAL

VECTORIAL

ÁNGULO ENTRE VECTORES.

PARAMÉTRICA

PARAMÉTRICA

PRODUCTO VECTORIAL: APLICACIONES

SIMÉTRICA

NORMAL

IMPLICITA

SIMÉTRICA

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR: APLICACIONES

GENERAL

GENERAL

1. Introducción

Magnitud escalar: Tanto en la física como en la geometría, hay cantidades que se representan por un número real, como por ejemplo: Área, volumen, masa, tiempo, temperatura, etc. Dichas cantidades, son llamadas magnitudes escalares.

1. Introducción

Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector.

2. Vectores en el Plano Un vector es un segmento de recta dirigido o una flecha que corresponde a un desplazamiento del punto A hacia otro punto B. Notación: Al vector de A en B la denotaremos por:

B A

Partes de un Vector

3. Tipos de Vectores ALGUNOS TIPOS DE VECTORES • Vectores Colineales • Vectores Concurrentes • Vectores Coplanares • Vectores iguales (equivalentes)

4. Vector de Posición El conjunto: R2 =  A = ( x, y ) / x, y  R representa gráficamente al plano cartesiano. Entonces el conjunto de todos los puntos A en el plano, corresponden al conjunto de todos los vectores cuyos orígenes se encuentran en el origen O, es decir (0;0). Con frecuencia, es conveniente usar vectores columna en lugar del vector renglón.

 3 Donde: u = (3,2) =    2

B A 𝒗

𝒖

O

𝒘

C

𝒖 = 𝑂𝐴

𝒗 = 𝑂𝐵 𝒘 = 𝑂𝐶

5. Coordenadas de un Vector Si las coordenadas de A y B son: B ( x2 , y2 )

EJEMPLO 1: Determine las componentes de un vector cuyos extremos son: A(2,2) y B(5,7) Solución:

𝑢 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 (5,7) − (2,2) = (3,5)

𝑢 = 𝐴𝐵 = (3,5)

A ( x1 , y1 )

EJEMPLO 2:

Las coordenadas o componentes del vector AB son:

𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑥2 , 𝑦2 − 𝑥1 , 𝑦1 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1

Un vector AB tiene de coordenadas (5,-2). Halle las coordenadas de A, si se conoce su extremo B(12,-3) Solución:

𝑢 = 𝐴𝐵 = 5; −2 5; −2 = 𝐵 − 𝐴

5, −2 = 𝐵 − 12, −3

𝐵 = 5, −2 + 12, −3

𝐵 = 17, −5

6. Norma o Módulo de un Vector Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia euclídea (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. ՜ 𝑎 = 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 de un Vector Sea el vector: 𝑎Ԧ = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 )

Sea el vector: 𝑎Ԧ = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 )

՜ 𝑎 =

՜ 𝑎 =

𝑎𝑥

𝑎𝑥

2

2

+ 𝑎𝑦

+ 𝑎𝑦

EJEMPLO: Determine la norma de los siguientes vectores: a) 𝑎Ԧ = (12; −5) b) 𝑏 = (−2; 1; 2)

2

2

+ 𝑎𝑧

2

9. Componentes Cartesianas de un Vector Componentes de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares. +y

ay

a

ax = || a || .cosβ

|| a || β

-x

ay = || a || .senβ +x

β = tan-1 (ay / ax)

ax -y

Muchas veces se identifica un vector dando sus componentes:

a = ( ax , ay )

Ejemplo a)

b)

Operaciones con Vectores Método del Triángulo

𝑩 𝑨

𝑨 𝑨+𝑩=𝑹

𝑩

Método del Paralelogramo

𝑨

𝑨

𝑩

𝑩

𝑨+𝑩=𝑹

Operaciones con Vectores Producto por un Escalar 2𝑨

𝑨

𝑨x𝑩 Producto entre Vectores: Producto Escalar

𝑩 𝑨

𝑩 𝑨

𝑩x𝑨

Ley de Senos y Cosenos LEY DE SENOS La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulo no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. El ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces: LEY DE SENOS

Ley de Senos y Cosenos EJEMPLO: Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes. En al siguiente figura.

