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COMPENDIO ACADÉMICO

SEMANA 01 RAZONAMIENTO y JUEGOS LÓGICOS En este tema plantearemos situaciones en los que se requiere de mucha concentración para obtener la respuesta correcta; sin necesidad de recurrir a la teoría matemática, sino al sentido común. En este tema veremos problemas sobre: - Razonamiento lógico - Test de decisiones. - Cortes y Estacas. - Parentesco (Relaciones familiares) - Máximos y Mínimos. Certezas - Orden de Información RAZONAMIENTO LÓGICO: A continuación abordaremos problemas que no requieren de alguna teoría matemática compleja, sólo nuestro sentido lógico. Ejemplo 1: Mañana será el ayer del antes de ayer del mañana del sábado. Que día fue ayer? Resolución: Empezamos por el final; es decir: Mañana del sábado: Domingo. Antes de ayer del domingo: viernes Ayer del viernes: jueves.  Mañana será jueves Hoy es miércoles. 

Ayer fue MARTES.

METODO PRÁCTICO Considerar la siguiente analogía gráfica

Consiste en transformarlo en un problema numérico, colocando en vez de ayer a “–1”, mañana a “+1”; y así los demás y luego sumando todos los equivalentes obteniendo un resultado que de nuevo lo transformaremos a su equivalente en días. Luego en el problema:  Mañana 1  Ayer -1  Antes de ayer -2 Nos piden: 1=-1-2+1+sábado Sábado 3 Hoy 0 = miércoles X = -1 + hoy X = miércoles -1 X = martes TEST DE DECISIONES:

HABILIDAD MATEMÁTICA Está dado por problemas con un aparente caso en su redacción, donde existen muchos datos en desorden, los que pueden ser ordenados por lo general en cuadros. Ejemplo 2: Al inicio del ciclo en el CEPRE se encuentran cuatro amigos deportistas cuyos nombres son: Juan, Mario, Luis y Jorge. Los deportes que practican son: natación, básquet, fútbol y tenis. Cada uno juega sólo un deporte. - El nadador, que es primo de Juan, es cuñado de Mario y además es el más joven del grupo. - Luis que tiene más edad, es vecino del básquetbolista, quien a su vez es un mujeriego empedernido. Juan que es sumamente tímido con las mujeres y es 7 años menor que el tenista. ¿Quién practica básquet? Resolución: Analicemos con cuidado:  Si el nadador es primo de Juan, entonces Juan no es nadador.  Como el nadador es cuñado de Mario, entonces Mario no es nadador.  Como el nadador es el más joven, Luis no puede ser nadador (ya que tiene más edad).  Luis no juega básquet, ya que es vecino del basquetbolista.  Juan es menor que el tenista, luego Juan no es el tenista.  Juan no juega básquet, ya que el basquetbolista es mujeriego y Juan es tímido. Colocando en un cuadro todo lo analizado, tendremos: -

Juan Mario Luis Jorge

Natación NO NO NO

Básquet NO

Fútbol

Tenis NO

NO

Como cada personaje practica sólo un deporte, en cada columna debe haber un SI y en cada fila también; Esto hace que si una fila y columna tienen en este caso tres veces NO, el cuarto casillero se completa con SI. Entonces el cuadro completo será: Juan Mario Luis Jorge

Natación NO NO NO SI

Básquet NO SI NO NO

Fútbol SI NO NO NO

Tenis NO NO SI NO

Por lo tanto, el que practica básquet es Mario CORTES Y ESTACAS: Si tuviéramos una varilla de 12 cm, necesitamos hacer un corte para lograr dos piezas iguales, o dos cortes para lograr tres piezas iguales o tres cortes para lograr cuatro piezas iguales. Representamos esto gráficamente: 24

12 Nº de Cortes 12= 1 = 24 - 1

12

12

Ciclo Intensivo 2014

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA 

24 8

8

8

Nº de Cortes = 2 = 24 - 1

8 En el segundo ejemplo, 24 es la Longitud Total (Lt) de la varilla y 8 es la Longitud de cada pieza o Longitud Unitaria (LU), de modo que en general: * El Nº de CORTES que podemos hacer en una varilla estará dado por la siguiente relación: Nº CORTES =

Lt -1 Lu

* Para considerar el hecho de colocar postes o estacas, cada cierta distancia; como en el caso de cortes, lo consideramos gráficamente: Nº ESTACAS =

Lt Lu

+1

Ejemplo 3: Un joyero cobra S/.5 por dividir una barra de hierro en dos partes. Cuánto se tendrá que pagar si debe partirla en 7 pedazos? Resolución: 1 corte obtenemos 2 pedazos 2 cortes obtenemos 3 pedazos 3 cortes obtenemos 4 pedazos  6 cortes obtenemos 7 pedazos  Pago = 6 x 5 = S/.30 PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO La resolución, en algunos casos, consiste en tener presente que cada uno de nosotros, dentro de nuestra familia, desempeña diferentes roles; así, se puede ser al mismo tiempo padre, hijo, hermano, esposo, etc.

Ejemplo 4: En una familia se notan 2 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas. Al menos, cuántas personas conforman esta familia? Resolución: “Por lo menos” , “Al menos” sirven para expresar la mínima cantidad Hermanos Papá

Mamá

Esposos

Hijas Hermanas Sobrinas

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Tio

Mínimo nº de personas = 6

PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS Ejemplo 5: Una urna tiene 15 bolas negras, 12 rojas y 9 amarillas. Cuál es la mínima cantidad que debo sacar para tener al menos una de cada color? Resolución: Supongamos que la primera bola que se extrae es negra (son las que más hay); luego necesito sacar una roja y finalmente una amarilla para tener una de cada color; pero la próxima puede seguir siendo negra y así sucesivamente. Por lo tanto, las primeras bolas que se extraen son las 15 de color negra; las siguientes serán las 12 de color rojo y finalmente se sacará una de color amarillo.  Bolas extraídas = 15 + 12 + 1 = 28 ORDEN DE INFORMACIÓN Los principales casos son: a) Ordenamiento vertical: se aplica para el ordenamiento de alturas tamaños, edades, puntajes obtenidos por personas, entre otros. Ejemplo 6: José es mayor que Saúl. Sandro es menor que Julio. Saúl es menor que Sandro. Quién es el menor? Resolución: José Julio Sandro Saúl  La menor es Saúl. b) Ordenamiento horizontal: se aplica para ordenamiento de personas en una hilera o sentados en butacas o uno al lado de otro; para autos en hilera, entre otros. Ejemplo 7: Seis amigos: A, B, C, D, E, F; se sientan en seis asientos contiguos en el cine. A se sienta junto y a la izquierda de B; C está a la derecha de A, entre F y D; D está junto y a la izquierda de E; F está a la izquierda de E. Quién ocupa el cuarto asiento, si los contamos de izquierda a derecha? Resolución: Ubicando de acuerdo a la información, tenemos: Izquierda Derecha A B F C D E  el 4º asiento es ocupado por C c) Ordenamiento circular: se aplica cuando un conjunto de seres se ordenan alrededor de una mesa circular o elíptica, o juegan a la ronda. Ejemplo 8: Seis amigos están sentados alrededor de una mesa elíptica. Si se sabe que Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. Fernando no está al lado de Gustavo ni de José. Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. Pedro está sentado junto a Enrique, a su derecha. ¿Quién está sentado a la izquierda de Enrique? Resolución: Ubicando de acuerdo a la información tenemos:

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HABILIDAD MATEMÁTICA 4. Orlando tiene cuatro cajas iguales; en una de ellas, coloca monedas de S/. 1; en otra, monedas de S/. 2, y en las otras dos, monedas de S/. 5. Luego, las cierra y, al etiquetarlas con el valor de las monedas que contiene cada caja, se equivoca en todas. Para reetiquetarlas correctamente será suficiente con abrir

 JOSÉ es el que está sentado a la izquierda de Enrique. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO SIMPLE Es aquel tipo de razonamiento que partiendo de una conclusión general se llega a verificar una premisa particular. Ejemplo 9: Los hijos de la señora Carmela son inteligentes. Leonardo, es hijo de la señora Carmela.  Leonardo es inteligente.

PRÁCTICA 1. Hay 70 plumones en una caja: 20 son rojos, 20 son verdes, 20 son amarillos y de los restantes algunos son negros y los otros blancos. ¿Cuántos plumones como mínimo debemos extraer de la caja, sin mirarlos, para tener la seguridad de que entre ellos habrá 10 plumones del mismo color? a) 36

b) 37

c) 38

d) 35

e) 39

2. Cinco alumnos, Alberto, Benito, Carlos, Darío y Emilio, responden verdadero (V) o falso (F) en un examen de cuatro preguntas de la siguiente manera: Preguntas 1ra. 2da. 3ra. 4ta.

Alberto

Benito

Carlos

Darío

Emilio

V F V F

F V F V

V F F F

F F V V

V F F V

Si uno de ellos contestó todas las preguntas correctamente, otro falló en todas y un tercero falló en tres, ¿quién contestó todas las preguntas correctamente? a) Darío b) Carlos c) Benito d) Alberto e) Emilio 3. En la figura se muestra un sólido de madera que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular. Un carpintero requiere dividir este solido en 18 cubitos equivalentes, siguiendo las líneas marcadas ¿Cuántos cortes como mínimo deberá realizar? a) 5 b) 4 c) 7 d) 6 e) 9

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a) la caja etiquetada con “monedas de S/. 2”. b) una caja etiquetada con “monedas de S/.5”. c) las dos cajas etiquetadas con “monedas de S/. 5”. d) la caja etiquetada con “monedas de S/. 1”. e) una caja etiquetada con “monedas de S/. 5” y otra con “monedas de S/. 2”. 5. Cuatro buenos amigos están en la universidad en la misma especialidad en 7mo, 8vo, 9no y 10mo ciclo. Ninguno está en el mismo ciclo que el otro. Riky termina sus estudios este semestre. A Popy lo jalaron de ciclo y por eso va a estudiar con Pepe, quien siempre le pide prestado sus libros a Toño para el próximo ciclo. ¿En qué ciclo está Popy? a) 7mo

b) 8vo

c) 9no

d) 10mo

e) 6to

6. Fernando realizó una encuesta entre 3 amigos: Miguel, Oscar y Willy, obteniendo las siguientes respuestas a las preguntas. Miguel Oscar Willy ¿Eres profesional? ¿Tienes auto?

Si No

Si No

No Si

¿Te gusta viajar?

Si

No

No

Pero luego recordó que uno de ellos miente siempre, otro sólo miente una vez cada 3 preguntas que se le hace y el otro siempre dice la verdad. Además si todos hubiesen dicho la verdad las respuestas de los 3 hubiese sido la misma. ¿Quién miente siempre? a) Miguel d) Faltan datos

b) Oscar c) Willy e) No está claro el problema

7. Sonia, Raquel, Iris, Pamela y Maribel han competido en la gran maratón “Los Andes”. Al preguntárseles quién fue la ganadora ellas respondieron: Sonia: “Ganó Raquel” Raquel: “Ganó Iris” Iris: “Ganó Maribel” Pamela: “Yo no gané” Maribel: “Iris mintió cuando dijo que yo gané” Si una de ellas es la ganadora y solamente es cierta una de las afirmaciones. ¿Quién ganó la competencia? a) Sonia d) Pamela

b) Raquel e) Maribel

c) Iris

8. Milagros al acordarse de una persona se puso a pensar de la siguiente manera: “Yo lo conocí un viernes, a los tres viernes siguientes discutí con él y lo deje de ver, lo extraño mucho porque son cinco viernes que no lo veo ¿Qué fecha lo conoció si hoy es Domingo 13 de Mayo?”

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COMPENDIO ACADÉMICO a) 16 de marzo d) 20 de abril

b) 23 de marzo e) 9 de marzo

HABILIDAD MATEMÁTICA c) 13 de abril

9. Me preguntaron. ¿Cuántos hermanos tengo? y respondí: Tengo 10, pero conmigo no somos 11, porque somos 9 y somos 3 y además porque soy el último y el primero. ¿De cuántas personas se habla? (no me cuenten a mí). a) 11

b) 8

c) 10

d) 12

e) 13

10. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana de ayer de hoy? a) Sábado b) Viernes c) Domingo d) Jueves e) Miércoles 11. Si el ingeniero Macario invito a viajar a Huancayo, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro, al tío de su esposa, al suegro del otro hijo de su padre y al padre de su cuñada. ¿Con cuántas personas como mínimo viajaron con el ingeniero? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Manuel es 4 años menor que Alberto, Raúl es un año mayor que Pedro, Raúl es 2 años menor que Juan y Alberto es 7 años mayor que Juan. Al restar la edad de Alberto y la edad de Pedro, obtenemos: a) 5 años b) 8 años c) 6 años d) 12 años e) 10 años 13. Tres parejas de esposos asisten al matrimonio de un amigo. Ellos son Jorge; Alberto y Oswaldo y ellas son: Rosa, Maribel y Lourdes. Una de ellas fue con un vestido negro, otra de azul y la otra de rojo. La esposa de Jorge fue de negro; Oswaldo no bailó con Maribel en ningún momento. Rosa y la del vestido azul fueron al matrimonio de Lourdes. Alberto es primo de Lourdes. Jorge y el esposo de Lourdes siempre se reúnen con el hermano de Alberto. Entonces es cierto que: a) La esposa de Alberto es Maribel b) El vestido de la esposa de Jorge fue de color azul c) Lourdes es la esposa de Jorge d) La esposa de Alberto fue con vestido rojo e) Jorge y Oswaldo son hermanos 14. La señora María tiene un hijo en cada una de las siguientes Universidades: Católica, Pacífico y del callao, Cada uno de ellos estudia carreras diferentes: Ingeniería Industrial, Mecánica y Economía. Asimismo: Juan no estudio en la Católica, David no está en la U. Pacífico, el que está en la Católica no estudia Ing. Industrial, el que está en la U. Pacífico estudia Medicina, David no estudia Economía. ¿Qué estudia Tomás y en qué Universidad?

