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• miguel

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Reglas  de  Probabilidad   Existen  tres  reglas  fundamentales  para  resolver  problemas  en  donde  se  desea  determinar  la  probabilidad  de  un  suceso   si  se  conocen  las  probabilidades  de  otros   sucesos   que  están  relacionados  con  él. Estas  dos  reglas  son :  Regla  de la  Adición , Probabilidad   Condicional  y   Regla de la Multiplicación  o Probabilidad  Conjunta . Existe  otra  regla  muy  importante  que  es  El  Teorema  de  Bayes,  pero en esta Unidad   dedicaremos  un   aparte   especial  a  ella.  

Regla de la Adición:  Esta  regla  expresa  la  probabilidad  de  que  ocurran   dos  o  más  sucesos  a  la  vez,   P ( A U B).

Puede  presentarse    de  dos  formas:  para  conjuntos   con  intersección  y   para   conjuntos   mutuamente  excluyentes.  Veamos:   Para   conjuntos  con  Intersección:                                                    Esto  se  debe  a  que  sumamos  la  probabilidad  de  A más  la  probabilidad de B , pero  como  ya  habíamos sumado la  intersección,  entonces  la  restamos.   Para   conjuntos  con  Mutuamente excluyentes:                                                              

 

En este  caso,  no  hay  ningún  problema  en  sumar  ambas  probabilidades.   Ejemplo 1:  Se  lanzan  un   dado.  Usted  gana  $ 3000   pesos   si   el  resultado  es    par  ó   divisible  por  tres   ¿Cuál es  la  probabilidad  de  ganar ? Lo  que  primero  hacemos   es  definir  los  sucesos : Sea  A = resultado  par :  A = { 2, 4, 6 } Sea  B = resultado   divisible por  3 : B = { 3, 6 }   .  Ambos  sucesos  tienen  intersección ?                                                           

                       Luego,

                                                                                                                      Ejemplo 2 : Se  tiene  una  baraja  de  cartas (  52  cartas  sin  jockers),  ¿ Cuál  es la  probabilidad  de   sacar  una   Reina  ó  un  As  ?   Sea A = sacar  una  reina    y   sea  B = sacar  un  as,    entonces :                               

    NOTA:   Si  observas esta   regla,  puedes   notar  que  se  relaciona   fuertemente   con  la  Unión  entre   conjuntos  ( ó ) y  es  una  suma.  

Probabilidad   Condicionada:  Es   la    probabilidad  de  obtener    un   suceso,  dado   que  ya  ocurrió  otro.  Es  decir,   si  tenemos   los  sucesos  A  y  B que  pertenecen a  un  mismo  espacio  muestral  S ,  y   si   la  P (A)  es  diferente  de cero,  entonces esta  probabilidad  que  esta  designada  por :                                            

  Para calcular esta  probabilidad  es  necesario   conocer   tanto  la  probabilidad  marginal  de  uno  de  los  sucesos ( P(A)  )  como  la  probabilidad  de  la  intersección  de  ambos ( o  la  probabilidad  cuando  ocurran  los  dos  sucesos a  la  vez ).    Ejemplo 3 : La  probabilidad  de  que  una  persona   tenga  una  cuenta   de  ahorros  es  de   0,65  y    la  probabilidad   de  que  invierta  en  un  CDT  y  ahorre  en  una  cuenta  de  ahorros es  de  0,30.  Se  seleccionó  una   persona al  azar   y   resultó  tener  una  cuenta   de  ahorros  ¿ Cuál  es    la  probabilidad  de  que  tenga  también  un  CDT ? Sea  A =  tener  una  cuenta de  ahorros ,   B =  tener  un  CDT

                                                                                                           

Regla de la Multiplicación  o  Probabilidad   Conjunta:  Esta  regla  expresa  la  probabilidad  de  que  ocurra  un  suceso  A  y  un  suceso  B.

Pueden  ocurrir  dos  formas:   que  el  segundo  suceso  depende   del  primero  o   que  ninguno  dependa  del  otro,  por  lo  tanto  veremos  estas  dos  formas:

Para   sucesos   dependientes:

                                                                              NOTA:   Si  observas esta   regla,  puedes  darte  cuenta  que  se  relaciona   fuertemente   con  la  Intersección   entre   conjuntos  ( y ), es  una  multiplicación. Ejemplo  1: Se  sacan   dos  cartas  sin  restitución  (  se  saca  la  primera   se  observa  y  no  se  vuelve  a  meter ) de  una  baraja  de   52  cartas, ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que   ambas  sean  reyes ? Sea  R = sacar  un rey Observe  que lo  que   necesitamos  es   la  probabilidad  de  sacar un  rey  en la   primera  carta  y  un  rey  en la  segunda, es  decir:

                                          

                                          

Para   sucesos  independientes:                                                                                                              Ejemplo  2: Se  sacan   dos  cartas  con  restitución   una  baraja  de   52  cartas, ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que  ambas  sean  corazones ? Sea  C = carta   de  corazones

  NOTA:  Observa que  la  probabilidad  del  segundo  suceso   no  se  ve  afectada  por  la  probabilidad  del  primero.  ¿ A  qué se   deberá?.

