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Física General

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Cap. 4 ELECTROSTÁTICA IV CAPACIDAD ELÉCTRICA Contenido:

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Física General

OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO: Destacamos la importancia de los dispositivos de almacenamiento de energía eléctrica, mediante el estudio de los capacitores y sus aplicaciones, investigando conexiones en serie, paralelas y mixtas, que permita potenciar habilidades y destrezas productivas de nuestra comunidad estudiantil.

LA BOTELLA DE LEYDEN: EL PRIMER CAPACITOR El primer capacitor de la historia lo inventaron simultáneamente dos físicos en el mismo año 1745 en dos países diferentes: Pieter van Musschenbroek, de nacionalidad holandesa, en la Universidad de Leide, situada muy cerca de la ciudad de Ámsterdam y Ewald Georg von Kleist, en Alemania. En un principio el primitivo capacitor se componía de una botella de vidrio llena de agua y una tapa atravesada por un clavo en contacto con en el agua. Por ese motivo se le denominó “Botella de Leyden”, en alusión a la universidad donde se creó. En 1747 John Bevis, físico y astrónomo inglés, eliminó el agua y revistió la botella con dos capas de papel de aluminio, una interna y otra externa. Ambas capas quedaban separadas de forma equidistante por el propio vidrio de la botella, que a su vez hacía función de aislante. Estructura de la botella de Leyden 1.- Varilla metálica conductora de la corriente eléctrica (polo positivo). 2.- Tapón. 3.- Botella de vidrio. 4.- Revestimiento externo de papel de aluminio (polo negativo). 5.- Revestimiento interno también de papel de aluminio (polo positivo). 6.- Alambre conductor de interconexión entre la varilla metálica y la capa de papel de aluminio interna con polaridad positiva. No obstante los años transcurridos desde su invento, los capacitores modernos aún se basan en el mismo principio físico de almacenamiento de energía de la primitiva Botella de Leyden.

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Capacidad eléctrica de un conductor.- Cuando un conductor se carga, es decir, se le comunica una carga eléctrica, adquiere un potencial, que depende de la geometría (de su forma).

Capacidad eléctrica de una esfera conductora.La capacidad o capacitancia de una esfera conductora de radio R aislada y con carga Q, es:

A la relación entre carga y potencial se le llama CAPACIDAD de ese conductor.

C

q V

La capacidad eléctrica de un conductor cargado y aislado es una magnitud escalar que se mide por el cociente entre su carga y su potencial eléctrico. Un conductor que, con la misma carga que otro, adquiera menor potencial, tendrá más capacidad que el segundo, y viceversa. Unidades de capacidad.- En el S.I. la unidad de capacidad es el faradio.

Por definición de capacidad:

C

Q V

El potencial adquirido por una esfera conductora cargada es:

En honor a Michael Faraday.

culombio Faradio voltio

V K

F

C V

Q R

Reemplazando:

El faradio es la capacidad en donde la carga de 1 culombio produce una diferencia de potencial de 1 voltio El faradio es una unidad tan grande que no resulta en absoluto práctica.

C

Q R R   Q K 1 K 4  o R C  4  o R

Los submúltiplos del Faradio son: El milifaradio:

1 mF = 10–3 F

El microfaradio:

1 µF = 10–6 F

El nanofaradio.

1 nF = 10–9 F

El picofaradio:

1 pF = 10–12 F

La capacidad de una esfera conductora es proporcional a su radio e independiente tanto de la carga como de la diferencia de potencial. La carga en un conductor se distribuye en la superficie del mismo.

En el sistema c.g.s. la unidad de capacidad se denomina statfaradio (stF)

statfaradio 

statculombio statvoltio

stF 

stC stV

Condensadores.- Los condensadores o capacitores son dispositivos que almacenan energía porque almacenan carga, están formados por dos conductores próximos uno a otro, separados por un aislante, de tal modo que puedan estar cargados con el mismo valor pero de signo contrario.

La equivalencia es: 1F 

1C 3  109 stC   9  1011 stF 1V 1 / 300 stV

Condensador de láminas

Condensador cilíndrico

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Física General

Condensador plano.- Es el capacitor más sencillo, consiste en dos placas metálicas planas y paralelas de área “A” y separadas una distancia “d”, como se muestra en la figura:

Las sustancias aislantes que se colocan entre las placas del condensador se llaman dieléctricos, estos aislantes (papel, mica, porcelana, hule, etc.) se colocan con varios fines.

CONSTANTES DIELÉCTRICAS

A

+Q +++++++

d

- - - - - - –Q

V

Al cerrar el interruptor, la fuente realiza trabajo para colocar cargas en las placas. La carga que recibe una de las placas es +Q, y la carga de la otra placa será –Q. La carga de un condensador y la diferencia de potencial entre sus placas no son independientes: están vinculadas entre sí por una relación sencilla que depende de las características del condensador. La capacidad eléctrica del condensador es directamente proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia de separación entre ellas.

