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ROBOTICA CÓDIGO: 299011A

Realizar lluvia de ideas.

Presentado al tutor (a): Sandra Isabel Vargas

Entregado por los (las) estudiantes: Jaime Morales Galindo Código: 4347762 Fernando Pérez Pira Código: 7178210

Grupo: 299011_38

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FECHA CIUDAD

INTRODUCCIÓN

Tabla con definiciones de los conceptos desconocidos sobre Cinemática directa e inversa del robot Aporte de Yeison Andrés Robles Concepto

Definición

Cinemática directa

La cinemática directa se refiere al uso de ecuaciones cinemáticas para calcular la posición de su actuador final a partir de valores específicos denominado parámetros. El problema cinemático directo consiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot.

En general, un robot de n grados de libertad está formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot. La matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los distintos sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se denomina i−1Ai. Del mismo modo, la matriz 0Ak, resultante del producto de las matrices i−1Ai con i desde 1 hasta k, es la que representa de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot con respecto al sistema de referencia inercial asociado a la base. Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le denomina T, matriz de transformación que relaciona la posición y orientación del extremo final del robot respecto del sistema fijo situado en la base del mismo. Así, dado un robot de 6 grados de libertad, se tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dado por la matriz T.

Cinemática inversa

El proceso inverso que calcula el conjunto de parámetros a partir de una posición especifica del actuador final es la cinemática inversa. El objetivo de la cinemática inversa es encontrar los valores que deben tomar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial. Depende de la configuración del robot (existen soluciones múltiples).

Siempre que se especifica una posición de destino y una orientación en términos cartesianos, debe calcularse la cinemática inversa del dispositivo para poder despejar los ángulos de articulación requeridos. Los sistemas que permiten describir destinos términos cartesianos son capaces de mover el manipulador a puntos que nunca fueron capaces de mover el espacio de trabajo a los cuales tal vez nunca haya ido antes. Matriz de traslación

– Para un sistema OUVW trasladado únicamente un vector p =pxi +pyj +pzk con respecto al sistema fijo OXYZ. La matriz homogénea será la matriz básica de traslación:

– Un vector cualquiera r, representado en OUVW por ruvw, tendrá como coordenadas en el sistema OXYZ:

Matriz de rotación

Este es el método más extendido para la representación de orientaciones debido principalmente a la facilidad que representa el álgebra matricial. Suponiendo dos ejes coordenados OXY (fijo) con vectores unitarios para un punto iX y jY y OUV (móvil) con vectores unitarios iu y jv, como se muestra en la figura: En ambos sistemas un vector se puede representar como:

Lo que, realizando una serie de transformaciones se convierte en:

Donde:

Es la llamada matriz de rotación que define la orientación del sistema OUV con respecto al sistema OXY, y que transforma las coordenadas de un vector en un sistema a las del otro. La matriz de rotación es una matriz ortonormal: R-1=RT. Si se considera que el sistema OUV se gira un ángulo α respecto a OXY la matriz de rotación quedará de la siguiente forma:

En un espacio tridimensional en donde el sistema OXYZ es el sistema fijo y OUVW es el móvil se sigue un razonamiento similar para tener que

Con lo que se obtiene la siguiente equivalencia:

Donde:

Es la matriz de rotación que define la orientación del sistema OUVW con respecto al sistema OXYZ. Al igual que en dos dimensiones la matriz también puede representarse en función de sus cosenos directores.A continuación, se muestran las matrices de rotación en función de sus cosenos directores para los giros respecto a los tres ejes. Una rotación del sistema OUVW (con el eje OU que coincide con el eje OX) de α grados respecto a OX se representaría de la siguiente forma.

Una rotación del sistema OUVW (con el eje OV que coincide con el eje OY) de Ф grados respecto a OY se representaría de la siguiente forma.

Una rotación del sistema OUVW (con el eje OW que coincide con el eje OZ) de θ grados respecto a OZ se representaría de la siguiente forma.