15. Ana, Rosa, Juana, Julia y Vanessa están jugando al póker alrededor de una mesa circular. - Juana está a la izquierda de Ana. - Vanessa a la derecha de Julia - Vanessa no está a la izquierda de Juana - Ana no está a la izquierda a la izquierda de Vanessa Entonces ¿entre quienes esta Rosa? a) Julia y Vanessa b) Juana y Ana c) Juana y Vanessa d) Julia y Ana e) Vanessa y Ana 16. Sobre una mesa hay 3 naipes en fila. Sabiendo que:  A la izquierda del rey hay un as.  A la derecha de una jota hay un diamante  A la izquierda del diamante hay un trébol.  A la derecha del corazón hay una jota.  El naipe del medio es: a) Jota de diamante b) As de corazones c) Rey de diamante d) Jota de trébol e) As de trébol 17. Coloque los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que la suma de los números de cada lado sea igual a 17. Dé como respuesta la suma de los números que van en los vértices. a) 9 b) 8 c) 18 d) 6 e) 17 18. En un aro de 10m de longitud se desea realizar cortes cada metro de longitud ¿Cuántos cortes se efectuarán? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 19. Si en una bolsa hay 8 sabores de caramelos mezclados. ¿Cuántos caramelos como mínimo debemos sacar al azar para obtener 5 de la misma clase a) 33

b) 39

c) 37

d) 36

e) 40

20. Se quiere cercar el jardín mostrado en la figura utilizando para ello 54 m de cerca. ¿Cuál es el área máxima que puede tener dicho jardín? a) 245 m2 b) 248 m2 c) 247 m2 d) 246 m2 e) 243 m2

a) Economía en la Católica b) Economía en la U. del Callo c) Economía en la U. del pacífico d) Mecánica en la Católica e) N.A.

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA Caso 1

SEMANA 02

1 triángulo = 1 2

HABILIDAD MATEMATICA Y RAZONAMIENTO INDUCTIVO DEDUCTIVO Es aquel razonamiento que partiendo del análisis de situaciones particulares llega a una conclusión en general: C A S O 1

C A S O 2

C A S O 3

1

Caso 2 4 triángulos = 2 2

1 2

INDUCCIÓN

CASO GENERAL

Caso 3 1

9 triángulos = 3 2

2 3

Ejemplo 1: Calcule la suma de cifras del resultado de: (333 ..... 333 ) 2  (20 )cifras

En el problema: 1 2 3

Resolución:

20 2 = 400 triángulos

Por inducción: 32  9 

 cifras  9  9x1 33 2  1089   cif  18  9x2 333 2  110889   cif  27  9x3

   333 ..... 333        20 cifras 

18 19 20

Ejemplo 4: Hallar la suma de las cifras del resultado de: 2 E  (999....99    5)

2   cif  9 x 20  180

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se puede leer OROPESA en el siguiente arreglo?

101 cifras

Resolución: Analizando por partes, tenemos: 95 2



Resultado S uma de cifras 9025  1 9 7

2 99 5



990025



2



99900025



3 9 7

 9999000025 

4 9 7

999 5

Resolución: Por inducción

2 9999  5

2 9 7

Cantidad de cifras "9" (999 ... 99 5 )2 

 100  9  7 = 907

100 cifras

Ejemplo 5: ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"? Como OROPESA tiene 7 letras: 7 1

2

S E

6

 2  64

B A

Ejemplo 3: ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

S

1

T

2

I

3

A N 18 19 20

T

A N

A S

I

T

A

B A

S

I

N

E B

T I

A N

Resolución: Cuando la palabra tiene:

A S I

A N

S T

T I

A N

N

A N

N

1

Resolución:

S : 1 letra

Analizando por partes, tenemos:

S  1 forma s  2 0

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I A

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

S E E

A  ......... 1  .......... 5  .......... 6

1

SE : 2 letra s

 2 formas  2

A  .......... .2  La suma de las tres ultimas cif ras term ina en : 2

1

Ejemplo 8: Hallar: a + b + c + d

1

SEB : 3 letras

Si: abcd.9999999  ....3518

S  4 formas  2 2

E E

Resolución:

B B B

Transformación:

SEBA : 4 letras

abcd.(10000000  1)  ...3518

1

abcd0000000  abcd  ...3518

S E B A

E B

A

A

...(9  a)(9  b)(9  c )(10  d)  ...3518

 8 formas 2 3

B

Comparando: 9–a=3 9–b=5 9–c=1 10 – d = 8

A

En el problema: SEBASTIAN : 9 letras

1

   

a + b + c + d = 20 2 8 = 256 formas

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Ejemplo 9: Calcular: E  3 99  100  101  10

Es un modo de razonar donde a partir de una información general llegamos a establecer cuestiones particulares.

3

A S O S C A S O 2 C

3

P A R T I C U L A R E S

9  10  11  10

9  10  11  10

(10  1)(10 )(10  1)  10

C A S O 3

Diferencia de cua drados

Ejemplo 6: Calcule el valor de:

3

E = 1111108888 89 y dar como respuesta la suma de cifras del resultado. Resolución:

3

Por deducción:

(10 2  1)(10)  10

(10 3  10)  10  10

Reemplazando en la expresión: 2

 33

E  3 9  100  101  10  10

110889  333 2  333 11108889  3333

2

E  3 (100  1)(100)(100  1)  100

 3333

Diferencia de cuadrados

 Luego : E  1111108888 89  333333

E  3 (100 2  1)(100)  100

Sumando sus cifras resulta 18 Ejemplo 7: ¿En qué cifra termina el desarrollo de A? ncifras 

ncifras 

 E  3 (100 3  100 )  100  100 ncifras 

222....222 666...666 777...777 A  111 111  555 ...555  666 ...666 ....       ncifras

3

Resolución: Trabajando por partes:

C A S O 1

1089  33

a=6 b=4 c=8 d=2

ncifras

Resolución: Por deducción:

Ciclo Intensivo 2014

ncifras

Ejemplo 10: Calcule: R

26 cif ra  24 2424 2424 ... 24   ...  13 1313 1313 ...13  26 cif ra

Resolución: Sabemos que: 2424 = 24 (101)

1313 = 13 (101)

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

242424=24(10101) 131313=13 (10101) Luego: R

8. Hallar el valor de “K” K = 200 201 202 203  1 a) 6104 b) 40601 c) 4061

24 24(101) 24 (101 ... 1)   ...  13 13(101) 13 (101...1)  13 veces 24

R



24

. . . 

d) 60415

e) 6041

9. Un obrero acomoda cierto número de esferas metálicas de acuerdo a la siguiente secuencia:

24

1313   13   13 veces

R

24 (13)  24 13

F1

PRÁCTICA

F2

F3

Determine el número de esferas que ubicará en la posición 20 a) 1200 b) 960 c) 800 d) 1160 e) 820

1. Calcular la suma de cifras de A A = ( 11111111)2 a) 25 b) 36 c) 49

d) 64

e) 81

2. Halla la suma de cifras del resultado de efectuar:

(⏟

10. En la figura mostrada hay en total 1024 esferas sombreadas. ¿Cuántas esferas sin sombrear hay? a) 1024 b) 512 c) 961 d) 1089 e) 900

) √

a) 1000 d) 100 006

b) 10 006

c)100 000 e) 100 008

3. Halla la suma de cifras del resultado de: (⏞ a) 64

(⏞

)

b)49

c) 36

d) 21

)

11. ¿Cuántos palitos se han utilizado en el siguiente gráfico? Dar como respuesta la suma de sus cifras.

e) 81

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 10

4. Hallar la suma de cifras del resultado: E  123400000  (21)² 54000  4(5)(6)

a) 6

b) 7

c) 8

d)9

e) 5

5. Calcular la suma de cifras de “M”. 2 M  666666 ..... 666   200 cifras a) 1800

b) 2700

c) 2800

1

d) 3900

e) 3000

6. Calcular la suma de cifras del resultado de:

a) 189

b) 200

c) 180

R  323232    3232 x6

Columna B Suma de cifras de:

2014 cifras

d) 1900

e) 2000

44444  444  88888  888 100cifras

7.

a) A es mayor que B c) A es igual a B e) ¡No use esta opción!

Si :  a  b  c   361 2

Calcular : abc  bca  cab

a) 1887

b) 1777

Ciclo Intensivo 2014

c) 1667

d) 2109

19 20

50cifras

A  (77.......77  44......44)2 2014 cifras

2

12. Compara las cantidades obtenidas, luego de efectuar: Columna A Suma de cifras de:

50cifras

b) A es menor que B d) No se puede determinar

e) 1557

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

13. Calcular : C+A

1x3x5x7 x........x99 a) 5

b) 6

2013

 ..........MAC

c) 7

d) 16

a) 44 000 b) 45 000 c) 54 000 d) 44 100 e) 35 000

e) 25

14. Luego de efectuar las operaciones, determina el valor de verdad de las proposiciones: E

760  37  39  49  255  242 38  40 1481 95

20. Calcular el número de palitos en:

I. El resultado es un cuadrado perfecto II.La suma de cifras del resultado es 5 III. El resultado es múltiplo de 7 a) VFV

b) FVV

c) VVV

d) FFV

a) 450 b) 720 c) 625 d) 420 e) 610

e) FVF

15. Simplificar: E

a) 1

(621x 579)  441 (315 x 285)  225

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

16. Al unir los centros de las circunferencias se forman sectores circulares. ¿Cuántos de éstos se contarán en total?

SEMANA 03 PLANTEO DE ECUACIONES I

a) 2500 b) 2750 c) 6500 d) 6600 e) 7500

17. Halle el número total de cuadrados sombreados.

a) 441 b) 440 c) 320 d) 896 e) 625

18. Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se indica en la figura.

PLANTEAR UNA ECUACIÓN ES: Leer cuidadosamente la situación planteada, (problema) y tratar de entender a qué se refiere.  Identificar las magnitudes (todo que se puede medir) dadas, como datos y lo que nos piden (incógnita).  Simbolizar la incógnita con una variable (x, y,....) y tratar de relacionar con los datos mediante las operaciones dadas (multiplicación, adición,..) es decir: “plantear la ecuación”.  Finalmente resolver la ecuación (despejar la incógnita). RESUMEN: 

LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADOS)

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA

a) 1250 b) 1225 c) 1500 d) 1600 e) 1275 1

2

3

... 51 52 53

19. Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente:

Ciclo Intensivo 2014

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COMPENDIO ACADÉMICO Número aumentado en 3. Una cantidad disminuida en 100. “A” es el doble de “B” La edad de Juan es el triple que de la Pedro.

HABILIDAD MATEMÁTICA x+3 x – 100 A = 2B J = 3P

La suma de 2 números vale 10.

A + B = 10

La diferencia de nuestras edades aumentada en 20.

x – y +20

La mitad del precio de un artículo.

P/2

“A” excede “B” en 5 unidades.

A–B=5

El producto de 2 números. Un número de 2 cifras. 2 números consecutivos. “A” es a “B” como 2 es a 3. “7 veces un número” El cuadrado de la suma de 2 números. Suma de los cuadrados de 2 números. El triple de un número aumentado en 10. El triple, de un número, aumentado en 10. “A” es 3 veces más que “B” Los 2/5 de mi edad. La mitad de los ¾ de lo que tienes. ¿Qué parte de “A” es “B”?

AxB ab “x” y (x+1) A = 2 A = 2k y B 3 B = 3k 7x (x+y)2 x2 + y2

Del primer párrafo encontramos: Caballos: 4x Vacas : x Del segundo párrafo obtenemos: Caballos: 4x + 5 Vacas: x + 5 Caballos sería 2 veces mayor que vacas 3 4x + 5 = 3(x+5) 4x + 5 = 3x + 15 x = 10  Caballos comprados son: 4(10) = 40 Ejemplo 3: En cada día, de lunes a jueves, gané $6 más que lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el miércoles?

3(x + 10)

Resolución

A = B + 3B ó A = 4B 2 x 5

1 3x . 2 4 B  ES A  DE

3y x

¿Qué porcentaje de “m” es “n”?

n x 100% m B x 100% A

Ejemplo 1: El cuadrado de un número, disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar el número. Resolución: Sea “N” el número buscado e interpretando la información, tenemos: N² - 9 = 8 (N-2) N² - 9 = 8N – 16 N² - 8N + 7 = 0 (N-7) (N-1) = 0 N-7 = 0 ó N–1=0 N=7 ó N=1

Ciclo Intensivo 2014

Resolución

3x + 10

¿Qué fracción de “x” es 3y”?

¿Qué tanto por ciento de “A” es “B”?

Ejemplo 2: Compré el cuádruple del número de caballos que vacas, si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más, el número de caballos sería 2 veces mayor que el número de vacas. ¿Cuántos caballos compré?

