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• Ana Lucía Villatoro

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Laboratorio 2: Momentos de Inercia* Ana Lucia, Vilatoro Escobedo, 201709080,1, ** Gabriela Eunice, Cifuentes Enriquez, 201709229,1, *** Angie Rebecca, Toledo Lòpez, 201800484,1, **** and Beverly Gissel, Hernàndez Cabrera, 2017005741, **** 1

Facultad de Ingeniería, Departamento de Física, Universidad de San Carlos, Edificio T1, Ciudad Universitaria, Zona 12, Guatemala.

Se construyo un sistema para observar el momento de transición y rotación de una esfera de acero. En el laboratorio, se establecieron las distancias de recorrido de la esfera por medio de un metro y se midió el tiempo que le toma a la esfera recorrer dichas secciones del plano inclinado por medio de un cronòmetro, con el fin de determinar su aceleración lineal a través de su recorrido. Con los datos antes mencionados se obtuvo entonces la aceleraciòn por medio de qtiplot y se determinó la velocidad final del mismo por medio del producto de la aceleración y el tiempo promedio. Se calculó la inercia experimental y teórica de la esfera; con la velocidad antes mencionada se determinó la inercia experimental y la inercia teórica se obtuvo por medio de la ecuación de inercia para una esfera, luego se compararon dichas inercias y se muestra que las mismas convergen a un valor, por lo que se comprueba experimentalmente la validez de la inercia teórica.

I. A.

OBJETIVOS Generales

• Analizar el comportamiento de una esfera en un plano inclinado y su movimiento de traslación y rotación.

B.

Específicos

dω d2 θ = = α = cte. d2 t dt

(1)

De la expresión anterior se puede deducir las funciones que describen la rapidez angular (ω) y la posición angular(θ) del cuerpo, obteniendo:

ω(t) = ω0 + αt

(2)

1 θ(t) = θ0 + ωt + αt2 2

(3)

* Determinar la aceleración lineal del sistema. * Determinar la velocidad de la esfera al llegar al final del tablero. * Calcular la inercia experimental de la esfera. * Comparar el valor de la inercia experimental con el valor de la inercia teórica.

II.

MARCO TEÓRICO

Un objeto rígido no es deformable; es decir, las ubicaciones relativas de todas las partículas de que está compuesto permanecen constantes. Todos los objetos reales son deformables en cierta medida; no obstante, el modelo de cuerpo rígido es útil en muchas situaciones en que la deformación es despreciable. La característica principal del movimiento circular uniformemente variado, es que la aceleración angular permanece constante; es decir:

* ** *** ****

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Todo movimiento circular uniformemente variado debe obedecer las ecuaciones anteriores; con la condición de que el tiempo sea mayor que cero (t >0). Dado que la función θ(t) es cuadrática respecto al tiempo, se puede demostrar que la rapidez angular instantánea en el tiempo tn es igual a la rapidez angular media !n en el intervalo de tiempo (tn−1 a tn+1 ):

ω ¯ = αt

1 θ¯ = at2 2

Las cantidades I y ω en el movimiento rotacional son análogas a m y v en el movimiento traslacional, respectivamente. El momento de inercia es una medida de la tendencia de un cuerpo a cambios en su movimiento rotacional, tal como la masa es una medida de la tendencia

2 de un cuerpo a resistir cambios en su movimiento traslacional. La rapidez del centro de masa de la esfera de acero en la parte más baja del plano esta dada por: s VCM =

2gh ICM 1 + (M R2 )

(4)

el momento de inercia de la esfera de acero, despejando ICM , esta dada por: ICM

2gh = ( 2 − 1)M R2 vCM

(5)

El momento de inercia de una esfera sólida de mas M y radio R, usaldo la definición es: 2 (6) M R2 5 La rueda es simétrica, así que su centro de masa está en su centro geométrico. Visualizamos el movimiento en un marco de referencia inercial, en el cual la superficie sobre la que la rueda se desplaza está en reposo. En este marco, el punto de la rueda que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo para que no resbale. Por lo − tanto, la velocidad → v1 del punto de contacto, con respecto al centro de masa, debe tener la misma magnitud pero dirección opuesta que la velocidad del centro de masa − −→ .Si el radio de la rueda es R y su rapidez angular vCM − alrededor del centro de masa es v, la magnitud de → v1 es Rω; por lo tanto, debemos tener ICM =

VCM = Rω

C.