Las anteriores tres matrices se denominan matrices básicas de transformación para un sistema de tres dimensiones.

Composición de rotaciones Las matrices de rotación pueden componerse para representar la aplicación continua de varias rotaciones. Por ejemplo si se aplica al sistema OUVW una rotación de ángulo α sobre OX, seguida de una rotación de ángulo Ф sobre OY y una rotación de ángulo θ sobre OZ, la rotación total podrá expresarse como:

Es importante recordar que el producto de matrices no es conmutativo por lo que el orden en el que se realizan las operaciones debe tomarse en cuenta.

Matriz de homogénea

transformación La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos e n un espacio dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional. Es decir, un espacio n-dimensional se encuentra representado en coordenadas homogéneas por (n+1) dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendrá representado por p(wx,wy,z,w), donde w tiene un valor arbitrario y representan un factor de escala.

A partir de la definición de las coordenadas homogéneas surge inmediatamente el concepto de matriz de transformación homogénea. Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4*4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

Así pues, se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por cuatro

submatrices de distinto tamaño: una submatriz R3*3 que corresponde a una matriz de rotación; una submatriz p3*1 que corresponde al vector de traslación; una submatriz f1*3 que representa una transformación de perspectiva, y una submatriz w1*1 que representa un escalado global. En robótica generalmente solo interesara conocer el valor de R3*3 y de p3*1 , considerándose las componentes f1*3 nulas y la de w1*1 la unidad, aunque mas adelante se estudia su utilidad en otros campos. Al tratarse de una matriz 4*4, los vectores sobre los que se aplique deberán contar con 4 dimensiones, que serán las coordenadas homogéneas del vector tridimensional de que se trate.

Si como sé a mencionado, se considera la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario, la matriz homogénea T resultara de la siguiente forma:

que representa la orientación y posición de un sistema 0’UVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia 0XYZ. Esta matriz sirve para conocer las coordenadas (rx,ry,rz) del vector r en el sistema 0XYZ a partir de sus coordenadas (ru,rv,rw) en el sistema 0’XYZ:

En resumen, una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:

Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia oxyz, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo 0XYZ. Parámetros Hartemberg

Denavit

Se trata de un procedimiento sistemático para describir la estructura cinemática de una cadena articulada constituida por articulaciones con. un solo grado de libertad.

Para ello, a cada articulación se le asigna un Sistema de Referencia Local con origen en un punto Qi y ejes ortonormales { X Y Z i i i , , } , comenzando con un primer S.R fijo e inmóvil dado por los ejes { X Y Z 0 0 0 , , } , anclado a un punto fijo Q0 de la Base sobre la que está montada toda la estructura de la cadena.

Este Sistema de Referencia no tiene por qué ser el Universal con origen en (0,0,0) y la Base canónica. Numerar los eslabones: se llamará «0» a la «tierra», o base fija donde se ancla el robot. «1» el primer eslabón móvil, etc. Numerar las articulaciones: La «1» será el primer grado de libertad, y «n» el último. Localizar el eje de cada articulación: Para pares de revolución, será el eje de giro. Para prismáticos será el eje a lo largo del cuál se mueve el eslabón. Ejes Z: Empezamos a colocar los sistemas XYZ. Situamos los Zi−1 en los ejes de las articulaciones i, con i=1,…,n. Es decir, Z0 va sobre el eje de la 1ª articulación, Z1 va sobre el eje del 2º grado de libertad, etc.