=

A d

= =

0

Capacidad eléctrica (constante) Área de una placa Distancia entre placas

Vacío Aire Polipropileno Poliestireno Policarbonato Poliéster Papel Aceite de transformadores Vidrio pyrex Mica Porcelana Silicio Agua

4.5 4.7 5.4 6.5 12 80

Los dieléctricos resisten más que el aire, por lo tanto se puede aplicar mayores voltajes a los condensadores sin que la carga de las placas del condensador pase a través del dieléctrico (ruptura eléctrica)

A C  o d C

Constante Dieléctrica (kd) 1 1.00059 2.2 2.6 2.8 3.3 3.5

Material

del

condensador

Sin dieléctrico

Con dieléctrico

= Permitividad del vacío, tiene el valor:

 0  8.85  1012

C2 N m2

2

 0  7.965 10

stC2

El dieléctrico aumenta la capacidad del condensador en un factor kd

dyn cm2

Condensadores con dieléctrico.- La mayor parte de los condensadores tiene entre sus armaduras un dieléctrico.

La capacidad de un condensador de láminas con dieléctrico está dada por la ecuación:

C  kd  o

A d

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Energía almacenada en un condensador.- La expresión para la energía que almacena un condensador cargado se puede obtener por medio de análisis de la gráfica de voltaje–carga eléctrica, que origina una recta con una pendiente 1/C, como se observa en la figura.

+

-

Ceq

+Q

V

Q

Todos los condensadores almacenan la misma carga: (1) Q  Q1  Q2  Q3

V PENDIENTE = 1/C

VOLTAJE (V)

V

La suma del voltaje individual que cae a través de los capacitores es el voltaje total, de la fuente:

CARGA (C) Q

V  V1  V2  V3 Para un condensador inicialmente descargado Q = 0 y V0 = 0, y para alguna carga final Q y un voltaje final V, el trabajo total realizado por la fuente es equivalente a la transferencia de la carga a través del voltaje medio Vm. El trabajo realizado por la fuente es la energía almacenada, es el área bajo la curva se expresa como: W  Q Vm Dado:

y además: Vm 

QCV ,

1 QV 2

W

1 Q2 2 C

W

Q , reemplazando en (2): C Q Q Q Q  1 2  3 Ceq C1 C2 C3

Todas las cargas tienen igual valor y se pueden cancelar:

1 1 1 1    Ceq C1 C2 C3

V, 2

La ecuación anterior puede escribirse como: W

Dado que: V 

(2)

En una asociación de condensadores en serie, el inverso de la capacidad equivalente es igual a la suma de los inversos de las capacidades de cada uno.

1 CV 2 2

La capacidad equivalente para dos condensadores en serie es: Asociación de condensadores.Los condensadores se pueden conectar en dos formas básicas: en serie o en paralelo. El símbolo que se utiliza comúnmente representar a un condensador es:

para

a) Condensadores en serie.- Dos o más condensadores se encuentran conectados en serie, cuando todos ellos acumulan la misma cantidad de carga eléctrica.

C1 V

+

-

C2

+ Q1 V1 - Q1 + V2 Q 2 -Q 2

C3

+ Q3 V3 - Q3

Ceq 

C1 C2 C1  C2

Cuando los condensadores están conectados en serie la capacidad total es menor que cualquiera de las capacidades individuales.

b) Condensadores en paralelo o derivación.- Dos o más condensadores se encuentran conectados en paralelo, cuando todos ellos tienen la misma diferencia de potencial.

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Física General Ejem. 4.1.- Una esfera metálica aislada de 0.15 m de radio tiene una capacidad de: C  4  o R  4  (8.851012 C  1.6681011 F *

La carga total es igual a la suma de las cargas individuales:

Q  Q1  Q2  Q3

V  V1  V2  V3

(2)

Dado que Q  C V , reemplazando en la ecuación (1): Se tiene:

C V  C1 V1  C2 V2  C3 V3 Simplificando los voltajes:

1012 F

C2 m

Unidades:

Nm

(1)

Las diferencias de potencial para cada condensador tienen igual valor:

1 pF

2



Cuando los condensadores están conectados en paralelo, la capacidad total es mayor que cualquiera de las capacidades individuales.

Condensador variable.- En un condensador variable de aire; se tiene un conjunto de capacitores, en el que al hacer girar el eje, el área neta entre las placas varía, cambiando así la capacidad total a voluntad. En este tipo de condensador un conjunto de placas permanece fijo mientras que el otro puede estar en movimiento.

N m2

)(0.15 m)  1.6681011 F

 16.7 pF

C2 C C   F J J /C V

Ejem. 4.2.- ¿Qué tan grande es un faradio? Se tiene un condensador cuya capacidad es de 1 F, siendo la distancia entre placas de 1 mm, cuyo dieléctrico es el aire. Datos: C = 1F d = 1 mm = 10-3 m εo = 8.85x10–12 C2/Nm2 Solución:

C  o

A d



A

C  C1  C2  C3 La capacidad equivalente de una asociación de condensadores en paralelo es igual a la suma de las capacidades de cada uno.

