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Leopoldo Silva Bijit ·

Redes eléctricas

Redes eléctricas

Leopoldo Silva Bijit Departamento de Electrónica Universidad Técnica Federico Santa María Va/paraíso / Chile

----PEARSON

Prentice

Hall

Madrid • México • Santafé de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Lima • Montevideo San Juan • San José • Santiago • Sao Paulo • White Plains

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Datos de catalogación bibliográfica

Redes eléctricas

Leopoldo Silva Bijit PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2006 ISBN 10: 84-8322-302-3 ISBN 13: 97$-84-83-2230-24 Materia: Electrónica, 621.3

Formato 195 x 250 mm

Páginas: 472

Todos los derechos reservados. CJ.¡eda prohibida, salvo excepción prevlsta en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, oomunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal). DERECHOS RESERVADOS

© 2006 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Ribera del Loira, 28 28042 Madrid (Fspaña)

Redes eléctricas

l.eopoldo Silva Bijit ISBN 10: 84-8322-303-3 ISBN 13: 978-84-83-2230-24

Depósito legal: PEARSON PRENTICE HALL es lDl sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S.A. F.quipo editorial:

F.ditor: Miguel Martín-Romo Técnico editorial: Marta Caicoya F.quipo de producción:

Director: José Antonio Ciares Técnico: José Antonio Hemán Diseño de cubierta: Fquipo de diseño de Pearson Educación, S.A. C.Omposición: CDPIBOOK. S. L. Impreso por:

IMPRESO EN ESPAJ\JA - PRINTED IN SPAIN Fste libro ha sido Impreso con papel y tintas ecológicos

Contenido

PRÓLOOO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIu

CAP1TuLo 1. CONCEPTOS BÁSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Componentes y variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas de referencia para medir posiciones .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . 1.4. Voltímetros y amperímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ley de conservación de la carga .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 1.6. Ley de corrientes de K.irchhoff (LCK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Concepto de voltaje en función del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ley de voltajes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Potencia y energia en una componente .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 1.10. Teoremas de Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 2 4 6 8 8 13 13 16 20

COMPONENTES ELEMENTALES .... .... ... ..... .... ... .... .... .... ... ..... .. 2.1. Modelo de componentes .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.2. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Modelo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Fusible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Interruptor (Switch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9. Oport (Open and Short) .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. 2.2.10. Fuente de tensión independiente .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2.2.11. Fuente de tensión no ideal .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.2.12. Fuente independiente de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13. Generador real de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.14. Equivalencia entre fuentes reales . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .

21 22 23 23 23 24 25 26 27 27 28 28 28 30 32 32 33

1.1 . 1.2.

CAPf'ruLo 2.

vi

Cbnt.enido

2.2.15. 2.2.16. 2.2.17. 2.2.18.

CAPfTuLo 3.

Análisis de una red sencilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diodo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuentes controladas . . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.2.18.1. Fuente de corriente controlada por corriente . . . . . . . . . . . . . 2.2.18.2. Fuente de tensión controlada por tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.18.3. Amplificador operacional .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.3. Elementos dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Condensador .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1. Ecuación de equilibrio .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2.3.1.2. Potencia y energía en un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.3. Ecuación de equilibrio inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.4. Modelos con pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.1. Flujo enlazado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.2. Ley de Ampere .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2.3.2.3. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.4. Ley de Faraday .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.3.2.5. Voltaje generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.6. Ecuación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.7. Potencia y energía en inductores .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.3.2.8. Ecuación de equilibrio en función del voltaje . . . . . . . . . . . . 2.3.2.9. Inductores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.10. Modelo con pérdida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.11. Transformador ideal .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 2.4. De las leyes de Maxwell a las leyes de Kirchhoff . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. Problemas resueltos . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 36 36 39 39 40 40 41 41 43 44 44 46 47 47 48 50 50 51 52 53 54 54 57 57 59 61 79

ECUACIONES DE INTERCONEXIÓN. LEYES DE KIRCHHOFF . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. LCK en vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Conjuntos de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. LVK en circuitos . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 3.1.6. Mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Ecuaciones independientes .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. 3.2. Árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Ramas y cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Número de ramas del árbol ... ... ..... ....... .... .... .... ... ..... .. 3.2.2.1. Inducción completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Circuitos fundamentales .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 3.4. Conjuntos de corte fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Matrices de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 89 89 91 91 91 95 96 96

C.Ontenido

3.8.1. Matriz Q de incidencia de los elementos en los conjuntos de corte fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Matriz C de incidencia de los elementos en los circuitos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Relaciones entre Q y C .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. 3.8.4. Las leyes de Kirchhoff garantizan la ley de la conservación de la energía . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5. Matriz A re incidencia de los elementos en los nodos . . . . . . . . . . . . . . 3.8.6. Matriz M de incidencia de los elementos en las mallas. Para redes planas . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.7. Relaciones entre A y M............................................ 3.8.8. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.8.1. Voltajes de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.8.2. Corrientes de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.9. Matriz de incidencia de los elementos en los vértices . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.10. Relación entre matrices T y A .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3.8.11. Matriz de incidencia de las ramas en los nodos .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 3.9. Teoremas fundamentales . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 3.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

96 99 100 103 104 106 108 109 109 109 111 112 112 113 114 115 124

CAPfTuLo 4. MÉTODOS GENERALES DE ANÁLISIS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Método nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Bases algorítmicas de los programas que analizan redes eléctricas . . 4.2. Métodos de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Método de los conjuntos de corte fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Voltajes de ramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Método de los circuitos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Corrientes de cuerdas . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 4.5. Método mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Método de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Redes de transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Modelos de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127 128 131 133 135 135 137 137 140 146 148 148 150 156 162

CAPfTuLo 5. REDES EQUIVALENTES ...................................................... 5.1. Característica terminal de una subred . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Valores en terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Tipos de redes equivalentes . . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. 5.3.1. Equivalencia por igual característica terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Equivalencia por iguales valores terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Conexión serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Conexión paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Conmutatividad serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 166 167 170 170 170 171 171 171 171