Solución: Haciendo uso de la Ley de Senos, tercer ángulo del triángulo es C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130° Por la ley de los senos,

Ley de Senos y Cosenos LEY DE COSENOS La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. LEY DE COSENOS

Ley de Senos y Cosenos EJEMPLO: Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Determine el valor del lado faltantes, en la siguiente figura. A 5m

B

Solución:

20º 11 m

C

10. Vector Unitario Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo es exactamente la unidad. Se utilizan para especificar dirección y sentido. Por ejemplo, dado un vector 𝐴𝐵 ,podemos hallar un vector unitario en la dirección y sentido de 𝐴𝐵 , sin más que escribir:

U AB =

AB AB

Ejemplo: Determine el vector unitario del vector 𝐴Ԧ = (−2,6) Solución: 𝑈𝐴 = (−

2 6 , ) 40 40

11. Producto Escalar DEFINICIÓN: Sean los siguientes vectores ՜ 𝑎 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ՜ 𝑏 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3

Se define el producto escalar de ՜ ՜ 𝑎 𝑦 𝑏 , como: a.b = (a1 , a2 , a3 )( . b1 , b2 , b3 ) = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

PROPIEDADES: 1) ՜ 𝑎 .՜ 𝑎 = ՜ 𝑎

2

՜ ՜ ՜ ՜ 2) 𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 ՜ ՜ 3) ՜ 𝑎 . 𝑏 +՜ 𝑐 =՜ 𝑎 . 𝑏 +՜ 𝑎 .՜ 𝑐 ՜ ՜ ՜ ՜ ՜ ՜ 4) 𝑟 𝑎 . 𝑏 = 𝑟. 𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . 𝑟 𝑏 ՜ 5) 0 . ՜ 𝑎 =0

11. Producto Escalar TEOREMA. Si  es el ángulo ՜ ՜ entre los vectores 𝑎 y 𝑏 , entonces:

a.b = a b cos EJEMPLO 1: Determine el ángulo entre los vectores ՜ ՜ 𝑎 = −2,1,3 , 𝑏 = 1,3,2 Rpta: 60º o

𝜋 3

𝑟𝑎𝑑

Si el producto escalar de dos vectores es CERO, entonces: 1) Al menos uno de los dos es cero. 2) Los vectores son perpendiculares, es decir:  = 90 ( / 2) ó 70 (3 / 2)

EJEMPLO 2: Determine si el vector (2,2,-1) es perpendicular (u ortogonal) al vector (5,-4,2). Rpta: Si es perpendicular

12. Producto Vectorial Sean los vectores: 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘෠ 𝑖Ƹ Ԧ Entonces: 𝐶Ԧ = 𝐴𝑥𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥

𝐵 = 𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖Ƹ + 𝐵𝑦 𝑗Ƹ + 𝐵𝑧 𝑘෠ 𝑗Ƹ 𝐴𝑦 𝐵𝑦

𝑘෠ 𝐴𝑧 𝐵𝑧

𝐶Ԧ = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖Ƹ − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗Ƹ + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑘෠ 𝐶Ԧ = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 , − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 , 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ՜ ՜ ՜ ՜ EJEMPLO: Halle el producto vectorial de 𝑎 y 𝑏 , siendo: 𝑎 = (-1;2;2) y 𝑏 =(3;-1;-2)

12. Producto Vectorial

a  b = a b s en

Interpretación Geométrica (área de un paralelogramo y triángulo)

h = A  sen

a b

B Area = B  h

a 

b

Area = A B sen 

Area =

Ax B

12. Producto Vectorial EJEMPLO: Determine el área del triángulo formado por los vértices A, B y C, cuyos puntos son: A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1). SOLUCIÓN:

Practiquemos EJERCICIO 1: Determine el área del triángulo formado por los vértices A, B y C, cuyos puntos son: A(1,- 1,2), B(1, 5,-3) y C(0, 3, 1). EJERCICIO 2: Determine el área del triángulo formado por los vértices A, B y C, cuyos puntos son: A(1,0,2), B(2, -1,0) y C(3, 2, 1).

