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• Benjamín Ormazábal

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RESUMEN MATEMática CUADERNO RESUMEN DE CONTENIDOS - PSU MATEMATICA

www.moraleja.cl

I. NÚMEROS C

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

I

R

2 Números Naturales: N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

Q*

Q Z

2 Números Cardinales: N0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

N0

2 Números Enteros: Z = { ... , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , ... }

N

2 Números Racionales Q. Aquellos que se pueden expresar de la forma a = k con a, b números enteros y b ≠ 0. b –4 Ejemplos: { 1 , 0,2 , , 2,31 , ... } 3 2 Números Irracionales Q*. Números decimales infinitos NO periódicos. Aquellos números que NO se pueden escribir como fracción. Ejemplos: { 2 , p ,

5

3 , ... }

2 Números Reales R. Unión del conjunto de los racionales y los irracionales. Ejemplos: { 7 , 3 p ,

4

8 , ... }

2 Números Imaginarios I. Los números imaginarios I, son todos aquellos números de la forma bi, con b 2 número real e i la unidad imaginaria. Ejemplos: { i , 2i , 3 i , i , ... } 3 2 Números Complejos C. Números de la forma z = a + b· i , donde a y b reales e i es la unidad imaginaria. Ejemplos: { 1 , – i , 3 + 2i , 1 – i , ... }

2. NÚMEROS ENTEROS

a. Operatoria en los Enteros i. Adición y sustracción Números de igual signo: para adicionar números de igual signo se deben sumar los valores absolutos de ellos conservando el signo común. Ejemplos:

5 + 7 = 12

;

– 5 – 7 = –12

Números de distinto signo: para adicionar números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y se conserva el signo del mayor número en valor absoluto. Ejemplos:

TIPS:

5 – 7 = –2

;

–5 + 7 = 2

2

Siempre que a un número mayor le restamos uno menor, el resultado es positivo.

2

Siempre que a un número menor le restamos uno mayor, el resultado es negativo.

ii. Multiplicación y división Números de igual signo: para multiplicar o dividir dos números de igual signo, se multiplican los números y el resultado siempre será positivo. Ejemplos:

5· 7 = 35

;

( – 5 )· ( – 7 ) = 35

10 : 2 = 5

;

( – 10 ) : ( – 2 ) = 5

Números de distinto signo: para multiplicar o dividir dos números de distinto signo, se multiplican los números y el resultado siempre será negativo. Ejemplos: 5· ( – 7 ) = – 35

;

( – 5 )· 7 = –35

10 : ( – 2 ) = – 5

;

( – 10 ) : 2 = –5

TIPS: Siempre se cumple que: » La suma o resta de dos números pares, dan como resultado un número par. » La suma o resta de dos números impares, dan como resultado un número par. » La suma o resta de un número par y un impar, dan como resultado un número impar.

2

Editorial Moraleja

» La multiplicación de dos números pares, dan como resultado un número par. » La multiplicación de un número par y un impar, dan como resultado un número par. » La multiplicación de dos números impares, dan como resultado un número impar.

iii. Prioridad de las operaciones Cuando se requiere efectuar varias operaciones en un mismo ejercicio, se debe respetar el siguiente orden de las operaciones: 1º Paréntesis , 2º Potencias y Raíces , 3º Multiplicación y división (de izquierda a derecha), 4º Adición y sustracción.

b. Criterios de divisibilidad Para determinar de manera rápida los divisores de un número, podemos usar los criterios de divisibilidad. Un número será divisible por: 2 → Si su última cifra es par. 3 → Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

7 → Si al multiplicar la cifra de las unidades por 2 y restándola al número formado por las otras cifras, el resultado es un múltiplo de 7 o 0.

4 → Si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 o son ceros.

8 → Si sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son ceros.

5 → Si termina en cero o 5.

9 → Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

6 → Si es divisible por 2 y 3 a la vez.