C2

Cd  o

(1 F )(10 3 m) C2 8.85  10 12 N m2

A  1.13  10 8 m 2 Un área aproximada de (10 km)x(10 km) = 100 km 2, esa es la razón por la que usan submúltiplos del faradio. Demuestre la simplificación de unidades. Ejem. 4.3.- Un conductor posee una capacidad eléctrica de 20 µF y se encuentra cargado con 100 µC. Si la carga se incrementa hasta 200 µC. ¿Cuánto variará su potencial eléctrico? Datos: C1 = 20 µF q1 = 100 µC q2 = 200 µC V = ? Solución: El potencial inicial es:

C

q1 V1



V1 

q1 100  C   5 V C 20  F

El potencial final es:

C

q1 q 2   cte. V1 V2



V2 

q2 200 C   10 V C 20 F

La variación de potencial: V  V2  V1  10 V  5 V  5 V

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Ejem. 4.4.- Un condensador de placas paralelas tiene un área de 2x10-4 m2 y una separación entre placas de 1 mm. Encuentre su capacitancia. Datos: A = 2x10–4 m2 d = 1 mm C = ? Solución:

C  o

A C 2 2  10 4 m 2  8.85  10 12 d N m 2 10 3 m

C  1.77  10 12 F  1.77 pF Si la separación de las placas se incremente hasta 3 mm, determine la capacitancia:

C  o

A C 2 2 10 4 m 2  8.85 10 12 d N m 2 3 10 3 m

C  0.59 10 12 F  0.59 pF

Ejem. 4.5.- Un condensador de placas paralelas que tiene un área de placa de 0.70 m 2 y una separación de placas de 0.5 mm se conecta a una fuente con un voltaje de 50 voltios. Encontrar la capacitancia, la carga sobre las placas y la energía del condensador. a) Cuando hay aire entre las placas b) Cuando hay un aislante entre las placas con una constante dieléctrica de 2.5 Datos: A = 0.70 m2 d = 0.5 mm V = 50 VC = ? Q= ? W=? Solución: a)

Capacitancia sin dieléctrico:

C  o

A C2 0.70 m 2  8.85 10 12 d N m 2 0.5 10 3 m

C  1.24  10 8 F  12.4 nF C

Q V



Q  C V  (1.24 10 8 F )(50V )

Q  C V  (3.1108 F )(50V )  1.55106 C  1.55C W  12 CV 2  12 (3.1 108 F )(50V )2  3.875  105 J  38.75  J

Observe que la energía se incrementa en un factor de 2.5

Ejem. 4.6.- Un condensador tiene placas paralelas con dimensiones de 6 cm x 8 cm. Si las placas están separadas por una hoja de teflón (k d = 2.1) de 1.5 cm de espesor, ¿cuánta energía se almacenará en el condensador cuando se conecte a 12 V? Datos: A = 6 cm x 8 cm = 48 cm 2 = 48x10-4 m2 kd = 2.1 d = 1.5 cm = 0.015 m V = 12 V W= ? Solución: La capacidad es:

C  kd  o

A C 2 48  10 4 m 2  2.1 8.85  10 12 d N m 2 0.015 m

C  5.95  10 12 F  5.95 pF La energía: W  12 CV 2  12 (5.95  1012 F )(12V )2  4.28  1010 J  0.428 nJ

Ejem. 4.7.- Encuentre la capacidad equivalente del siguiente sistema de condensadores. Hallar para cada condensador el potencial (V1, V2 , V3 y V4), Carga (q1, q2 , q3 y q4) y la energía potencial eléctrica (W 1, W 2 , W 3 y W 4). Los valores de respectivamente:

los

condensadores

C1 = 2.4 μF; C2 = 3.6 μF; C3 = 1.2 μF; C4 = 4 μF Solución:

Q  6.2 10 7 C  0.62 C

W  12 CV 2  12 (1.24  108 F )(50V )2  1.55  105 J  15.5  J b) Capacitancia con dieléctrico:

C  kd C0  2.5*1.24 108 F  3.1108 F  31nF

Condensadores C2 y C3 en paralelo: C23 = C2 + C3 = 4.8 μF

son

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Física General

Luego la capacidad equivalente por quedar los condensadores en serie es:

Es fácil verificar que:

W1  0.098 J : W2  0.036 J : W3  0.012 J : W4  0.058 J

1 1 1 1    C C1 C23 C4

W = W1 + W2 + W3 + W4 = 0.204 J

1 1 1 1 1 1 1       C C1 C 23 C 4 2.4 F 4.8 F 4 F 1 2  1  1.2 4.2   C 4.8 F 4.8 F 4.8 F  1.14 F  1.14  10 6 F 4.2

C

También:

W  12 CV 2  12 (1.14  106 F )(600V )2  0.204 J Ejem. 4.8.- a) Encontrar la capacitancia equivalente del circuito mostrado en la figura siguiente, b) Determínese la carga en cada capacitor, c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor de 4μF? Solución:

La carga total: C

q V



q  C V  (1.14  10 6 F )(600 V )

 q  6.84  10 4 C La carga y potencial para cada condensador: q1 = q23 = q4 = q q1 = 6.84x10–4 C ;

V1 

(en serie) q4 = 6.84x10–4 C

q1 6.84  104 C   285V C1 2.4  106 F

V23 

q23 6.84  104 C   142.5V C23 4.8  106 F

V23 = V2 = V3 = 142.5 V (Por la condición de condensadores en paralelo) C2 

q2 V2

 q 2  C 2 V2  (3.6 10 6 F )(142.5 V )

 q 2  5.13 10 4 C C3 

q3 V3

V4 

 q3  C3 V3  (1.2 10 6 F )(142.5V )  1.7110 4 C

q4 6.84  104 C   171V C4 4  106 F

Para calcular las energías almacenadas en cada condensador:

a) Los condensadores de 4 y 2 μF están conectados en serie; su capacitancia combinada se encuentra con la siguiente ecuación:

C24 

C2 C4 (2 F )(4 F )   1.33F C2  C4 2 F  4 F

C = C3 + C24 = 3 μF + 1.33 μF C = 4.33 μF b) La carga total:

C

q V

 q  C V  (4.33  10 6 F )(120V )

q  5.20  10 4 C  520 C

Física General

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La carga en 3 μF: q3  C3 V  (3 106 F )(120V )  3.6 104 C  360C

La carga en 1.33 μF: q24  C24V  (1.33106 F )(120V )  1.6 104 C  160C

Esta carga se almacena en los condensadores conectados en serie: q2  q4  q24  160C

Ejem. 4.10.- Un condensador de placas paralelas está formado por 15 chapas de 10.16 cm de largo y 3.8 cm de ancho. ¿Cuál es la capacidad si las chapas están separadas por una capa de papel parafinado de 3.5 de constante dieléctrica y 0.0076 cm de espesor? Datos: n = 15 A = 10.16cm x 3.8cm Kd = 3.5 d = 0.0076 cm C = ? Solución: Las placas positiva están conectadas entre sí, así como las negativas, esto significa que los condensadores están en paralelo. Para 15 – 1 = 14 condensadores:

c) La caída de voltaje en 4μF es:

C  (n  1)  k d  o

q 160 106 C V4  4   40V C4 4  106 F

A d

C  (15  1)  3.5  8.85  10 12

C 2 (0.1016 m  0.038 m) 0.0076 m N m2

C  6.29  10 11 F Ejem. 4.9.- Cuando una combinación en serie de dos condensadores descargados se conecta a un acumulador de 12 v, se extraen del acumulador 173 μJ de energía. Si uno de los condensadores tiene una capacidad de 4 μF. ¿Cuál es la capacidad del otro? Datos: V = 12 V W = 173 μJ = 173x10–6 J C1 = 4 μF = 4x10–6 F C2 = ? Solución: Con el voltaje y la energía, se obtiene la capacidad equivalente de ambos condensadores:

1 W  CV 2 2





C



2W 2 173 10 6 J  V2 12 V 2

Solución: a) Los tres condensadores de la derecha se encuentran en serie, reemplazando por su equivalente C1, se tiene:



C  2.4 10 6 J

Esta capacidad equivalente nos permite obtener el valor de la capacidad del otro condensador:

1 1 1   C C1 C 2 

Ejem. 4.11.- En la figura todos los condensadores son de igual capacidad: C = 2 μF. Calcular: a) La capacidad equivalente de la red entre los puntos A y B. b) La carga del sistema para Vab = 820 Voltios



1 1 1 1 1     C 2 C C1 2.4 F 4 F

1 4  2.4 1.6   C2 9.6 F 9.6 F

 C2  6 F

1 1 1 1 111 3      C1 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F 2  C1  F 3

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Física General

Luego C1 y C se reemplazamos por C2:

encuentran

en

paralelo,

C2 = C1 + C = 2/3 μF + 2 μF



1 15  11  15 41   Ct 30 F 30 F

 Ct  30 / 41F  0.73F

C2 = 8/3 μF = 2.67 μF La carga total:

Qt  Ct V  (0.73106 F )(820V )  5.98106 C

Teorema de la trayectoria.Consiste en el desplazamiento imaginario de una carga positiva (+q) a través de un tramo de un circuito. -

La carga (+q) en movimiento pierde energía al atravesar un condensador de capacidad (C). Esto significa que se desplaza de mayor a menor potencial.

-

Cuando la carga atraviesa una batería gana energía (+ W), si la atraviesa del polo negativo hacia el polo positivo.

-

Cuando la carga atraviesa una batería pierde energía (– W), si la atraviesa del polo positivo hacia el polo negativo.

La rama de la derecha se encuentra en serie C, C2 y C, reemplazamos por C3: 1 1 1 1    C3 2 F 8 / 3 F 2 F 1 43 4 11   C3 8 F 8 F  C3 

8 F 11

ε

C1

C2

V1 + –

–

+

V2

+ –

Desplazamiento imaginario de +q0

-

C4 = 30/11μF = 2.72 μF

de potencial

condensador es igual a:

En paralelo C y C3: C4 = C + C3 = 2 μF + 8/11 μF

La caída

-



a través de un

q C

Luego de resolver una ecuación planteada, se obtiene, un resultado negativo para la carga elèctrica, cambiar el sentido del recorrido.

El teorema de la trayectoria para el tramo de circuito: Partiendo del extremo izquierdo con potencial V1, se lleva la carga (+q) hasta el extremo derecho donde el potencial es V2.

Finalmente todo el sistema se encuentra en serie:

1 1 1 1    Ct 2 F 30 / 11 F 2 F

V1 

q q    V2 C1 C2

Física General

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Ejem. 4.12.- Se muestra un tramo de un circuito. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es (VA – VB = 50 V), determinar la cantidad de carga acumulada en el condensador. 30 V 5 µF

Ejem. 4.13.- En el circuito mostrado, determina la capacidad equivalente final. 2 µF

25 V

4 µF N

A

VA

VB

Solución: De los datos se observa que el mayor potencial se encuentra en el punto A. Por tanto se debe realizar el recorrido de izquierda a derecha.