13. Proyección y Componente 𝒖

𝜶

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 𝒗

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣 𝑢

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 Entonces:

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

𝑢.𝑣 𝑣 2

. 𝑣Ԧ

Proyección de 𝑢 sobre 𝑣Ԧ (VECTOR) Componente del 𝑢 sobre el 𝑣Ԧ (ESCALAR)

= 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣 𝑢

𝑢. 𝑣Ԧ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣 𝑢 = 𝑣Ԧ

13. Proyección y Componente Ortogonal EJEMPLO: Calcular la Proyv𝑢 y su componente, sabiendo que 𝑢 = (2,2,3) y 𝑣= Ԧ (1,-2,0)

SOLUCIÓN

𝑢.𝑣 𝑣 2

Proy v 𝑢 =

. 𝑣Ԧ

𝑢. 𝑣Ԧ = (2,2,3).(1,-2,0) = 2-4+0 = -2

𝑣Ԧ = 12 + (−2)2 + 02 = 5 Proy v 𝑢=

−2 5

Comp v 𝑢 =

2

. 1, −2,0 =

𝑢.𝑣 𝑣

=

−2 5

−2 5

1, −2,0 =

−2 ( 5

4 , , 5

0)

Practiquemos EJERCICIO 1: Calcular la Proyv𝑢; Proyu𝑣Ԧ y las componentes correspondientes 𝑢 = -2i-3j-4k y 𝑣= Ԧ -5i-4j+2k

14. Triple Producto Escalar (Producto Mixto) Sean los vectores:

𝑎= Ԧ (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )

Entonces:

𝑏= (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )

𝑎1 𝑎. Ԧ (𝑏x𝑐) Ԧ = 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑐= Ԧ (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 )

𝑎3 𝑏3 𝑐3

EJEMPLO: Sean los vectores: 𝑎= Ԧ (2,1,-2) 𝑏= (3,-1,0) 𝑐= Ԧ (-2,3,1). Halle 𝑎. Ԧ (𝑏x𝑐) Ԧ SOLUCIÓN: 2 1 −2 𝑎. Ԧ (𝑏x𝑐)= Ԧ 3 −1 0 𝑎. Ԧ (𝑏x𝑐) Ԧ = - 19 −2 3 1

Practiquemos Determine el producto triple escalar: 𝑚=-7i-3j+k ; 𝑤=i-2j+4k ; 𝑐=3i-j-3k Ԧ

15. Ecuación vectorial y paramétrica de la recta en R3 En la figura, consideremos la recta L que pasa por P(x0, y0, z0) y que tiene vector dirección u = (a, b, c) (a, b y c son los números directores). L contiene precisamente los puntos Q(x,y,z) para los que el vector PQ es múltiplo escalar de u, de modo que PQ= tu, donde t es un escalar (número real). z

Ecuación Vectorial L

,c ) b , (a u= P(x0,y0,z 0) x

y

Ecuaciones Paramétricas

Practiquemos 1) Calcular la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(3;5) y tiene vector director 𝑣= Ԧ (-2;1) 2) Calcular la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(8;-7) y B(-2;1)

Practiquemos 3) Comprueba si los puntos A(3;-2) y B(8;5) pertenecen a la recta que tiene por ecuación vectorial: (x;y)=(1;0) +t(-1;1) 4) Encuentre la ecuación vectorial que pasa por los puntos P(-4;1;0) y Q(3;0;7)

