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• Karlo Martin

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1.- Introducción al análisis temporal Como primer paso del análisis de un sistema de control siempre es necesario calcular un modelo matemático del mismo. Deberemos tener en cuenta que en la práctica no conoceremos la señal de entrada al sistema de control, que por lo general será aleatoria. La respuesta temporal es la evolución en el tiempo de un sistema cuando se le introduce una entrada. Está formada por dos componentes: •

Respuesta transitoria: es la que va desde el estado inicial hasta el final.

•

Respuesta estacionaria: es la forma en la que la salida se comporta cuando t tiende a infinito.

A la hora de analizar y diseñar sistemas de control hay que tener una base de comparación del funcionamiento de los diversos sistemas. Para ello estableceremos como señales estándar de estudio las siguientes funciones: •

Impulso.

•

Escalón.

•

Rampa.

Para el análisis del sistema, deberemos determinar la forma de las señales de entrada más frecuentes, para así saber cuál de estas funciones de prueba usar. Por ejemplo, si las entradas a un sistema son funciones gradualmente variables en el tiempo, una función rampa puede ser una buena función de prueba; sin embargo, si el sistema está sometido a perturbaciones bruscas, en este caso, sería mejor usar una función escalón. Para el diseño del sistema, se debe poder predecir el comportamiento dinámico del sistema, cuya característica más importante es la estabilidad absoluta. Un sistema está en equilibrio, si en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida se mantiene constante. Un sistema de control lineal invariante es estable, si finalmente la salida retorna a un estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbación. Un sistema de control lineal invariante es inestable, si la salida oscila indefinidamente o si la salida diverge sin límite de su estado de equilibrio cuando sometemos al sistema a una perturbación. Los sistemas reales de control involucran componentes de retardo que no permiten a la salida seguir inmediatamente las variaciones de la entrada. Es, por tanto, frecuente una respuesta transitoria con oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado de equilibrio. Una vez llegado al estado estacionario, si la salida no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error estacionario. Este error indica la exactitud del sistema. La forma más directa de encontrar la respuesta de un sistema a una señal dada es resolver la ecuación diferencial que expresa el comportamiento dinámico del sistema:

La solución general de esta ecuación tiene dos partes: una es la solución a la ecuación homogénea (que es la respuesta propia del sistema independientemente de la entrada), la otra parte es una solución particular correspondiente a las condiciones iniciales (yp(t) dependiente de la entrada).

Esta solución general depende de la naturaleza del sistema, así como de las condiciones iniciales, pero es independiente de la señal de entrada. Tomando transformadas de Laplace, llegamos a la siguiente expresión polinómica:

P(s) es un polinomio debido a las condiciones iniciales del sistema.

La función G(s) es la función de transferencia del sistema. La ecuación característica se obtiene igualando a cero el denominador de la función de transferencia (D(s)). La respuesta temporal se obtiene tomando antitransformadas de la ecuación anterior:

De aquí podemos observar que existe una respuesta debida a la entrada, pero que también existe otra respuesta que es independiente de la entrada y debida a las características propias del sistema:

Respuesta debida a la entrada:

Respuesta complementaria del sistema:

2.- Respuesta transitoria 2.1.- Definición de las entradas normalizadas Aunque ya las definimos en su momento, veámoslas de nuevo: 1.- Impulso unitario:

u(t)=1 para t=0; suponiendo condiciones iniciales nulas. La transformada de Laplace para la función impulso unidad es la unidad. Entonces la transformada de Laplace de la salida es: Y(s)=G(s) → y(t)=g(t), que es la función de respuesta impulsiva. 2.- Escalón:

u(t)=1 para t≥ 0

Su transformada de Laplace es

.

3.- Rampa unitaria:

u(t)=t para t>0; con condiciones iniciales nulas.

Su transformada de Laplace es:

2.2.- Respuesta de un sistema de 1er orden a las entradas normalizadas Se conoce como sistema lineal invariante de primer orden a aquél sistema que en régimen dinámico es definido por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden uno.

