• Author / Uploaded
• RicardoDavidAleMo

Citation preview

Filtro con capacitor conmutado ´ APLICACIONES DE SISTEMAS MECATRONICOS Alejo Mosqueda, Ricardo David NUA 144804 [email protected] Resumen En este documento se pretende realizar el dise˜no de cualquier filtro activo, pero con la condici´on que este contenga un capacitor conmutado en lugar de sus resistencias que lo conforman. Primeramente se explicara c´omo funciona un capacitor conmutado y la simulaci´on de resistencia que se genera al ser cargado y descargado a una frecuencia relativamente grande; mencionando a su vez las ventajas y las limitaciones que este posee, al usar este tipo de m´etodo. Posteriormente con estas bases, se aplicaran en el dise˜no de un filtro pasa bajas de cuarto orden con polinomios de Chebyshev, pretendiendo acercar la respuesta de este filtro a la respuesta ideal que tienen estos tipos de filtro. Con los polinomios ya mencionados se obtendr´an los valores adecuados de capacitores y resistencias que conformaran el filtro respectivo a dise˜nar; en donde, a su vez se usaran switches anal´ogicos que ayudaran a conmutar el capacitor y facilitar el dise˜no del mismo.Los resultados obtenidos se simularan con el software Multisim para comprobar los resultados que se desean obtener.

I.

´ I NTRODUCCI ON

Se desarrollara un filtro pasa bajas de cuarto orden con polinomios de Chebyshev, de acuerdo a una frecuencia de corte de 3.5kHz y una de supresi´on de 5kHz; y la frecuencia de muestreo de 20kHz, encargada de hacer conmutar los capacitores que es la principal raz´on de este trabajo.Primeramente entenderemos el funcionamiento del capacitor conmutado y la aplicaci´on hacia un filtro activo; tambi´en a su vez, cual es la ventaja de acoplar este principio a los circuitos mencionados. Con la ayuda de Matlab facilitaremos el c´alculo de los valores de los polinomios y el valor de los capacitores y resistencias a usar para la creaci´on del filtro. Ya con la obtenci´on de estos valores se construir´a el circuito en Multisim y se simulara para analizar y comprobar los resultados a obtener. II.

Comenzamos primeramente con el an´alisis del circuito que se muestra en la figura 1, en donde se muestra el capacitor a tierra y este comparte de forma com´un su otro extremo con dos interruptores. El prop´osito de estos interruptores es hacer cargar y descargar el condensador; para esto son controlados por una se˜nal TTL con una frecuencia de muestreo o´ frecuencia de reloj (fck ), en donde son accionados alternadamente, para esto deben de estar desfasadas por un valor de π; es decir nunca deben de solaparse los pulsos, ya que si se fueran a solaparse el efecto de capacitor conmutado se perder´ıa. Entonces las se˜nales que accionan estos interruptores quedar´ıa por φ1 y φ2 .

O BJETIVOS

Aprender y entender el comportamiento del capacitor conmutado. Implementar el capacitor conmutado a un filtro activo de cualquier orden. Comprender el comportamiento que tiene el filtro con capacitor conmutado y sus respectivas diferencias con un filtro sin este. III. III-A.

´ M ARCO TE ORICO

Capacitor conmutado.

Antes del dise˜no del filtro, se debe entender de como funciona este principio y cuales son las razones por la cual se usa. En breves palabras; la finalidad de este proceso que se hace con el capacitor es simular una resistencia, de acuerdo con el switcheo alternado de dos interruptores.

Figura 1. Circuito para el dise˜no de un capacitor conmutado.

Cuando el interruptor uno es accionado y el segundo se encuentra abierto, de acuerdo a la figura; el capacitor se carga con el voltaje de entrada V1 por lo consiguiente la carga del capacitor es. q1 = V1 CR .

(1)

Despu´es de que el interruptor uno se abre y el dos se cierra, la carga del capacitor cambia de acuerdo al voltaje V2 .

q2 = V2 CR .

(2)

Cuando nuevamente el interruptor unos se cierra y el otro se abre se reinicia el ciclo y por consecuente la carga del condensador es una diferencia tanto de la segunda carga y la primera. ∆q = (q1 − q2 ) = CR (V1 − V2 ).