Sistema de coordenadas 0: Se sitúa el punto origen en cualquier punto a lo largo de Z0. La orientación de X0 e Y0 puede ser arbitraria, siempre que se respete evidentemente que XYZ sea un sistema dextrógiro. Resto de sistemas: Para el resto de sistemas i=1,…,N-1, colocar el punto origen en la intersección de Zi con la normal común a Zi y Zi+1. En caso de cortarse los dos ejes Z, colocarlo en ese punto de corte. En caso de ser paralelos, colocarlo en algún punto de la articulación i+1. Ejes X: Cada Xi va en la dirección de la normal común a Zi−1 y Zi, en la dirección de Zi−1 hacia Zi. Ejes X: Cada Xi va en la dirección de la normal común a Zi−1 y Zi, en la dirección de Zi−1 hacia Zi. Ejes Y: Una vez situados los ejes Z y X, los Y tienen su direcciones determianadas por la restricción de formar un XYZ dextrógiro. Sistema del extremo del robot: El n-ésimo sistema XYZ se coloca en el extremo del robot (herramienta), con su eje Z paralelo a Zn−1 y X e Y en cualquier dirección válida. Ángulos teta: Cada θi es el ángulo desde Xi−1 hasta Xi girando alrededor de Zi. Distancias d: Cada di es la distancia desde el sistema XYZ i-1 hasta la intersección de las normales común de Zi−1 hacia Zi, a lo largo de Zi−1. Distancias a: Cada ai es la longitud de dicha normal común.

Ángulos alfa: Ángulo que hay que rotar Zi−1 para llegar a Zi, rotando alrededor de Xi. Matrices individuales: Cada eslabón define una matriz de transformación:

Transformación total: La matriz de transformación total que relaciona la base del robot con su herramienta es la encadenación (multiplicación) de todas esas matrices: T=0A11A2⋯n−1An

Aporte de Jaime Morales Galindo

Concepto

Definición

Cinemática directa

Es la que estudia el movimiento del robot con respecto al sistema de referencia sin considerar las fuerzas que intervienen, descripción analítica por movimiento del robots y función en tiempo en posición inicial y posición final, estos son valores que toma por las coordenadas articulares. se refiere al uso de ecuaciones cinemáticas para calcular la posición de su actuador final a partir de valores específicos denominado parámetros. Las ecuaciones cinemáticas de un robot son usadas en robots, juegos de computadoras y la animación. El proceso inverso que calcula el conjunto de parámetros a partir de una posición específica del actuador final es la cinemática inversa. En una cadena serial, la solución siempre es única: dado un conjunto de vectores estos siempre corresponderán a una única posición del actuador. Coordenadas articulares (q 1 , q 2 … q n )

Cinemática inversa

Cinemática Cinemática

Posición y orientación del extremo del robot (x ,y,z,φ,θ,ψ)

Directa Inversa

La cinemática inversa se define como la acción de encontrar valores que deben a doctor las coordenadas articulares de robots, q ϭ [ q, q, ..., q] T 1 2 n para que

su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial (p , [ n , o , a ]). Siempre que se especifica una posición de destino y una orientación en términos cartesianos, debe calcularse la cinemática inversa del dispositivo para poder despejar los ángulos de articulación requeridos. Los sistemas que permiten describir destinos términos cartesianos son capaces de mover el manipulador a puntos que nunca fueron capaces de mover el espacio de trabajo a los cuales tal vez nunca haya ido antes. A estos puntos los llamaremos puntos calculados. 1 resolver el problema cinemático inverso es mucho más adecuado encontrar una solución cerrada. Esto es, encontrar una relación matemática explícita de la forma: qk=fk(x,y,z,φ,θ,ψ) k = 1 K n (GDL) [4.28]

Matriz traslación

“Un Robot Industrial realizando una soldadura por arco. La cinemática inversa calcula las trayectorias necesarias para que el robot conduzca la punta de soldadura a lo largo de la pieza.” de Se define en cuando no hay necesidad de hacer un giro para que los ejes coincidan sino solamente se un desplazamiento sobre los ejes x, y. z.

Es equivalente a 100dx La transformación que ocurre cuando una figura es movida de una ubicación a otra en el plano coordenado sin cambiar su tamaño, forma u orientación es una

traslación . La suma de matrices puede utilizarse para encontrar las coordenadas de la figura trasladada.