Practiquemos 5) Calcule las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(3;5) y tiene vector director 𝑣= Ԧ (-2;1) . 6) Dada la recta con ecuaciones paramétricas: x=2t ; y=-1-5t a) Obtén un punto y un vector director de la misma b) Obtén su ecuación vectorial

Ecuación Vectorial

Ecuaciones Paramétricas

Ecuación simétrica o continua de la recta Si los números directores a, b ,c son todos distintos de cero se puede eliminar el parámetro t, con lo que se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta. x − x0 y − y0 z − z0 l: = = a b c

Practiquemos Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta L que pasa por el punto P(1, -2, 4) y es paralela al vector v = (2, 4, -4) SOLUCIÓN: Usamos las coordenadas y los números directores a=2, b=4, c=-4. Se tiene lo siguiente: 𝑥 = 1 + 2𝑡 ቐ𝑦 = −2 + 4𝑡 , 𝑧 = 4 − 4𝑡

𝑥−1 𝑦+2 𝑧−4 = = 2 4 −4

Ecuación simétrica Ecuación paramétrica

Practiquemos Hallar las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que contiene los puntos P(5,-7,9) y Q(-1,5,-3)

Practiquemos Hallar las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que contiene a P(5,3,-7) y es paralela a la recta cuya ecuación es : 𝑥−9 𝑦+3 𝑧+4 = = −6 −6 2

Practiquemos Encuentre la ecuación pametrica y continua para la recta que pasa por el punto P(0,14,-10) y es paralela a la recta cuya ecuación es: 𝑥 = −1 + 2𝑡 ቐ𝑦 = 6 − 3𝑡 , 𝑧 = 3 + 9𝑡

Practiquemos Encuentre la ecuación simétrica para la recta que pasa por el origen y el punto (4,3,-1)

17. Ecuación implícita, cartesiana o general de una recta en R3 Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

L=

Si en las ecuaciones continuas o simétricas de la recta operamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

EJEMPLO 1: Hallar las ecuaciones paramétricas, continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es 𝑢= (4,5,-1) Solución:

Ec. Paramétrica

Ecuaciones implícitas

Ec. Simétrica o continua

EJEMPLOS

EJEMPLO 2: Hallar las ecuaciones implicitas para la recta L que pasa por los puntos (-2, 1, 0) y (1, 3, 5). Solución:

Practiquemos Encuentre la ecuación continua e implícita para la recta que pasa por el punto P(2,1,0) y es perpendicular al plano formado por los vectores 𝑎= Ԧ i+j ; 𝑏 = j+k

18. Posiciones relativas entre dos rectas en R3 Sean 𝐿 1 : 𝑃 = 𝑃0+ 𝑡𝑎Ԧ ,𝑡 ∈ 𝑅 y 𝐿 2: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑠𝑏, 𝑠 ∈ 𝑅 dos rectas en 𝑅 3 . Se presentan las siguientes posiciones relativas: RECTAS PARALELAS

RECTAS PERPENDICULARES

18. Posiciones relativas entre dos rectas en R3 RECTAS QUE SE INTERCEPTAN

RECTAS QUE SE CRUZAN

La recta L tiene como vector direccional al vector 𝑎̅×𝑏̅ y es ortogonal a las rectas L1 y L2

19. Distancia de un punto a una recta en R

EJEMPLO *Calcular distancia entre el punto M(0, 2, 3) y la recta x-3

2

=

y-1

1

=

z+1

2

20. El plano. conceptos preliminares Definición 1.

Dos vectores son paralelos si y sólo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro, es decir: 𝑎//𝑏 Ԧ ⟺ ∃𝑟𝜖ℜ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎Ԧ = 𝑟𝑏

Definición 2.