10 → Si su última cifra es cero.

c. Números Primos y Compuestos Números Primos: Enteros positivos que solo son divisibles por uno y por si mismos: { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , ... } Números Compuestos: Enteros positivos mayores que uno que no son primos: { 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , ... } El teorema fundamental establece que todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores primos. TIPS:

» El menor número primo es el 2, el que además es el único número primo que es par. » El 1, no es primo ni compuesto. » El 0, es un número par. Este no es positivo, ni negativo.

d. Mínimo común múltiplo (m.c.m) y máximo común divisor (M.C.D) i. Mínimo común múltiplo (m.c.m) El mínimo común múltiplo (m.c.m), es el menor entero positivo que es múltiplo común de dos o más enteros. 2

Métodos para hallar el m.c.m: a. Tabla de descomposición:

b. Descomposición prima:

Ejemplo:

Ejemplo:

Sean A = 90 y B = 24, determinar el m.c.m

Sean A = 90 y B = 24, determinar el m.c.m

24

90

:2

12

45

:2

6

45

:2

3

45

:3

1 //

15

:3

5

:5

A = 2· 32· 5 y B = 23· 3

∴ el m.c.m entre 90 y 24 es 23· 3 2· 5

1 //

m.c.m =

23· 3 2· 5

∴ el m.c.m entre 90 y 24 es 23· 3 2· 5

Editorial Moraleja

3

ii. Máximo común divisor (M.C.D) El máximo común divisor (M.C.D), es el mayor entero positivo que es divisor común de dos o más enteros. 2

Métodos para hallar el M.C.D: a. Tabla de descomposición.

b. Descomposición prima.

Ejemplo:

Ejemplo:

Sean A = 90 y B = 24, determinar el M.C.D

Sean A = 90 y B = 24, determinar el M.C.D

24

90

:2

12

45

:3

4

A = 2· 32· 5 y B = 23· 3

15 M.C.D =

∴ el M.C.D entre 90 y 24 es 2· 3

2· 3

∴ el M.C.D entre 90 y 24 es 2· 3 TIPS: Los números que no tienen factores primos comunes se denominan primos relativos entre sí. En tal caso se cumple que el m.c.m es el producto de los números y el M.C.D es 1. Por ejemplo, 9 y 10 son primos relativos entre si, ya que los factores primos de 9 son { 3 , 3 }, y los factores primos de 10 son { 2 , 5 }. Por tanto: el m.c.m entre 9 y 10 es 90 , el M.C.D entre 9 y 10 es 1.

e. Valor Absoluto El valor absoluto de un número x se escribe |x|, este resultado corresponde a la distancia que existe entre el número x y el 0, por lo tanto, el valor de |x| es siempre mayor o igual a 0. Matemáticamente, esto último es: |x|≥ 0.

–3

–2

–1

|–3| = 3

x =*

0

1

2

3

|3| = 3

x, si x $ 0

–x, si x 1 0

i. Propiedades del valor absoluto El valor absoluto cumple las siguientes propiedades: 1. Multiplicación: 2. División: a $ b = a$b

3. Potencia: an = a

a a = b b

n

3. NÚMEROS RACIONALES

a. Operatoria en Q Sean a, b, c y d números enteros distintos de cero, se cumple:

4

Adición y sustracción:

Multiplicación:

División:

a c a$d!b$c ! = b d b$d

a c a$c $ = b b d $d

a c a$d | = b d b$c

Editorial Moraleja

Recíproco de

b

–1

a b l= b a

a : b

b. Operatoria con decimales i. Adición y sustracción Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Ejemplo: 0,247 + 21,65 =

0, 247 + 21, 65 21, 897

ii. Multiplicación Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, y luego se ubica la coma en el resultado final, de manera tal que el resultado tenga la misma cantidad de cifras decimales que los números del ejercicio en conjunto.

Ejemplo: 1,24 · 0,002 = Multiplicar 124· 2 = 248 Ubicar la coma manteniendo cinco cifras decimales: 0,00248

iii. División Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.

Ejemplo: 2,25 : 0,5 =

(Amplificado por 100)

→ 225 : 50 = 4,5

c. Transformación entre decimales y fracciones i. De decimales finitos a fracciones Paso 1: En el numerador se escribe el número completo sin la coma. Paso 2: En el denominador un 1 acompañado de tantos ceros como dígitos existan en la parte decimal.