Matriz rotación

de En este caso la matriz de rotación equivale a Rotación alrededor del eje x i un ángulo α i . Donde las transformaciones se refieren al sistema móvil. Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que: i – 1 i − 1 A i = Rotz ( θ i ) T ( 0 , 0 , d i ) T ( a i 0 , 0 ) Rotx ( α i )

Matriz de La matriz de trasformación homogénea cuenta los cuaternios son métodos transformación alternativos para representar transformaciones de rotación y desplazamiento, homogénea será posible utilizar estos últimos de manera equivalente a las matrices para la resolución del problema cinemático directo de un robot, la matriz T , ésta expresará la orientación (submatriz (3 ϫ 3) de rotación) y posición (submatriz (3 ϫ 1) de traslación) del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedará resuelto el problema cinemático directo.

Parámetros Denavit Hartemberg

definición de los 4 parámetros de Denavit Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinemático directo:

DH 1 . Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot. DH 2 . Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n. DH 3 . Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. DH 4 Para i de 0 a n 1 situar el eje z i sobre el eje de la articulación i ϩ 1. DH 5 Situar el origen del sistema de la base { S 0 } en cualquier punto del eje z 0 . Los ejes x 0 e y 0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z 0. DH 6 . Para i de 1 a n Ϫ 1, situar el origen del sistema { S i } (solidario al eslabón i ) en la intersección del eje z i con la línea normal común a z i –1 y z i . Si ambos ejes se cortasen se situaría { S i } en el punto de corte. Si fuesen paralelos { S i } se situaría en la articulación i ϩ 1. HD 7 Situar x i en la línea normal común a z i –1 y z i . HD 8 Situar y i de modo que forme un sistema dextrógiro con x i y z i . HD 9 Situar el sistema { S n } en el extremo del robot de modo que z n coincida con la dirección de z n –1 y x n sea normal a z n –1 y z n . DH 10 . Obtener θ i como el ángulo que hay que girar en torno a z i –1 para que x i –1 y x i queden paralelos. DH 11 . Obtener d i como la distancia, medida a lo largo de z i –1 { S i –1 } para que x i y x i –1 quedasen alineados. DH 12 . Obtener a i como la distancia medida a lo largo de x i (que ahora coincidiría con x i –1 ) que habría que desplazar el nuevo { S i –1 } para que su origen coincidiese con { S i }. DH 13 . Obtener α i como el ángulo que habría que girar entorno a x i , para que el nuevo { S i –1 } coincidiese totalmente con { S i }. DH 14 . Obtener las matrices de transformación i –1 A i definidas en [4.10]. DH 15 . Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T ϭ 0 A · 1 A · n –1 1 2 A n . DH 16 . La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base, en función de las n coordenadas articulares, que habría que desplazar

Aporte de Fernando Pérez Pira

Concepto

Cinemática directa

Consiste en determinar la posición y orientación final del manipulador o efector final con respecto a la base, cuando se conoce las coordinadas de las articulaciones y los parámetros geométricos del brazo o eslabón

Posición y orientación del Coordenadas articulares

Efector final

Cinemática directa

𝑞 = {𝑞1 , 𝑞1 , 𝑞1 , … … 𝑞𝑛 , }

Defina por una matriz Homogénea T

Posición {𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝛼, 𝛽, 𝛾}

Solución del problemas: 𝑋 = 𝑓𝑥 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 𝑞5 , 𝑞𝑛 ) 𝑌 = 𝑓𝑦 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 𝑞5 , 𝑞𝑛 ) 𝑍 = 𝑓𝑧 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 𝑞5 , 𝑞𝑛 ) 𝛼 = 𝑓𝛼 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 𝑞5 , 𝑞𝑛 ) 𝛽 = 𝑓𝛽 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 𝑞5 , 𝑞𝑛 ) 𝛾 = 𝑓𝛾 (𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 𝑞5 , 𝑞𝑛 )

https://www.youtube.com/watch?v=DSgCL-UkbF0

Cinemática inversa

Plantea lo contrario de la cinemática directa: Determinar las coordenadas de las articulaciones y parámetros de los eslabones cuando se conoce la posición y orientación del efector con respecto a la base