\llii

C.ontenido

5.5.1. Con.mutatividad serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Con.mutatividad paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Bilateralidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Redundancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Redundancia serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2. Redundancia paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Contracción de cortocircuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Duplicación de nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Apertura de elementos . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Movilidad de fuentes de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Movilidad de fuentes de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Redes de equivalentes de componentes de igual tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.1. Dos resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.2. Dos resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.3. Cálculos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.4. Componentes dinámicas en paralelo o serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.5. Fuentes de tensión en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.6. Fuentes de corriente en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.7. Dos fuentes reales en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.8. Resistores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.9. Resistores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Redes equivalentes estrella y triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171 172 173 174 174 174 175 175 176 176 177 178 178 179 181 181 182 183 183 184 186 187 188 192

CAPfTuLo 8. REDES LINEALES .... ......................................................... 6.1. Redes con tma excitación y una respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Linealidad para redes con una excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Modelos básicos de componentes lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Recta que no pasa por el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. La respuesta es la derivada de la excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Red de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4. Componente cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Algtmas redes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Amplificador lineal con saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Rectificador de onda completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4. Amplificador inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Redes con dos excitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Redes con tres y más excitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Método de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Teorema de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Definición del equivalente Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Formas de cálculo de la red Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. 1. Aplicando equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2.2. Aplicando métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2.3. Parámetros de circuito abierto y cortocircuito . . . . . . . . . . . . 6.8.2.4. Cálculo basado en superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 196 197 198 198 199 200 201 202 202 202 203 203 203 206 206 208 208 209 209 209 209 210

C.Ontenido

ix

6.8.3. Redes con componentes dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Redes invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Redes lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211 212 213 214 215 222

CAP1TuLo 7.

REDES DINÁMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Redes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Excitación continua o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Red RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Condensadores y red de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Condensador de acoplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5. Carga y descarga de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.6. Red RC sometida a un tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.7. Red RC con generador real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.8. Discontinuidad en condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.9. Carga lineal. Generador de barrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.10. Carga por gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.11. Red RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.12. Excitación sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Redes de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Red con dos condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Red LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Soluciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 226 227 228 229 231 232 233 235 235 237 238 238 240 241 241 242 245 248 253

cAPITuLo &

ANÁLISIS SINUSOIDAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario . . . . . . . . . 8.2. Propiedades de las señales sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Suma de sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias . . . . . . . . . 8.3. Transformación fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Representación gráfica de fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Definición de fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Representación del fasor en t = O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4. Fasor de coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.5. Fasor de coseno más un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Procedimiento gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 258 259 259 259 260 260 260 261 269 269 270 274 274 274 275 276 277 278 279

X

C.ontenido

8.6.

8.7.

8.8.

8.9. 8.10. 8.11. 8.12.

8.13.

8.5.1. Transformadas basadas en la parte real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3. Referencia coseno arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impedancia y admitancia complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales . . . . . . . . 8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo . . . . . . . . . . . . 8.6.2.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas para redes sometidas a excitaciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1. Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2. Leyes de interconexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1. Análisis en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1.1. Potencia instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1.2. Energía utilizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1.3. Energía ociosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1.4. Valor efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2. Análisis en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2.1. Relaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos . . . . . . . . . . . 8.8.2.3. Potencia aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2.4. Factores de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planos complejos de admitancia e impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor de potencia inductivo y capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de máxima potencia de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramas fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.122. Reglas elementales para la construcción gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.2.1. Polígono LVK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.2.2. Polígono LCK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.2.3. Equilibrio gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría . . . . . . . . . . . . . 8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12.3.4. Obtención de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugares geométricos. Diagramas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.132. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13.2.1. Transformación de pWltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen . . . . . . . . 8.13.2.3. Transformación de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen .....

279 281 282 283 283 286 286 287 288 289 289 289 291 293 293 293 293 295 295 296 297 297 300 301 302 302 302 304 305 306 308 308 308 308 309 309 310 310 312 313 313 314 314 314 314 315 315 317

C.Ontenido

xi

8.13.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de? e para variable . . . 8.13.3.2. L.G. para conductancia variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13.3.3. L .G. de I con Rvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas resueltos .... ....... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

318 318 319 320 323 339

RESPUESTA EN FRECUENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Decibeles, décadas, puntos de media potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Variaciones de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Filtros pasa bajos RC de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Filtros pasa bajos LR de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Filtro pasa altos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Filtros pasa banda. Segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Elimina banda. Segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9. Pasa todo. Desplazador de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10. Características de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11. Filtros activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345 346 349 350 352 353 355 356 359 360 361 364 366

Al'tNDICE 1. USO DE SPICE EN LA SIMULACIÓN DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.l. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A12. Análisis continuo o DC..OP .DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.3. Análisis transitorio..tran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.4. Análisis alterno..AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.5. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.6. Fuentes controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.6.1. Fuentes controladas por voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.6.2. Fuentes controladas por corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.6.3. Fuentes controladas por tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.7. Subcircuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.8. Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.9. Función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.10. Fuentes en SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.11. Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Al.12. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369 370 370 373 374 376 377 377 378 379 382 386 391 395 399 400

Al'tNDICE f. USO DE MAPLE EN ANÁLISIS DE REDES ................................... A2.l. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A22. Métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.3. Análisis continuo o DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.4. Análisis transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.5. Análisis alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.6. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.7. Funciones de transferencia Redes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.8. Estímulos transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2.8.1. Estimulo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401 402 403 403 406 411 413 419 422 422

r

cAP1TuLo 9

e

xii

Cont.enido

A2.9.

A2.8.2. A2.8.3. A2.8.4. A2.8.5. A2.8.6. Syrup

Estímulo por secciones lineales .. . .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. Estímulo sinusoidal amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estímulo FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estímulo AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estímulos periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... ..... ... ... . .... .... ... ..... .... ... .... .... .... .... .... ..

423 424 425 426 426 430

Al'tNDICE S. SEÑALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 A3.1. A32.

A3.3. A3.4. A3.5. A3.6.