Ejemplo: 342 3, 42 = 100

ii. De decimales periódicos a fracciones Paso 1: En el numerador se escribe el número completo sin la coma y se le resta la parte no periódica. Paso 2: En el denominador tantos nueve como dígitos posea el período.

Ejemplo: 145 – 1 99

1, 45 =

iii. De decimales semi-periódicos a fracciones Paso 1: En el numerador se escribe el número completo sin la coma y se le resta la parte no periódica. Paso 2: En el denominador se escribe tantos nueve como dígitos posea el período, seguidos de tantos ceros como dígitos tenga el ante–período.

Ejemplo: 2421 – 24 2, 421 = 990

d. Relación de orden en los racionales Para hallar la relación de orden entre números racionales, se puede utilizar alguno de los siguientes métodos: i. Multiplicación cruzada

iii. Igualar denominadores

ii. Igualar numeradores

iv. Convertir a número decimal

» Recordar que los dígitos decimales de acuerdo a su posición reciben los siguiente nombres:

c m dm UM C D U , d 5 6 : 5 5

: 5 5

ad

id Un

il M ena ena dad ima ima ima sima c és ilé és de ent ec Uni dé ent mil D m C c ez di

Editorial Moraleja

5

e. Aproximaciones – Tipos Ejemplo:

Redondeo

2

Redondear a la centésima los números 3,1421 y 1,8671

Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere redondear.

→ 3,14 y 1,87.

Paso 2: Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente a la que determine la aproximación. Paso 3: Si dicha cifra es menor que 5, no hay modificaciones en las cifras que se conservan. Si dicha cifra es mayor o igual que 5, la cifra por aproximar se debe aumentar en una unidad. Truncamiento

2

Ejemplo:

Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere truncar.

Truncar a la centésima los números 3,1421 y 1,8671

Paso 2: Considerar las cifras decimales hasta la posición que se determinó.

→ 3,14 y 1,86.

Aproximación por defecto

2

Ejemplo:

Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere aproximar.

Aproximar por defecto a la décima el número 3,47 → 3,4

Paso 2: Considerar las cifras decimales hasta la posición que se determinó. Aproximación por exceso

2

Ejemplo:

Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere aproximar.

Aproximar por exceso a la unidad el número 15,28 → 16

Paso 2: La cifra por aproximar se debe aumentar en una unidad.

4. NÚMEROS REALES

a. Operaciones en los Números Reales 2 La operación entre racionales da como resultado un número racional, exceptuandose la división por cero. 2 La operación entre un racional y un irracional da como resultado un número irracional, exceptuandose la multiplicación y la división por cero. 2 La operación entre números irracionales no siempre resuresulta número irracional.

5. POTENCIAS

a. Propiedades 2

a m· a n = a m + n

2

am : an = am – n

2

a m· b m = ( a· b ) m

2 2

6

a

m

:b

n m

(a )

m

= (a : b)

=a

ó

b

–n

n

a b l= c m, con a, b ≠ 0 b a

2

a0 = 1

2

0 n = 0, si n > 0

2

1n = 1

2

0 0 no está definido

m· n

=

1 n a

a

m

Editorial Moraleja

–n

2

b. Ecuación Exponencial Ecuación exponencial es aquella que tiene la incógnita en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial se debe tratar de igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. Las bases deben ser distintas de cero, uno y menos uno. 2 3 x –1 = 2 x+2

Ejemplo:

$

^3x – 1 h = ^x + 2 h

Luego, se deben igualar los exponentes y resolver la ecuación resultante.

6. RAÍCES

a. Propiedades Las siguientes propiedades se cumplen, sí y solo sí, a y b ! R + ; m y n ! Z +. 2

n

a $n b = n a$b

2

n

a m = ^n a h

2

n m

2

n ^ah m

;

n

a : n b = n a:b

n ^ah $ m ^bh

2

m

a = m$n a = n $ k ^ah m $ k

= n $ m ^ah m $ ^bh n

2

b $ n ^ah = n ^ah $ b n

2

n

^ah m = ^ah

m n

^a h 2 = a , para todo a ! R.