VA  30 V 

q 5 F

M

B

5 µF

3 µF

6 µF

Solución: Averiguar si se cumple el efecto puente:

 25 V  VB

(2 µF) (6 µF) = (3 µF) (4 µF) 12 µF = 12 µF

VA  VB  5 V  50 V  5 V 

q 5 F

q 5 F



El condensador de 5 µF, no se encuentra cargado, porque el potencial de M es igual al potencial de N.

 45 V 



q

Reduciendo la figura, tenemos:

5 F

2 µF

 q  45 V  5  10 F  225  10 C 6

6

 q  225 C

4 µF N

A

M

B

3 µF

Efecto puente.- Cuando se tienen cinco condensadores, conectados de la siguiente forma:

6 µF

Cada rama se encuentra en serie:

C1 N

A

C5

C2

C3

B

M

1 1 1 3    C1 2 F 4 F 4 F

 C1 

1 1 1 3    C2 3 F 6 F 6 F

 C2  2F

Quedando:

C4

Si: Entonces:

4 F 3

µF

C1 x C 4 = C 2 x C 3 VN = VM

A

B 2 µF

El condensador C5 no cumple ninguna función. Finalmente:

Ceq.  2 

4 10  F 3 3

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Física General LABORATORIO VIRTUAL

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Física General

- 63 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcule la capacidad de la Tierra considerada como un conductor esférico de 6370 km de radio. Resp: 7.08X10–4 F

2. Se tiene un cuerpo conductor de capacidad 10 µF. ¿Qué cantidad de carga se debe entregar al cuerpo tal que su potencial eléctrico en la superficie sea de 50 voltios? Resp: 5X10–4 C

3. Se observa que cuando un cuerpo conductor recibe 20 µC de carga su potencial en la superficie adquiere es 5 voltios. Hallar la capacidad eléctrica. Resp: 4 µC

4. Un condensador tiene placas circulares de 8 cm de radio y separadas 1 mm. ¿Qué carga aparecerá en las placas si se aplica una diferencia de potencial de 100 volts? Resp: 1.78x10–8 C

5. Un capacitor con aire entre sus placas tiene una capacitancia de 8 µF. Determinar su capacitancia cuando se coloca entre sus placas un aislante de constante dieléctrica 6. Resp: 48 µF

6. Un capacitor de 300 pF se carga a un voltaje de 1 kV. ¿Cuál es la carga que puede almacenar? Resp: 0.3 µC

7. Determinar la carga en cada placa de un condensador de 0.05 µF cuando la diferencia de potencial entre las placas es de 220 V. Resp: 11 µC

8. Un condensador se carga con 9.6 nC y tiene una diferencia de potencial de 120 V entre sus terminales. Calcular la capacidad y la energía almacenada en él. Resp: 80 pF; 0.576 µJ

9. Calcular la energía almacenada en un condensador de 60 pF. a) Cuando está cargado a una diferencia de potencial de 2 kV b) Cuando la carga en cada placa es de 30 nC. Resp: a) 0.12 mJ (milijulios); b) 7.5 µJ

10. Una esfera metálica tiene una carga de 6 nC cuando su potencial es de 200 V más alto que el de sus alrededores y está montada sobre una barra aislante. ¿Cuál es la capacitancia del capacitor formado por la esfera y sus alrededores? Resp: 30 pF

11. Un capacitor de 1.2 µF se carga a 3 kV. Calcular la energía almacenada en el capacitor. Resp: 5.4 J

12. Calcular la capacidad de un condensador de discos de 12 cm de radio si están a 6 mm entre sí y tienen por dieléctrico una placa de vidrio de kd = 8. Resp: 480 stF

13. ¿Qué potencial adquiere un condensador de discos al ser cargado con 12 µC si tiene 24 cm de radio separados a 9 mm, siendo el dieléctrico la mica de kd = 6? Resp: 1.12x104 V

14. Se aplica una diferencia de potencial de 300 volts a un condensador de 2 y a uno de 8 µF conectados en serie. Determine la carga y la diferencia de potencial para cada condensador. Resp: q1 = q2 = 4.8x10-4 C; V1 = 240 V , V2 = 60 V

15. Un condensador de aire de placas paralelas tiene una capacitancia de 100 µF, ¿cuál es la energía almacenada si se aplica una diferencia de potencial de 50 V? Resp: 0.125 J

16. Dos condensadores de 2 y 4 µF se conectan en paralelo y se les aplica una tensión de 300 V. Calcular la energía total almacenada en el sistema. Resp: 0.27 J

17. Se tienen 3 condensadores: C1 = 4 µF, C2 = 8 µF y C3 = 16 µF. Determine la capacidad equivalente si se conectan: a) en serie, b) en paralelo y c) C1 y C2 en paralelo conectados en serie con C3. Resp: a) 16/7 μF ; b) 28 μF ; c) 6.86 μF

18. Si a los condensadores anteriores se conectan a una fem de 200 V. ¿Qué carga adquieren en cada conexión?

- 64 Resp: a) q1 = q2 = q3 = 3.56x10–4 C; b) q1 = 8x10–4 C; q2 = 1.6x10–3 C; q3 = 3.2x10–3 C ; c) q1 = 4.57x10–4 C; q2 = 9.14x10–4 C; q3 = 1.37x10–3 C

19. Para almacenar energía eléctrica se usa una batería de 2000 condensadores de 5 µF conectados en paralelo. ¿Cuánto cuesta cargar esta batería hasta 50 000 V, suponiendo que la tarifa de energía eléctrica es de $ 20 por cada kw-hr? Resp: 69.44 $