(3)

Por lo tanto la corriente en el capacitor esta definida desde el punto de V1 hasta V2 durante un intervalo de tiempo de Tck . I=

CR (V1 − V2 ) ∆q = ∆t Tck

(4)

De acuerdo a la ley de Ohm para calcular la resistencia en un circuito. Podemos encontrar la resistencia equivalente que genera el capacitor al estar conmutando en varios sentidos del circuito. Sabemos que la frecuencia es el inverso del periodo de la se˜nal de reloj que conmuta nuestro capacitor. R=

V1 − V2 CR (V1 −V2 ) Tck

(5)

1 CR fck

(6)

R=

Con lo anterior obtenido podemos deducir que la resistencia equivalente producida en el sistema de capacitor conmutado es inversamente proporcional a la frecuencia de muestreo; y que con el valor del capacitor podemos obtener un valor de resistencia en espec´ıfico. Entonces el circuito mostrado antes se puede representar de la siguiente manera; mostrado en la figura 2.

muy precisas; un ejemplo usando una fck =100kHz y un capacitor de 20pF se puede obtener una resistencia equivalente de 500kΩ. Sobre todo se puede estar variando el valor de esta resistencia con tan solo cambiar el valor de la frecuencia de muestreo; por lo que, lo hace una forma muy factible de obtener varios valores de un componente con tan solo variar uno de sus par´ametros .En la pr´actica puede ser muy u´ til ya que colocando un capacitor de un solo valor y un generador de funciones o dise˜nando un circuito que genere pulsos a cierta frecuencia y variando esta se puede obtener varios valores de resistencias; una prueba que se puede hacer es que en la entrada del circuito de capacitor conmutado se le ingrese una se˜nal sinusoidal y esta despu´es sea medida con una resistencia y comprobar que el capacitor me muestrea esa se˜nal, obtendr´ıamos algo de la siguiente manera.

Figura 3. Se˜nal de entrada a un capacitor conmutado y se˜nal de salida muestreada de acuerdo a la frecuencia de reloj.

Con una peque˜na simulaci´on en el software Multisim se puede comprobar de lo que se ha mencionado hasta ahora, donde el capacitor es como si tomara por cada punto de la se˜nal anal´ogica que esta pasando por este toma una muestra de este y lo descarga mediante la resistencia de salida; as´ı como se ve en las figuras siguientes. Figura 2. Circuito equivalente para el capacitor conmutado

Se puede decir que la r´apida conmutaci´on del capacitor, gracias a la frecuencia del reloj del sistema, la corriente que pasa por el capacitor se comporta como continua; las muestra que toma este al ser cargado las descarga a una gran velocidad, pudiendo mencionar que el sistema se comporta como un circuito simple de voltaje-resistencia

Pero ahora con la pregunta ¿qu´e tiene de utilidad usar este procedimiento?. Una de las razones es que con una valor de capacitor peque˜no y a una frecuencia de reloj alta se pueden obtener valores de resistencias altas y con una tolerancia de 1 % en estos casos, siendo una resistencia de un valor

Figura 4. Simulaci´on de un circuito de capacitor conmutado.

rango de estos este entre los 100Hz hasta los 10Mhz. Otro punto muy importante es el teorema de muestreo de Nyquist; en donde, se menciona que la frecuencia de muestreo debe ser por lo menos dos veces m´as grande que la frecuencia de entrada del filtro, si esta fuera s´e igual el error en la lectura de la informaci´on de la se˜nal procesada aumentar´ıa y por consecuencia se perder´ıa la mayor parte de esta informaci´on de la se˜nal. III-C. Figura 5. Se˜nales obtenida de los canales del osciloscopio de la simulaci´on.

III-B. Aplicaciones del capacitor conmutado hacia los filtros y sus limitaciones. A la hora de implementar un capacitor conmutado en alg´un filtro activo cualquiera, esto posee unas caracter´ısticas adicionales al agregarlo, y obtener algo de ventaja al sustituir las resistencias que conformar en el dise˜no de cada filtro. Al no exixttir resistores ya en los circuitos, sobre todo en los circuitos integrados; se reduce el espacio de este y es mas factible a que sea mas peque˜no, sobre todo que al sustituir el calor generado por las resistencias comunes se reduce.Tambien cabe mencionar que para le switche de estos capacitores se utilizan interrupotores MOSFET, que en la practica alguno de estos son del tipo VLSI, quu es la tecnologia que reduce a un gran tma˜no relevadamente peque˜no y reduce el espacio en los circuitos integrdos. La frecuencia ω0 depende las relaciones de capacitancias que posee el filtro; aparte a su vez, gracias a esto y a la tecnolog´ıa actual se pueden alcanzar tolerancias de hasta de 0.1 %, siendo muy precisa. Un punto muy importante es que son de tipo programable; es decir que al estar variando la frecuencia de muestreo el valor de resistencia simulada cambia y por consecuencia la frecuencia ω0 tambi´en varia; provocando que el rango de la frecuencia del filtro sea de gran escala.