2

b. Racionalización i. Caso 1: Raíz cuadrada:

a b c

a b+ c

ii. Caso 2: Binomio con raíces cuadradas:

iii. Caso 3: Raíz no cuadrada:

$

a n

b

m

a $ b c

a $^ b – ch a $c b – c m = b–c b+ c b– c

$

$

c = a c b c

n

a n

b

m

$

n

b

n–m

b

n–m

=

a$n b b

n–m

c. Ecuación Irracional Ecuación irracional es aquella que tiene la incógnita en el sub–radical de una raíz. Ejemplo: Es importante que el(los) valor(es) encontrado(s) sea comprobado en la ecuación original.

^x + 1h = 5

7. PRODUCTOS NOTABLES 2

Cuadrado de binomio:

^a + b h 2 = a 2 + 2ab + b 2

2

^a – bh ^a + bh = a 2 – b 2

^a – b h 2 = a 2 – 2ab + b 2

2

Binomios con termino común:

2

^x + a h ^ x + bh = x 2 + ^a + b h $ x + a $ b

2

Suma y resta de cubos perfectos: ^a + b h ^a 2 – ab + b 2 h = a 3 + b 3 ^a – b h ^a 2 + ab + b 2 h = a – b 3

Suma por diferencia:

Cubo de binomio:

^a + b h 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ^a – b h 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

2

Cuadrado de un trinomio:

^a + b + c h 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac

Editorial Moraleja

7

8. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1.

a. Ecuaciones Literales Son ecuaciones que, además de la incógnita, contienen otras letras que representar variables. Para resolverlas, se debe identificar la letra que representa la incógnita y despejarla.

b. Ecuaciones valor absoluto Las ecuaciones con valor absoluto que estudiaremos, se pueden reducir a la forma: x = a.

Ejemplo: x + 4 = 12

Para resolverlas, debemos plantear dos ecuaciones lineales a partir de la ecuación original, siguiendo el esquema: x =a

55 x + 4 = 12 x1 = 8

5 5 46 x=a – (x) = a Como vemos, obtenemos dos ecuaciones lineales, que debemos resolver por separado para obtener las soluciones de la ecuación original.

46 – (x + 4) = 12 – x – 4 = 12 – x = 16 x 2 = – 16

9. SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema ax + by = c de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: , dx + ey = f donde a, b, c, d, e y f son números reales.

a. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones i. Método de Sustitución Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.

ii. Método de Igualación Se debe despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.

iii. Método de Reducción Se deben igualar los coeficientes numéricos de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

b. Análisis rápido de sistemas de ecuaciones Dado el sistema _b b $ ` ax + by = c bb dx + ey = f a

8

Si:

a b ! e d

Entonces el sistema tiene una solución.

Editorial Moraleja

Si:

a b c = ! d e f

Entonces el sistema no tiene solución.

Si:

a b c = = d e f

Entonces el sistema infinitas soluciones.

10.

DESIGUALDADES Si a, b, c son números reales, las desigualdades cumplen las siguientes propiedades: 2

Sí, a < b, entonces a + c < b + c

2

Sí, a < b y c > 0 , entonces a· c < b· c

2

Sí, a < b y c < 0 , entonces a· c > b· c

2 2

11.

Sí, 0 < a < b ó a < b < 0 , entonces 1 > 1 a b Sí a < 0 < b , entonces 1 < 1 a b

2

Sí, 0 < a < b y n un número natural, entonces a n < b n

2

Sí, a < b < 0 y n un número natural, entonces a 2n > b 2n

2

Sí, a < b < 0 y n un número natural, entonces a 2n + 1 < b 2n + 1

INECUACIONES

a. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0

;

ax + b ≤ 0

;

ax + b > 0

;

ax + b < 0

Para resolverlas se debe despejar la incógnita x, teniendo en cuanta las propiedades de las desigualdades. NOTAS:

2

Si al despejar la incógnita en una ecuación esta desaparece y queda:

2

Una desigualdad VERDADERA, la solución será R. Ejemplo: 0 ≥ –5

2

Una desigualdad FALSA, la solución será Ø. Ejemplo: 3 < 1

b. Inecuaciones de segundo grado Cuando tenemos una desigualdad expresada de la forma: ax 2 + bx + c ≤ 0 o ax 2 + bx + c ≥ 0. El proceso de resolución es: 1 ro. Se debe dejar cero a un lado de la igualdad.