20. La combinación en serie de los dos capacitores mostrados en la figura están conectados a una diferencia de potencial de 1000 V. Encuentre: a) La capacidad equivalente de la combinación b) La magnitud de las cargas en cada condensador c) La diferencia de potencial a través de cada condensador d) La energía almacenada en los condensadores. Resp: a) 2 pF, b) 2 nC, c) 667 V; 333 V; d) 0.67 µJ; 0.33 µJ; 1 µJ

Física General 23. Cada una de las placas paralelas de un condensador tiene un área de 200 cm 2, y se encuentran separadas por un espacio de aire de 0.4 cm. a) Calcular su capacidad b) Si el condensador está conectado a una fuente que suministra una diferencia de potencial de 500 V, calcular la carga, la energía almacenada y el valor de E entre las placas c) Si un líquido con una kd = 2.6 se vacía entre las placas para sustituir el espacio de aire, ¿qué carga adicional le suministrará al condensador la fuente de 500 V? Resp: a) 44.2 pF; b) 22.1 nC; 5.5 μJ; 125 kV/m; c) 57 nC

24. Tres condensadores, cada uno de 120 pF de capacidad, se cargan a un potencial de 500 V; luego se conectan en serie. Determinar: a) La diferencia de potencial entre las placas extremas b) La carga en cada condensador c) La energía almacenada en el sistema. Resp: a) 1500 V; b) 60 nC; c) 45 µJ

21. La combinación de condensadores en paralelo mostrada en la figura está conectada a una fuente que suministra una diferencia de potencial de 120 V. Calcular la capacidad equivalente, la carga de cada condensador y la carga total. Resp: 8 pF; 240 pC; 720 pC; 960 pC

25. Dos condensadores (0.3 y 0.5 µF) se conectan en paralelo. a) ¿Cuál es su capacidad equivalente? b) Si una carga de 200 µC se coloca en la combinación en paralelo. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales? c) ¿Cuál es la carga en cada condensador? Resp: a) 0.8 µF; b) 250 V; c) 75 µC y 125 µC

26. Un condensador de 2 µF se carga a un potencial de 50 V y después se conecta en paralelo con un condensador de 4 µF cargado a 100 V. a) ¿Cuál es la carga final en los condensadores? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial en cada condensador? Resp: a) 167 µC; 333 µC; b) 83 V

27. Repetir el problema anterior si se conectan en serie. Resp: a) 200 µC; b) 100 V; 50 V

22. Dos condensadores, 3 µF y 4 µF, son cargados individualmente con una batería que suministra una diferencia de potencial de 6 V. Una vez desconectados de ésta, se conectan juntos, con la placa negativa de una unidad a la placa positiva del otro. ¿Cuál es la carga final en cada condensador? Resp: 2.57 µC; 3.43 µC

28. Un condensador esférico lleno con aire se construye con radios de los cascarones interior y exterior de 6 y 12 cm, respectivamente. a) Calcular la capacidad del dispositivo. b) ¿Qué diferencia de potencial entre las esferas se obtendrá con una carga de 1μC en cada condensador? Resp: a) C = 13.3 pF; b) V = 7.5x104 V

Física General

- 65 -

29. ¿Cuál es la capacidad equivalente del siguiente sistema? Resp: 11/6 C

C C

C

C

C

C

33. Dos placas paralelas poseen cargas +Q y –Q. Si el espacio entre las placas está desprovisto de materia, el campo eléctrico es de 2.5x105 V/m. Cuando el espacio se llena con un dieléctrico determinado, el campo se reduce a 1.2x105 V/m. a) ¿Cuál es la constante dieléctrica del dieléctrico? b) Si Q = 10.0 nC, ¿cuál es el área de las placas? Resp: a) 2.08, b) 45.2 cm2

30. Calcula la capacidad asociación siguiente.

equivalente

de

la

Resp: 20/13 µF

34. Cierto dieléctrico de constante k d = 24.0 puede resistir un campo eléctrico de 4.0x107 V/m. Con este dieléctrico se quiere construir un capacitor de 0.1 μF que pueda resistir una diferencia de potencial de 2.0 kV. a) ¿Cuál es la distancia de separación entre las placas? b) ¿Cuál debe ser el área de las placas? Resp: a) 5.0 x10–5 m;

31. Se dispone de un condensador plano formado por dos placas de superficie A, separadas una distancia d. El condensador se encuentra cargado, se comprime hasta que la distancia entre las placas se reduce a la mitad, ¿cómo se modifica la carga, la capacidad, la diferencia de potencial y la energía almacenada? Resp: Carga no varía, capacidad se duplica, potencial y energía disminuyen a la mitad.