Representación de formas de ondas . .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. Señales discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.2.l. Escalón unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.2.2. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.2.3. Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.2.4. Aproximación de una señal por escalones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinusoidales amortiguadas exponencialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434 437 437 439 441 441 444 446 450 452

Prólogo

En la formación de ingenieros eléctricos y electrónicos, la teoria de Redes Eléctricas es el primer curso de ingenieria en el cual se establecen modelos matemáticos a partir de leyes físicas. En el Capítulo 1 se definen las variables eléctricas: voltaje, corriente y potencia y se enuncian las leyes de Kirchhoff y los teoremas de Tellegen a partir de conceptos físicos más fundamentales como la conservación de la carga y de la energía. En el Capítulo 2 se establecen modelos de componentes de redes relacionándolos con las leyes físicas del electromagnetismo en las que están basados. En el Capítulo 3, apoyándose en grafos y en el álgebra de matrices, se determina el número de ecuaciones independientes debidas a la interconexión y también los diversos conjuntos de variables independientes y sus relaciones. Los Capítulos 1 a 3 constituyen los postulados de la teoría de redes y son su núcleo teórico; el resto de los capítulos son aplicaciones o teoremas derivados de estos principios. El Capítulo 4 presenta métodos generales para plantear sistemas de ecuaciones diferenciales que representan matemáticamente a la red. Se incluye una metodología para plantear las ecuaciones de estado de la red, además de los clásicos métodos de mallas y nodal. El Capítulo 5 formaliza la obtención de redes equivalentes desarrollando teoremas. El Capítulo 6 define redes lineales e invariantes en el tiempo y sus propiedades. Se desarrolla el método de superposición y su aplicación en la demostración de los teoremas de redes equivalentes de Thévenin y Norton. Los Capítulos 5 y 6 exploran metodologías tradicionales para el cálculo de algunas variables de la red, mientras que el Capítulo 4 está orientado a obtener la solución para todas las variables. El Capítulo 7 muestra soluciones de redes dinámicas de primer y segundo orden; sin excitaciones y con funciones forzantes continuas y sinusoidales. En el Capítulo 8 se estudian, con bastante detalle, redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario. El Capítulo 9 estudia la respuesta en frecuencia de redes. Se definen los parámetros de importancia en filtros y la implementación de filtros activos. Transversalmente a las exposiciones de los temas clásicos se incentiva el uso de herramientas computacionales, que son ampliamente empleadas en la disciplina. El texto contiene dos

xiv

Prólogo

~ndices que ilustran el uso de SPICE y Maple en la formulación, análisis e interpretación de los resultados de problemas típicos de redes eléctricas. Disponer de herramientas computacionales que resuelvan, simulen y desplieguen las formas de ondas de las respuestas, puede llevar a desconocer la forma en que estas herramientas ocupan los conceptos y teorías en que están basados. Por esta razón uno de los objetivos del texto es usar herramientas computacionales para resolver los problemas matemáticos asociados a la teoria de redes y a la vez ilustrar en qué aspectos de la teoría están basados los programas y aplicaciones de análisis de redes de tipo electrónicas. Se muestra a través de ejemplos y problemas resueltos que el uso consciente de estas herramientas deja gran parte del material que se expone en los libros clásicos como un asunto histórico. El trabajo destaca que los contenidos de un primer curso de teoría de Redes Eléctricas deberian ser reorganizados dando especial relevancia a un sólido marco teórico en lugar de enfatizar la operatoria y resolución de problemas con métodos basados en papel y lápiz.

CAPÍTULO

Conceptos básicos 1. 1. Definiciones 1.2. Componentes y variables 1.3. Sistemas de referencia para medir posiciones 1.4. Voltímetrcs y amperímetros 1.5. Ley de conservación de la carga 1.6. Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) 1.7. Concepto de voltaje en función del campo eléctrico 1.8 . Ley de voltajes de Kirchhof'f 1.9. Potencia y energía en una componente 1.1O. Teoremas de Tellegen E;jerciáos propuestos

Z

Redes eléctricanexiones de instrumentos.

Qmceptos básicos

S

En la Figura 1.7, el voltímetro mide la diferencia de potencial entre by a, es decir: (l. 7)

El amperímetro mide la corriente que circula de b hacia a. a

a

b

b

Plgura 1.7. Otra forma de medir variables.

Nótese que la corriente es la que circula a través de Ja componente y del amperímetro. Y que el voltaje se mide entre los terminales de la componente. Obsérvese que los terminales de los instrumentos están ua~ con una pequeña flecha el amperímetro y con signos + y - el voltímetro. F.ntonces se definen: una dirección de referencia, para medir la corriente, se marca con una flecha a través de la componente; y una polaridad de referencia, para medir voltajes, entre los terminales de la componente. Fstas referencias indican cómo se deben medir las variables usando instrumentos. Para medir las variables de la Figura 1.8, los instrumentos deben conectarse como se muestra en la Figura 1.6.

·]

T

b Plgura 1.8 . Variables de la componente.

En la Figura 1.8 se muestran las variables v e i, y sus referencias: la polaridad y la dirección, respectivamente. Se interpretan según:

es la corriente que circula desde a hacia b a través de la componente. v: es la diferencia de potencial o voltaje o tensión entre a y b.

i:

Si en la Figura 1.8 se tiene, en cierto instante, que v = 2 e i = - 2; si las variables se miden mnectando los instrumentos como se muestra en la Figura 1.7, se tendrá que los instrumentos indicarán: V= - 2 y A= +2.

6

Redes eléctrica O. Si en cierto instante el potencial en a es igual al de b, se tendrá: v = O. Si en cierto instante el potencial en a es menor que de b, se tendrá: v < O. Si hay movimiento de cargas positivas desde a hacia b, en ese instante: i > O. Si hay movimiento de cargas positivas desde b hacia a, en ese instante se tendrá: i < O. Si no hay movimiento de carga5, se tendrá: i = O.

F;jemplo 1. 1 Fn la Figura 1.10, de acuerdo con las referencia5, se tienen: V¡= - v2

Í¡

(1.8)

= - i2

Las variables tienen iguales valores, pero diferente signo (Figura 1.10).

b Plgun 1. 1O.

1.S.