5 to. Reemplazar para cada factor un valor de cada rango y analizar si signo ( + ó – ).

2 do. Factorizar la expresión.

6 to. Analizar para cada rango, si el producto de los factores será + ó – .

3 ro. Encontrar los puntos críticos de la ecuación (valores que hacen cero cada factor).

7 to. Construir el conjunto solución con los intervalos que cumplen con la condición inicial > 0 ó < 0.

4 to. Construir una tabla con factores y puntos críticos entre – ∞ y + ∞ , formando rangos. 2

12.

Este mismo proceso se aplica también cuando queremos resolver inecuaciones fraccionarias.

LOGARITMOS Definición: log a b = c + ac = b . Además se debe cumplir que: b > 0 ; a ≠ 1 ; a > 0.

a. Propiedades 2 2

log 10 a = log a log a 1 = 0

2 2

log a a m = m a

log a b

=b

2

log a a = 1

2

log a m· n = log a m + log a n

2

log e x = ln x

2

log a c

n

2

log a b = n $ log a b

2

log a b =

log c b

log c a

b = log a b – log a c m c

Editorial Moraleja

9

b. Relación de orden de logaritmos Sean los argumentos, a, b números reales positivos y las bases n, m números reales positivos distintos de 1. Para ordenar logaritmos podemos utilizar alguno de los siguientes métodos, según sea el caso.

i. Caso 1. Iguales argumentos Para ordenar logaritmos de iguales argumentos y bases mayores que 1, basta comparar las bases. •

Si se cumple que n < m, entonces log m a < log n a

ii. Caso 2: Iguales bases Para ordenar logaritmos de igual base, basta comparar los argumentos. •

Si, n > 1 y a < b , entonces log n a < log n b

•

Si, 0 < n < 1 y a < b , entonces log n a > log n b

iii. Caso 3: Distintas bases y distintos argumentos En caso que tanto los argumentos como las bases sean distintas, una posibilidad seria cambiar las expresiones hasta llegar a alguna con base común, aplicando propiedades.

c. Ecuación Logarítmica Ecuación logarítmica es aquella que tiene la incógnita en el argumento de un logaritmo. Para resolver, se deben igualar los argumentos y luego, resolver la ecuación resultante. Ejemplo: log ( 3x – 1 ) = log ( x + 2 ) $ ^3x – 1 h = ^x + 2 h . sea comprobado en la ecuación original.

Es importante que el(los) valor(es) encontrado(s)

d. Ecuación exponencial de distinta base Cuando tenemos una ecuación exponencial en la que no es posible igualar bases, aplicamos logaritmos, esto lo hacemos ya que una de las propiedades del logaritmo permite llevar el término que está en el exponente del anti-logaritmo al numerador. Ejemplo: 2 3x – 1 = 3 x + 2

13.

$

log 2 3x – 1 = log 3 x + 2

$

^3x – 1 h $ log 2 = ^x + 2 h $ log 3

$

Despejar x

NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo es de la forma ( z = a + b· i ), donde: a: es la parte real del complejo y se escribe como Re (z) ; b: es la parte imaginaria del complejo y se escribe como Im (z).

a. Unidad imaginaria Unidad imaginaria, “ i ” y cuyo cuadrado es –1. Es decir,

–1 = i .