De la información obtenemos que: Lunes :x Martes :x+6 Miércoles : x + 12 Jueves : x + 18 Además lo del jueves es el cuádruple del lunes; Es decir: x + 18 = 4x 3x = 18 x=6 El miércoles gané: 6 + 12 = S/. 18 Ejemplo 4: El largo de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión aumentara 4 m, el área aumentaría al doble. Hallar las dimensiones de la sala. Resolución Haciendo el esquema de una sala, para la primera condición, tenemos: x x+4 A1 = x (x + 4) Si las dimensiones aumentaran en 4 m tendríamos: x+4 x+8 A2=(x+4 )(x+8)

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COMPENDIO ACADÉMICO Del dato tenemos que: A2 = 2A1  (x + 4) (x + 8) = 2x (x + 4) x + 8 = 2x x=8  Dimensiones 8 m y 12 m. Ejemplo 5: Una mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto. Empieza su trabajo a las 8:00 am; y 40 minutos después, empieza otra mecanógrafa que escribe 102 palabras por minuto. ¿A qué hora habrán escrito estas el mismo número de palabras? Resolución La 1º mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto, entonces: en x minutos escribirá: 85x La 2º mecanógrafa escribe 102 palabras por minutos, y empieza 40 min después, entonces: en (x-40) min escribirá: 102 (x-40) Como las mecanógrafas han escrito el mismo número de palabras: 102 (x-40) = 85x 102x – 4080 = 85x 17x = 4080 x = 240 min (4 horas)  hora 8 a.m. + 4 h = 12 m Ejemplo 6: En un aula los alumnos están agrupados en bancas de 6 alumnos por banca. Si se les coloca en bancas de 4 alumnos por banca se necesitarían 3 bancas más. Cuántos alumnos hay en el aula? Resolución Sea N el número de alumnos en el aula y “x” el número de bancas. Al agruparlos de 6 en 6 tenemos: N = 6x Al agruparlos de 4 en 4 tenemos: N = 4(x+3) Como son iguales entonces 6x = 4x + 12 2x = 12 x=6

HABILIDAD MATEMÁTICA

N3 3 3 N2   4 N2 4 De esta proporcionalidad obtenemos que: N2 = 4K N1 = 5k N3 = 3K El producto es 3840  (5K) (4K) (3K) = 3840 60K3 = 3840 K3 = 64 K=4  el menor es N3 = 3 (4) = 12 N3 

Ejemplo 8: Se reparte 3000 soles entre 4 personas de tal manera que a la primera le corresponda 400 soles más que a la segunda; a ésta, 4/5 de lo que le corresponde a la tercera; y ésta 100 soles más de lo que le corresponde a la cuarta. ¿Cuánto recibió la segunda persona? Resolución Al repartir los S/. 3000 entre 4 personas y empezando el análisis entre la 2da y 3era persona, luego entre la 1era y la 2da y finalmente entre la 3era y la 4ta tendremos

3000

 4k+400+4k+5k+5k–100 = 3000 18k = 2700 k = 150  La segunda persona recibió: 4(150) = S/. 600 Ejemplo 9: A una cantidad le quito el doble de lo que no le quito, entonces me queda n/2 soles; Pero si sólo le hubiera quitado la mitad de lo que me queda, entonces tendría S/. 550. ¿Cuánto me falta para tener la cantidad inicial? Resolución Sea:

Finalmente N = 6.6 = 36 alumnos Ejemplo 7: Se tiene tres números tales que el segundo es 4/5 del primero, el tercero es ¾ del segundo y el producto de los tres números es 3840. Hallar el menor. Resolución Sea N1, N2 y N3 los tres números N2 4 4 N 2  N1   5 N1 5

Ciclo Intensivo 2014

P1 = 4k + 400 P2 = 4K P3 = 5K P4 = 5k – 100

Pero:

Quito 4x

N Quito 2x Tendría

X

5x

5x = 550 x = 110 Falta: 4(110) = 440 Ejemplo 10:

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

Con los alumnos de un salón se puede formar un cuadrado compacto sin que sobren alumnos, pero también se pueden formar dos cuadrados compactos sin que sobren alumnos, siendo los números de alumnos que forman los lados de estos dos últimos cuadrados dos números consecutivos. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? (dé como respuesta la suma de la cifras del número de alumnos).

Resolución

=

Cc

Se cumple: C2 = a2+b2 52 = 42+32 Número de alumnos = 52 = 25 Suma cifras= 2+5=7

b) 23

Bb

Aa

2. En un campeonato A metió 3 goles más que B pero 5 menos que C. Los goles de A excedió en 7 a los de D y fue excedido por un gol al de E. Si en total se metieron 81 goles. ¿Cuántos goles metió D? a) 14 b) 17 c) 10 d) 22 e) 18 3. Un número excede al cuadrado más próximo en 29 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 18 unidades. Hallar la suma de las cifras del número. c) 7

d) 14

e) 18

4. Si trabaja los lunes, un peón economiza 40 000 soles semanales; en cambio, la semana que no trabaja el día lunes, tiene que retirar 2 000 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar S/.220 000. ¿Cuántos lunes dejo de trabajar en estas 10 semanas?. b) 9

c) 5

d) 3

e) 7

5. Un estudiante escribe en un cuaderno cada día la mitad de hojas en blanco que posee ese día más 5 hojas, si al cabo de 4 días ha gastado todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno? a) 20 b) 40 c) 70 d) 150 e) 140 6. Se quiere cubrir una superficie con losetas y se observa que si se quiere formar un cuadro faltan 8 losetas, pero si a

Ciclo Intensivo 2014

d) 21

e) 53

7. Se dispone de S/. 20 000 para la compra de libros si no hacen rebaja, quedarían S/. 2 000, pero si hacen S/. 50 de rebaja por libro, sobrarían S/. 5 000 ¿Cuánto costo cada libro? b) S/. 250 e) S/. 150

c) S/. 300

9. Carlos tiene un barril de cerveza que está lleno ½ de lo que no está lleno. Se extrae una cantidad igual a 1/3 de que no se extrae. ¿Qué parte del volumen del depósito quedara con líquido? a) 1/4 b) 1/6 c) 1/5 d) 1/8 e) 1/7

1. El exceso del quíntuplo de un número sobre 36 equivale al exceso de 60 sobre 3 veces el número. La tercera parte del número es: a) 12 b) 10 c) 4 d) 15 e) 30

b) 12

c) 24

8. Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente uno de ellos 200 soles más que el otro. Después de igual número de días reciben 2 4000 y 2 1000 soles, respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente cada uno de los obreros? a) 1100 y 1300 b) 2200 y 2400 c) 1600 y 1800 d) 1000 y 1200 e) 1400 y 1600

+

PRÁCTICA

a) 1

a) 25

a) S/. 200 d) S/. 350

Planteamos:

a) 10

este cuadrado se agrega una loseta por lado, faltan 23 ¿Cuantas losetas se tienen?

10. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones, se le agregó 10, al resultado se le multiplicó por 5, para quitarle enseguida 26. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el número?. a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

e) 14

11. En un corral se observa 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 3 patos, si en total se cuentan 176 cabezas. Halle el número total de patas. a) 512

b) 72

c) 120

d) 320

e) 215

12. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles?. a) 36

b) 42

c) 54

d) 60

e) 28

13. En un concurso de admisión, la prueba de R.M. tenía 100 preguntas, por cada respuesta correcta se le asigna un punto y cada incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto. César ha obtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿Cuántas erró? a) 10 b) 50 c) 30 d) 25 e) 40 14. A un tubo de metal se le dan dos cortes de modo que el trozo central es 5 metros menor que el tercero y 3 metros mayor que el primero y además el trozo central es al primero, como el tercero es al central. ¿Cuál es la longitud del tubo? a) 22.5m

b) 21.5m

c) 24.5m

d) 23.5m

e) 24m

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

15. Tengo determinada cantidad de caramelos que voy a repartir entre mis hermanos. Si les doy 10 a cada uno me sobran 6, pero si les doy 12 a cada uno, al último sólo podría darle 8 caramelos. ¿Cuántos hermanos somos? a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

TIPO B: A Ñ O + E D A D = A Ñ O N A C .A C T U A L A C T U A L

e) 3

16. En un parque se observa que el número de bancas excede en 11 al número de árboles además si se plantaran 8 árboles más y se quitaran 13 bancas, entonces el número de árboles serían el doble del número de bancas. ¿Cuál es el número de bancas? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 17. A un empleado le prometen pagarle anualmente S/.1 400 y una sortija. Al cabo de 8 meses es despedido y le pagan S/. 900 más la sortija. ¿Cuál es el precio de la sortija? a) 200 b) 100 c) 150 d) 160 e) 210 18. Johana tiene dos veces más de lo que tiene Paula, si Johana le da S/. 18 a Paula entonces tendrían la misma cantidad, ¿cuánto tienen entre las dos? a) 70 b) 71 c) 72 d) 74 e) 73

DIAGRAMAS CON FILAS Y COLUMNAS Se emplean cuando se trata de dos o más persona con edades relacionadas en diferentes tiempos. En las filas (horizontales) se anota la información de cada personaje y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos sobre el pasado, presente o futuro. TIPO C:

TIEMPOS

b) 278

c) 290

d) 282

e) 320

20. Jorge ha ganado 360 soles por un trabajo y su ayudante Luis 160 soles trabajando cuatro días menos. Si Jorge hubiera trabajado el mismo tiempo que Luis y viceversa, hubieran ganado igual suma. ¿Cuántos días trabajo Luis? a) 8 b) 12 c) 16 d) 10 e) 14

SEMANA 04 EDADES Problemas sobre edades es un caso particular de Planteo de Ecuaciones, pero debido a la diversidad de problemas y a la existencia de formas abreviadas de soluciones se les trata como un tema aparte. En estos problemas intervienen personas, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse. Estas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según el problema. DIAGRAMAS LINEALES Se emplean cuando se trate de un solo personaje cuya edad a través del tiempo debe marcase sobre una línea que representará el transcurso del tiempo. TIPO A:

PASADO Tenía YO Tuve Tenías TU Tuviste Tenía EL Tuvo

P E R S O N A S

19. Me falta para tener 486 soles el doble de lo que me falta para tener 384 soles. ¿Cuánto tengo? a) 280

Siempre y cuando la persona ya cumplió años en el presente.

PRESENTE Tengo Tienes Tiene

FUTURO Tendré Tenga Tendrás Tengas Tendrá Tenga

PROPIEDADES  Para avanzar en el tiempo, se suman los años por transcurrir a la edad que se toma como punto de partida. Ejemplo 1: Si Roberto tiene actualmente 30 años, dentro de 10 años, Roberto tendrá: 30 + 10 = 40 años 

Si se intenta retroceder en el tiempo se restarán los años deseados a la edad de referencia Ejemplo 2: Si Juana tiene actualmente 20 años, hace 8 años, Juana tenía: 20 – 8 = 12 años



La diferencia de edades entre dos persona es una constante, en cualquier tiempo Ejemplo 3: Pasado. Presente. Futuro. Andrés

10

12

16

Braulio

6

8

12

DIFERENCIA

4

4

4

Ejemplo 4: Si actualmente una persona tiene 35 años, ¿qué edad tenía hace 15 años y cuántos años tendrá dentro de 8 años?

Ciclo Intensivo 2014

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

Resolución: Analizando en un esquema, según los datos:

la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 78 años, ¿Cuántos años tengo? Resolución: Relacionando los datos en el cuadro P A S A D OP R E S E N T EF U T U R O

7 6

Ejemplo 5: Dentro de 30 años tendré el cuádruple de la edad que tenía hace 15 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 20 años? Resolución: Analizando en un esquema, según los datos:

4 Sumando la edad en el futuro: 7x + 6x = 78 X=6  Yo tengo: 3x = 3(6) = 18 años

Ejemplo 8:

Se plantea luego: 3x - 15 = 30 x = 15  La edad actual: x + 15 = 15 + 15 = 30 años Dentro de 20 años su edad será: 30 + 20 = 50 años. Ejemplo 6:

Al preguntarle a Melanie por su edad, ella responde: “Mi edad, más 2 veces mi edad, más 3 veces mi edad, y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad como la edad que tengo, suman en total 4200”. ¿Cuál es la edad de Melanie? Resolución: Edad de Melanie: x años Según el texto x+2x+3x+…+x(X) = 4200 x(1+2+3+…+x) = 4200 ( )(

Una persona nació en 19ab y cumplió “a+b” años en el año de 19ba . ¿En qué año cumplió “a.b” años? Resolución:

)

x2 (x+1)=8200 Dando forma= x=20 ∴ Melanie tiene 20 años

Por dato:

PRÁCTICA A Ñ O N A C IM .

A Ñ O R E F .