Posición y orientación del Coordenadas articulares

Cinemática inversa Efector final Defina por una matriz

𝑞 = {𝑞1 , 𝑞1 , 𝑞1 , … … 𝑞𝑛 , }

Homogénea T

Posición {𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝛼, 𝛽, 𝛾}

Matriz Rotación

de Para esto se consideran dos sistemas {A} y {B} Que tienen un origen común Y deben estar rotados

𝑧̂𝐴

{𝐴} ̂𝐵 𝑦 {𝐵}

𝑧̂ 𝐵 ̂𝐴 𝑦 ̂𝐴 𝑥

̂𝐵 𝑥

Se debe describir el sistema {𝐵} con respecto al sistema {𝐴} utilizando los ejes del sistema {𝐵}

𝐴

𝑋̂𝐵 =?

𝐴̂ 𝑌𝐵 𝐴

=?

𝑍̂𝐵 =?

Los ejes se optimen mediante proyecciones

𝐴

𝑋̂𝐵 = (𝑋̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 )𝑋̂𝐴 + (𝑋̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 )𝑌̂𝐴 + (𝑋̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴 )𝑍̂𝐴

𝐴̂ 𝑌𝐵

𝐴

= (𝑌̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 )𝑋̂𝐴 + (𝑌̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 )𝑌̂𝐴 + (𝑌̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴 )𝑍̂𝐴

𝑍̂𝐵 = (𝑍̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 )𝑋̂𝐴 + (𝑍̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 )𝑌̂𝐴 + (𝑍̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴 )𝑍̂𝐴

Representación mediante vector

𝑋̂𝐵 ̂ 𝐴̂ 𝑋𝐵 = 𝑋𝐵 𝑋̂𝐵 [

𝑋̂𝐴 𝑌̂𝐴 𝑍̂𝐴

𝑌̂𝐵 ̂ 𝐴̂ 𝑌𝐵 = 𝑌𝐵 𝑌̂𝐵 [

]

𝑋̂𝐴 𝑌̂𝐴 𝑍̂𝐴

]

𝑍̂𝐵 ̂ 𝐴̂ 𝑍𝐵 = 𝑍𝐵 𝑍̂𝐵 [

𝑋̂𝐴 𝑌̂𝐴 𝑍̂𝐴

]

Para obtener la matriz R se debe cumplir lo siguiente:

𝐴

𝑋̂𝐵 = 𝑅 𝐵 𝑋̂𝐵

𝐴̂ 𝑌𝐵

= 𝑅 𝐵 𝑌̂𝐵

𝐴

𝑍̂𝐵 = 𝑅 𝐵 𝑍̂𝐵

La matriz R se representa así:

⃒ 𝑅 = [ 𝐴 𝑋̂𝐵 ⃒

⃒ 𝐴̂ 𝑌𝐵

⃒

Se le reconoce como matriz de rotación Genérica

⃒ 𝑍̂𝐵 ]

𝐴

⃒

El sistema de rotación {𝐵} con respecto al sistema {𝐴} es dado de la siguiente forma

𝐴

𝐴

𝑅𝐵 = [

𝐴

𝑋̂𝐵 𝐴 𝑌̂𝐵 𝐴 𝑍̂𝐵 ]

𝑋̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 𝑅𝐵 = [𝑋̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 𝑋̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴

𝑋̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 = [𝑋̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 𝑋̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴

𝑌̂𝐵 ∗𝑋̂𝐴 𝑌̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 𝑌̂𝐵 ∗𝑍̂𝐴

𝑌̂𝐵 ∗𝑋̂𝐴 𝑌̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 𝑌̂𝐵 ∗𝑍̂𝐴

𝑍̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 𝑍̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 ] 𝑍̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴

𝑍̂𝐵 ∗ 𝑋̂𝐴 𝑍̂𝐵 ∗ 𝑌̂𝐴 ] 𝑍̂𝐵 ∗ 𝑍̂𝐴

El sistema de rotación {𝐴} con respecto al sistema {𝐵}, se toman los valores de cada fila de 𝐴 𝑅𝐵 y los organizamos en 𝐵 𝑅𝐴 de la siguiente forma