Aplicando transformadas de Laplace:

Suponiendo condiciones iniciales nulas (y(0)=0), el término b/a es la ganancia estática del sistema. El término 1/a representa a su vez la constante de tiempo del sistema:

a) Respuesta al impulso unitario: Para una entrada impulso δ (t), la salida del sistema va a ser:

Gráficamente, la respuesta del sistema será como la siguiente:

Donde la ganancia del sistema es A, para un sistema A·δ (t) en general. Otra forma de calcular la constante de tiempo T, ante una entrada impulso es hallando la pendiente de y(t) para t=0:

La ecuación de la tangente a la curva en t=0 es:

La intersección de la tangente con el eje de tiempos se produce en el instante t=T, con lo cual podemos obtener el valor de la constante de tiempo del sistema igualando la función anterior a cero.

b) Respuesta al escalón unitario:

La transformada de Laplace para la función 1(s) es: La salida del sistema va a ser en este caso:

La transición de la salida es exponencial desde cero (valor inicial de la entrada) hasta uno (valor final de la entrada). Se puede apreciar como característica de una respuesta de este tipo que el valor de y(t) para t=T es siempre y(t)=0.632, lo que significa un 63.2% del valor final:

T recibe el nombre de constante de tiempo del sistema, ya que cuanto menor sea ésta, más rápida será la respuesta del sistema (la salida sigue más rápidamente a las variaciones de la entrada). Otra característica importante es que la pendiente de la tangente en t=0 es 1/T:

La fidelidad con la que sigue la salida a la entrada en el estacionario viene definida por la diferencia entre la salida y la entrada, que recibe el nombre de error del sistema.

Sin embargo, si el sistema tiene una ganancia A, el error en el estacionario no es nulo, es decir, la salida no toma el valor exacto de la entrada.

c) Respuesta a la rampa unitaria: La transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s2. La salida del sistema es:

En cuanto al error estacionario, podemos decir que el sistema sigue a la entrada pero siempre con un error constante:

El error es aún mayor si el sistema tiene una ganancia A:

Nota: El estudio anterior se ha realizado tomando condiciones iniciales nulas. A continuación veremos brevemente qué ocurre si las condiciones iniciales ya no son nulas. La transformada para una ecuación diferencial cuyas condiciones iniciales son y(0), es

. La solución para un sistema con ganancia A ya no va a ser igual que la vista, sino:

Si introducimos una entrada escalón 1(s), la salida es:

Vemos que el primer término depende de las condiciones iniciales, mientras que el otro no varía. Podemos considerar entonces que la salida está compuesta por dos componentes: una transitoria, que se anula cuando t → ∞ pero que gobierna al sistema con t próximo a cero, y otra parte estacionaria, que es la que perdura en el tiempo. Como resumen: Entrada (t≥ 0)

Salida (t≥ 0)

r(t) = rampa unitaria

y(t)=t-T+T·e-t/T

1(t) = escalón unitario

y(t)=1- e-t/T

δ (t) = impulso unitario

y(t)= T-1 e-t/T

Comparando, podemos observar que si δ (t) es la derivada de 1(t), y ésta a su vez es la derivada de r(t), las salidas también cumplen esta relación. Esta característica sólo se cumple en sistemas lineales invariantes en el tiempo. Los sistemas variables y los no son lineales no lo cumplen.

2.3.- Respuesta de un sistema de 2º orden a las entradas normalizadas Se conoce como sistema lineal invariante de segundo orden a aquél sistema que en régimen dinámico es definido por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de segundo orden. Es decir, su comportamiento dinámico está determinado por la siguiente ecuación:

Si llamamos:

Y suponiendo condiciones iniciales no nulas, nos quedará tras aplicar transformadas de Laplace:

Si las condiciones iniciales son nulas:

Los sistemas de 2º orden tienen normalmente como función de transferencia:

Definiremos wn como la frecuencia natural del sistema, medida en rad/seg, ξ como el coeficiente de amortiguamiento y k la ganancia del sistema. Tomando como ganancia 1, las raíces de la ecuación característica son:

Vamos a determinar el lugar geométrico de las raíces del polinomio característico de un sistema de segundo orden. Para ello mantendremos la frecuencia natural constante y variaremos el coeficiente de amortiguamiento:

Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar según los polos del sistema, es decir, las raíces de la ecuación característica en: 1. Sobreamortiguado: Si ξ 2-1>0 ⇒ ξ >1

Los dos polos son reales distintos. Las raíces del sistema están sobre el eje real negativo, y tienen valor: . Si aumentamos progresivamente el valor de ξ , una raíz se desplaza hacia el origen mientras que la otra se mueve hacia -∞ . 2. Críticamente amortiguado: Si ξ 2-1=0 ⇒ ξ =1

Los dos polos son reales e iguales a: eje real negativo.

. También se encuentran ambas sobre el

3. Subamortiguado: Si ξ 2-1