1 9 a b

1 9 b a E D A D (a + b )

Se plantea:

19ab

19ba

a 4b 5

 Año de nacimiento: 1945 El año que cumple: a . b = 20 es: 1945 + 20 = 1965 Ejemplo 7: Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes actualmente. Si cuando tengas el doble de

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1. Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuál es su edad actual? a) 20 b) 30 c) 50 d) 24 e) 40 2. Carlitos tendrá 6 veces la edad que hace 10 años tenía, dentro de 65 años. ¿Cuándo cumplirá un cuarto de siglo de vida? a) dentro de 5 años b) 30 c) 50 d) 24 e) 40 3. Cuando a Carmen se le pregunta por la edad de su tortuga, ella responde “hace 4 años tenía la cuarta parte de los años que tendrá dentro de 8 años. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el cuádruple de los años que tenía hace 3 años? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 4. Tú tienes 16 años. Cuando tengas el triple de lo que yo tengo, entonces mi edad será el doble de lo que actualmente tienes. ¿Dentro de cuántos años cumplirá 40 años? a) 23

b) 28

c) 26

d) 25

e) 29

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COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

5. Cuando tú tenías la edad que yo tengo, yo tenía la cuarta parte de la edad que tú tienes. Si hoy nuestras edades suman 52 años. ¿Cuál será tú edad cuando yo tenga la edad que tienes tú? a) 40 b) 41 c) 26 d) 43 e) 44 6. Cuando yo tenía la edad que tú tenías cuando yo tuve 20 años, tú tenías 10 años. ¿Cuándo años tenía cuando tú tenías 12 años? a) 16

b) 17

c) 18

d) 19

e) 15

7. Cuando tú naciste yo tenía la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes si a la suma de nuestras edades cuando yo tenía lo que tú tienes le añades la suma de nuestras edades actuales obtendrían 80 años. ¿Qué edad tienes actualmente? a) 15 años d) 10 años

b) 20 años e) 40 años

c) 30 años

8. Se sabe que de hoy a 5 años Verónica sería tan vieja como Carmen es ahora, quien tiene la cuarta parte de la edad que tendría. Carlos en ese entonces. Hallar la suma de las edades de los tres dentro de 10 años si Carlos es mayor que Carmen en 16 años. a) 47 años b) 62 años c) 47 años d) 53 años e) 72 años 9. Pool dice: Si hubiera nacido hace 3 años mi onomástico vigésimo cuarto sería un año bisiesto. Si mi madre dio a luz a mi hermano mayor en 1979 y mi hermana menor, la consentida, nos acompaña desde 1986. ¿Cuántos años tendré en el 2010? (Obs.: somos tres hermanos). a) 25 años b) 26 años c) 28 años d) 27 años e) 24 años 10. Se sabe que de hoy a 5 años Manuel sería tan viejo como Juan es ahora, quien tiene la cuarta parte de la edad que tendría Carlos en ese entonces. Hallar la suma de las edades de los tres dentro de 10 años si Carlos es mayor que Juan en 16 años. a) 47 años b) 62 años c) 46 años d) 53 años e) 72 años 11. Cuando él nació yo tenía la edad que tienes que es la edad que el tendrá cuando tú tengas 20 años y yo el doble de la que tienes. ¿Qué edad tienes, si él tiene la edad que yo tenía cuando tú naciste; además yo tengo actualmente 22 años? a) 32 años b) 14 años c) 22 años d) 20 años e) 24 años 12. Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la del hijo y dentro de 5 años, será solamente el doble de la edad de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? a) 28

b) 29

c) 30

d) 31

e) 32

13. Carmen le pregunta a Susy sobre los años que tiene, entonces responde: Tengo el doble de la edad que tenías

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cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Cuál es la edad actual de Susy sabiendo además que dentro de 6 años sus edades sumarán 68 años? a) 30

b) 16

c) 28

d) 35

e) 32

14. Si al cuádruplo de la edad que tendré dentro de 10 años, le restamos el triple de la edad que tenía hace 5 años resulta el doble de mi edad actual. Qué edad tenía hace 5 años. a) 40 años d) 30 años

b) 42 años e) 50 años

c) 45 años

15. Él le dice a Ella: “Yo tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes”. ¿Cuántos años tiene el, si sus edades suman 50 años? a) 20 años d) 30 años

b) 25 años e) 50 años

c) 15 años

16. Dentro de 20 años, la edad de María será a la de Diana como 4 es a 3. ¿Cuál es la edad de Diana si hace 13 años la edad de María era el quíntuplo de la de Diana? a) 12 años d) 30 años

b) 28 años e) 15 años

c) 16 años

17. Una persona tiene en 1988 tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es su edad actual (2013), considerando que este año ya celebró su onomástico? a) 49 años b) 48 años c) 58 años d) 30 años e) 50 años 18. Romeo le dice a Julieta: Tú tienes 18 años pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 48 años. ¿Qué edad tendrá Romeo dentro de 8 años? a) 10 b) 20 c) 45 d) 30 e) 35 19. Un discípulo le dice a su maestro: “Cuando tu tenías el triple de la edad que yo tengo, yo tenía la onceava parte de la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas el cuádruplo de la edad que tengo yo, la suma de nuestras edades será 80 años. ¿Qué edad tiene el discípulo? a) 12

b) 14

c) 15

d) 16

e) 25

20. Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año en que cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año que nací con el año actual, obtendrás 6. ¿Qué edad tengo? a) 26 b) 24 c) 28 d) 22 e) 20

SEMANA 05 FRACCIONES Definición: Una fracción es la división indicada de dos números enteros no nulos. Fracción =

a b

Numerador Denominador

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COMPENDIO ACADÉMICO Dónde: a  Z – {0} b  Z - {0}

HABILIDAD MATEMÁTICA Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad: RELACIÓN PARTE - TODO EN TANTO POR CIENTO

º

a  b OPERACIONES CON FRACCIONES 1) Adición y Sustracción: Tenemos 2 casos: Caso I: Para fracciones homogéneas. Ejemplo: 3  1  5  3  1  5  7 12 12 12 12 12 Caso II: Para fracciones heterogéneas. Ejemplo: 3  1  2 4 2 7 M.C.M (4; 2 y 7) = 28 Luego:

21  14  8 35  8 27   28 28 28

PORCENTAJE TANTO POR CUANTO: Veamos un ejemplo, tenemos un terreno de forma cuadrada y la dividimos en parcelas de 9 partes iguales y tomamos 4 de esas partes: Total 9 partes

x Parte: Todo:

Parte  100% Todo

se indica con los términos: se indica con los términos:

"es" "son", "serán" ...... de, del, de los, ..........

Ejemplos: 1. ¿Qué tanto por ciento es 20 respecto a 80? P 20  100   100  25% T 80

2. ¿Qué tanto por ciento de 60 es 6?

P 6  100   100  10% T 60

3. ¿Qué tanto por ciento es A de B? P A 100A  100   100  T B B

5. En nuestro salón de clases se observa que hay 42 alumnos hombres y las mujeres representan el 33 1/3% de aquellos. ¿Qué tanto por ciento representa los varones respecto al total de alumnos? Varones: 42 Mujeres: 33 1 %(42)  100 % (42)  14 3 3

4 partes => 4 partes de 9 < 4/9 ............. "el 4 por 9" Además: Total < > 9 partes < > 9/9 ................ "el 9 por 9"

Total de alumnos: 42 + 14 = 56 P 42  100   100  75% T 56

APLICACIONES

Del Centro Preuniversitario ingresarán 20 de cada 30 postulantes

Respecto a un total (100%) Pierde Queda 20% 80% 60% 40% m% (100-m)% Ejemplos:

- 20 de cada 30 ingresarán - 20 por cada 30 ingresarán - 20 por 30 ingresarán

1. Una persona tenía S/.240 y perdió 3 veces consecutivas el 25%; 10% y 50% respectivamente, lo que le iba quedando. ¿Cuánto le quedo al final?

EL TANTO POR CIENTO (%) Es un caso particular de la regla del tanto por cuanto, donde la unidad se divide en 100 partes iguales de los cuales tomaremos "m" partes iguales. m partes m/100 m %  “el m por ciento”.

Solución: Si pierde:

En general, dividimos una cantidad en "n" partes y tomemos "m" partes, entonces: m partes de n m/n "el m por n" Ejemplo:

Calcular: a) b) c) d) e)

el 36 % de 8000 ......... el 25 % de 200 ......... el 7 por 20 de 60 ......... el 5 por 10 del 5 por 7 de 350 ....... el 20% del 20% del 20% de 5000

Ciclo Intensivo 2014

Gano 10% 33% X%

Tengo 110% 133% (100+x)%

25%

10%

50%

Le queda: 75%

90%

50%

75 90 50    240  S / . 81 100 100 100

Otro procedimiento: 240 - 25% le queda 180 (240-60) 180 - 10% le queda 162 (180-18) 162 - 50% le queda 81 (162-81)

Página 81

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

2. En una sala de "BINGO" una persona tenía cierta cantidad de dinero y apuesta 4 veces consecutivos. En las dos primeras pierde el 10% y 30% y en las dos últimas ganan el 20% y 25%; siempre de lo que iba quedando. Si al final se retiró con S/.1890. ¿Cuánto tenía al inicio? ¿Ganó o perdió?. Resolución: Dinero inicial: x



10%

30%

20%

25%

90%

70%

120%

125%

90 70 120 125     x  1890 100 100 100 100

x = 2000.  perdió: 2000 – 1890 = S/. 110 DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Ejemplos: 1. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 30%? Aplicando el método práctico 10%

30%

90%

70% 90

70 63    63% 100 100 100

Comparando con el número base. Se ha descontado el 37%. 2. ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 10% y 30%? Aplicando el método práctico: 10% 30%

Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor original y que es expresado en tanto por ciento. Ejemplos: 1. Si un número aumenta en 20%. ¿En qué tanto por ciento aumenta su cuadrado? Podemos analizar tomando como base un número cualquiera que para nuestro caso es conveniente el número 10 debido a que su cuadrado me dará como resultado 100. 10  100 (100%) 20% 12  144 (144%) Aumenta en 44% Otro procedimiento: Número base: 100% Aumentamos su 20%  120% Su cuadrado  (120%)² = 2

 120   144       144%  100   100  Por lo tanto aumenta en 44% 3. Si el radio de un cilindro aumenta en 10% y su altura disminuye en 20%. ¿En qué tanto por ciento varía su volumen? El volumen de un cilindro está relacionado de la forma siguiente:

V = r² . h Notamos que la variación del volumen depende directamente de “r” y “h”

r² . h 2

110%

130% 110 130

  143% 100 100

Comparando con el número base equivale a un aumento del 43%. 3. El precio del azúcar en este mes ha bajado en un 20% pero para el próximo mes se proyecta un incremento del 10%. En cuánto varía el precio, con respecto al inicial? De acuerdo al enunciado tenemos: 20% 10%

80%

110%  80  110  88 % 100 100

Comparando con el número base el precio disminuye en 12%. VARIACIONES PORCENTUALES

(110%) (80%)   110   80   96.8%  100   100  Con respecto al número base a disminuido en 3,2% Si el lado de un cuadrado disminuye en 20%, ¿en qué tanto por ciento disminuye su área? RESOLUCION:

Area Cuadrado  L2 Inicio Si: L=10

 Area Cuadrado  100u 2

Representa el 100% Final

L=10 aumenta en un 20% Siendo ahora L=12

 Area Cuadrado  144u 2

Representa el 144%

 Aumenta en un 44%

Ciclo Intensivo 2014

Respuesta: 44%

Página 82

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

¿Qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 25% y 20%? RESOLUCION: Toda cantidad al inicio representa el Tengo:

100%

8. ¿Qué parte de lo que la falta a 1/3 para ser 5/6 es lo que le sobra a 2/5 al quitársele 3/10? a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 1/5 e) 5/6

 D1  25%     Du D2  20% QUEDA (Me descuenta de 100% un 25% me queda un 75%) (Me descuenta de 100% un 20% me queda un 80% ) 75  80%  60% 100

Entonces de 100% me queda 60%, Luego induzco que me descontaron el 40% Respuesta 40%

PRÁCTICA 1. El 9 por 13 del 6 por 10 de una cantidad es el 2 por 5 del 27 por 39 de 60. Si lo expresamos en tanto por ciento 10 equivaldría a: a) 10%

b) 20%

c) 25%

d) 36%

e) 40%

2. El 20% de 70 % de A es igual al 30% del 60% de B. ¿Qué porcentaje de (2A + 2B) es (4A - 4B)? a) 45%

b) 75%

c) 25%

d) 80%

e) 66%

3. La razón entre el área sombreada y el área total de la figura es: a) b) c) d) e)

1/4 1/3 3/8 2/5 5/7

4. Dos caños llenan juntos un depósito en 40/9 horas. Si lo llenaran separadamente una demoraría 2 horas más que el otro. Halle la suma de estos dos tiempos: a) 16

7. Gasté 5/8 de lo que tenía y 20 dólares más, con lo cual me quedé con 1/4 de lo que tenía y 16 dólares más. ¿Cuánto tenía? a) $.287 b) $.288 c) $.286 d) $.285 e) $.298

b) 18

c) 20

d) 22

e) 24

5. Pedro realiza un trabajo en 10 horas y su ayudante, en 15 horas. El ayudante comienza primero y, después de 5 horas, trabajan juntos hasta terminar la obra. ¿Cuántas horas trabajaron juntos? a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 7 6. Un padre reparte entre sus 4 hijos $.7200 de la siguiente manera: a Alberto le dio 1/3 de lo que le dio a Benito, a Carlos 4/5 de lo que le dio a Alberto y Daniel 6/5 de lo que le dio a Carlos. ¿Cuánto recibió Carlos? a) $.850 b) $.900 c) $.950 d) $.1050 e) $.1000