* Montar el equipo como se indica en el manual * Colocar el tablero horizontalmente sobre la mesa de trabajo verificando que la esfera se encuentre en reposo en cualquier posición sobre el tablero. * Armar el sistema como lo muestra el diagrama del diseño experimental (figura 1 de manual). * Comprobar que la esfera tenga una trayectoria rectilínea sobre el tablero. * Seleccionar un sistema de referencia, para medir la posición de cada vuelta de la esfera, en una cinta de papel. * Partiendo del reposo, soltar la esfera desde la posición donde inicia cada vuelta. * Tomar el tiempo que le lleva a la esfera dar una, dos, tres, cuatro, cinco y seis vueltas. * Medir el diámetro y masa de la esfera.

(7) IV.

III.

Procedimiento

RESULTADOS

DISEÑO EXPERIMENTAL A.

Materiales

* Una esfera de acero

A.

Tabla no.1 ACELERACION LINEAL

Aceleración Lineal (m/s2 ) 0.03 ±0.1

* Un tablero de madera * Una cinta de papel * Dos trozos de madera

B.

Tabla no.2 VELOCIDAD FINAL

* Un cronómetro * Una cinta métrica o metro B.

Velocidad final (m/s) 0.33 ±0.02

Magnitudes físicas a medir

* El diámetro de la esfera.

C.

Tabla no.3 MOMENTO DE INERCIA EXPERIMENTAL Y TEORICO

* La masa de la esfera. * El tiempo que realiza la esfera para dar n vueltas utilizando el cronometro digital.

M.I.Experimental M.I.Teórico 1.40* 10−5 ± 3.64 ∗ 10−6 3.14* 10−5 ± 1.8110−6

3 D.

Donde: Xi es el dato obtenido N es el total de datos obtenidos

Gráfica No. 1 POSICIÓN ANGULAR vs TIEMPO

0.69s + 0.72s + 0.68s + 0.69s + 0.72s = 0.700s t¯1 = 5 1.11s + 1.06s + 1.06s + 1.18s + 1.09s t¯2 = = 1.100s 5 1.75 + 1.62 + 1.60 + 1.58 + 1.63 = 1.636s t¯3 = 5 2s + 1.88s + 1.90s + 1.91s + 1.89s = 1.916s t¯4 = 5 2.25s + 2.10s + 2.15s + 2.17s + 2.17s t¯5 = = 2.168s 5 E.

Gráfica No. 2 DIAGRAMA DE INCERTEZAS

2.41s + 2.45s + 2.38s + 2.39 + 2.38 t¯6 = = 2.402s 5 2.78s + 2.65s + 2.66s + 2.70 + 2.62 t¯7 = = 2.682s 5 B.

Cálculo de la desviación estándar del tiempo

s σ=

PN

i=1

¯ 2 (Xi − Xi) N −1

(9)

Donde: Xi es el dato obtenido ¯ es la media de los datos Xi N es el total de datos obtenidos

r σ1 = V. A.

(0.69s − 0.706s)2 + ... + (0.72s − 0.706s)2 = 0.01870s 4

MUESTRA DE CALCULO

r

Cálculo de la media del tiempo

PN x ¯=

i=1

N

Xi

σ2 =

r (8)

σ3 =

(1.11s − 1.1s)2 + ... + (1.09s − 1.1s)2 = 0.0495s 4

(1.75s − 1.636s)2 + ... + (1.75s − 1.636s)2 = 0.0666s 4

4 D.

r σ4 =

Cálculo de la Inercia Teórica

(2s − 1.916s)2 + ... + (1.89s − 1.916s)2 = 0.04827s 4 ICM =

r

(2.25s − 2.168s)2 + ... + (2.17s − 2.168s)2 = 0.05403 Donde: 4 M es la masa de la esfera R es el radio de la esfera

r

(2.41s − 2.402s)2 + ... + (2.38s − 2.402s)2 = 0.0295s 4

σ5 =

σ6 =

ICM = r σ7 =

(2.78s − 2.682s)2 + ... + (2.62s − 2.682s)2 = 0.0618s 4

2 (0.225Kg)(0.0185m)2 = 5

0.000031402Kg ∗ m2

E. C.

2 M R2 5

Cálculo de la Incerteza de la Inercia Teórica

Cálculo de la desviación estándar de la media del tiempo

∆ICM = ICM ( σ σ ¯=√ N Donde: σ es la desviación estándar de los datos N es el total de datos obtenidos

σ¯1 =

(10)

∆R ∆M +2 ) M R

(11)

Donde: ∆M es la incerteza de la masa de la esfera M es la masa de la esfera ∆R es la incerteza del radio de la esfera R es el radio de la esfera

0.1870s √ = 0.008s 5

∆ICM = 0.00030802Kg ∗ m2 (

0.0001 0.0001 +2 )= 0.2250 0.0185

0.0000018110Kg ∗ m2 σ¯2 =

0.0495s √ = 0.02s 5

σ¯3 =

0.0666s √ = 0.03s 5

0.04827s √ = 0.02s σ¯4 = 5

σ¯5 =

0.5404s √ = 0.02s 5

σ¯6 =

0.0295s √ = 0.013s 5

σ¯7 =

0.0618s √ = 0.03s 5

F.