Referencias para variables.

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA La ley de la conservación de la carga establece que la carga eléctrica se conserva; es decir, no se crea ni se destruye. Sean q la carga encerrada en un volumen V. e i la corriente que ingresa al volumen.

Qmceptos básicos

7

Podemos simbolizar la situación según se muestra en la Figura 1.11.

Plgura 1.11 .

C'.onservación de la carga.

Fntonces:

.

dq dt

(1.9)

1= -

Es la ecuación diferencial que representa la conservación de la carga q centro del volumen. La relación anterior puede considerarse como la definición de la corriente en función de la carga y el tiempo. Si q e; constante en el tiempo, i debe ser cero. Es decir, no puede haber movimiento de carga hacia o desde el volumen si la carga permanece constante dentro del volumen. Si se tiene que: dq >o dt

(1.10)

e;to implica que q está aumentando, lo cual requiere que existan cargas positivas moviéndose hacia el volumen; es decir:

i>

o

(1.11)

Si existe carga positiva moviéndose hacia afuera del volumen se tendrá: i

-)

.... )

~

Vi

... >

F'lgura 2.59. otro sentido de enrollamiento.

Los flujos enlazados quedan relacionados, aplicando la regla de la mano derecha, según:

A.1 = L1i 1

-

Mi2 (2.94)

A-i = - Mi1 + lzí2 Aplicando la ley de Faraday (2.81) a (2.94), se obtiene: V

1

= L.

di¡ - M di2 dt dt (2.95)

di¡ di2 v2= -M dt +L2 dt para la cual se emplea el modelo gráfico de redes que se ilustra en la Figura 2.60. a

e

;,1

i1

,, 1

L¡

b Plgura 2.80.

Vi

L2

o d

Inductores acoplados.

A esta situación podría haberse llegado reemplazando í 2 por - í 2 y v2 por - v2 en las Ecuaciones (2.93) para el primer sentido de los enrollados. Si ambas corrientes entran por las marcas, y los voltajes tienen la polaridad positiva hacia el punto, se tiene la relación (2.93). Pueden existir varias parejas de inductores acoplados. Se requiere, en estos casos, marcar cada pareja de acoplamiento. La notación que recuerdan las marcas es el sentido relativo de emollamiento entre los devanados, y se emplea del siguiente modo. Si una corriente entra por un punto en un devanado, producirá una tensión inducida con polaridad positiva hacia el punto en el otro devanado.

Qmcepto5 básicos

57

El dispositivo permite transferir energía del lado uno hacia el dos, y viceversa, lo cual se emplea en transformadores. Nótese que el acoplamiento sólo se produce si las corrientes y voltajes varían en el tiempo.

2.3.2. 1O. Modelo con pérdidas Fn un transformador real se producen pérdidas por calentamiento del núcleo, debido a que éste es conductor y, al ser sometido a un campo magnético variable, circularán corrientes en el fierro, que implican calentamiento. También en los conductores de cobre se producen pérdidas al no ser ideales. Se muestran las resistencias asociadas a la disipación por calentamiento de los conductores con subíndice cu (por pérdidas de cobre), y con subíndice fe las resistencias que modelan el calentamiento del fierro (Figura 2.61). a

Rre1

V¡

b Plgun Z.81 .

d

Inductores acoplados con pérdidas.

2.3.2. 11 . Transformador ideal Las siguientes ecuaciones definen el modelo de redes de un transformador ideal, donde n1 y JJi son las vueltas de los devanados: V¡

ll¡

I1i

Í¡

- = - -

(2.96)

para las cuales se emplea el símbolo gráfico que muestra la Figura 2.62. e

a i1

i2

Vi

Vt

b

n 1 : n2

d

Flgun Z.8Z. Transformador ideal.

Se emplea un símbolo similar al de inductores acoplados, pero no se indican valores de inductancias propias y mutuas; sólo la razón de vueltas entre devanados.

58

Redes eléctricas

Nótese que en esta componente se produce acoplamiento atm si las variables no varian en el tiempo. Esto aleja a esta definición de la realidad fisica, ya que, cómo se verá en (2.100), los voltajes sólo existen asociados a campos magnéticos variables en el tiempo. Multiplicando las relaciones (2.96) puede demostrarse que la suma de las potencias que ingresan al dispositivo es cero. Se tiene: V¡i¡

-

= -1

(2.97)

V2h

De (1.39) se tiene, para las potencias que entran por el lado uno y dos respectivamente:

(2.98)

Pi= Vii2 Reemplazando (2.98) en (2.97), se obtiene:

p¡ +Pi= o

(2.99)

que puede leerse: La potencia que entra por el lado uno es igual a la que sale por el lado dos; es decir, no hay pérdidas en un transformador ideal. La idealización consiste en suponer que en ambos devanados se produce un flujo común, no existiendo dispersión magnética. De este modo, aplicando la ley de Faraday (2.81) se obtiene:

d

voltajes : = {vl,v2,v3,v4,v}; corrientes : ={il,i2,i3,i4,I5}; > ecuacionesdelared : = ecequilibrio union lck union 1 vk : inc6gni tas : =voltajes union corrientes :

El siguiente comando resuelve el problema en general. Debido a la gran cantidad de ecuaciones suprimiremos la salida, empleando dos puntos como terminador del comando. > sol:=solve(ecuacionesdelared,inc6gnitas) :

Luego asignamos las soluciones a las incógnitas. De este modo podemos tener acceso a cualquier variable por su nombre. > assign(sol) : > vl*il;

p=

E, =O. A

R1

8

+

e +

E1

~ A J

p

R3 D

E

Figura PZ.3.

F

64

Redes eléctricas

Solución: a) Identificación de variables:

R,

A i1

R2

B i2 ¡6

v6

+

E,

e +

+ i3

&:uaciones LVK: Análisis: Para determinar lo requerido, se requieren calcular i, v y p.