Ciclo Intensivo 2014

9. Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4. Sumar las diferencias; multiplicar las mismas; dividir la suma entre el producto, tomar la tercera parte de cociente y extraer la raíz cuadrada. Al final se obtiene: a) 10

b) 12

c) 5

d) 8

e) 16

10. En un combate resultaron muertos 1/20 del total de soldados. Y el número de heridos es 1/12 del mismo número, más 60. El número de ilesos representa 1/2 del total de efectivos, más 820. ¿Cuántos hombres tenía el batallón? a) 2200

b) 2400

c) 2500

d) 1850

e) 2300

11. El 40% menos del 40% más de un número es igual al 50% menos del x% menos del 200% más del mismo número. Hallar "x": a) 56

b) 44

c) 24

d) 36

e) 40

12. En una empresa trabajan 3600 personas. Si el 25% son mujeres, ¿cuántos hombres deben retirarse para que el porcentaje de mujeres aumente en 15%? a) 1530 b) 900 c) 1800 d) 1350 e) 1250 13. Cuando a una obra le falta el 40% de su ejecución el tiempo de trabajo invertido por el equipo es 26 días más que cuando llevaba el 40%. Si las condiciones de trabajo se mantienen, el tiempo total, en días, de ejecución de la obra es: a) 65 b) 104 c) 130 d) 156 e) 12 14. En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces designadas como A y B respectivamente. Al cabo exactamente de un año se ha hecho un censo de ambas especies y se encontró que mientras la población de A se incrementó en el 20%, la población de B disminuyó en el 10% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual. Entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relación a la especie B es:

a) 1/2

b) 3/4

c) 5/6

d) 8/9

e) 1/3

15. En una elección uno de los candidatos obtuvo el 65% de los votos y sacó 1500 votos más que el otro candidato. Entonces el número de votos fue: a) 4500 b) 5000 c) 5500 d)2500 e) 4000 16. ¿En qué porcentaje aumenta el área total del cubo, si cada una de las aristas aumenta en un 50%? a) 50% b) 100% c) 200% d) 125% e) 225%

Página 83

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

17. Cuando al tanque de gasolina de un avión le falta el 45% de su capacidad para llenarse contiene 250 litros más que cuando estaba lleno al 45% de su capacidad. La capacidad del tanque del avión en litros es: a) 2500

b) 2250

c) 4500

d) 2400

e) 2300

18. Dos recipientes que contienen 20 litros y 30 litros de alcohol 40% y 60% respectivamente. A cada recipiente se empieza a adicionar agua, de manera que por cada litro de agua que se vierte al primero, se vierte 3 litros al segundo hasta que ambos recipientes resultan mezclas de la misma concentración. ¿Cuál es la concentración? a) 18%

b) 20%

c) 15%

d) 12%

e) 10%

19. Se tiene una mezcla de agua y vinagre que contiene el 20% de vinagre. Si se añade 2 litros de vinagre, la solución queda al 40% de vinagre. ¿Cuántos litros tenía la mezcla original? a) 8

b) 4,8

c) 6

d) 4

e) 9,9

20. “A” encarga vender un objeto a “B”, y éste le encarga a su vez a “C”, quien logra hacer la venta quedándose en un 10%, “B” recibe el resto pero a su vez retiene el 5% de lo que le dió “C”; y entrega el saldo a “A” que asciende a 855 soles. ¿en cuánto se vendió el objeto? a) s/. 1000 d) s/. 1050

b) s/. 950



Se define: 3 2 X +2013 = x  3x  3x  1 2 x 1

OJO:

S ie m p r e s e d e b e a n a liz a rla r e g la d e d e f in ic ió n p a r a p o d e rs im p lif ic a r e lp r o c e d im ie n t o 3 2  X + 2013 = x  3x  3x  1  2

x 1

OPERADORES MATEMÁTICOS OPERACIÓN MATEMÁTICA Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. REPRESENTACIÓN DE UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA: Una operación matemática se puede representar con una regla de definición, mediante una fórmula o una tabla de doble entrada.

Calcular:

1  2013

Resolución:

x 1

Calcular: 2013 Solución 2013 = 0+2013 =  0  1  1   1 2

0 1

1

Ejemplo : Se define en los R:

a

= a(a + 24)

= 4x – 40

X

x Calcular

23

33 Resolución: 23 Al no tener definida la operación triángulo, debemos despejar de la segunda expresión, aplicando la primera; es decir: = =

x

x + 24

x

Pero por definición de la segunda operación, tenemos:

4 x – 40 =

A. MEDIANTE FÓRMULA: Ejemplos:  Se define:

a  b  a 2  2a  3     Operador Reg la d e d efin ició n Matemático

2 = ( x  1)

 X + 2013

c) s/. 900 e) s/. 1150

SEMANA 06

( x  1)3 ( x  1)( x  1)

x

x

+ 24

2 + 24

X

X

= 4 X – 40

2 +

24

X

X 2

+ 144 = 4 X – 40 + 144

+ X

+12

= 4 X + 104

 1  2013 = 12 – 2 ( 1 ) + 3 = 2

Ciclo Intensivo 2014

Página 84

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA Ejemplo: Se define en:

4 X  104

+ 12 =

X X

ab=a+b -2 Hallar: A = 1-1  2-1 ELEMENTO NEUTRO (e):

 2 X  26  12

 Aplicando la regla de formación de esta nueva operación:

ELEMENTO INVERSO ( a-1)

= 2 23  26 - 12 = 2 x 7 – 12 = 2 2 3 PROPIEDADES: 2 Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante3el operador *. 3 I. CLAUSURA:

a , bA  a bA Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida. Si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A. II. CONMUTATIVA:  a , b A  a  b  b a

El orden de los elementos en la operación no altera el resultado. III. ELEMENTO NEUTRO (e):  e A/ a  a e  e a a

IV.

e : elemento neutro ELEMENTO INVERSO: a  A , a

1

/ a  a1  a 1  a  e

5

6

7

5

5

6

7

6 7

6 7

7 5

5 6

a * a 1  a 1 * a  e

1

a*a  e a  a 1  2  e a 1  4  a Hallando: A = 1-1  2-1 1-1 = 3 2-1 = 2 A = 1-1  2-1 = 3  2 Aplicando la definición general A = 1-1  2-1 = 3  2 = 3 + 2 - 2 = 3 Respuesta: 3

PRÁCTICA 1. Si: a # b = a (a + b), hállese el valor de "m" en la siguiente expresión: m + (4 # 3) = 3 # 4 a) – 7 b) 0 c) 7 d) 49 e) – 49 2. Se define: p*q = 2pq/(p+q), entonces el valor de: x = (30*42)/((2*6)*(12*20)) es: a) 10 3.

b) 12

c) 7

b a

=

ab ; ab

a b

2o

De la tabla obtenemos los inversos de 5 y 6 5-1 = 5 6–1 = 7  (5-1 * 6-1) * 7 = (5*7) * 7 =7*7 =6

Ciclo Intensivo 2014

e) 11

a2  b2

=

a2  b2

Calcular: a) -2/7 b) 2/5 c) 1/23 d) 3 e) 3/5

Hallar: (5-1 * 6-1) * 7 Resolución 1o Calculamos el elemento neutro 5* = 5  =5

d) 13

Si:

Ejemplo: Si se define la operación mediante la tabla adjunta *

a *e  e*a  a

a *e  a ae2  a e2

4. Se define:

a  2 ; si “a” es par 3 a  3 ; si “a” es impar 3

a =

Hallar: a) 1

3 b) 2



3

2 5

c) 3

d) 6

e) 0

Página 85

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA 10. Si:

5. Sabiendo que: Hallar el valor de: 4 # (4 # (4 # (………))) a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

6. Dado: 3 8 7 Además: A

2 0 6

5 44 1

Hallar el valor de:

B = AB  2

Calcular “x” en:

a) 7

b) – 66

c) 33

d) – 77

e) 44

7. Se definen:

4

 2) ÷ 6 b) 1 c) 2

E= ( 6 + 7 )2 b) 64

c) 25

d) 81

e) 100

Si

Halle Ud.: =x+4

x+3

a) 16/17

a) – 3 9.

(A°) = =x+8

a) 9

e) 16/15

A 1 B2 y (B)° = A 1 B2

2x  3 ((((...((x))...) ))     x2  4 200 parentesis

b) – 4

x

a) 1 c) 0

d) 4

e) 3

x = x.

Ciclo Intensivo 2014

c) – 1

14. Se define:

a) 1 c) 7

d) 10

d) 2

e) 0

x y =3 x +2 y a

Hallar:

4. b) 8

b) 2

Además:

x = 8x + 7 Hallar:

d) 7/8

Determinar “x” en:

-

Si:

c) 15/16

13. Si:

=x-1

x



2

b) 17/16

Calcular: E=

e) 4

a  a 1 ; a 1 P2 m 1 n1 P = ;m = ; n = p 1 2 m 1

Calcule:

x

d) 3

 a2)

3

a

a) 49

e) 6

12. Definamos ciertas operaciones, del modo común sigue:

x+3 = x – 2

x

b

d) 8

Calcular: E = ( a) 0

x =3 x

8.

c) 5

11. Si se cumple: a  b2 = ab + 2 (

x a) – 56

b) 9

b 4

b) 2

c) 3

=

a b

16

d) 4

e) 5

e) 2

Página 86

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

15. Se define : x + x = 5x + 3 ............. (1)

 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3

3x + 2x = 5x + 1 ............. (2)

Hallar Calcular: a) 40

S=

2 +

b) 41

3

c) 42

d) 51

e) 62

16. Dada la siguiente tabla en el conjunto: A = {1, 2, 3, 4}. Definida por: 1 2 3 4  1 3 4 2 1 2 4 1 3 2 3 2 3 1 4 4 1 2 4 3 Hallar “x” en: [(x * x) * 2] * 4 = (1 * 1) * 4 a) 1

b) 2

17. Dada la siguiente tabla: 2  3 9 4 16 2 4 5 25

c) 3 1 3 4 2 5

Calcular el valor de “n”: n 2n = 9  3 a) 2 b) 3 c) 4

d) 0 4 81 256 16 625

3 27 64 8 125

d) 1

e) – 5

1  b 1 = x  c  x = b

a) VFVV

b) FFVV

c) FFFV

de

"x"

en

(2 1  3)1  x   (4 1  2)  3      Dónde a) 3

a

1

1

la

ecuación:

3

: elemento inverso de "a".

b) 4

c) 2

d) 1

e) 1 ó 2

20. Definida la operación m * n = m - 3 + n en el conjunto de los números reales R. 1 1 L   1  2   3 1   Calcular: donde : a elemento inverso de "a". a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0

SEMANA 07 SUCESIONES Y SERIES SUCESIÓN Se tiene como idea de sucesión, a todo conjunto ordenado de números, letras o figuras, tal que cada uno ocupa un lugar establecido; acorde con una ley de formación, criterio de ordenamiento o formula de recurrencia. Entre las sucesiones más conocidas tenemos: a) Sucesiones Numéricas: Es un conjunto ordenado de números Nº ordinal Términos

→

1º

2º

3º

…

nº

→

8

11

14

…

tn= 3n+5

Entre las más importantes tenemos 1.

Sucesión Lineal: Conocida también como sucesión de primer orden o progresión aritmética. Se caracteriza por tener razón (r) constante y se calcula como la diferencia de dos términos consecutivos: Ejemplo: Determinar el término que continúa en siguiente sucesión: 2; 5; 11; 20; … Resolucion:

d) FFFF

19. El operador * está definido mediante la tabla:

Ciclo Intensivo 2014

valor

e) 4

18. Se define la operación () en el conjunto A= {a, b, c, d} mediante la siguiente tabla: a b c d  d b c d a b d a b c c a b c d a c d a b De las siguientes proposiciones determinar el valor de verdad o falsedad: I. La operación es conmutativa II. El elemento neutro es b III. La operación es cerrada IV. a

el

e) VVVV

2; 5; 11; 20; 32 +3 +6 +9 +12

Respuesta: 32 b) Sucesión o progresión geométrica: Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se

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COMPENDIO ACADÉMICO obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así, 4,15, 45,135, 405,....., es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3 1215 = 405 × 3 3645 = 1215 × 3

HABILIDAD MATEMÁTICA Resolución: S

1 3   1 4 1     3

c) Sucesión cuadrática: Llamada también sucesión polinomial de segundo orden. Son aquellas en el cual la razón constante aparece en segunda instancia Ejemplo: Halle el vigésimo quinto término en: 2; 7; 14; 23; .... a) 720 b) 128 c) 320 d) 480 e) 674 Resolución:

y así sucesivamente. Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

t1

t2

2;

7 ; 14; 23 ...

an  a1q(n1)

5

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Sn  a1  a2  a3  ....  an1  an

2

d) Sucesiones literales: Es el conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio como es: A 1

a1x(qn1 ) qn1

q tiende hacia 0, de modo que:

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

R S T U V W X Y Z 19 20 21 22 23 24 25 26 27

se obtiene la siguiente igualdad:

la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si q  1 ,

B 2

J K L M N Ñ O P Q 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Sn xq  (a1  a2  a3  ...  an1  an )xq

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad q  1

2

t25   25  2 25  1  674

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión q.

sn 

9

tn  n2  2n  1

a6  5x3(5) . . a6  1215

7 2

a6  5x3(61) .

