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RESPUESTA TRANSITORIA Definiciones de las especificaciones de Respuesta Transitoria Las características de desempeño de un sistema de control en el mayor de los casos se especifica en el dominio del tiempo, en términos de la frecuencia transitoria para una entrada escalón La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón depende de las condiciones iniciales (por conveniencia se usa condición inicial en estado de resposo) y muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario. La respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón se muestra en fig1.

Fig1. Curva de respuesta a escalón unitario Donde: 1.

Tiempo de Retardo (Td): Tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez la mitad de su valor inicial

2. del

Tiempo de Subida (Tr): Tiempo requerido para que la respuesta pase 10 – 90 %, 5 – 95 % ó 0 -100% de su valor final -

3.

Sistema amortiguado 2do orden 0-100% Sistema sobre amortiguado 10-90%

Tiempo Pico

(Tp)

Tiempo requerido para que la respuesta 11

alcance el primer pico de sobreelongación máxima.

2

4.

Sobreelongación (Mp) Es el máximo valor pico de la curva de respuesta medido a partir de la unidad, es frecuente expresar esta magnitud en %. El porcentaje de sobreelongación máxima nos indica de manera directa la estabilidad del sistema.

5.

Tiempo de Asentamiento (Ts): Tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final (25%), se puede observar que Ts es la mayor constante de tiempo del sistema de control

Observaciones: Todas las especificaciones anteriores no se aplican en cualquier caso (en sistemas sobre amortiguados no se aplican Tp, Mp). Es conveniente que la respuesta transitoria en sistemas de segundo orden sea lo suficientemente rápida y amortiguada, es decir el factor de amortiguamiento debe estar en el rango de 04 - 0.8. ξ menor a 0.4 transitoria ξ mayor a 0.8

Mp excesivo en respuesta Responde con lentitud.

Existe un conflicto entre el Tr y Mp, lo que ocasiona que ambos no puedan hacerse pequeños de manera simultánea. Sistemas de segundo orden y especificaciones de respuesta transitoria A continuación se brindará las expresiones matemáticas para Tr, Tp, Mp, Ts en un sistema de segundo orden (Suponer que se trabaja con un sistema sub amortiguado) R(s) +

C(s)

k

-

s( Js B)

La FT esta dada por:

C (s) R(s)

Js

Fig2. Sistema de segundo orden

R(s)

W s(s

n 3

2 Wn )

2

k Bs

k

La

C(s)

FT esta dada por:

C (s)

2

Wn

n

Fig2. Sistema de segundo orden

4

n

Donde:

Wn

Wd

:

Frecuencia natural no amortiguada

:

Factor de amortiguamiento relativo

:

Amortiguamiento Real

:

Frecuencia Natural amortiguada

:

Atenuación

A continuación se presentan las fórmulas para el cálculo matemático:

1. (

tr

3. (

tr )

Tiempo de Subida

2.

Tiempo Pico (

tp)

tp

Wd

d

Sobreelongación

Mp)

Tiempo W Asentamiento

4.

ts )

(

M

1

e

2

ts

4

ts

W 3

Como formulas adicionales se presentan las siguientes:

tan 1  Wd  

W

Criterio 2% n

P

W

4

 



3 Wn

Criterio 5%

d

n

1

2

Wn # grados # radianes

180

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria

Control II Universidad Nacional de Piura

Ejercicios1: Para el siguiente circuito que se muestra a continuación R(s)

+

C(s)

Wn s(s 2 Wn )

-

Fig2. Sistema de segundo orden

Hallar

y

tr ;t p ;ts ; M dibujar la gráfica correspondiente; los datos que se

p

proporcionan son los siguientes (factor de amortiguamiento 0.6 y frecuencia natural no amortiguada 5 rad/seg. Solución Calculando en tiempo de subida

tr

Wd

Se observa que primero es necesario hallar los valores de:

Wn Wd

Wn

(0.6)(5rad / seg ) 3rad / seg (5rad / seg )( 1 0.6 2

2

1

 4

 Wd  tan 

1

 

Por lo cual:

1

tan  

Calculando en tiempo pico

53.13

0.93rad

 3



tr

4rad / seg

Wd

3.1416 0.93 4rtad / seg

tp

Wd

0.55seg

3.1416 rad 4rad / seg

0.7854

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria

Control II Universidad Nacional de Piura

Calculando Sobre elongación Máxima

MP

e

1

2

e

 0. 6 

 2 3 .1416 1 0 .6  

0.095

9.5%

Calculando el tiempo de se hallará para ambos criterios) 4 asentamiento( 4 4

Wn

t s (2%)

t s (5%)

3

3 Wn

3 1.33seg

3 1seg 3

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria Graficando la curva tendríamos:

Desarrollando este ejercicio con MATLAB. FA=0.6; Wn=5; num=Wn^2; den=[1 2*FA*Wn Wn^2]; s1=tf(num,den); t=[0:0.01:3]; step(s1,t) grid

Control II Universidad Nacional de Piura

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria

Control II Universidad Nacional de Piura

Ejercicio 2 Para el sistema de la figura, determine las velocidades de K y Kh para que la sobreelongaión máxima en respuesta al escalón unitario sea 0.2 y el tiempo pico sea de 1 seg; con los valores de K y K h hallar el tiempo de subida y tiempo se asentamiento. Suponer J= 1kg – m2 y B= 1 N- m rad/seg.

Solució n Hallamos la FT del circuito, se puede hacer por partes:

X (s) E( s)

k B) k

(J s

Entonces

kh

C (s) R(s)

2

s J

k s( B k h k ) k

Acomodando la FT y comparando con la ecuación de 2do orden:

k

C (s) R( s)

J k hk

2

B

 s s 

J

  k



C (s)

Wn2

R(s)

s2 2 W

J

n

Se tiene:

W

 

n

W2



W

n

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria

k B

J 



………… . (1)

k hk 2

Control II Universidad Nacional de Piura

kh k

B n

J

…………(2)

2 kJ

Partiendo de los datos :

ln( 0.2) ln( e

1

2

)

0.4056

1

Wd

Wd Wd

Wn

3.1416rad / seg 2

1

Wd

1 0.6

2

3.1416 rad / seg

Wn

3.53rad / seg

Reemplazando estos datos en las ecuaciones (1) y (2) del ejercicio se tiene: 2

k

Wn J     

k h

k

12.5

kJ 2

1

 kh

0.15

k

 Finalmente se hallará los valores del tiempo se subida y del tiempo se asentamiento Para el tiempo de subida:

Wn

(0.4056)(3.53rad / seg )

1.43rad / seg

 Wd   3.1416  1 65.52  tan  1 1.43  tan     

3.1416 1.14

tr Wd

1.14rad

tr

0.64 seg

3.1416

Para el tiempo de asentamiento:

3

3 Wn

3 1.43

t s (2%)

4

4 Wn

4 1.43

2.79seg

t s (5%)

2.09seg

ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA La respuesta de un sistema de control consta de dos partes tal como lo indica la siguiente ecuación.

C (t ) Transitoria (Que va del estado inicial al final)

C tr

C SS Estacionaria (Manera como se comporta el sistema cuando T

Estabilidad absoluta, relativa y error en estado estacionario Estabilidad absoluta Se refiere a la condición de si el sistema es estable o inestable. Así tenemos: Un sistema de control esta en equilibrio, si en ausencia de perturbaciones la salida permanece en el mismo estado. Un sistema LTI es estable, si la salida regresa a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema LTI es críticamente estable, si las oscilaciones continúan en forma indefinida. Un sistema LTI es inestable, si la salida diverge sin límite a partir de su estado en equilibrio cuando está sujeta a una condición inicial. Estabilidad relativa Una vez identificado si el sistema es estable, es importante determinar que tan estable es y este grado de estabilidad se le conoce como estabilidad relativa Error en estado estacionario La respuesta transitoria de un sistema de control con frecuencia muestra oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario, si la salida de un sistema en estado estacionario no coincide exactamente con la entrada se dice que tiene un ess (nos indica la precisión del sistema). Aplicación del criterio de estabilidad Routh al análisis de un sistema de control Este criterio tiene una utilidad limitada en el análisis del sistema de control lineal porque no sugiere como mejorar la estabilidad relativa ni como estabilizar un sistema inestable. Este criterio solo nos permite determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema, si se examinan los valores que producen inestabilidad. Ejemplo Considérese el siguiente sistema de control. Determinar si el sistema es estable o inestable. R(s)