32. Calcular la capacidad equivalente de la asociación de la figura así como la carga de cada condensador. Datos:

C1 = 12  F ; C 2 = 1  F ; C 3 = 2  F ; C 4 = 3  F C 5 = 4  F ; C 6 = 5  F ; C7 = 18  F Va  Vb = 120 V Resp: C = 10  F q1 = 480  C q2 = 80  C q3 = 160  C q4 = 240  C ,

q 5 = 320  C q 6 = 400  C q 7 = 720  C C2 q 2 C1 q 1

A C5 q 5

C7 q7 C6 q6

35. Un capacitor de 20.0 pF se carga hasta 3.0 kV y luego se conecta en paralelo a un capacitor descargado de 50.0 pF. a) ¿Qué carga adquiere cada uno de los capacitores? b) Calcular la energía inicial almacenada en el capacitor de 20.0 pF y la energía final almacenada en los dos capacitores. ¿Se pierde o se gana energía al conectar los dos capacitores? Resp: a) En el capacitor de 20.0 pF la carga es de 1.71x10–8 C; en el capacitor de 50.0 pF es de 4.29x10-8 C b) La energía inicial es de 9.00x10-5 J; la energía final es de 2.57x10-5 J; se pierde energía al conectar los capacitores.

36. Dos capacitores de capacitancias C1 = 4.0 μF y C2 = 12.0 μF se encuentran conectados en serie y alimentados por una batería de 12.0 V. Se desconectan cuidadosamente sin que se descarguen y se conectan en paralelo uniendo sus lados positivos y sus lados negativos. a) Calcular la diferencia de potencial a través de cada uno de los capacitores después de ser conectados. b) Hallar la energía inicial y final almacenada en los capacitores. Resp: a) V1 = V2 = 4.5 V; Wf = 1.62x10–4 J

C3 q3

C4 q4

b) 235 cm2

B

b)

W 0 = 2.16x10–4

J,

37. Un capacitor de 2.0 μF se carga a una diferencia de potencial de 12.0 V y a continuación se desconecta de la batería. a) ¿Cuánta carga tienen sus placas? b) Cuando se conecta un segundo capacitor (inicialmente sin cargar) en paralelo a este capacitor, la diferencia de potencial disminuye

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Física General

hasta 4.0 V. ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor?

42. En el circuito mostrado determine la cantidad de carga eléctrica en cada placa del condensador.

Resp: a) 24.0 μC, b) 4.0 μF

Resp: q = 25 C

38. Un capacitor de 0.30 μF se conecta en serie al paralelo de los capacitores de 1.0 μF y 0.25 μF. La combinación está conectada a una batería de 10.0 V. Calcular: a) La capacitancia equivalente b) La carga en cada uno de los capacitares. c) La energía total almacenada.

30 V

25 V

5 µF

Resp: a) 0.24 μF; b) 2.42 μC, 1.94 μC, 0.48 μC

39. Se conectan tres capacitores idénticos de modo que su capacitancia máxima equivalente es de 15.0 μF. a) Describir esta combinación. b) Hallar las otras tres combinaciones posibles utilizando siempre los tres capacitores y sus capacitancias equivalentes.

43. En el circuito eléctrico mostrado, ¿qué cantidad de carga eléctrica atraviesa por la sección AB cuando se cierra el interruptor K? Resp: q = 30 C

3 µF

K A

Resp: a) En paralelo los capacitores de 5.0 μF, b) 10/3 μF, 7.5 μF y 5/3 μF.

5V

APLICAR EL TEOREMA DEL RECORRIDO A CIRCUITOS ELÉCTRICOS: 40. Se muestra un tramo de un circuito eléctrico. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es 40 voltios, determinar la cantidad de carga acumulada en cada placa de los condensadores.

6 µF

5V

B

44. Determine la capacidad equivalente. Resp: C

Resp: 120 µC

C

50 V 4 µF A

C

2 µF

A

B

B

M

C

41. Calcular la capacidad equivalente entre los puntos A y B del esquema de la figura con C2 = 10  F y C1 = C3 = C4 = C5 = 4  F . Resp: C = 4 F

C

N

C

45. La diferencia de potencial entre los puntos A y B del tramo de un circuito eléctrico es (VA – VB = 50 volts). Determinar la carga en las placas de los condensadores. Resp: 50 µC

30 V

25 V

6 µF

B

A 3 µF

20 V

Física General

- 67 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN 9. En las placas de un condensador conectado a una diferencia de potencial de 4 Volt hay una carga de 2x10–6 C. La capacidad del condensador es:

1. La capacidad eléctrica tiene unidades de: a) Faradios c) Coulomb/Volt

b) Joules d) N. A.

2. La colocación de un dieléctrico en condensador de placas paralelas cargado: a) b) c) d)

un

Disminuye la capacidad Decrece el voltaje Incrementa la carga Causa una descarga debida a que el dieléctrico es conductor

3. La colocación de un dieléctrico en un condensador de placas paralelas cargado y conectado a una batería: a) b) c) d)

Disminuye la capacidad Decrece el voltaje Aumenta el voltaje Aumenta la carga

b) 6x10–6 F d) 8x10–6 F

a) W

a) 15x10–6 C c) 240x10–6 C

b) 30x10–6 C d) 120x10–6 C

6. Dados varios condensadores iguales, para lograr una capacidad menor hemos de conectarlos: a) En paralelo c) En asociación mixta

b) En serie d) N. A.