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

t3 t 4

Ejemplo: ¿Qué letra sigue en cada caso?  L, P, M, S, M, T, J, C, V. ……………..  U, T, C, S, N, ………………………….  X, L, P, K, N, ………………………….. f.

Sucesiones gráficas Están formadas por figuras ordenadas de acuerdo a criterios lógicos. Ejemplo: ¿Qué figura completa correctamente?

Ejemplo: Calcule el valor de la suma límite, de la siguiente serie geométrica decreciente: S 1

1 1 1 1 1      ...... 3 9 27 81 243

Ciclo Intensivo 2014

Página 88

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA n(n  1) 2 2  4  6  ....  2n  n(n  1)

1)

1  2  3  4  ...  n 

1  3  5  ...  (2n  1)  n2 n(n  1)(2n  1) 6

?

12  22  32  42  ...  n2 

D

 n(n  1)  13  23  33  43  ...  n3     2  2n(n  1)(2n  1) 22  42  62  ....  (2n)2  3

2

A

C

B

E

2)

12  32  52  ...  (2n  1)2 

n( 4n2  1) 

23  43  63  ....  (2n)3  2n(n  1)2

?

13  33  53  ...  (2n  1)3  n2 (2n2  1) A

C

B

D

14  24  3 4  4 4  ...  n4 

E

Serie polinomial

t1 ; t2; t3; t4; t5; t6; .... r1

r2

r3 r4

s1 s2

r5 r6

s3 s4 s5

a1 a2 a3 a4 u 

u

u

ULTIMO TÉRMINO

1 n 1 1 1 1 t n  t1Cn  r1C1  S1Cn  a1Cn  uCn 4 0 2 3



SUMA DE TÉRMINOS:

n Sn  t1C1  r1Cn  S1Cn  aCn  uCn 5 2 2 3

SERIES Y SUMAS NOTABLES

n(n  1)(2n  1)(3n2  3n  1) 30

8n(n  1)(2n  1)(3n2  3n  1) 15 n(n  1)(n  2) 1.2  2.3  3.4  ...  n(n  1)  3 n(n  1)(n  2)(n  3) .2.3  2.3.4  3.4.5  ...n(n  1)(n  2)  4 24  4 4  6 4  ....  (2n)4 

21  22  23 1 1   1 .2 2 .3 1 1   1 .3 3 .5

 ....  2n  2(2n  1) 1 1 n  ....   3 .4 n.(n  1) n  1 1 1 n  ....   5 .7 (2n  1).(2n  1) 2n  1

EJEMPLOS: 01. Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30. 1 2 4 7 11

3 5

8 12

6 9

13

10 14

15

Resolución:

El último término de la fila 30 es 345 02. Calcular :

Ciclo Intensivo 2014

Página 89

COMPENDIO ACADÉMICO 11

HABILIDAD MATEMÁTICA 

(1  3  5  7  ...  19)0,10, 20,3...1

 

Resolución:

√(

√(

)



A B C El cuadro que continúa la secuencia es: a) A b) B c) C d) D

)

03. Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m de altura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual a la mitad de la altura anterior. ¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta que quedó teóricamente estática? Resolución:

D e) A y D

2. ¿Qué término continúa? (4 + x2),(7 + x3),(11 + x5),(16 + x8),... a) (22 + x10) d) (20 + x15)

b) (20 + x12) e) (22 + x12)

c) 20 + x10)

3. Los primeros términos de dos progresiones aritméticas que tienen igual número de términos son 26 y -10 respectivamente y sus razones respectivas son 7 y 5. ¿Cuántos términos tiene cada una, si el último término de la primera progresión es el triple del último término de la segunda progresión? a) 9

b) 12

c) 8

d) 10

e) 15

4. Sea "n" el número de términos de la sucesión Sn: 3  3 R  24  2(12)  2(6)  2(3)  2    2   2  4

(

Sn: 1, 6, 13, 22, ......, 118 Hallar el término 10 de la sucesión S(x) dada como: S(x) = 2nx – 9 a) 201

)

b) 191

c) 99

d) 138

e) 158

5. Las sucesiones:

Recorrió un total de 72 metros.

1, 3, 6, 10, .... y 400, 390, 380, 370, ....

04. Hallar las sumas de las áreas de los infinitos círculos así formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior.

Tienen igual cantidad de términos y además sus últimos términos son iguales. El penúltimo término de la segunda sucesión es: a) 222

12

b) 224

c) 230

d) 250

e) 220

6. Las edades de cinco personas están en progresión geométrica; siendo 220 el producto de las edades. ¿Cuál es la edad de la persona intermedia? Resolución:

a) 16 ( )

(

( )

)

1. Dada la secuencia: 

 

De los siguientes cuadros:

Ciclo Intensivo 2014



c) 32

d) 64

e) 4

7. El primero, el segundo y el séptimo términos de una progresión aritmética forman una progresión geométrica. Si la suma de dichos términos es 93. Halle su producto. a) 3075

PRÁCTICA

b) 8

b) 3145

c) 3025

d) 3125

e) 3375

8. Un obrero ahorra cada día S/.5 más de lo que ahorra el día anterior, el último día se da cuenta que el número de días que estuvo ahorrando hasta ese día era la sétima parte de lo que ahorro ese día; sabiendo que lo que ahorro el quinto día y lo que ahorro el penúltimo día, totalizan S/.290. ¿Cuánto ahorro el primer día? a) 65

b) 124

c) 60

d) 45

e) 30

9. Fabio debe recorrer 3265 metros y lo hace de la siguiente manera: en el primer minuto recorre "a" metros, en el

Página 90

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

segundo minuto "2a" metros y retrocede 10 metros, en el tercer minuto recorre "3a" metros y retrocede 10 metros y así sucesivamente, llegando a la meta en 21 minutos exactamente, hallar "a" a) 10

b) 18

c) 20

d) 16

e) 15

a) 1500

E2

a) 19/20

3 2 6 3 9 4 60  21    .......  6 6 6 6

b) 1540

b) 19/4

6n1  5n 5 a)

c) 16

d) 18

32 4 252.......202 .................. ..............

12

a) 4010 ; 22125 d) 7050 ; 180

192202

c) 4003

d) 2103

e) 2102

a) 144 b) 160 c) 180 d) 192 e) 200

b) 315 ; 1510 e) 3290 ; 35710

c) 2050 ; 21215

SEMANA 08 CONTEO DE FIGURAS Y FIGURAS DE UN SOLO TRAZO

14. Calcular “M”:

(Recorridos Eulerianos)

M = 1×5 + 2×6 + 3×7 + 4×8 + .... + 20×24 c) 3530

d) 3830

e) 3500

c) 120

d) 520

Problema de los puentes de Königsberg. El origen de la teoría de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el propio Leonhard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete puentes de la ciudad de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente,

15. Calcular el valor de “M” en: 4  12  20  .....  156 M 20

Ciclo Intensivo 2014

5 n  1  5n  1 d) 6 5

6n1  5n  5 c) 5 n  1 6  5n  6 e) 5

20. Se tiene la siguiente sucesión: 1, 5, 15, 34, 65, 111… Hallar: A: El término de número ordinal 20. B: La suma de los 20 primeros términos.

2232 4 2.......202

b) 736

e) 19/20

n1  5n  6 b) 6

c) 40100

122232 4 2.......202

a) 162

d) 19/5

e) 19

13. Hallar la suma de los elementos de la serie:

b) 3710

c) 20/19

19. Hallar las sumas de las áreas de los infinitos círculos así formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior.

S = 1 + 5 + 9 + 13 + ..... a) 40000 b) 19900 d) 39800 e) 19800

a) 2870

e) 6000

4 2 4 4    .......  23 23 45 19  20

12. Hallar la suma de los 100 primeros términos de la siguiente serie:

b) 802

d) 2100

E = 5 + 55(6) + 555(6) + .... + 55...55(6) n cifras

2

202 a) 4000

c) 1900

18. Calcular el valor de la siguiente expresión:

11. Determinar la suma de los perímetros de los infinitos cuadrados formados según la figura (el lado del cuadrado es la mitad del cuadrado anterior)

b) 15

P

17. Calcular:

10. Observe que: 13 = 1 23 = 3+5 33 = 7+9+11 43 = 13+15+17+19 53 = 21+23+25+27+29 ... Entonces 503 es igual a a) 2061 + 2063 + ... + 2157 + 2159 b) 2161 + 2163 + ... + 2257 + 2259 c) 2257 + 2259 + ... + 2353 + 2355 d) 2353 + 2355 + ... + 2449 + 2451 e) 2451 + 2453 + ... + 2547 + 2549

a) 14

16. Calcular:

e) 80

Página 91

COMPENDIO ACADÉMICO Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teoría de los grafos. El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

HABILIDAD MATEMÁTICA

(1)

(2)

(3)

Teorema 1.a) Si una gráfica G tiene un vértice de grado impar, entonces no puede existir un circuito de Euler en G. b) Si G es una gráfica conexa y todos los vértices tienen grado par, entonces existe un circuito de Euler en G. Ejemplo: P

P

P

P

P

P

P

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?

P

P

Teorema 2.a) Si una gráfica tiene más de dos vértices de grado entonces no puede existir una trayectoria de Euler en G. Ejemplo: I

I P

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento). TEOREMAS DE EULER Una figura se puede dibujar de un solo trazo si todos sus puntos son pares y se empieza por cualquier punto terminando en el mismo. II. Una figura se puede dibujar de un solo trazo si tiene como máximo 2 puntos impares, comenzando por uno de ellos y terminando en el otro. III. Una figura no se puede dibujar de un solo trazo cuando tiene más de 2 puntos impares.

I

I

b) Si G es conexa y tiene exactamente dos vértices tienen de grado impar, entonces existe una trayectoria de Euler en G. Cualquier trayectoria de Euler debe comenzar en un vértice de grado impar y terminar en el otro. Ejemplo: P

P

I

I.

P

P

P

I

TEOREMA DEL RECORRIDO MÍNIMO Si una gráfica no admite un camino Euleriano (tiene más de 2 puntos impares) Entonces al recorrerla el número mínimo de lados que se repiten está dado por la fórmula:

# mínimo de L  2  lados repetidos 2

Ejemplo: ¿la figura siguiente tiene un recorrido Euleriano? Ejemplo: En la figura:

I

I

I

I

I P P

I I

¿Cuáles de las siguientes figuras se pueden dibujar de un solo trazo y sin levantar la punta del lápiz del papel?

I I

I

10  2 4 2 Como tiene 10 vértices de grado impar, para recorrerla de un solo trazo deberemos repetir: 4 lados como mínimo

CONTEO DE FIGURAS

Ciclo Intensivo 2014

Página 92

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

En este tipo de problemas se presenta una figura principal dividida por líneas que determinan figuras secundarias de diversa forma y tamaño. El objetivo es averiguar el número máximo y exacto de figuras de cierto tipo que se pueden recorrer en la figura principal.

N º  m . n  ( m  1 ) ( n  1 )  ( m  2 ) ( n  2 )  . . . s

MÉTODOS DE CONTEO: Conteo Directo:

... 3 2 1 2 3 4 5 .... m

Por simple inspección Método combinatorio

Conteo por Inducción Conteo de segmentos

Conteo de cubos y paralelepípedos

n n 1n

1 234 n ( n  1 ) #  s 2

2

3 2 23 ... n 3 2 1 1

n ( n  1 )  N º    c u b o s  2 

n

3

n ( n  1 )   N º    p a r a le le p ip e d o s 2  

Conteo de ángulos n

n (n  1 ) 3 #   2 2 1

Conteo de triángulos

b n (n1 ) N ºs 2

a ... 1 2

m

Nº s 

c

Nºcubos  a.b.c (a 1)(b 1)(c 1) (a  2)(b  2)(c  2) ...

n

3

4 3 3 2 2 4 32 1 1

n(n  1) .m 2

3

NºParalelepipedos 

a(a  1) b(b  1) c(c  1) . . 2 2 2

2 1

2

3

n

1

Conteo de cuadriláteros 2

3

4

... n-1 n ..

1 2 3 .... n 2 3 ... m Conteo de cuadrados n ... 3 2 1 2 3 .... N

3 n (n1 ) N ºc 2

4

n: Nº diámetros

n n ( n  1 )m ( m  1 ) N º  x c 2 2

Nº semicírculos2n

Conteo de sectores circulares hexágonos y octágonos. n

...

1

Conteo de semicírculos 1 2

3

n ( n  1 ) ( 2 n  1 ) N ºs  6

2

1 n(n  1) NºEX  2

n

Ciclo Intensivo 2014

Página 93

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

n ( n  1 ) N º o c t 2

Ejemplo 4. ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un * en su interior?

. . .n 3 1 2

* *

Ejemplos: 1. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

* *

1 2 3 4

*

Resolución: 12 13 14 15

Resolución: Del gráfico: 2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? Ejemplo 5. Calcular el número total de puntos de corte en la figura mostrada.

Resolución:

1

2

3

19

20

Resolución: 1.

Del gráfico:

 4X15  60 + 8

Total = 68 triángulo

→ 10 x 19 = 190 + 8 En los extremos 8 = 8 Total = 198

Ejemplo 3. ¿Cuántos triángulos hay en la figura adjunta?