Potencias de i: En una secuencia de potencias, se cumple: TIPS:

i 4n + p = i p , con n ! R +0 y 0 ≤ p ≤ 4

2

i0 = 1

2

La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0

2

El producto de cuatro potencias consecutivas de i es –1

b. Conjugado de un complejo Sea el complejo z = a + bi , su conjugado es z = a – bi

10

Editorial Moraleja

c. Representación Existen diversas formas de representar números complejos. Éstas son: 2 Forma binomial: 2 Par ordenado:

a + bi a + bi " Par ordenado: ( a , b )

2 Vector: Cuyo punto de inicio es el origen y su punto de llegada corresponde al par ordenado.

d. Adición y sustracción de complejos Para sumar o restar dos números complejos, operamos las respectivas partes reales y partes imaginarias entre sí: Esto es: z1 = a + bi

y

z 2 = c + di

Entonces las suma: z1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d )· i Entonces la resta: z1 – z 2 = ( a – c ) + ( b – d )· i

NOTAS:

2

El neutro aditivo de un complejo es ( 0 , 0) = 0 + 0i

2

El inverso aditivo de un complejo z = a + bi , es –z = –a – bi

e. Valor absoluto de un complejo Si z = a + bi, entonces el módulo de z es |z| , tal que z = a 2 + b 2 . NOTA:

2

El módulo de un complejo z, también se puede expresar como z .

Propiedades del valor absoluto El módulo cumple las siguientes propiedades:

z1 $ z2 = z1 $ z2

z1 z1 z2 = z2

zn = z

n

f.Multiplicación de complejos Para multiplicar 2 números complejos se debe hacer de la misma forma en que se multiplicaban dos binomios. Luego se debe reducir.

g. Inverso multiplicativo de un complejo Sea z = a + bi, entonces el recíproco o inverso multiplicativo de z es : 1 1 . z –1 = z o z –1 = a + bi

z –1 =

1 a – bi $ a + bi a – bi a – bi

Es importante que los términos con “i“ no queden en el denominador. De ser así, se debe “racionalizar“.

=

Para racionalizar un complejo, debe amplificarse por el conjugado del denominador y luego reducir:

=

a – bi a2 – b2i2

=

a – bi a2 +b2

a 2 – _ bi i 2

h. División de complejos z Si z1 = a + bi y z 2 = c + di , con z 2 distinto de cero, la división entre ellos se expresa: z 12 . Como se explica anteriormente, debemos racionalizar nuestro resultado. Ejemplo: Si z 1 = 2 + 3i y z 2 = 4 – i _ 2 + 3i i _ 4 + i i 8 + 2i + 12i + 3i 2 z1 5 14 8 + 14i + 3i 2 8 + 14i – 3 5 + 14i ó = = = = + i z2 = _ 4 – i i 17 17 17 16 + 1 _4 + ii 16 – i 2 16 – i 2 reemplazamos i 2 por –1

Editorial Moraleja

11

14.

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es aquella de la forma ax 2 + bx + c = 0 , con a, b y c coeficientes reales y a ≠ 0. Todas poseen dos soluciones, ya sea en el conjunto de los números reales o en el de los complejos.

a. Métodos resolución i. Factorizar Se debe factorizar la expresión como ( x – x1 )( x – x 2 ) = 0. Las soluciones de la ecuación serán x1 y x 2.. Ejemplos: Resolver: x 2 – 2x = 0

Resolver: x 2 – 4 = 0

x( x – 2 ) = 0 x=0 x1 = 0

ó

(x – 2) = 0

; x2 = 2

Resolver: x 2 – 5x + 6 = 0

( x + 2 )( x – 2 ) = 0

( x – 2 )( x – 3 ) = 0

(x + 2) = 0

(x – 2) = 0

x 1 = –2

ó

(x – 2) = 0

; x2 = 2

x1 = 2

ó

(x – 3) = 0

; x2 = 3

ii. Completando cuadrados Se debe reescribir la ecuación de segundo grado de modo que quede escrita de la forma: ( x – h )2 + k = 0

Ejemplo: Resolver: x 2 + 6x + 5 = 0 2

x + 6x + 5 = 0

Luego despejar x

2

x +2$x$3+5 = 0 2

x + 6x + 9 – 9 + 5 = 0 14444442444443 ^x + 3h 2 – 4 = 0 ^x + 3h 2 = 4 / ^x + 3h = ! 2

x=k ! h

x = –3!2

∴ x 1 = –1

; x 2 = –5

iii. Fórmula general Este método requiere simplemente que se reemplacen los valores de a, b y c en la fórmula para hallar la solución. x=