+ -

K ss

2

s 1 s 2

C(s)

Solución Hallamos la función de transferencia C (s) K R(s) s s 2 s 1 s

2

K

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria

Control II Universidad Nacional de Piura

Determinamos la ecuación característica. s(s2 + s + 1)(s+2) + K = 0 (s3 + s2 + s)(s + 2) + K = 0 s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K =0 Escribimos la tabla de Routh. s4 s3 3 0 s2 b1 s c1 K d1

1 2

3 K

b2

b1

(3x3) (2x1) 7 3 3

b2

(2xK ) (3x0) 2

K

( 7 x2) (3xK ) (14 9K ) 3 c1 7 7 3

(14 9K ) ( xK ) (0) d1

7 (14 9K ) 7

K

Para la estabilidad K debe ser positivo al igual que los coeficientes de la primera columna. 14/9 > K > 0 Si K = 14/9 será un sistema oscilatorio y esto se mantiene en una amplitud constante.

Errores en estado estacionario en los sistemas de control con realimentación unitaria. Los errores en estado estacionario ess se pueden atribuir a muchos factores (cambios en la entrada, imperfección o deterioro de los componentes); se estudiará los ess provocados por la incapacidad del sistema a seguir determinadas tipos de entrada. El que un sistema presenta ess para un tipo especifico de entrada, depende del tipo de función de transferencia en lazo abierto del sistema. Clasificación de los sistemas de control Se clasifican de acuerdo a su capacidad para seguir entradas escalón, rampa, parábola (la combinación de estas señales con frecuencia se asemeja a situaciones reales). Considérese un sistema con realimentación unitaria como el que se muestra en la figura R(s)

C(s)

+

G(s)

-

Donde :

G(s)

K (Ta s

1)(Tb s

1).....(Tm s 1)

s (T1s 1)(T2 s

1)......(Tp s 1)

N

Función de transferencia en lazo abierto

N

El termino s en el denominador representa un polo de multiplicidad “N” en el origen. Un sistema se denomina “tipo 0”, “tipo 1”, “tipo 2”,…, si N =0,1,2,…., respectivamente. Esta clasificación es diferente de la que se basa en el orden del sistema. A medida que aumenta el tipo del sistema se mejora la precisión pero se agrava el problema de estabilidad por lo que es difícil encontrar sistemas mayores o iguales que el tipo 3. Errores en estado estacionario ess

C(s) R(s)

+

C(s)

G(s) 10

G(s) R(s)

E(s)

1

R(s)

C(s)

G(s)

E(s) R(s) G(s)E(s) E(s)

R(s) 1 G(s)

11

Teorema del valor final

ess

lime(t) lim sE(s) t

s

0

Reemplazando la ecuación anterior tenemos en el teorema del valor final.

ess

lims 1 s

R(s) ( ) Gs

0

a) Constante de error de posición estática Kp El ess de un sistema de control ante una entrada en escalón está dada por

ess

lim1 s

s 1 x G(s) s

ess

1 1 G(0)

0

La constante de error de posición estática Kp se define

Kp

limG(s) s

Kp

G(0)

0

ess en función de la constante de error de posición estática Kp se da por

1 1 Kp

ess

Ahora hallando Kp para los diferentes tipos de sistemas tenemos: Sistema de tipo 0

Kp

K (T s 1)(Tb s a

l im s

0

(T1 s 1)(T s 2

1).....(Tm s 1) 1)......(T p s 1)

Sistema de tipo 1 o mayor

K (T s Kp

im

a

1)(Tb s

Kp K

l

1).....(Tm s 1)s

0

Se puede concluir

ess

1

s(T1 s 1)(T 2 Kp s

1)......(Tp s 1)