PRÁCTICA 1. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9

Resolución:

2. Hallar el total de cuadriláteros: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 3. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

Ciclo Intensivo 2014

Página 94

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA 9. Halle el número total de puntos de corte en: a) 79 b) 82 c) 84 d) 78 e) 87

a) 150

b) 160

c) 180

d) 120

e) 140

10. Halle el número de paralelepípedos que no son cubos. a) 75 b) 76 c) 77 d) 78 e) 70

4. Hallar el total de ángulos agudos y obtusos: a) 56 b) 28 c) 14 d) 32 e) 64

11. ¿Cuántos cubitos como mínimo se debe agregar en cada caso para obtener un cubo compacto. (II)

(I)

5. Hallar el número de sectores circulares a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

a) 160; 320 b) 164; 330

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

 

7. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura?

b) c) d) e)

2 (n  1)(n  2) 2 (n  2)(n  5) 1 (n  2)(n  6) 4 (n  8)(n  4) 4



n n-1 n-2

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

13. En la figura, ¿Cuántos cuadrados como máximo se puede contar?

4

3

2 1

8. ¿Cuántos cuadriláteros existen, como máximo, en la siguiente figura? a) 32 b) 34 c) 35 d) 36 e) 33

Ciclo Intensivo 2014

c) 162; 328

12. En la figura, ¿Cuántos triángulos poseen en su interior un sólo ?

a) 35 b) 36 c) 37 d) 39 e) 40

a) (n  1)(n  2)

d) 166; 332 e) 160; 332

a) 201 b) 202 c) 203 d) 205 e) 206 14. Dada la siguiente figura: I. ¿Cuántos cubos hay como máximo? II. ¿Cuántos paralelepípedos que no son cubos hay? III. ¿Cuántos cubitos están en contacto con el cubito sombreado?

Página 95

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA 20. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? a) 32; 182; 12 b) 41; 154; 11 c) 35; 152; 12 d) 32; 183; 11 e) 31; 152; 11

15. ¿Cuántas pirámides de base cuadrada hay en el sólido mostrado? a) 63 b) 70 c) 77 d) 98 e) 105

20 19

a) 360 b) 246 c) 245 d) 238 e) 247

4 3 2 1

SEMANA 09 PERIMETROS Y AREAS DE REGIONES SOMBREADAS PROPIEDADES DEL CÁLCULO DE ÁREAS A. En un cuadrado: D

16. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?

1

2

3

4

17 18 19 20

a) 480 b) 495 c) 500 d) 485 e) 490

L

S L

2

S 

D2 2

B. En un Círculo:

17. ¿Cuántos triángulos que por lo menos tengan un * en su interior hay en la figura?

R

O

S   R2

*

*

*

C. En un Sector Circular:

a) 67 b) 68 c) 65 d) 69 e) 70

*

R 

O

R

S 

18. En el siguiente gráfico, hallar la diferencia entre el número de cuadriláteros y el número de triángulos.

1

2

3

4

18 19 20

a) 189 b) 191 c) 190 d) 210 e) 220

Ciclo Intensivo 2014

360º

D. En un Triángulo:

H

S 

B

BxH 2

Consecuencia de la Propiedad “D”

19. ¿Cuántos semicírculos hay en la figura? ("O" : centro)

O

 R2 x 

B

a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

G : Baricentro S ABC S  3

S

S

G S A

C

Página 96

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

B

S ABC

S 

H. En un Cuadrado: I.

12

3S

C

B S

S

2S

2S

S

S

S

4S A

S

C

E. Unión de los Puntos Medios en el Cuadrilátero:

S

S S

S

A

C

B

S S

S

D

S 

S ABCD 12

II. S

C

B

S 

D

A

S

S ABCD

3S

2

3S S

S

F. En un Trapecio:

S S

3S

S S

S

A S

S S

S

D

S 

S

S ABCD 20

Consecuencias III. C

B

Las regiones sombreadas tienen la misma área. S

S

s

s

A

S

S

S1 . S 2

S ABCD 5

IV. C

B B

S

D

C

S S

S

S

S A

S 

D

B

S ABCD

A

D

2

20

C

S

S

A

2

G. En un Paralelogramo: B S S S

B

C

S D

Ciclo Intensivo 2014

S ABCD 30

OJO : Estas últimas relacionados también se verifican en un paralelogramo VI.

S

S

D

S 

D

A

A

Observando las relaciones I y II se deduce que : S ABCD S ABCD S   12 20 De donde:

C

S

S

S ABCD

S 

D

S

S ABCD

V.

C

B

A

S

S 

S ABCD 4

Página 97

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

B

C

Consecuencias: B

S A

D

S

S ABCD

S 

12

VII.

3S B

C

A

C

S

S 

S ABCD 4

B

A

S ABCD

S 

D

S

20

VIII.

3S

B

C 5S A

S 

C

S

S ABCD 9

Paralelogramo A

B

S ABCD

S

D

C

5 S

IX. B

C A

S A

D

S 

S ABCD

S 

S ABCD

30

X. B

C S 2K

S S

S ABCD 40

J. Propiedad en un Triángulo Rectángulo. Si los lados de un triángulo rectángulo son líneas homólogas de figuras semejantes construidas sobre ellos, entonces la suma de las áreas de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de la región apoyada en la hipotenusa. Si:

K K

2K A

D

S2

S1

6

XI.

S

B

C P

S  S1  S 2

S A

P 

I.

S 

D

S ABCD

S 

8

Consecuencias: (Lúnulas de Hipócrates) I.

D 3 S ABCD

40

S1 S2

En triángulos Semejantes

a

b

H



a1

S





c

S1



a2 a 12

S ABC  S1  S 2 II.

S1 



S

b1

H1

S2

c1



b2 b12

Ciclo Intensivo 2014



c2 c12



H2 H 12

 ........

S1

Página 98

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

S ABC  S1  S 2 B

S1

Ejemplo 3. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20 m, calcular el área de la región sombreada.

S3 S2

B

A

C

C S

O

S  S1  S 2  S 3

A

Resolución: B

K. En un Hexágono Regular.

D

C

C

B 2S

O

2S

2S A

D S

2S

S

A

S

D

S F

E

S 

Ejemplo 4. Si el lado del cuadrado ABCD mide 6 metros, entonces el área de la región sombreada medirá:

S ABCDEF 12

B

C

A

D

Ejemplo 1: Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado, entonces el área de la parte sombreada mide: B

C

Resolución: O

B

C

S S S 3S S S 3S

S A

D

Resolución: B

C

A

D

O A

Ejemplo 5: Si la diagonal del cuadrado ABCD mide 8 m, entonces el área de la región sombreada es:

D

Ejemplo 2: El lado del cuadrado ABCD mide "a" metros, calcular el área de la región sombreada. B

B R

C A

A

D

Resolución:

D

C

O

B

Resolución: B

C R S S

A

S

A

S

D

C

D

(

Ciclo Intensivo 2014

4

O 4

S S

4

)

Página 99

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA 6. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 m, calcular el área de la región sombreada.

PRÁCTICA

B

C

AREAS SOMBREADAS 1. Calcular el área de la región sombreada si todos son cuadrados de lado 4m.

C

A

B

a 3a

C

a) 4(6-)m2 b) 16(6-)m2 c) 16m2 d) 24 - 2 e) 4 2

m2

D

A

b)

(  3)m 2

c)

(2   1)m 2

d)

(  2)m 2

D

2. Calcular el área de la región sombreada si todos son cuadrados de lado 4m.

B

(  1)m 2

e) (  4 )m 7. ¿Qué fracción del área total está sombreada?

A

a) 8m2 b) 6m2 c) 4m2 d) 9m2 e) 12m2

D

O

a)

a)

1 10

b)

7 20

c)

5 20

3 5 d)

e)

8 21

8. En la figura, calcular el área de la región sombreada. ABCD es un rectángulo y AB = 2 y BC = 2 3 . a) 2 + π

B

C

b) 2 -

3. Si el lado del cuadrado mide 4u. Hallar el área sombreada en u2. a) 16( - 2) b) 16( - 4) c) 8( - 3) d) 4( + 4) e) 8( - 2) 4. En la figura adjunta AC = 6 m y “x – y = 4m”. Calcular el área sombreada.

x

D y

C

A

 2 

c) 2 - 3

A

D

d) 2 -

 4 

e) 3 - 2 9. Si ABCD es un cuadrado de 144 m2 de área, calcular el área del medio círculo sombreado.

B

C

A

D

B a) 6m2 b) 12 c) 24 d) 32 e) 10

2

a) 3π m2 b) 4π c) 9π d) 8π e) 4,5π

10. Calcular el área de la corona circular sombreada, si “T” es punto de tangencia y AB = 12 m.

5. En la figura mostrada, calcular el área sombreada:

10 8

a) 176 b) 180 c) 160 d) 164 e) 136

B A

T

a) 36π m2 b) 25π c) 16π d) 144π e) 72π

12

Ciclo Intensivo 2014

Página 100

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

11. Si el área de la región triangular ABC es 48 m2, calcular el área de la región sombreada.

a

C b

3a

b

B

A

c

c

a) 12 m2 b) 16 c) 24 d) 18 e) 20

12. Si ABCD es un paralelogramo de área 100 m2, calcular el área de la región sombreada “M”, “N”, “P” y “Q” son puntos medios. P

B

a) 40 m2 b) 30 c) 50 d) 25 e) 35

C

N

Q M

A

a) a² cm² b) 2a² cm² c) 3a² cm² d) 4a² cm² e) 5a² cm² 17. Hallar el área de la región sombreada. (semicircunsferencia) a) 1,14 µ2 b) 2,28 µ2 c) 3,62 µ2 d) 2,72 µ2 e) 3,02 µ2 18. El área de la región sombreada es:

D

a) 48 u² b) 72 u² c) 84 u² d) 96 u² e) 42 u²

13. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide, AM = MD, área del DABM es 12 m2. B

A

C

a) 4 m2 b) 8 c) 12 d) 24 e) 18

19. Hallar el perímetro de la región sombreada.

D

M

a) 4π m b) 2π m c) 5π m d) 6π m e) 3π m

14. Si: // ED ; calcular el área de la región sombreada, si las áreas de las regiones triangulares MNP y EPF son 4 m2 y 9 m2 respectivamente. MC

M

b N b C P

E

a

F

a

D

a) 26 m2 b) 30 c) 31 d) 32 e) 18

20. Hallar el á rea de la regió n sombreada. a) 6 u² b) 8 u² c) 5 u² d) 4 u² e) 2 u²

15. El área del cuadrado mide 1 cm, el área de la región sombreada es: a) (4-2π) cm² b) (4-2π)/2 cm² c) (4-π) /2 cm² d) 2πcm² e) π cm²

16. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada; si el radio del círculo mayor mide "a" cm.

Ciclo Intensivo 2014

SEMANA 10 ANÁLISIS COMBINATORIO Y PROBABILIDADES FACTORIAL: (L ó !) El factorial de un número entero y positivo se define como el producto de todos los enteros consecutivos que empiezan con la unidad y termina con el número dado. Ejemplo 1: 6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Página 101

COMPENDIO ACADÉMICO EN GENERAL: n = n! = n (n-1) (n-2) (n-3)... (1) * POR CONVENCIÓN: 0 = 0! = 1 6! = 1  2  3  4  5  6 = 720 5! = 1  2  3  4  5 = 120 4! = 1  2  3  4 = 24 3! = 1  2  3 = 6 2! = 1  2 = 2 1! = 1 0! = 1 Desarrollo Parcial de un Número 12! = 11!  12 36! = 34!  35  36

Calcular:

E

20!21!22! 20! x 22 2

Solución:

20!21x20!22 x21x20! 20! x 22 x22

E E

20!(22  22 x 21) 20! x 22 x 22

E 2.

* Este principio se puede generalizar para más de 2 sucesos Ejemplo3: “Teresita” tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas de diferentes modelos; de cuántas maneras diferentes se puede vestir. Resolución Como cada falda puede ponerse con cada una de las blusas  Maneras de vestirse será 3 x 4 = 12 PRINCIPIO DE ADICION Si un evento “A” ocurre o se puede efectuar de “m” maneras y otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces “A” ó “B”, se puede efectuar de: “m + n” MANERAS. Ejemplo 4

Ejemplo 2: 1.

HABILIDAD MATEMÁTICA

22(1  21) 1 22 x 22

“Katy” desea viajar de Lima a Cajamarca; si dispone de 4 líneas aéreas y 2 líneas terrestres ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? Resolución: Para viajar de Lima a Cajamarca, puede hacerlo por línea aérea (4 maneras) o por línea terrestre (2 maneras). Maneras de viajar: VARIACIÓN (v) Es cada uno de los diversos ordenamientos que pueden formarse tomando alguno o todos, de un número dado de objetos y teniendo en cuenta el orden en que se toman estos.

Vrn 

Hallar (a+b), si:

8!  56 a! xb!

4+2=6

n! (n  r )!

n = número total de elementos r = número de elementos tomados (agrupados)

Resolución:

Ejemplo 5:

8x7x6x5! = 8x7xa!xb! 6 x 5! = a! x b!

Cuántas variaciones se pueden obtener con los elementos a,b,c,d,e tomados de 2 en 2.

Como: 3! = 6

Resolución

3! x 5! = a! x b! Entonces: a = 3 ó 5 b=5 ó 3 Luego: a+b=8 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (PRINCIPIO FUNDAMENTAL) Si un evento “A” se puede realizar de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces los eventos A y B se pueden efectuar simultáneamente o uno seguido del otro, de: “m x n” MANERAS.