= i, V = V4 + V6 P = -v6Íf> i

V

O

= - V2 -

V5

Nos concentraremos en determinar i, v6 y v4 • Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LVK:

E1 = R1i 1 R4i4

v6 +

-

~i3

+ v6 + ~h + Ei. = O

Empleando ecuaciones LCK: i2 = J -

i

= i 5 = i4

h = i4-} Í¡

=

-j

Se obtiene el sistema:

E¡

= R1(-1)

- v6 +

~(J -

i - ])

RiJ - 1) + v6 + ~U - 1) + Ei. = O Sistema del cual se obtienen i 1 y v6 . Evaluando con los datos de las resistencias:

.

1=

Ei.+61-E¡ 10

v6

=-

3E1 + 2Ei_ + 121 5

Qmcepto5 básicos

65

Para calcular v4 , empleamos:

obteniendo: V4

lo que nos permite determinar

=

2E; - 2Ei, + 81 5

v: E,+ 4Ei, + 41 5

Finalmente la potencia, en términos de los datos:

.

p = - v61 restart; >ecequilibrio : ={vl=Rl*il, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=E2, i6=J, v7=El}; datos : ={Rl=l, R2=2, R3=3, R4=4):

Planteamos (v - 1) LCK independientes en los nodos. >lck : ={il+i7=0, il+i6=i2, i2=i5, i5=i4, i4=i6+i3);

Planteamos (e - v

+ 1) ecuaciones LVK en mallas.

> lvk : ={v7=vl-v6+v3, v4+v6+v2+v5=0);

Definimos las incógnitas, las variables en los elementos: > voltajes : ={vl,v2,v3,v4,v5,v6,v7); corrientes:={il,i2,i3,i4,i5,i6,i7); > ecuacionesdelared: =ecequilibrio union lck union 1 vk : incógnitas: =voltajes union corrientes:

El siguiente comando resuelve el problema en general. > sol : =solve(ecuacionesdelared, incógnitas);

Luego asignamos las soluciones a las incógnitas. De este modo podemos tener acceso a cualquier variable por su nombre. > assign(sol):

66

Redes eléctricas

Ahora comienzan las ventajas de emplear procesadores matemáticos para el análisis de redes. Veremos algunas aplicaciones como ilustraciones Como primer ejemplo, veremos la expresión asociada a i 7 . > > > > > > > >

i 7;

v : = -v5-v2; p : = -i6*v6; eval(i7, datos); eval(v, datos); pot : =simplify (eval (p, datos)); eval (v6, datos) ; eval(v4,datos);

Problema 2.3 Para la red de la Figura P2.5: a) b)

Determinar potencias que ingresan a las resistencias. Determinar potencias que salen de las fuentes .

F'lgura P2.S.

Solución: Identificación de variables:

F'lgura P2.8.

Qmcepto5 básicos

Ecuaciones de la red:

v1 = R1i¡, v2 = l?,)2, v3 =E, 4 = J, v5 = O, v6 = O, v1 = O, v8 = O is + 4 = is, is = h. + it,, 4 + i1 = ii + i3, is = i1 + i, v3 - v1 + v1 = O, v3 + ~ + v6 = O, -v4 + v5 + ·~=O, v4 + v8 + v1 = O Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LVK: V¡

= E,

V2

= - E,

V4

= - E

Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LCK:

Substituyendo v1 y v2 , se obtiene:

Potencia que sale de la fuente de corriente:

Pe= v44 = -El Potencia que sale de la fuente de tensión:

Potencia que sale de la resistencia R1 :

e

Pe,= v1i 1 = Ri Potencia que sale de la resistencia R,,:

J!-

Pe2 = v2i2 = Ri.

No es necesario calcular i 3 si se aplica conservación de la energía, ya que:

Solución en Maple: > restart; >ecequilibrio: = { i4 =J, v3=E, vl =Rl*il, v2=R2*i2, v5=0, v6=0, v7=0, vS=O); datos:={Rl=l, R2=1, J=l, E=l):

Planteamos (v - 1) LCK independientes en los nodos. >lck:= {iS+i4=i5, i5=i2+i, i4+il=i2+i3, iS=il+i7);

67

68

Redes eléctricas

Planteamos (e - v + 1) ecuaciones LVK en mallas. >lvk: = {v3-vl+v7= O, v3+v2+v6= O, -v4+v5+v2=0, v4+v8+vl=O};

Definimos las incógnitas, las variables en los elementos: > voltajes : ={vl,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8}; corrientes : ={il,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8}; >ecuacionesdelared: =ecequilibrio union lck union lvk : incógnitas: =voltajes union corrientes:

El siguiente comando resuelve el problema en general. > sol : =solve(ecuacionesdelared, incógnitas);

Luego asignamos las soluciones a las incógnitas. De este modo podemos tener acceso a cualquier variable por su nombre. > assign(sol):

Como primer ejemplo, veremos la expresión asociada a las potencias en las fuentes: > v4*i4; > v3*i3;

Expresiones asociadas a las potencias en las resistencias: > > > > > >

vl*il; v2*i2; simplify (v4*i4+v3*i3); simplify (v2*i2+vl*il); p3 : =simplify(vl*il +v2*i2-v4*i4); simplify(v3*i3);

Problema 2. 4 Para la red eléctrica de la Figura P2.7, con 11

= 4 y p1 = 2, determinar Pz y v2 •

2

figura PZ. 7.

Solución:

Se identifican variables:

69

Qmcepto5 básicos

V3

2

i3

;,

v,

J, A

i2

P2

con igual dirección, lo que implica:

h = iaSe obtiene, para todos los elementos:

i1 = iB> Íi, is = - i0

= Ía. ~

=

i3 = i8 - ip, i4 = - ib ic - ip, i1 = ic - i8

(3.5)

Ecuaciones que pueden representarse mediante matrices.

i¡

1 1 1

i2

i3 i4 is i6 i1

=

o o o -1

o o -1 -1

o -1

o

o o o o -1

o

m

(3.6)

1

Si se escoge el árbol {1, 3, 6, 7}, las corrientes de cuerdas i 2, i4, is resultan ser las corrientes de mallas, salvo signos. No siempre se pueden encontrar corrientes de cuerdas que sean iguales a las de mallas; pero sí siempre se podrá encontrar una transformación lineal entre ambos conjuntos.

t;¡emplo 3. 4 Determinar relaciones entre las corrientes de mallas y las corrientes de cuerdas de los circuitos fundamentales para la Figura 3.13. Para la red de esta figura no es posible encontrar un árbol cuyas cuerdas tengan iguales corrientes que las corrientes de mallas. La elección de las cuerdas efectuada en la Figura 3.13 permite escribir un conjunto de ecuaciones que relacionan las corrientes de cuerdas en términos de las corrientes de mallas. Resultan: (3.7)

Plgura 3.13. C.Orrientes de cuerdas y de mallas.