Sean los vectores 𝑎Ԧ , 𝑏 ∈ ℛ3 , los vectores 𝑎Ԧ 𝑦 𝑏 son linealmente dependiente, si y sólo si

∃𝑡, 𝛾𝜖ℜ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎Ԧ + 𝛾𝑏 = 0

20. El plano. conceptos preliminares Gráficamente

Definición 3. 3

a

Sean los vectores 𝑎Ԧ , 𝑏 ∈ ℛ , los vectores 𝑎Ԧ 𝑦 𝑏 son linealmente independiente, si y sólo si

b

Son L.D. 𝑟𝑎Ԧ + 𝑠𝑏 = 0 ⟹ 𝑟 = 𝑠 = 0

a b

Son L.I.

21. El plano. definición Un plano en el espacio queda bien determinado si se conoce su punto de paso 𝑃0 y un vector perpendicular al plano n, llamado vector normal al plano.

z

𝑵 P0(x0; y0; z0) P(x; y; z)

z

y

x

y x

22. Ecuación vectorial de un plano 

Sea el plano que pasa por P0 , y contiene a los vectores no paralelos 𝑎 𝑦 𝑏 , su ecuación vectorial es: 𝜋: 𝑃 = {𝑃0 +𝑟𝑎Ԧ + 𝑠𝑏 /𝑟, 𝑠 ∈ ℛ} Gráficamente



z

P

a P0

b

y

x

 : ( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + r (a1 , a2 , a3 ) + s(b1 , b2 , b3 )

22. Ecuación vectorial de un plano.casos Un vector 𝑁 ∈ ℛ3 es un vector normal a un plano, si es ortogonal al plano . Casos:

𝑁

𝑁 = 𝑎Ԧ × 𝑏

𝑁 = 𝑃0 𝑃1 × 𝑃0 𝑃2

P2

b P0

a

P0

P1

Practiquemos Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene al punto P(2,3,5) y es paralelo a los vectores directores 𝑢=(-1,-2,-3) y 𝑣=(1,3,5) Ԧ

Practiquemos Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene a los puntos P(1,2,-3); Q(2,3,1) y R(0,-2,-1)

23. Ecuación paramétrica de un plano En la ecuación vectorial del plano, si le damos coordenadas a los puntos, se tiene: 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑃0 = 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑎Ԧ = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )

 : ( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + r (a1 , a2 , a3 ) + s(b1 , b2 , b3 )  x = x0 + ra1 + sb1   :  y = y0 + ra2 + sb2  z = z + ra + sb 0 3 3 

𝑟, 𝑠 ∈ ℛ

24. Ecuación normal y cartesiana(general) de un plano Sea el plano 𝜋 que pasa por 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) cuyo vector normal es 𝑁=(a,b,c) , su ecuación normal del plano es:

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜋

𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )

𝑃 − 𝑃0 . 𝑁 = 0

Ahora reemplazando sus componentes:

𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 . 𝑎, 𝑏. 𝑐 = 0 Al multiplicar y simplificar términos, llegamos a la ecuación:

 : ax + by + zc + d = 0

Ec. Cartesiana o general del plano.

25. Ecuación normal. ejemplos Ejemplo. Hallar la ecuación del plano 𝜋, si pasa por el punto (3,7,9) y el vector normal es paralelo al vector (-1,2,4). Solución.

Tenemos como dato P0 = (3, 7,9) y un vector normal lo podemos tomar el mismo vector con la misma dirección o algún vector paralelo al vector (-1,2,4). Considerando el mismo vector, se tiene:

( x, y, z ) − ( 3, 7,9 )  • ( −1, 2, 4 ) = 0 Al multiplicar y simplificar términos, llegamos a la ecuación:

𝑥 − 3, 𝑦 − 7, 𝑧 − 9 . −1,2,4 = 0 -1(x – 3) + 2(y – 7) + 4(z – 9)= 0

x - 2y - 4z + 47= 0

26. Ecuación simétrica o segmentada de un plano Es aquella ecuación de la forma:

𝜋:

𝑥 𝑦 𝑧 + + =1 𝑝 𝑞 𝑟

Ec. Segmentaria del plano.

