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• Alejandro Francisco Morales Vergara

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SAN MARCOS Habilidades

Habilidad Mate

Resolución

ática

Tema: Planteo de ecuaciones

PREGUNTA N.o 21 Por cada nueve panes que compró María, le regalaron un pan. Si recibió 770 panes en total, ¿cuántos panes le regalaron? A) 77 D) 88

B) 74

Análisis y procedimiento Se pide la ganancia de Milagros. De los datos, se obtiene la inversión (I).

C) 71 E) 66

valor del automóvil

Resolución

por

→ I=S/.9780

Tema: Planteo de ecuaciones

Luego, recibe por el alquiler del automóvil

Análisis y procedimiento

×8

Se pide el número de panes que le regalaron

77

770

×77

total que le regalan

Respuesta

×77

total que recibe

recibe S/.1500

×8

Después, vende el automóvil en S/.7750. → recauda=R=S/.12 000+S/.7750 =S/.19 750

om .c sZ ro ib

recibe 10

L w. ww

le regalan 1

en 1 trimestre

2 años 8 trimestres S/.12 000

Por dato: compra 9

cambio

llantas afinarlo     de   I = S/.8750 + S/.830 + S/.200

\

ganancia=R – I=S/.19 750 – S/.9780 =S/.9970

Respuesta

77

S/.9970

PREGUNTA N.o 22

PREGUNTA N.o 23

Milagros pagó S/.8750 por un automóvil, S/.830 por el cambio de llantas y S/.200 por afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón de S/.1500 por trimestre, y luego lo vendió por S/.7750. ¿Cuánto ganó Milagros?

Se aplica un examen a 40 escolares y desaprueban 16. El número de niñas es la mitad del número de aprobados y el número de niños aprobados es el cuádruplo del número de niñas desaprobadas. ¿Cuántas niñas aprobaron el examen?

A) B) C) D) E)

S/.9790 S/.9700 S/.9890 S/.9970 S/.9900

A) B) C) D) E)

6 4 9 10 8

Humanidades - Ciencias Sociales - Económico Empresariales

10

SAN MARCOS Habilidades

Resolución

Resolución

Tema: Planteo de ecuaciones

Tema: Situaciones aritméticas Sabemos que

Análisis y procedimiento

Radio IP N.º de vueltas

De los datos tenemos niños

niñas

4x

12 – x

24

x

16

aprobados desaprobados

x vueltas

12

28

c

b

a

y vueltas

a·x=b·y=c·z z vueltas

Análisis y procedimiento

40 escolares

De las figuras observamos que los radios son los primeros números impares, entonces el décimo impar es 2(10) –1=19.

Del total de aprobados tenemos

1.a

ww

4x+(12 – x)=24  3x=12  x=4

3r

1r

3.a 5r

4.a

5.a

7r

9r

19r

11r

76 vueltas

br

x vueltas

Z.

os

12 – x=12 – 4=8

10.a

6.a ...

Li

w. Por lo tanto, las niñas que aprobaron son

2.a

co

Respuesta

Como el radio es IP al número de vueltas, obtenemos

m

8

(11r)×76=(19r)(x) \ x=44

PREGUNTA N.o 24

Respuesta

En la figura se muestra un engranaje de 20 ruedas. Si la sexta rueda dio 76 vueltas, ¿cuántas vueltas dio la décima rueda?

44

1r

3r

1.º

2.º

A) 44 D) 49

5r

3.º

7r

4.º

B) 40

PREGUNTA N.o 25

9r ... 5.º

C) 33 E) 39

En una bolsa hay 165 monedas. Si por cada 5 monedas de S/.2 hay 8 monedas de S/.5 y por cada 2 monedas de S/.5 hay 5 monedas de S/.1, halle el número de monedas de S/.5. A) 32 D) 64

B) 56

C) 48 E) 40

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11

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Resolución

A) B) C) D) E)

Tema: Planteo de ecuaciones Análisis y procedimiento De los datos se tiene

S/.243 000 S/.81 000 S/.120 000 S/.200 000 S/.240 000

Resolución 2 monedas

5 monedas

Tema: Planteo de ecuaciones Análisis y procedimiento De los datos, sea el total 100k.