 

Probabilidad  Total :  Esta  probabilidad   es  la   suma   total    de  todas  las  probabilidades   involucradas  entre  un  suceso  y  otros.  Así :       

                         Ejemplo  1 :  El   gerente  de  una  compañía   quiere  hacer  cada  semana   una  reunión  y  pedirle  a  sus  ejecutivos  un  informe .  El  sabe  que  a veces  se  le  olvida  ir  a  tal  reunión,  por  lo  que le  ha  dado  instrucciones  a  su   secretaria   que   se  haga  cargo  de  la   agenda  a   tratar.  Si  el  gerente  hace  la  reunión,  la  probabilidad  es  0.80  de  que  solicite  el  informe,  mientras  que  si  su  secretaria  hace  la  reunión, esta  probabilidad  es  de  sólo  0,15.  Si  el  gerente  falta al   60 %   de  las  reuniones. ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  se  le  pida  los  informes  a  los  ejecutivos?  

             

Entonces,  la  probabilidad  de  que  se  solicite  el  Informe,  es  la  probabilidad  de  que  lo  solicite  el  gerente  cuando  esta  en la  reunión  (asiste ) más   la  probabilidad  de  que  lo  solicite  la   secretaria  (  cuando  el  gerente esta  ausente ).  Por  lo  tanto:  

 

     

Por  lo  tanto, la  probabilidad  de que se  solicite el informe  es  del  54 %.    

Ejemplo  2 :  La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la urna B contiene 2 bolitas blancas y 3 rojas.  Se saca una bolita de la urna  A y se coloca en B, en seguida se sacan  2 bolitas de la  urna  B.  ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 bolitas extraídas de B sean blancas?  

 

La probabilidad de que las 2 bolitas extraídas de B sean blancas es del  14%.  NOTA: Esta   probabilidad es   de  gran  utilidad,  ya  que  constituye  la  parte  esencial  del   Teorema  de  Bayes,  el  cual  describiremos   a  continuación.       

Teorema  de  Bayes   Teorema  de  Bayes:   Este    teorema  es  una  generalización  de  la  probabilidad  Condicionada,  el  cual  esta  definido  de  la  siguiente  manera Sean     A1,  A2, …….An,   sucesos  mutuamente  excluyentes    que  ocupan  todo  el  espacio  muestral S.  Si  cada  uno  de estos  sucesos  tiene  probabilidad  no  nula  y 

uno  de ellos debe  ocurrir,  entonces  para   todo  suceso  B  en  el  espacio  muestral  S, es :  

  ¿ De  dónde  sale  todo  esto?...............  Veamos

                       

                    Ejemplo 1. : El   gerente  de  una  compañía   quiere  hacer  cada  semana   una  reunión  y  pedirle  a  sus  ejecutivos  un  informe .  El  sabe  que  a veces  se  le  olvida  ir  a  tal  reunión,  por  lo  que le  ha  dado  instrucciones  a  su   secretaria   que   se  haga  cargo  de  la   agenda  a   tratar.  Si  el  gerente  hace  la  reunión,  la  probabilidad  es  0.80  de  que  solicite  el  informe,  mientras  que  si  su  secretaria  hace  la  reunión, esta  probabilidad  es  de  sólo  0,15.  Si  el  gerente  falta al   60 %   de  las  reuniones. Suponiendo  que  se  les  pidió  el  informe  un  día determinado  ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que  el  gerente haya  estado  presente  ? Si  el  gerente  estuvo  presente,  es  lo  mismo  que  decir  que  no  faltó,  por   lo  tanto lo  que  nos  están  pidiendo  es :

 

   

  Así:

  Por  lo  tanto,  la  probabilidad  de  que  el   gerente haya  estado  un  día  en  el  que  se  les  pidió  el  informe  a los  ejecutivos es   del  89 %     NOTA:   Observe  que  parte    de  este  ejercicio  es  el  Ejemplo 1  de  probabilidad  Total,  Qué  podemos  concluir?       Ejemplo  2 :  La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la urna B contiene 2 bolitas blancas y 3 rojas. Se saca una bolita de la urna  A y se coloca en B, en seguida se sacan  2 bolitas de la  urna  B.  Dado  que  las  dos  bolitas  extraídas  de  B resultaron  ser   blancas    ¿Cuál es la probabilidad de que la  bolita extraída de A también  haya  sido  blanca?  

  Aquí   recurrimos al   Ejemplo 2  de  probabilidad  Total  para  encontrar el  denominador  de  la  probabilidad que  necesitábamos.   NOTA:  Es  importante  anotar   que  la  práctica  nos  hace  ágiles en   la  resolución de este  tipo  de  problemas ,  cada  uno  tiene   sus características  y  fines  diferentes !