𝐵

𝑋̂𝐴 ∗ 𝑋̂𝐵 𝑅𝐴 = [𝑋̂𝐴 ∗ 𝑌̂𝐵 𝑋̂𝐴 ∗ 𝑍̂𝐵

𝑌̂𝐴 ∗𝑋̂𝐵 𝑌̂𝐴 ∗ 𝑌̂𝐵 𝑌̂𝐴 ∗𝑍̂𝐵

𝑍̂𝐴 ∗ 𝑋̂𝐵 𝑍̂𝐴 ∗ 𝑌̂𝐵 ] 𝑍̂𝐴 ∗ 𝑍̂𝐵

Por lo tanto se puede concluir que ambas matrices son la transpuesta de la otra

𝐵

𝑅𝐴 = ( 𝐴 𝑅𝐵 )𝑇

Existen 3 Interpretación de la matriz de la rotación 1. Describe las orientaciones relativa en 2 sistemas de referencia 2. Expresa un mismo punto en diferentes sistemas de referencia 3. Un operador de rotación

https://www.youtube.com/watch?v=B41cpsNUmIE

https://www.youtube.com/watch?v=gwC4ah-1vOk

Matriz de Translación Matriz de Posee más información para la descripción en el espacio de un objeto o punto, transformación además de dar la orientación de un punto también da la posición de dicho punto homogénea con respecto a otro sistema de referencia

Una matriz homogénea tiene 16 elementos

𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝐵𝐴 = ( 0 0 0

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝐴𝐵 )=( 1 0 0 0

Donde 𝑅𝐴𝐵 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3𝑥3 𝑂𝐵𝐴 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3𝑥1

La composición de matriz de transformación homogénea

𝑂𝐵𝐴 ) 1

3 𝑇𝑛0 = 𝑇10 𝑇21 𝑇32 𝑇𝑛−1 … . . 𝑇𝑛𝑛−1

https://www.youtube.com/watch?v=RE4-90lSDGU

Parámetros Denavit Hartemberg

La representación de D-H depende de los siguientes parámetros

θ Teta corresponde a la rotación sobre eje Z d corresponde a la translación en Z α corresponde al desplazamiento en X α alfa corresponde a la rotación en X

Se tiene que tener en cuenta las siguiente referencia

𝑍𝑖−1

𝑋𝑖

Se representa los siguiente movimientos

𝑋𝑖−1 → 𝑋𝑖 θ

d

𝑍𝑖−1 → 𝑍𝑖 α

α

Proponer un movimiento positivo en el eje Z correspondiente

https://www.youtube.com/watch?v=ioJVVaPhjAU

Modelo cinemático directo del sistema robótico a desarrollar, de acuerdo con la configuración seleccionada por cada estudiante

Aporte de Jaime Morales Galindo

ROBOT CILÍNDRICO Robot SCARA

Cilíndrico Se trabaja en un sistema coordenado OXYZ. Se utilizan coordenadas polares p(r, ,z) r es la distancia del origen O al extremo del vector p. es el ángulo que forma el vector p con el eje OX. z representa la proyección sobre el eje OZ

Coordenadas cilíndricas

Representación de la Orientación

Además de la posición es necesario definir la orientación con respecto al sistema de referencia. La orientación en un espacio tridimensional viene definida por tres grados de libertad, linealmente independientes. Normalmente se usan 2 sistemas de referencia. Si se tiene 2 sistemas de referencia OXY y OUV, con el mismo origen, pero rotado un ángulo Cada vector del sistema de referencia es y deben ser equivalentes. Con una matriz de rotación R se define la orientación de OUV con respecto a OXY

Matriz de rotación Sea el sistema de coordenadas OXY y OUV Vectores unitarios: Relación de ideas generadas y proceso de selección de la idea más adecuada para dar solución al problema planteado.