8. Dos condensadores de 6 y 8 µF se conectan en paralelo y se les aplica una tensión de 200 V. Calcular la energía total almacenada en el sistema. a) 1.5 J

b) 0.52 J

c) 0.28 J

d) 0.45 J

d) 0.2 µF

b) 3W

c) 9W

d) 27W

b) 6.5 mJ

c) 6 mJ

d) 4 mJ

12. Un condensador de placas paralelas tiene almacenado una energía de 600 µJ, luego de ser conectado a una fuente de 100 V. Determine la nueva capacidad en µF del condensador si se introduce entre las placas un dieléctrico de constante Kd = 8 sin desconectar la fuente. b) 1.0

c) 0.96

d) 1.2

13. Se carga un condensador plano uniendo sus armaduras a los polos de una batería. Si no se desconecta de la batería y reducimos la distancia entre las placas entonces: a) b) c) d)

El voltaje entre las armaduras aumenta La capacidad del condensador disminuye La carga del condensador aumenta La energía almacenada en el condensador disminuye

14. Calcular la capacidad equivalente:

7. Varios condensadores en paralelo, se cumple: a) Los potenciales son proporcionales a sus capacitancias b) Sus cargas son iguales c) Sus potenciales son iguales d) La carga de cada uno es proporcional a su capacidad

c) 0.5 µF

11. La energía almacenada en un condensador plano cargado es de 6.0 mJ cuando la distancia de separación entre sus placas es de 4.0 mm. Determine la nueva energía cuando la distancia entre las placas se reduce a 1.0 mm.

a) 0.6 5. Los condensadores del problema anterior se conectan a una diferencia de potencial de 120 voltios. ¿Cuál es la carga de los condensadores?

b) 5 µF

10. Un condensador de 400 F se conecta a una batería de 9 volt acumulando una energía W. Si el mismo condensador se conecta a otra batería de 27 volt, la nueva energía que adquiere es:

a) 1.5 mJ

4. Se tiene dos condensadores iguales, cada uno de 4x10–6 faradios, conectados en serie. ¿Cuál es la capacidad equivalente? a) 2x10–6 F c) 4x10–6 F

a) 2 µF

2 µF

a) 6 µF

b) 3/4 µF

4 µF

c) 4/3 µF

d) 1/2 µF

15. Un condensador de 400 pF se carga a un voltaje de 1000 V. ¿Cuál es la carga que puede almacenar? a) 30 µC

b) 40 µC

c) 50 µC

d) 60 µC

- 68 -

Física General

16. Calcular la capacidad equivalente:

24. Dos condensadores C1 y C2 se conectan en paralelo, y esta combinación se conecta en serie con otro condensador C3. Si C1 = C3 = 2.0 µF y la capacidad equivalente es 4/3 µF. ¿Cuál es la capacidad de C 2?

2 µF

a) 2.0 µF 4 µF

a) 6 µF

b) 3/4 µF

b) 4.0 µF

c) 6.0 µF

d) 8.0 µF

25. Determine en µF entre A y B la capacidad equivalente: c) 4/3 µF

d) 1/2 µF 2 µF

17. ¿Cuánta carga fluye a través de una batería de 12 V cuando se conecta entre sus terminales un condensador de 5.0 µF? a) 50 µC

b) 60 µC

c) 40 µC

6 µF B

A

d) 30 µC

2 µF

3 µF

18. ¿Cuál es la capacidad de un condensador que adquiere una carga de 0.40 µC cuando se conecta a una fuente de 250 V? a) 2.0 nC

b) 3.0 nC

c) 1.4 nC

d) 1.6 nC

19. Un condenador plano tiene una capacidad de 50 pF que se incrementa a 175 pF con un dieléctrico entre sus placas. ¿Cuál es la constante dieléctrica del material? a) 1.5

b) 2.5

c) 3.5

d) 4.5

20. Un acumulador de 12 V se conecta a una condensador de aire con placas paralelas cuya área es de 0.20 m2 y que están separadas 5.0 mm. ¿Cuál es la carga en el condensador? a) 4.0 nC

b) 4.2 nC

c) 4.5 nC

d) 4.6 nC

21. ¿Cuál es la capacidad equivalente de dos condensadores de 0.60 µF y 0.80 µF cuando se conectan en serie? a) 1.40 µF c) 0.34 µF

b) 0.50 µF d) 0.43 µF

22. Cuando una combinación en serie de dos condenadores descargados se conecta a una batería de 12 V, se extraen de la batería 288 µJ de energía. Si uno de los condensadores tiene una capacidad de 6.0 µF. ¿Cuál es la capacidad del otro? a) 6 µF

b) 10 µF

c) 12 µF

d) 15 µF

23. Tres condensadores de 0.25 µF cada uno, se conectan en paralelo a una batería de 30 V. ¿Cuál es la carga de cada condensador? a) 22.5 µC c) 25.2 µC

b) 7.5 µC d) 5.7 µC

3 µF

a) 5

b) 6

c) 9

d) 1

26. Se tienen 27 gotitas esféricas de mercurio iguales, de capacidad eléctrica 5 pF cada uno. ¿Cuál será la capacidad de la gota grande que se obtiene como resultado de la unión de estas gotitas? a) 5 pF

b) 135 pF

c) 15 pF

d) 10 pF

27. Se tienen 3 condensadores de capacidades 2, 4 y 6 µF. Calcular la capacidad equivalente en el caso de conectar los 2 primeros en serie y el tercero en paralelo con el conjunto. a) 1.09 µF

b) 12 µF

c) 22/3 µF

d) 3 µF

28. Se tienen 3 condensadores de capacidades 2, 4 y 6 µF. Calcular la capacidad equivalente en el caso de conectar los 2 primeros en paralelo y el tercero en serie con ellos. a) 1.09 µF

b) 12 µF

c) 22/3 µF

d) 3 µF