5 monedas

8 monedas

Luego Como la cantidad de monedas de S/.5 es única, se tiene lo siguiente: N.º de monedas de S/.2: 5K N.º de monedas de S/.1: 20K

El segundo recibe: 60%(45k)=27k

1 (27k)=9k 3 saldo=19k

El tercero recibe:

w. ww

N.º de monedas de S/.5: 8K

+

El primero recibe: 45% (100k)=45k

Total de monedas

br Li

Total: 33K=165 → K=5

Z. os

Por dato 19k=38 000 k=2000

Luego

m co

N.º de monedas de S/.2: 25

Luego, reemplazamos en el total. 100(2000)=200 000

N.º de monedas de S/.5: 40 N.º de monedas de S/.1: 100

Respuesta

Por lo tanto, hay 40 monedas de S/.5.

S/.200 000

Respuesta 40

PREGUNTA N.o 27 Al sumar un mismo número a 20, 50 y 100, respectivamente, los tres números resultantes forman una progresión geométrica creciente. Halle la razón.

PREGUNTA N.o 26 Tres personas se reparten una herencia del modo siguiente: el primero hereda el 45%; el segundo, el equivalente al 60% del primero; el tercero, el equivalente a 1/3 del segundo. Si quedó un saldo de S/.38 000, halle la herencia.

A)

3 2

D)

7 5

B)

3 4

C)

5 3

E)

4 3

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12

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PREGUNTA N.o 28

Resolución

La suma de tres números impares positivos y consecutivos excede al mayor de ellos en 28 unidades. Halle el producto de los tres números impares menos el producto de los números pares que se encuentran entre ellos.

Tema: Sucesiones Recuerde que en una sucesión geométrica que tenga una cantidad impar de términos se cumple que

2

 término   primer   último   central  =  término  ×  término 

A) 3091 B) 4621 C) 6459 D) 2369

Análisis y procedimiento

E) 1512

Consideramos N como la cantidad con la cual se

Resolución

realizarán las sumas indicadas para obtener una

Tema: Planteo de ecuaciones

progresión geométrica, como se indica. P. G.: N+20; N+50; N+100

ww

Análisis y procedimiento Sean los tres números impares consecutivos 3.º

x+2 

impar

impar

Z. co

 500=20N

Por dato

m

 N=25

[(x – 2)+x+(x+2)] – (x+2)=28 →

Entonces, la progresión geométrica está formada por los siguientes términos. P. G.: 45; 75; 125

2.º

x 

impar

os

N2+100N+2500=N2+120+2000

1.º

x−2 

br

(N+50)2=(N+20)×(N+100)

Li

w.

Luego

x=15

Luego 1.º

13;

2.º

3.º

14 ; 15; 16 ; 17   par

par

Donde la razón es q=

75 125 5 = = 45 75 3

Reemplazamos en lo pedido ( 13 )(15 )(17 14  ) − ( )(16  ) = 3091 producto de impares

producto de pares

Respuesta 5 3

Respuesta 3091

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13

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PREGUNTA N.o 29

PREGUNTA N.o 30

En un tanque hay cierta cantidad de litros de agua. Si de este tanque extraigo el 30% de lo que no extraigo y de lo que extraje devuelvo al tanque el 50% de lo que no devuelvo, resulta que en el tanque hay 990 litros. ¿Cuántos litros de agua había al inicio en el tanque? A) 900 D) 1100

B) 1260

Un empleado recibió su sueldo de S/.1000 en billetes de S/.50 y de S/.10. Si en total recibió 64 billetes, halle el número de billetes de S/.50 que recibió.