Ecuaciones de interconexión. Leyes de Kirchhoff

95

La siguiente relación expresa las corrientes de las cuerdas en términos de las corrientes de mallas. 1

Íc1

iél. ilS Íai

ic5

o = o o o

o o 1 o o 1 o o -1 o

o o o o o o 1 o o 1

Ía

ib Íc

(3.8)

id Íe

3.6. Nonos Fn cualquier grafo, puede elegirse un Witb 4lle rál!l:enda o tierra; realizada esta elección, el resto de los vértices se denominan ......_ Existen (v - 1) nodos en un grafo de v vértices. Los "Wibi• • ... a tiaTa permiten expresar los voltajes de los elementos en función de ellos. Para tm árbol dado, siempre puede encontrarse tma transformación lineal entre los voltajes de nodos y los voltajes de ramas. Por lo tanto, pueden plantearse (v - 1) ecuaciones LCK en nodos.

FJemplo 3. S Fn la Figura 3.14 se eligió el vértice D como referencia. Se han identificado los voltajes de nodos: VA, va v e. con las polaridades indicadas.

D Plgura 3.14. Voltajes de nodos y de ramas.

Entonces los voltajes en los elementos pueden expresarse en función de los voltajes de nodo a tierra. Se ilustran dos ejemplos, para los elementos 1 y 4. V4

=

VA c =VA -

Ve

V¡

= VAB =VA -

Vs

96

Redes eléctricas

Para el árbol {1, 2, 3}, la siguiente transformación lineal representa los voltajes en las ramas en ftmción de los voltajes de nodos: (3.9)

3. 7.

RESUMEN En una red de e elementos y v vértices se tienen 2e incógnitas: e voltajes y e corrientes. Se dispone de:

e ecuaciones de equilibrio, (v - 1) ecuaciones LCK linealmente independientes, (e - v + 1) ecuaciones LVK linealmente independientes. En total (2e) ecuaciones para (2e) incógnitas; lo cual permite conocer los valores de las variables de la red, resolviendo el sistema de ecuaciones.

3.8.

MATRICES DE INCIDENCIA Las ecuaciones debidas a la interconexión de componentes pueden plantearse en forma matricial. Esto permitirá aplicar conceptos del álgebra de matrices a las ecuaciones de Kirchhoff.

3.8. 1. Matriz Q de incidencia de los elementos en los conjuntos de corte fundamentales Se define la matriz Q de incidencia de los elementos en los conjlDltos de corte fundamentales como una matriz de r renglones y e columnas, donde res el número de ramas y e es el número de elementos. Cada rama define un conjunto de corte ftmdamental. El valor de la componente qy es: Cero si el elemento j no está presente en el conjunto de corte i; + 1 si la dirección del elemento orientado j tiene igual orientación, relativa a la superficie que define el conjlDlto de corte, que la de la rama; y - 1 si la dirección es opuesta a la dirección de la rama. Cucrdaj

+ Ramai

Cuerda k F'lgura 3 .15. Sgnos de q11

Ecuaciones de interconexión. Leyes de Kirchhoff

97

Con esta definición el elemento asociado a la rama que está presente en el conjunto siempre tendrá valor + l. Fntonces tenemos que las ecuaciones linealmente independientes de corrientes LCK pueden plantearse según: [Q]1] = O]

(3.10)

Si además ordenamos los elementos de tal manera que primero estén las ramas y luego las ruerdas, y los renglones los ordenamos según el orden de las ramas, se tendrá que la submatriz de Qformada por las columnas que son ramas será unitaria, sea Ur Se denomina Qc a la submatriz de Q formada por las columnas que son cuerdas. El hecho de que Qr sea unitaria asegura que el rango de Q es r, el número de ramas. Las submatrices de Q pueden definirse según:

[UrQc]1] = O]

(3.11)

Considerando el orden con que fueron definidos los elementos puede plantearse un vector de cxmientes de ramas ir], formado por los renglones de 1] que son ramas; y también el vector icl furmado por las corrientes de cuerdas.

1]

= ir] .

(3.12)

le

Expresando en términos de las submatrices, reemplazando (3.12) en (3.11) y efectuando la multiplicación, se tendrá entonces que se cumple:

[ U,ir + Qcicl

= O]

(3.13)

Despejando las corrientes de ramas, en fimción de las corrientes de cuerdas, se tiene una furma alternativa para describir las ecuaciones LCK:

ir] =

- [QJiJ

(3.14)

que muestra que las corrientes de ramas son una combinación lineal de las corrientes de cuer-

das; la relación también destaca que las coITientes de cuerdas constituyen un conjunto de varia-

bles independientes.

FJemplo 3.6 Para el grafo de la Figura 3.16, se ha escogido el árbol formado por las ramas {1, 2, 3}. Se han identificado los conjuntos de corte fundamentales 1, 2 y 3, asociados a las ramas 1, 2 y 3. Para los conjuntos de corte se tiene que:

ccfi está formado por la rama 1 y las cuerdas 4 y 6: {1, 4, 6} ccfz está formado por: {!, 4, 5, 6} ccfs está formado por: {3, 4, 5} Fntonces, para plantear la matriz de incidencias Q, escogeremos el orden de los renglones, según {ccÍ¡, ccJ;,, ccf3}. El orden de las columnas lo elegiremos según {l, 2, 3, 4, 5, 6}, donde hemos colocado primero las ramas.

98

Redes eléctricas

ccJ2

D Figura 3 .18.

Incidencia de elementos en ccf.