Ejemplo: Resolver: 3x 2 – x – 2 = 0 a = 3 , b = –1 , c = –2

2

– b ! b – 4ac 2a

Se recomienda utilizar solo cuando no es posible factorizar o completar el cuadrado.

x=

– ^ –1 h ! ^ –1 h 2 – 4 $ 3 $ ^ –2 h 2$3

x=

1 ! 1 + 24 6

x=

1 ! 25 1!5 = 6 6

x1 =

1+5 =1 6

x2 =

1 – 5 –2 = 6 3

b. Propiedades de las soluciones Si x1 y x 2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0, entonces siempre se cumplen las siguientes propiedades: –b x 1+ x 2 = a

12

Editorial Moraleja

,

c x 1· x 2 = a

c. Análisis de las soluciones utilizando el discriminante El discriminante es: D = b2 – 4ac. El signo del discriminante determina la naturaleza de las soluciones: •

Si D > 0 , entonces las soluciones son números Reales y distintos

•

Si D = 0 , entonces las soluciones son números Reales e iguales

•

Si D < 0 , entonces las soluciones son números Complejos y distintos

•

15.

CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento del conjunto A uno y sólo un elemento del conjunto B. Se expresa como, f: A $ B

f(x)

El conjunto A, representa los valores que puede tomar la función. Este conjunto lleva por nombre, Dominio de la función. Cada elemento del dominio recibe el nombre de pre–imagen. El conjunto B, representa a los valores que toma la función. Este conjunto se llama el Recorrido de la función. A cada elemento del recorrido se le llama imagen. En el gráfico sagital adjunto muestra que para que la función este bien definida, se debe cumplir que de todos los elementos del conjunto de salida “A”, estén asociado a solo un elemento en el conjunto de llegada “B”.

A

B

M

1

N

2

P

3

Q

4

Dominio

Recorrido

Un elemento en el conjunto de llegada “B”, puede estar asociado a más de un elemento en el conjunto de partida “A”.

a. Composición de funciones Sea f: A $ B y g: B $ C , podemos hallar una función g(f(x)), que vaya de A $ C. Tal como lo muestra la figura. g(x)

f(x) A

B

C

M

1

r

N

2

s

P

3

t

Q

4

w

Ejemplo: Sea f y g funciones reales definidas por: f(x) = 2x – 3 y g(x) = 4 – 5x. Hallar g(f(x)) : g(f(x)) = 4 – 5 (2x – 3) = 4 – 10x + 15 = –10x + 19

∴ g(f(x)) = –10x + 19

g( f(x) )

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13

b. Función inversa Sea f: A $ B y podemos hallar una función f –1(x), que vaya de B $ A. Tal como lo muestra la figura adjunta. Otra forma de analizarlos es si un punto ( x , y ) pertenece a la función f(x), entonces el punto ( y , x ) pertenecerá a la función f –1(x). Para determinar la expresión algebraica de la función inversa, se despeja la variable x de la expresión y = f(x) y luego se intercambian la variable x por la y.

f(x) A

B

M

1

N

2

P

3

Q

4

f–1(x)

Siempre se cumple que los puntos (x , y) e (y , x), son simétricos con respecto a la recta y = x, por tanto, las gráficas de estas funciones serán simétricas con respecto a la recta y = x.

Ejemplo: y

Además, es importante mencionar que no todas las funciones poseen inversa. Solo las funciones biyectivas tienen función inversa.

f(x)

f(x)

1 1

–1

x

y=x

c. Clasificación de funciones i. Función Inyectiva

ii. Función Epiyectiva Una función es epiyectiva cuando cada valor de recorrido

corresponden distintos valores en el recorrido.

tiene al menos un valor del dominio.

f(x)

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyactiva a la vez.

f(x) 0

M

Q

4

Q

Dominio

Recorrido

Dominio

1

N

2

P

3

Q

4

Dominio

Recorrido

2

P

3

M

1

N

2

P

f(x)

M

1

N

3

Recorrido

f(x)

f(x)

f(x)

4 3 2

4 3 2

4 3 2

1

1

1 0

M N P

Q

x

» Gráficamente, para ver si una función es inyectiva, podemos dibujar paralelas al eje x. Estas deben cortar A LO MÁS en un punto a la función.