Donde los números p, q, r son las intersecciones del plano con los ejes coordenados X, Y y Z respectivamente. z

¿Cuál es la intersección con el eje x? Y=0, z=0⇒x=p⇒ El plano corta al eje x en (p, 0,0)

r

¿ 𝐶𝑢á𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦? (0, q, 0)

¿ 𝐶𝑢á𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑧? (0, 0, r)

q

x

p

y

27. Relación entre planos PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES

Sean las ecuaciones cartesianas o generales de los planos:

 1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0  2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 Decimos que los planos:

𝜋1 //𝜋2 ⇔ 𝑁1 //𝑁2

𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⇔ 𝑁1 ⊥ 𝑁2 ⇒ 𝑁1 . 𝑁2 = 0

Donde los vectores normales son: 𝑁1 : 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 𝑁2 : (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 )

27. Relación entre planos ANGULO ENTRE PLANOS

El ángulo entre planos es el mismo ángulo que forman sus respectivos vectores normales.

 1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0  2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 Donde los vectores normales son: 𝑁1 : 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 𝑁2 : (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 )

𝜃= arcos(

𝑁1 .𝑁2 ) ∥𝑁1 ∥ .∥𝑁2 ∥

27. Relación entre planos DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO Sea el plano 𝜋: Ax + By + Cz + D=0 y un punto 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 que no pertenece al plano 𝜋 . 𝑑 𝑃1 , 𝜋 =

𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑍1 + 𝐷 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2

𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛: Dadas las ecuaciones de dos planos paralelos con el mismo vector normal : π1 : Ax + By +Cz + d1 = 0

π2 : Ax + By +Cz + d2 = 0 La distancia entre dichos planos está dado por: 𝑑 𝜋1 , 𝜋2 =

𝑑1 − 𝑑2

𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2

𝑁=(A,B,C)

27. Relación entre planos DISTANCIA MÍNIMA DE UN PUNTO EXTERIOR A UN PLANO

La distancia mínima de un punto exterior Q0 = ( x0 , y0 , z0 ) a un plano  es la longitud ortogonal trazado del punto al plano. Proposición: La distancia del punto exterior

 : ax + by + zc + d = 0

Q0 = ( x0 , y0 , z0 ) al plano

es:

𝑑 𝑄0 , 𝜋 =

n Q0

d ( Q0 ,  )



P0 Q

=

𝑄0 − 𝑃 . 𝑁 ∥𝑁∥ 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2

28. Aplicación

Un ingeniero civil desea determinar la longitud de las cuerdas OA y OB, del mismo modo, el ángulo de abertura entre dichas cuerdas, teniendo en cuenta la siguiente figura.

TALLER EN EQUIPO • En equipos de 3 o 4 estudiantes, desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.

CONCLUSIONES ➢ Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. ➢ El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. ➢ Una recta en el espacio queda determinada por un punto de ella A(x1, y1, z1) y vector director u=(a,b,c) y puede ser expresada en una ecuación vectorial, paramétrica, continua, implícita y general. ➢ Un plano en el espacio queda bien determinado si se conoce su punto de paso 𝑃0 y un vector perpendicular al plano n, llamado vector normal al plano. Puede ser expresado en una ecuación vectorial, paramétrica, normal, simétrica y general.

METACOGNICIÓN 1. ¿Para que les servirá conocer el concepto de vectores en su futura carrera profesional?

2. ¿En qué casos cotidianos podrían aplicar lo aprendido? 3. ¿Cuáles fueron las dificultades que encontraron en el desarrollo de este tema?

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS N°

CÓDIGO

AUTOR

TITULO

EDITORIAL

AÑO

1

516.3 OROZ

OROZCO MAYREN, GILBERTO

Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones

Trillas

2007

2

516.182 ESPI/E

ESPINOZA, RAMOS EDUARDO

Geometría Vectorial en R3

2004, s.n.

2004

3

516.32 ESPI

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO

Geometría Analítica Plana : Teórico-Práctico

S.n

2007