Sistema de tipo 0, su valor dependerá de K

1 K Para K muy grandes es difícil obtener la estabilidad relativa.

ess

0

Sistema de tipo 1 o mayores

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b) Constante de error de velocidad estática Kv El ess de un sistema de control ante una entrada en rampa está dada por

ess

lim1 s

0

s

1

x

( ) Gs s

2

ess

lim s

0

1 ( ) sG s

La constante de error de velocidad estática Kv se define

Kv

lim sG(s) s

0

ess en función de la constante de error de velocidad estática Kv se da por

1 Kv

ess

Ahora hallando Kv para los diferentes tipos de sistemas tenemos: Sistema de tipo 0

Kv

s lim s

K (T s 1)(Tb s a

1).....(Tm s 1)

Kv 0

0

(T1 s 1)(T s 2

1)......(T p s 1)

Sistema de tipo 1

Kv

s im l s

0

K (T s 1)(Tb s a

1).....(Tm s 1)

s(T1 s 1)(T s 2

1)......(T p s 1)

Kv K

Sistema de tipo 2 o mayor

Kv

lim s

K (Ta s

1)(Tb s

1).....(Tm s 1)

1)(T2 s

1)......(Tp s 1)

Kv

2 s

0

s (T1 s

Se puede concluir

ess

1

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b) eConstante de error de velocidad estática Sistema de tipo 0, es incapaz de seguir una entrada rampa en Kv ss K Estado estacionario. Sistema de tipo 1, sigue a la entrada con un pequeño error Que dependerá de K

ess

0

Sistema de tipo 2 o mayor

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Control II Universidad Nacional de Piura

c) Constante de error de aceleración estática Ka El ess de un sistema de control ante una entrada en parábola está dada por

ess

s 1 x 3 G(s) s

lim1 s

0

ess

lim s s

0

2

1 G(s)

La constante de error de velocidad estática Kv se define

Ka

lim s s

2

G(s)

0

ess en función de la constante de error de aceleración estática Kv se da por

1 Ka

ess

Ahora hallando Ka para los diferentes tipos de sistemas tenemos: Sistema de tipo 0

Ka

K (T s 1)(Tb s a ms 2

li s

1).....(Tm s 1)

Ka 0

0

(T1 s 1)(T s 2

1)......(T p s 1)

Sistema de tipo 1

Ka

K (T s 1)(Tb s a ms 2

li s

1).....(Tm s 1)

Ka 0

0

s(T1 s 1)(T s 2

1)......(Tp s 1)

Sistema de tipo 2

Ka

lims

2

K (Ta s

1)(Tb s

1).....(Tm s 1)

1)(T2 s

1)......(Tp s 1)

2 s

s (T1 s

0

Sistema de tipo 3 o mayor

Ka

lim s

2

K (Ta s 3

1)(Tb s

Kv K

Ing. Giuliana Viera Rivera Respuesta Transitoria

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1).....(Tm s 1) s

0

s (T1 s

Kv 1)(T2 s

1)......(Tp s 1)

Se puede concluir

ess

Sistema de tipo 0 y tipo 1, (incapaces de seguir a la función parábola en estado estacionario

ess

1 K

Sistema de tipo 2, produce un error finito

ess

0

Sistema de tipo 3 o mayor

A continuación se presenta una tabla donde se resumen los errores en estado estacionario para sistemas tipo 0, tipo 1 y tipo 2. Los valores finitos para ess aparecen en la línea diagonal, sobre la diagonal son infinitos y bajo la diagonal son cero: Entrada escalón R(t) = 1

Entrada rampa R(t) = t

Sistema de tipo 0

1 1 K

Sistema de tipo 1

0

1 K

Sistema de tipo 2

0

0

Entrada Parábola R(t) = t2/2

1 K

Tabla 1 Error en estado estacionario en función de la ganancia K Los términos de error de velocidad, error de posición, error de aceleración, significan desviaciones en estado estacionario en la posición de salida. Por ejemplo un error de velocidad finito implica que después que han desaparecido los transitorios, la entrada y la salida se mueven a la misma velocidad pero tienen una diferencia de posición finita. Las constantes Kp, Kv, Ka, describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria de reducir o de eliminar el error en estado estacionario, indicando su comportamiento.