Ciclo Intensivo 2014

* Tener presente que si interesa el orden de colocación de cada elemento, es decir que: ab  ba Entonces, las variaciones serán ab, ac, ad, ae ba, bc, bd, be ca, cb, cd, ce da, db, dc, de ea, eb, ec, ed Matemáticamente designaremos elementos tomados de r en r, por:

= 20 V

la

variación

para

“n”

Vrn = n (n-1) (n-2) ... (r factores)

Página 102

COMPENDIO ACADÉMICO

V25 

HABILIDAD MATEMÁTICA Entonces

5 x 4 = 20

r , r2

Pn 1

o también aplicando:

Vrn 

n! 5!  V25   20 (n  r )! 3!

PERMUTACIÓN (P): Si se toma todos los elementos del conjunto para ordenarlos, la variación recibe el nombre de permutación es decir si: v = n

Vnn  Pn  n!



n! 5!   30 r1! x r2 ! 2!2!



Ejemplo 9: En cuántas formas se pueden ordenar los siguientes cubos: 2 rojos, 3 verdes y 2 azules Resolución En total hay 7 cubos para ordenarlos uno a continuación de otro; pero se repiten los colores, por lo que los ordenamientos distintos serán:

7!  210 2! 3! 2!

Ejemplo 6 ¿Cuántas permutaciones se obtienen con los elementos 1,2,3?

P7

Resolución Al tomar todos los elementos para ordenarlos, tenemos:

COMBINACIÓN (C)

123 213 312

132 231 321

 6 permutaciones

C rn 

PERMUTACIÓN CIRCULAR (Pc)

Pcn  (n  1)! Ejemplo 7 ¿De cuántas maneras pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda? Resolución: P7 = 7! = 5040



Es cada uno de todos los ordenamientos que pueden formarse, tomando todos los elementos o grupos de estos, no importando el orden en que se tomen estos.

P3 = 3! = 6

Cuando “n” elementos se disponen alrededor de un círculo, el número de permutaciones, si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento, será:

2 , 3, 2

n! (n  r )!.r!

n = Número total de elementos r = Número de elementos tomados (agrupados) Ejemplo 10 Se desean saber cuántas combinaciones se puedan realizar con los elementos a,b,c,d,e tomados de 2 en 2. Resolución Tener en cuenta que no interesa el orden de ubicación de los elemento, es decir que: ab = ba, entonces las combinaciones serán:

PERMUTACIÓN CON REPETICION Si se tiene n elementos donde hay: r1 = elementos de una primera clase r2 = elementos de una segunda clase r3 = elementos de una tercera clase rk = elementos de una k – ésima clase

ab bc cd de

El número de permutaciones diferentes que se puede formar con ellos es:

1.

C on  1

2.

C rn  C nnr

r .r2 ...rk

Pn 1



n! r1 ! x r2 ! x r3 ! x...xr k !

Dónde: r1 + r2 .... + rk< n Ejemplo 8 Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de la palabra MENEM. Resolución En la palabra encontraremos 5 letras de las cuales se repiten las letras E y M, es decir: n = 5; r1 = 2; r2 = 2

Ciclo Intensivo 2014

ac bd ce

ad be

ae = 10

OBSERVACIONES

C1n  n

C nn  1

(C. Complementarias) 3.

Con  C1n  C2n  ...  Cnn  2 n

C1n  C n2  ...  C nn  2 n  1 DIFERENCIA ENTRE COMBINACIONES Y VARIACIONES Las combinaciones se diferencian por sus elementos; en tanto que las variaciones por el orden de los mismos.  Para las variaciones el orden de sus elementos si interesa, ya que no es lo mismo decir 23 que 32.  Para las combinaciones el orden no interesa.

Página 103

COMPENDIO ACADÉMICO 

Dos combinaciones son diferentes sólo si difieren por lo menos en un elemento: abc; abd; bcd; acd.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con 5 dígitos sin que se repita uno de ellos en el número formado Resolución: Aplicando el método de las cajas:

   5 4 3 caja.

 Dígitos posibles de ubicar en cada

Nº de maneras = 5 x 4 x 3 = 60

HABILIDAD MATEMÁTICA

* De las 5 mujeres se puede escoger 2 de



m! (m  n )!

V35 

5  3!

5!



C 37 x C 52

= 350 maneras

6. Un total de 120 estrechados de manos se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, cuál es el número de personas presentes? Resolución Del total de personas (n) se saludan de 2 en 2; sin interesar el orden, entonces:

C n2 

n!  120 (n  2)! x 2!

n (n  1)(n  2)!  120 (n  2)! x 2!

120 = 60 2

n(n  1)  120 2  n  16

2. De cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6 asientos 4 personas. Resolución

PRÁCTICA

Interesa el orden en que están sentados

 maneras = V46  6 x 5 x 4 x 3  360 3. Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger las preguntas tiene? Resolución Se tiene que escoger 10 preguntas, sin interesar el orden; entonces: Maneras = C13  13!  286 10 10! x 3!

4. De cuántas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Resolución  Las tres nacionalidades pueden ordenarse en una fila de 3! maneras.  Los dos peruanos pueden sentarse de 2!  Los cuatro colombianos de 4!  Los tres paraguayos de 3!

 Hay 3! x 2! x 4! x 3! = 1728 maneras 5. De cuántas maneras pueden escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres. Resolución

Ciclo Intensivo 2014

C

maneras

5 2 maneras

El comité puede escogerse de:

* Aplicando análisis combinatorio: Como si nos interesa el orden:

Vnm 

C 37

* De los 7 hombres se puede escoger 3 de

1. Calcular "k" a partir de: n(n  1)!(n  1)!(n  1)!  kn(n)!1  1  n 

a) n d) n + 1

2

b) 2 e) n - 1

c) 1

2. Hallar "x" en: 2 2!  3  4!  ...  40!  2  3!  4 (x-1) términos

a) 44

b) 42

c) 41

d) 40

e) 39

3. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B?

A

a) 12

C

b) 14

B

c) 16

d) 20

e) 24

4. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? a) 530 d) 450

b) 350 e) 380

c) 305

Página 104

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

5. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"? a) 81 b) 840 c) 120 d) 8 e) 64 6. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separadas? a) 120 b) 16 c) 48 d) 144 e) 72 7. ¿Cuántos números impares de 3 cifras, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos? a) 20 b) 56 c) 28 d) 14 e) 36 8. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las cuatro chicas quieren estar juntas? a) 160 b) 72 c) 128 d) 144 e) 64 9. Luis tiene 10 amigos, de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación, si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos? a) 56

b) 64

c) 36

d) 44

e) 128

10. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas? a) 490

b) 560

c) 546

d) 480

e) 520

11. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3? a) 15 b) 120 c) 20 d) 60 e) 80 12. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era: a) 12 b) 18 c) 20 d) 14 e) 16 13. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo? a) 24

b) 60

c) 120

d) 240

b) 12000

c) 25200

d) 10!

¿Cuál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado? EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EJEMPLOS ε1 : Se lanza una moneda dos veces resultados posibles

y se observa los

ε2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta ESPACIO MUESTRAL (). Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Para los ejemplos antes mencionados: 1 = (c,c); (c,s); (s,c); (s,s) 2 = (1;2;3;4;5;6) EVENTOS O SUCESOS: Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ....). Del ejemplo 1 antes mencionado, sea el evento A = en los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos A = (c,c); (c,s); (s,c) OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos. Operación Se lee: A  B:

Ocurre A, ocurre B o ambas Ocurre al menos uno de ellos.

A  B:

Ocurre A y ocurre B; Ocurre ambas a la vez

A – B:

Ocurre solamente A; Ocurre A pero no B

AC :

No ocurre el suceso A.

e) 15!

15. Al ir 5 parejas de esposos al teatro Segura, tienen mala suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila. ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere que por lo menos esté sentado un hombre y una mujer? a) 25600 b) 30000 c) 256 d) 25 e) 625

Ciclo Intensivo 2014

Ejemplo:

e) 360

14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera? a) 2520

PROBABILIDADES El cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción y análisis de fenómenos estadísticos. La teoría de probabilidades es de trascendental importancia en las matemáticas, pues tiene una aplicación directa en muchos problemas de ingeniería, administración, economía, etc, donde es necesario tomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estadísticos.

CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS

* SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

Página 105

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA

Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y sólo si A B =  ; esto quiere decir que no ocurren juntos (simultáneamente).

Ejemplo. 2: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados, su suma sea un múltiplo de 3?

Ejemplo: En un aula de la Pre, se tiene los siguientes sucesos:

Resolución: Para que sea múltiplo de 3, la suma debe ser 3,6,9 o 12, siendo los casos favorables de 2,5,4 y 1 respectivamente, que en total hacen 2+5+4+1, igual a 12 casos favorables, con respecto a 36 casos en total.

A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años.  Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos. * SUCESOS COMPATIBLES Aquellos que pueden presentarse simultáneamente. Ejemplo: Lanzar dos dados y que aparezcan un dos o un cinco. * SUCESOS INDEPENDIENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se lanza un dado 2 veces D: Sale 3 en el primer lanzamiento E: Sale 3 en el segundo lanzamiento. * SUCESOS DEPENDIENTES Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se tiene dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras, en tanto que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la urna A una bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B, el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A. * DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD. (Definición Clásica). Si A es un suceso de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P (A) y está dado por la relación: Número de resultados P( A)

favorables al suceso A n( A)   Número de resultados n() posibles de 

Ejemplo 1: Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo. Resolución  = 1,2,3,4,5,6 A = 2,3,5  P(A) = 3/6 = 1/2

Ciclo Intensivo 2014

Por lo tanto, la probabilidad será: 12 1  36 3 Para el caso de NAIPES: Debemos saber que el mazo consta de 52 cartas: - palo de 13 cartas de corazones() - palo e 13 cartas de diamantes () - palo de 13 cartas de Tréboles () - palo de 13 cartas de Espadas () Ejemplo 3: De un mazo de 52 cartas, al extraer una de ellas ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as? Resolución: Como en un mazo de 52 cartas hay 4 ases, entonces la probabilidad será: 4 1  52 13 Para el caso de MONEDAS: Una moneda tiene una CARA y un SELLO, es decir, cada moneda tiene dos casos totales. En general, para “n” monedas, se cumple que: Nº de casos totales = 2n Deducción sencilla: en cada MONEDA, se cumple que: Probabilidad para obtener CARA = ½ Probabilidad para obtener SELLO = ½ AXIOMAS DE PROBABILIDADES 1. Si A es un suceso definido en el espacio muestral () entonces: O < P(A)< 1 ; O% < P(A)< 100% 2. Al espacio muestral () le corresponde P() = I * La probabilidad será 1 cuando el suceso sea seguro. * La probabilidad será cero cuando el suceso sea imposible TEOREMA DE LA ADICIÓN: Si A y B son sucesos no excluyentes definidos en un espacio muestral, entonces: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes A  B = ; P (A  B) = 0 P(A  B) = P(A) + P (B)

Página 106

COMPENDIO ACADÉMICO

HABILIDAD MATEMÁTICA 6. Al efectuar el lanzamiento de dos dados en forma simultánea, determinar qué suma de puntos es más probable de obtener. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION Sean A y B dos sucesos incluidos en el espacio muestral , entonces: - Si A y B son sucesos no independientes P(A  B) = P(A) x P(B/A) Ejemplo. 4: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea blanca y la segunda azul. Resolución P(b a) = P(b) x P(a/b) = 4 x6 4 10 9 15

7. Se lanzan 2 monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos caras y un número impar? a) 0,500 b) 0,125 c) 0,250 d) 0,600 e) 0,111 8. Se lanzan cuatro monedas en forma simultánea. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello y 3 caras? a)

1 4

b)

3 16

c)

1 8

3 8

d)

e)

1 16

9. En una baraja de 52 naipes, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazones con un valor menor que 7 o un valor mayor que 10?

- Si A y B son independientes P(A  B) = P(A) x P(B) Ejemplo. 5: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente, con reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea azul y la segunda blanca. Resolución: P(a y b) = P(a) x P(b) = 6 x 4  6 10 10 25

a)

2 51

b)

9 52

c)

10 52

d)

1 26

e)

9 26

10. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado "cargado", el resultado sea un número primo? (Se carga el dado de tal manera que los números pares tienen el triple de posibilidades de presentarse que los números impares) a)

1 6

b)

5 6

c)

5 12

d)

2 3

e)

7 12

PRÁCTICA 1. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 2? a)

1 2

b)

1 3

c)

2 3

5 6

d)

e)

1 4

2. Al lanzar 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que los tres resultados sean iguales? a)

1 2

b)

1 3

c)

1 4

1 8

d)

e)

1 10

3. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de tres hijos hayan dos niños y una niña? a)

3 8

b)

1 16

c)

1 9

d)

1 18

e)

5 8

4. Se lanzan 2 dados legales. Determinar la probabilidad que el producto de los puntajes mostrados sea un múltiplo de 3. a)

5 9

b)

4 9

c)

1 9

d)

7 36

e)

5 36

5. En una urna hay 25 bolas iguales, numeradas del 1 al 25. Una persona extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un número que sea múltiplo de 5? a)

1 5

b)

3 25

Ciclo Intensivo 2014

c)

4 25

d)

1 25

e)

2 5

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