Cualquier punto sobre el plano puede ser expresado como:

Matriz de rotación Si el sistema esta rotado

Como:

Entonces

La matriz de rotación está dada por:

Se usan las identidades trigonométricas

Aporte de Yeison Andrés Robles

Para hacer una descripción específica de la cinemática de un brazo robótico articulado, las 3 primeras articulaciones (sistema Hombro-Codo-Muñeca) posicionan en el espacio el grupo formado por las 3 últimas, que son las que orientan el efector. La estructura de articulacioneselementos, queda esbozada en las siguientes figuras, en las que se muestra una imagen

simétrica del robot y en la de la derecha las dimensiones no están a escala para facilitar su comprensión:

La cinemática del brazo articulado se formula siguiendo la representación de DenavitHartenberg, cuya descripción comprende 2 apartados: asignación de Sistemas de Referencia y relación de parámetros asociados a elementos y articulaciones. Representación Denavit-Hartenberg La cinemática de una cadena articulada se basa en asociar a cada par articulación–brazo un Sistema de Referencia Local con origen en un punto Qi y ejes ortonormales { Xi, Yi, Zi} , comenzando con un primer sistema de referencia fijo e inmóvil representado por los ejes { X0, Y0, Z 0 } , anclado a un punto fijo Q0 de la Base sobre la que está montada toda la estructura de la cadena. Este sistema de referencia no tiene por qué ser el universal con origen en (0,0,0) y ejes { Xu, Yu, Zu } asociados a la Base canónica. Las articulaciones se numeran desde 1 hasta n ( n = 6) . A la articulación i -ésima se le asocia su propio eje de rotación como Eje Zi− 1 , de forma que el eje de giro de la 1ª articulación es Z0 y el de la 6ª articulación, Z5 . Para la articulación i -ésima (que es la que gira alrededor de Zi− 1 ), la elección del origen de coordenadas Qi y del Eje Xi sigue reglas muy precisas en función de la geometría de los brazos articulados. el Eje Yi por su parte, se escoge para que el sistema { X Y Z i i i , , } sea dextrógiro. La especificación de cada Eje Xi depende de la relación espacial entre Zi y Zi− 1 , distinguiéndose 2 casos:

- Zi y Zi− 1 no son paralelos Entonces existe una única recta perpendicular a ambos, cuya intersección con los ejes proporciona su mínima distancia (que puede ser nula). Esta distancia, representada por i a y medida desde el eje Zi− 1 hacia el eje Zi (con su signo), es uno de los parámetros asociados a la articulación i -ésima.

Zi y Zi− 1 son paralelos En esta situación el Eje Xi se toma en el plano conteniendo a Zi− 1 y Zi y perpendicular a ambos. El origen Qi es cualquier punto conveniente del eje Zi . El parámetro i a es, como antes, la distancia perpendicular entre los ejes Zi− 1 y Zi , y i d es la distancia desde Qi− 1 . A la articulación i -ésima se le asocia un 3er parámetro fijo i α que es el ángulo que forman los ejes Zi− 1 y Zi en relación al eje Xi . Nótese que cuando el brazo i -ésimo (que une rígidamente las articulaciones i e i + 1 ) gira en torno al eje Zi− 1 (que es el de rotación de la articulación i ), los parámetros i a , i d y i α permanecen constantes, pues dependen exclusivamente de las posiciones/orientaciones relativas entre los ejes Zi− 1 y Zi , que son invariables. Por tanto, i a , i d y i α pueden calcularse a partir de cualquier configuración de la estructura articulada, en particular a partir de una configuración inicial estándar o de reposo. Precisamente el ángulo i θ de giro que forman los ejes Xi− 1 y Xi con respecto al eje Zi− 1 es el 4º parámetro asociado a la articulación i y el único de ellos que varía cuando el brazo i gira. Es importante observar que el conjunto de los 4 parámetros i a , i d , i α y i θ determina totalmente el Sistema de Referencia de la articulación i + 1 en función del S.R de la articulación i .

Relación de ideas generadas y proceso de selección de la idea más adecuada para dar solución al problema planteado. Referencias bibliográficas