A) 9

C) 1170 E) 1800

B) 11

Resolución

C) 12

Tema: Tanto por ciento

D) 8 E) 10

Análisis y procedimiento De los datos

Resolución

se extrae=30% (no se extrae) 3 (no se extrae) 10

3x

10x

contenido (13x) total

Si consideramos que dicho empleado recibió m

.c sZ

no se extrae

Análisis y procedimiento

ro ib

extrae

L w. ww

extrae =

Tema: Planteo de ecuaciones

billetes de S/.50 y n billetes de S/.10, entonces

om

Luego de lo que se extrae → devuelve=50% (no se devuelve)

devuelve=

extrae

1 2

1x

Simplificando y ordenando ambas ecuaciones (no se devuelve)

5m + n = 100 – m + n = 64 4m = 36

10x

en el tanque hay 990 litros

11x=990 → x=90 \

(total de billetes)

50m+10n=1000 (sueldo total)

no se devuelve devuelve

2x

m+n=64

→

 m= 9

Por lo tanto, recibe nueve billetes de S/.50.

contenido total(inicio)=13(90)=1170 litros

Respuesta 1170

Respuesta 9

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14

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PREGUNTA N.o 31

A) 2

Halle el conjunto solución de la inecuación

D) – 7

19 x − 4 < 3. 5 A) 〈– 3; 3〉

B) 5

C) 0

E) 7

Resolución B) 〈–1; 1〉

D) 〈–1; 0〉

C)

1 1 − ; 2 2

Tema: Operaciones matemáticas

E)

1 ;1 2

Análisis y procedimiento En las definiciones

Resolución

a * b=2a+3b+2

Tema: Situaciones algebraicas

a ∆ b=a2 – ab+b2 Reemplazamos en la relación brindada

Recuerde que si |a| < b, entonces

2* y = 4 ∆ y   

– b < a < b

0=y2 – 7y+10 y – 5=0 → y=5 y   – 2=0 → y=2

ww

Análisis y procedimiento

4+3y+2=16 – 4y+y2

Entonces la suma de los valores de y es 7.

sZ ro

19 x − 4 0 ∧ b0

→ a4b0

x3/4=27 x3=274 x3=(34)

3

negativo

→ x=81

a4b0 a>0

– b>0 a>0

ab2>0

−b a>0

ab 2 >0 ab 2 = −b a

ab 2 = −b a A) FVV

(verdadero)

del dato:

PREGUNTA N.o 34

i.

ab 2 = −b a

B) VVF

C) FVF E) VFV

Respuesta VVV Humanidades - Ciencias Sociales - Económico Empresariales

16

SAN MARCOS Habilidades

PREGUNTA N.o 35

PREGUNTA N.o 36

Halle el producto de las soluciones de la ecuación

Un círculo de radio 4 u está inscrito en un triángulo

y

(5+logy)

– 6

equilátero. Si el área de la región interior al triángulo

=10 .

y exterior al círculo es

(

3x − πy )  u2, halle el valor

de x+y.

A) 10– 5 B) 10– 6

A) 30

C) 105

B) 64

C) 60

D) 24

D) 106 E) 10– 3

E) 48

Resolución

Resolución

Tema: Situaciones geométricas

Tema: Situaciones algebraicas

Recuerde que el área de una región triangular equilátera es la siguiente

Análisis y procedimiento 60º

ww

Piden el producto de las soluciones de la ecuación.

L2 × 3 4

60º L

co Z.

logy(5+logy)=log10– 6

Análisis y procedimiento

Por la regla del sombrero

m

Piden x+y.

(5+logy)logy=– 6

Dato: El área de la región interior al triángulo y exterior al círculo es

2

logy +5logy+6=0 logy 3 logy 2

(

3 x − πy ) u 2 .

Sea el área A = 3 x − πy .