14

iii. Función Biyectiva

Una función es inyectiva, cuando a distintos valores del dominio, le

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M N P

Q

x

» Gráficamente, para ver si una función es epiyectiva, podemos dibujar paralelas al eje x. Estas deben cortar AL MENOS en un punto a la función.

M N P

Q

x

» Gráficamente, para ver si una función es inyectiva, podemos dibujar paralelas al eje x. Estas deben cortar SIEMPRE en un punto a la función.

d. Traslación de funciones Sea y = f(x) una función. Sean h y k números positivos son positivos, entonces se cumple:

i. Desplazamiento vertical

ii. Desplazamiento horizontal

y = f(x) + k, es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y.

iii. Desplazamiento compuesto

x.

2

Si k > 0 el desplazamiento es en hacia arriba

2

Si h > 0 el desplazamiento es a la derecha

2

Si k < 0 el desplazamiento es hacia abajo

2

Si h < 0 el desplazamiento es a la izquierda

f(x)

y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y h unidades en el eje x.

y = f(x – h), es la función f(x) desplazada h unidades en el eje

y = f(x) + k

f(x)

y = f(x + h) + k

f(x)

y = f(x – h)

k

k x

h

x

x

–h

e. Reflexión de funciones 2

Reflexión con respecto al eje y

2

y

y

Si en una función f(x), sustituimos (x) por (–x), la gráfica de f(–x) es el reflejo la primera en torno al eje y.

f(–x)

f(x) 1

Reflexión con respecto al eje x

y

1

x

y

f(x)

Si a una función f(x), ante-ponemos un signo menos, “–f(x)” , la gráfica de –f(x) es el reflejo la primera en torno al eje x.

x

x

x –f(x)

16.

FUNCIÓN AFÍN Y LINEAL 2

Función afín

2

Una función afín es de la forma: f(x) = mx + n , con m, n ! R y m ≠ 0. f(x)

Función lineal

2

Una función lineal es de la forma: f(x) = mx , con m, ! R y m ≠ 0.

Función identidad

La función identidad es f(x) = x

f(x)

f(x) 2 1

x

–1

x

1

2

x

–1 » La función lineal expresa una proporcionalidad directa entre las variables x y f(x).

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15

17. FUNCIÓN CUADRÁTICA Sea a, b, c ! R y a ≠ 0, se denomina función cuadrática, a una

función de la forma: f ( x ) = ax 2 + bx + c

a. Concavidad Concavidad es la abertura que tiene la parábola. De acuerdo al valor que toma a, se dan los siguientes casos: 2

Si a > 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba

2

Si a < 0 , entonces la parábola se abre hacia abajo

b. Dominio y recorrido El dominio de una función cuadrática es el conjunto R. El recorrido depende de la concavidad de la parábola. Si a < 0

→

–3 , k @ Rec: @

→

Si a < 0

k ,36 Rec: 6

f( x )

f( x ) k

h h

x

x k

c. Apertura •

•

f( x )

Si, |a| > 1, la gráfica de f1( x ) = ax 2 es más cerrada en torno al eje de simetría que la gráfica de f( x ) = x 2.

f1( x ) = ax2

f( x ) = x2 f2( x ) = ax2

Si, 0 < |a| < 1, la gráfica de f2( x ) = ax 2 es más abierta en torno al eje de simetría que la gráfica de f( x ) = x 2.

x

d. Uso del discriminante Recordemos del capítulo de ecuaciones de segundo grado, que el discriminante es: D = b2 – 4ac . Dependiendo de su signo, podíamos conocer la naturaleza de las soluciones. En funciones lo utilizaremos para conocer si la función corta o no al eje de las abscisas. f( x )

x

16

f( x )

f( x )

x

x

D>0

D=0

D