Cálculo de la velocidad final

− → Vf = at Donde: a es la aceleración obtenida por Fit Wizard t es el tiempo en que la esfera se desplaza h

− → m m Vf = 0.207 2 2.68s = 0.33 s s G.

Cálculo de la Inercia Experimental

ICM = (

2gh − 1)M R2 2 vCM

(12)

5 Donde: h es la altura donde inicia el desplazamiento la esfera v es la velocidad por el último tiempo tomado M es la masa de la esfera R es el radio de la esfera

ICM = (

VI.

HOJA DE DATOS ORIGINALES

2 ∗ 9.8 sm2 0.0262m − 1) ∗ 0.225Kg ∗ (0.0185m)2 = 2 ) (0.6 m s 0.00001403Kg ∗ m2

H.

∆ICM =

Cálculo de la Incerteza de la Inercia Experimental

R(2gh − v 2 )(v 3 (R∆m + 2m∆R) + 2gmR(v∆h + 2h∆v)) mv 5 (13) Figura 1

Sustituyendo los datos se obtiene que ∆ICM = 0.000003645Kg ∗ m2

I.

Cálculo del Error Relativo

%E =

|Dt − De | ∗ 100 Dt

Donde: Dt es el inercia teórica De es el inercia experimental

%E =

VII.

|0.00003.1 − 0.00003| ∗ 100 = 3.33 % 0.00003

(14)

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

A partir del movimiento traslacional y el movimiento rotacional se determina el movimiento de la esfera. El movimiento de una esfera a través de un plano inclinado describe una función cuadrática ya que al tener el plano a un ángulo con la horizontal forman una altura y se involucra en la ecuación una aceleración. En la gráfica 1 de posición en función del tiempo se observa la forma cuadrática del recorrido, significa que la esfera tenia un movimiento circular uniformemente variado; a medida que pasa el tiempo la velocidad de la esfera aumentaba. Para calcular el momento de inercia de la esfera de manera experimental se utilizó el concepto de inercia y los datos de la practica; para ello se utilizó la ecuación dada en el laboratorio. Como se puede observar en la tabla numero 3 la variación entre el momento de inercia experimental y teórica es minúscula, sin embargo, la diferencia entre ambos datos pudo ser causada por el error al medir el radio de la esfera, el tiempo de reacción de la persona, error en la calibración de la balanza al pesar la esfera solida o la leve inclinación de la mesa de trabajo utilizada para la práctica. Aplicando el concepto de energías, el cambio en un objeto se debe por fuerzas externas, en esta puede estar involucrada la fricción, aunque en la práctica no se tomó en cuenta; es decir, hay otras fuerzas que afectan el sistema pero se descartaron.

6 VIII.

CONCLUSIONES

1. Con los datos en la práctica y las ecuaciones se determinó que la aceleración lineal del sistema fue de 0.03m/s2 que la aceleración es constante y que la esfera rueda sin resbalar la velocidad tangencial es la misma que la del centro de masa y ésta aumentará uniformemente conforme el tiempo transcurra.

[1] Lopez, J. (Ed.). (n.d.). Momento de Inercia. Retrieved February 19,Download [2] Young, H., & Freedman, R. (Décimo tercera edición). (2013). Física Universitaria. México: PEARSON. [3] Ing. Walter Giovanni Alvarez Marroquin, MANUAL DE LABORATORIO DE FISICA UNO. (2019). DEPARTAMENTO DE FISICA. Guatemala:UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE

2. El concepto de energías aplicado es una manera de calcular el momento de inercia si se tienen las variables correctas, el momento de inercia experimental fue de 1.40 ∗ 10−5 ± 3.64 ∗ 10−6 3. Si se tienen las variables correctas y la medida precisa, el movimiento de inercia experimental y teórico no debería variar, sin embargo, existen errores y fuerzas que hacen que cambien los datos. La variación del momento de inercia experimental y teórico fue mínima.

INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS. [4] Anónimo. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO – MCUA [En linea][28 de febrero 2019]. Disponible en: http://www.universoformulas.com/fisica/ cinematica/movimiento-circular-uniformemente-acelerado/