Filtros de Chebyshev (Polinomios de Chebyshev)

Para el dise˜no posterior del filtro usaremos estos polinomios, en donde estos exhiben una respuesta igualmente ondulada a la banda pasante y una transmisi´on mon´otonamente decreciente en la banda suprimida. La magnitud de la funcion de transferencia de un filtro Chebyshev de orden N-esimo con un borde de banda pasante o ω0 esta dado de acuerdo a las siguiente figura.

Figura 6. Formas de calcular los polinomios de Chebyshev.

En estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el m´odulo de su respuesta en frecuencia oscila de acuerdo. T (jω0 ) = √

1 1 + 2

(7)

Si se sabe que la atenuaci´on m´axima esta dada por. Amax = 10Log(1 + 2 ).

(8)

De ah´ı se puede calcular el parametro . Algunas de la limitaciones que presentan este tipo de filtros es el rango de la frecuencia de reloj fck , en donde esta limitada por la calidad de los interruptores MOSFET y la velocidad de los amplificadores operacionales, en donde depende de el que el interruptor tarda en estabilizarse el cual esta en el rango de los 10ns en hacerlo, por consecuencia el l´ımite superior esta en el rango de los megahertz. El l´ımite inferior est´a dado por la fuga de los interruptores en estado abierto y las corrientes de polarizaci´on de entrada de los amplificadores operacionales las cuales tienden a descargar los capacitores; en consecuencia provoca que el

=

q Amax 10 10 − 1.

(9)

D´espues la atenuaci´on alacanzada por estos filtros en la frecuencia de supresion ωs esta dada por la siguiente ecuacion.

A(ωs ) = 10Log(1 + 2 cosh2 (N cosh− 1(

ωs ))) ω0

Sus polos estan dados por la sihuiente figura.

(10)

Figura 7. Polos del filtro Chebshev

Finalmente tenemos la forma de calcular la funcion de transferencia del filtro, estos nos ayudara en el dise˜no de nuestro filtro en el caso pr´actico.

T (s) =

Kω0N 2N −1 (s − p1 )(s − p2 )...(s − pN )

Figura 9. Estructura Sallen-Key para filtro pasa bjas.

(11) Usaremos los siguientes caracter´ısticas de nuestro filtro. Donde la frecuencia de corte ω0 =3.5kHz, la frecuencia de supresi´on ωs =5.5kHz, una atenuaci´on m´axima de Amax =0.5dB y una atenuaci´on m´ınima de Amin =-20dB y finalmente una frecuencia de muestreo de fck =20kHz. Estos datos los ingresamos a Matlab y con comandos espec´ıficos para calcular los valores de los polos del filtro y tambi´en las constantes que conforman a la funci´on de transferencia del filtro de Chebyshev.

Figura 8. Comportamiento del filtro Chebyshev.

IV. IV-A.

DESARROLLO

Dise˜no del filtro

Se dise˜nara un filtro pasa bajas con la estructura Sallen-Key para facilitar el proceso de construcci´on, ya que este es muy valorado por su simplicidad de su estructura, recordando que cada uno representa un filtro de segundo orden,; d´espues se sustituira las resistencias por capacitores conmutados. Tambi´en se le dar´a hasta un cuarto orden bas´andonos en los polinomios de Chebyshev. Otro punto que se tomara en cuenta, se usara Matalab para facilitaar el c´alculo de estos valores que se quieren obtener.

Figura 10. C´odigo para el calculo de valores del filtro Chebyshev.

Entonces asi suponiendo que el capacitor que esta con retroliamentaci´on de la estructura es de C1 =10nF y la resistencia de la ganancia Ri =10kΩ. Rf1 = (K − 1)Ri = (2.66 − 1)(10kΩ) = 16.6kΩ.

(22)

Las resitencias de la estructura. R1 = r1 Ri = 9.67kΩ Usando el principio de capacitor conmutado. 1 1 CR1 = = = 5.156nF. R1 fck 9.67kΩ(20kHz)

(23)

(24)

Para la segundo filtro con la misma estructura; se realiza el procediiento anterior y obtenemos los siguientes datos.