Con ello podemos escribir la matriz Q. Í¡

[~

o o 1 o o 1

1 1 -1

o -1 1

i2

i]

Í3

i4 is i6

~m

(3.15)

En el renglón 1 correspondiente a ccfi, se obtiene en forma numérica: (4.68) que es la ecuación de una recta. Podemos dibujarla mediante dos puntos. El primer punto, en saturación, puede calcularse, ya que de (4.62) se conoce que el mínimo valor de V0 es 0,2, con el transistor saturado. Reemplazando este valor en la ecuación anterior, resulta: 0,2

Vis = -

+ 19 25

~

- O, 77

(4.69)

El segundo punto, en corte, puede determinarse, ya que se conoce que el máximo valor de

V0 es Vcc ruando el transistor está en corte. Para este caso, resulta: V.1c =

-

10

+ 19 25

=

-1 16 '

(4.70)

Gráficamente:

--r

Vcc

_ _...¡......_ _ _

- 1,16

Vc&a1

V¡

--0,77

Figura 4. ZS. Característica de transferencia.

Con: (4.71) Empleando (4.71) en (4.67), se obtiene:

vcE = Vcc - R:iic

(4.72)

que permite calcular la corriente de colector en corte y saturación:

ice= O ics =

10 - 0,2

1

(4.73)

= 9,8

[mA]

1 SS

Métodos generales de análisis de redes

~emplo

4.11

Se tiene la red de la Figura 4.26, con dos transistores, los cuales se dice que están conectados como un espejo de corrientes (Figura 4.26):

Flgun 4.28. E.spE3o de corriente.

Se obtiene la red equivalente de la Figura 4.27, suponiendo modo de operación lineal.

Vcc 0,7

Flgun 4.17.

Red equivalente de la Figura 4.26.

Por LVK, resulta que:

VBE, = VBEZ

(4.74)

Considérese la característica no lineal base-emisor del transistor en la Figura 4.28.

Flgun 4.18. Característica exponencial en la base.

Si los transistores son iguales, puede concluirse que:

Is,= !Bi

(4.75)

156

Redes eléctricas

Aplicando LCK, se obtiene:

l¡

= hrelB + (JB, + 18) = (hre + 2)ls,,

(4.76)

1

Con hre >> 2, se obtiene de (4.76) que: (4.77) Por esta razón se denomina espejo de corriente a la red de la Figura 4.26. Aplicando L VK, se logra: (4.78)

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 4. 1 Para la red de la Figura P4. 1, emplear la identificación para las variables según el diagrama de

la derecha, de tal forma que el producto de las variables asociadas a un elemento sea la potencia que ingresa a esa componente. 4

1 2 l

6

)

s 3

-

Figura P4. 1.

a) Determinar las ecuaciones de interconexión aplicando el método mixto. b) Introducir las ecuaciones de equilibrio aplicando el método de las variables de estado. e) Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Solución: a) Para árbol = {1, 2, 3} se expresan los voltajes de cuerdas en función de los voltajes de ramas, y las corrientes de ramas en función de las corrientes de cuerdas: (1), (2), (3)

V4 = V¡+ V2,

(4), (5), (6)

i1 =

- i4 + i6,

Vs

= V2

i2 =

- V3,

v6

- 4 - is + i6>

=

-v¡ - Vi+ V3

i3 = is - i6

De estas seis ecuaciones, no consideramos las dos que permiten determinar el voltaje en la fuente de corriente (2) y la que determina la corriente a través de la fuente de tensión (4). b)

&:uaciones de equilibrio: &:uaciones de restricción: V¡ =

-e,

Métodos generales de análisis de redes

157

Voltajes de cuerdas en función corrientes de cuerdas:

Corrientes de ramas en función de voltajes de ramas:

Reemplazando estas ecuaciones en (1), (3), (5) y (6), resultan respectivamente:

R44

=

-e+ v2

= e - v2 + V3 DCv2 = -i4 - ki4 + i6

DL~

V3

R:i = ~

f O se tiene: V=

Ei

dv dEi i = e dt =e dt = o

(7.42)

Si intentamos resolver la ecuación diferencial de la red, con instante inicial en t = O- , tendremos para t ~ O:

v(O-) = E¡ V =

Ei

(7.43)

di i=Cdt Se presenta una discontinuidad finita en la función voltaje, lo cual implica que la derivada de éste no puede determinarse. Sin embargo, es usual emplear entidades matemáticas conocidas como distribuciones, para las cuales están definidas las derivadas. Para la forma de onda de la Figura 7.18, puede expresarse su derivada mediante la distribución delta de Dirac.

dv dt = (Ei - E¡) ·ó(t)

(7.44)

Si consideramos el cambio de carga en el condensador como:

llq = CEi - CE¡[C]

(7.45)

Redes dinámicas

Z37

reemplazando (7.44) y (7.45) en (7.43), se obtiene la forma de onda de la corriente: (7.46) ruya gráfica se ilustra en la Figura 7.19.

tiq ó(t)

Figura 7 .11. Impulso de carga.

La fuente suministra el impulso de carga, que en forma instantánea cambia el voltaje del condensador de E. a Ei,. Esto implica una corriente infinita en un tiempo cero. La conservación de la carga implica que el aumento de carga en el condensador es debido a una disminución de la carga en la fuente de tensión. Si por consideraciones físicas no se acepta una discontinuidad en la carga de un condensador, no será posible considerar cambios instantáneos del valor del voltaje y de la carga.

7.1.9. Carga lineal. Generador de barrido Consideremos la red de la Figura 7.20, la cual muestra un generador de corriente alimentando tm condensador.

j

Figura 7 .ZO. Generador de barrido.

Formulando las ecuaciones para la red, se obtiene: i =j i =

Fntonces, con j

c -dvdt

(7.47)

= 1 = constante y con v(O) = O, se tiene: (7.48)

Z38

Redes eléctricas

Es decir, una tensión directamente proporcional al tiempo. Este tipo de señales se aplica a los dispositivos que deflectan horizontalmente el haz electrónico o el barrido de un osciloscopio. Cambiando o 1 se cambia la base de tiempo, es decir, cuántas divisiones horizontales de Ja escala del osciloscopio representan un determinado tiempo.

e

7.1.10. Carga por gotas Si el generador de corriente envía pulsos hacia el condensador, según la Figura 7.21, con v(O) = O, se tendrá que el voltaje en el condensador puede describirse por: (7.49)

En los intervalos en que j es cero, no aumenta el voltaje. En los intervalos que j es constante, el voltaje aumenta linealmente, según se vio en (7.48). La Figura 7.22 muestra la forma de onda del voltaje en el condensador. j

Plgun 7.21 . Pulsos de corriente.