(logy+3)(logy+2)=0 ∨

logy=– 3 – 3

 y1=10

∨

logy=– 2

Respuesta

30º

– 2

y2=10

: 10 −3 × 10 −2 = 10 −5 ∴ producto de soluciones

10– 5

60º

os br

Aplicando logaritmo decimal

→

a

Li w.

y(5+logy)=10– 6

A=

8 3

4 30º 4 3

Humanidades - Ciencias Sociales - Económico Empresariales

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SAN MARCOS Habilidades

Del dato, el radio del círculo es 4 u. Entonces A=

(8

3) 4

2

3

C

α

4

− π(4)2

2

α

A

Por lo tanto x=48 ∧ y=16

2k E

k

A = 3 × 48 − π × 16 = 3 x − πy

D

B

Se observa  ABE ∼

Luego x+y=64

 DCE

BE AE k = = EC ED 2k

Respuesta 64 Pero

AE+ED = 3k AD → 3k=12

w. ww

PREGUNTA N.o 37

C

D

→ k=4 Luego por Pitágoras

m co

Z. os

br Li

En la figura, AD=12 cm; CE=4 cm y EB=2 cm. Halle el valor de AB2+CD2.

4

E A A A) 68 cm2 D) 92 cm2

B) 80 cm2

C) 60 cm2 E) 100 cm2

Tema: Situaciones geométricas Análisis y procedimiento 2

Piden AB +CD .

2 B

4

4 3

D

8

E

En lo pedido AB2 + CD2

( 2 3 ) 2 + (4

Resolución

2

2 3

B

C

E

3)

2

12+48 = 60

Respuesta 60 cm2 Humanidades - Ciencias Sociales - Económico Empresariales

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SAN MARCOS Habilidades

PREGUNTA N.o 38

En la figura se muestra un arreglo triangular de círculos congruentes, de radio R metros. Si en cada círculo se inscribe un triángulo equilátero, halle el

1 2

n –1 n

área de la región sombreada, en metros cuadrados.

n(n + 1) cantidad de círculos = 2

120º

 1

2

...

49 50



30º

30º

ww

 3

Análisis y procedimiento

os br

Li w.

 3 A) 1275 R 2  π −   4  2

3 3 B) 1275 R  π −   2 

co Z.

Nos piden el área de la región sombreada.

m

 3 C) 1275 R 2  π −   2  D) 1275 R 2 ( π − 3 )

1 2

 3 3 E) 1275 R 2  π −   4 

Al hallar la cantidad de círculos se tiene que

Resolución Tema: Situaciones geométricas Área de una región equilátera

L A L L

49 50

A=

L2 3 4

Cantidad 50 × 51 = 1275 de círculos = 2

Hallamos el área de la región sombreada en uno de los círculos y luego multiplicamos por la cantidad de círculos.

Humanidades - Ciencias Sociales - Económico Empresariales

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SAN MARCOS Habilidades

Del dato el radio es R.

Resolución

Tema: Situaciones geométricas R 3

30º

Análisis y procedimiento

120º 30º

Nos piden el volumen de la caja y se tiene

R 2a a

(

Área Área de la región = 1275 Área sombreada –

) Por dato, el perímetro de la lámina es 36 cm

2   Área de la región = 1275  πR 2 − ( R 3 ) 3  sombreada   4

→

6a=36 cm a=6 cm

Luego, se cortan las esquinas

ww

Área de la región = 1275 R 2  π − 3 3  sombreada  4 

w.

2 cm 2 cm 4 cm2

br

Li 6 cm

os

Respuesta

Z.

 3 3 1275 R 2  π −   4 

2 cm

m

co

2 cm

Se forma la caja

PREGUNTA N.o 39

2 cm

Con una lámina rectangular, se construye una caja sin tapa cortando regiones cuadradas de 4 cm2 de área en cada esquina. Si el perímetro de la lámina es 36 cm y el largo es el doble del ancho, halle el volumen de la caja. A) 32 cm3 B) 96 cm3 C) 24 cm3 D) 48 cm3 E) 64 cm

3

2 cm 8 cm Por lo tanto, el volumen de la caja es (2 cm)(2 cm)(8 cm)=32 cm3

Respuesta 32 cm3 Humanidades - Ciencias Sociales - Económico Empresariales

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