Figura 11. Gr´afica de la respuesta del filtro pasa bjas de orden 4.

iniciamos con el calculo de los valores de cada compoenente de acuerdo a lo obtenido.Primero calculamos el valor de . p 0.5  = 10 10 −1 = 0.349311. (12) Calculamos el a´ ngulo de desfasamiento de la respuesta de transferencia del filtro. 1 1 1 1 η = senh−1 = senh−1 . (13) N  4 0.349311 Luego calculamos los polos. π sinh η = −0.1753. 8 π ω1 = cos sinh η = 1.0162. 8

σ1 = − sin

Rf2 = 5.8kΩ.

(25)

R2 = 16.75kΩ.

(26)

CR2 = 2.98nF.

(27)

V. R ESULTADOS . Ya finalmente obtenemos el siguiente circuito construido en el simulador Multisim, usando como interruptores switches anal´ogicos, en este caso se usara uno con tecnolog´ıa MOS para facilitar la conmutaci´on de los capacitores. En la figura 12 se muestra el producto final.

(14) (15)

3π sinh η = −0.4233. (16) 8 3π ω2 = cos sinh η = 0.4209. (17) 8 Finalmente pasamos para calcular los valores adecuados que van a constituir el filtro con la estructura SallenKey.Calculando la primera frecuencia de corte del primer filtro. σ2 = − sin

ω01 =

q

σ12 + ω12 =

p

Figura 12. Filtro pasa bajas de cuerto orden.

Variando la frecuencia en el generador de funciones observamos que el filtro si se comporta de la manera deseada con los valores de corte y supresi´on que se dieron al inicio.

−017532 + 1.01622 = 1.0312 (18)

Se sabe que el factor de calidad del filtro esta dada. Q1 =

ω01 1.0312 = = 2.9412. 2|σ1 | 2(0.1753)

(19)

Calculamos las constantes de la funcion de transferencia. 1 1 r1 = = = 0.9697. (20) ω01 1.0312 K1 = 3 −

1 1 =3− = 2.6. Q1 2.9412

(21)

Figura 13. Vista del oscioscopio.

En la figura 13 se logra apreciar de color amarillo la se˜nal de entrada del filtro a una frecuencia de 1kHz y por consecuencia la salida del filtro en color azul, debe tener la misma frecuencia y no debe de estar atenuada.

a partir de este sustituir por el valor adecuado del capacitor. Finalmente los resultados fueron los esperados y cumpl´ıan con la teor´ıa vista. R EFERENCIAS [1] F RANCO , S ERGIO, Dise˜no con amplificadores operacionales y circuitos integrados anal´ogicos, Tercera edici´on,McGraw-Hill Interamericana, M´exico, 2005. [2] DAVID A. J OHNS y Tony Chan Carusones, ANALOG INTEGRATED CIRCUIT DESIGN, Segunda edici´on. [3] N OBERT R. M ALIK, Circuitos Electr´onicos, Prentice Hall.

Figura 14. Frecuencia en 4kHz

En esta figura 14 veos que la se˜nal ya esta atenuada, por la raz´on que la se˜nal de entrada pose´e una frecuencia de 4kHz.

Figura 15. Frecuencia en 7kHz

Por u´ ltimo tenemos en la figura 15 una frecuencia de 7kHz, lo que nos ´ındica que a la salida del filtro la se˜nal casi debe estra completamente suprimida. VI.

´ C ONCLUSI ON

En mi opini´on fue un reto crear este circuito ya que a pesar de entender el comportamiento del capacitor conmutado, no lograba hacer que la se˜nal de entrada fuera muestreada por el capacitor, lo que me trajo muchas complicaciones y detuvieron mucho el tiempo de mi dise˜no, usando varios m´etodos, desde el uso de MOSFET no pod´ıa hacer lo logrado, de varios intentos se acept´o por usar un swith anal´ogico para facilitar la forma de conmutaci´on del capacitor y as´ı finalmente se logr´o lo deseado. Para crear el filtro yo opte por usar los polinomios de Chebyshev ya que anteriormente yo ya habia usado los polinomios De Butterworth; por lo que, como se vio esta respuesta de filtro de Chevishev se acerca mucho a la forma ideal del filtro pasa bajas; a partir de este solo se dise˜no´ como si fuera un filtro con resistencias normales y a