Se observa que con valores pequeños de !, durante también pequeños intervalos de tiempo, puede lograrse inyectar cargas elevadas en el condensador. V

21r11c -

IT1IC -

-----r --------y----- : ------¡

:

T1

T

i

Plgura 7 .22. Carga por gotas.

7. 1. 11. Red RL Las redes RL ocurren menos frecuentemente en electrónica y más frecuentemente en electricidad.

Redes dinámicas

Z39

{/

R

i(t)

L

b Figura 7 .23.

Red RLserie.

Para el circuito serie RL de la Figura 7.23, se pueden plantear las ecuaciones de la red: Aplicando LVK y las ecuaciones de equilibrio, se obtiene:

di E=Ri+Ldt

(7.50)

Arreglando (7.50) se tiene el modelo de red de primer orden, visto en (7.1).

di 1 E dt + L/Ri=-¡

(7.51)

Se reconoce en (7.51) la constante de tiempo:

L

T= R[seg]

(7.52)

Para resolver en forma única la Ecuación (7.50) es preciso conocer la condición inicial: .(O). Para t » 4 T, la parte estacionaria o continua de la corriente resulta: .( oo)

= iF = constante

(7.53)

Entonces, después de la parte transiente, se tendrá corriente constante; entonces el voltaje en el inductor será cero. Entonces, de (7.51) se obtiene que: (7.54) Las constantes anteriores permiten resolver la ecuación diferencial (7.51), cuya solución general es: .([) = (i(O) - i(oo))e- tfT + .(oo) (7.55) El cálculo de iF puede realizarse reemplazando el inductor por un cortocircuito en la Figura 7.23. Para la red RL en paralelo que se muestra en la Figura 7.24, con J constante, aplicando las ecuaciones de la red, se obtiene la ecuación diferencial que la representa.

di

1

RJ

dt + L/Ri= L

Si deseamos emplear (7.16) para obtener la solución, sólo es preciso conocer i(oo).

(7.56)

Z40

Redes eléctricas

l a

R

v,

i(t)

L

b Plgun 7.24.

Red RL

paralelo.

Para el cálculo de .( oo) se considera que v L es cero. Por lo tanto, por LVK, v R también es cero; y también la corriente en la resistencia, debido a la ecuación de equilibrio de ésta. Resulta para este caso, aplicando LCK., que: .(oo)

=J

(7.57)

7. 1. 12. Excitación sinusoidal Se desea resolver una ecuación diferencial de primer orden, cuando la excitación es sinusoidal. dr

1

- +- r = e dt T

(7.58)

Se conoce que: !(O) = R e(.f) = Ecos(wt + y)

(7.59)

donde E, w y y son conocidos. La solución homogénea sigue siendo: r,/..l)

= ke-tfT

(7.60)

Resulta laborioso, en este caso, obtener la solución particular. Pero si se supone que ésta tiene la forma: r¡f.l) = Rpcos(wpf + /'p)

(7.61)

reemplazando (7.61) en la ecuación diferencial (7.58), se obtiene: (7.62) Para que sea solución, debe cumplirse que ambos miembros deben ser iguales; para esto, debido a las propiedades de las funciones trigonométricas, debe cumplirse que: (7.63) Con esta igualdad, pueden calcularse Rp y l'p en función de los datos. Si se suman los sinuooidales del lado izquierdo y se igualan la amplitud y la fase de ambos miembros, se tendrán dos ecuaciones para calcular Rp y yP'

Redes dinámicas

Z41

La solución general se logra sumando (7.60) y (7.61): r(f) = ke- tfT + Rpcos(wt+ Yp)

(7.64)

Con la condición inicial, puede calcularse k. Nótese que la parte estacionaria es ahora sinusoidal. En el Capítulo 8, sobre excitaciones sinusoidales, se desarrollan métodos eficientes para calcular la parte estacionaria de la respuesta.

7.2.

REDES DE SEGUNDO ORDEN 7.2.1. Red con dos condensadores Estudiemos la red de la Figura 7.25.

e

1"· Red de segundo orden.

F'lgura 7.ZS.

Por LVK se tienen: v R, = e - v 1

(7.65)

VR2 = V¡ - V2

Las ecuaciones de equilibrio de las resistencias más LCK: VR,

= R¡(í¡ + i2)

(7.66)

VR2 = R.;_·Li

Las ecuaciones dinámicas de equilibrio de los condensadores:

(7.67)

Eliminando en (7.65) los voltajes en las resistencias (7.66) y luego las corrientes (7.67), se obtiene: R1 C1

dv¡

dv2

-¡j¡ + R1 C,, -¡j¡ = e -

v1

(7.68) Ri_C2

dv2

-¡j¡ =

V¡ - V2

Z4Z

Redes eléctricas

Si se elimina la derivada de v2 de la primera ecuación de (7.68) empleando la segunda, se obtienen las ecuaciones de estado:

(7.69)

Relaciones que constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para es-

te modelo existen eficientes métodos de solución. Si se reemplaza v1 de la segunda ecuación de (7.69) en la primera, se obtiene:

d2v2 d.12 R1R,,C1C,, df + (R1C1 + R1C2 + R,,C~-¡¡¡ + v2 =e

(7.70)

la cual es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de coeficientes constantes de segundo orden. Para resolverla se requieren dos condiciones iniciales, los valores de: (7.71)

De las ecuaciones de estado en (7.69), se puede calcular: dv2(0)

1

----¡¡¡--- = R,,C,, (v 1(0) -

v2 (0))

(7.72)

que permite determinar la derivada de v2 , en términos de v1(0) y v2 (0). Estos dos últimos valores permiten conocer la energía inicial almacenada en la red. La solución homogénea tendrá la forma: Con s solución de:

v2 ,/..{) = k1rfi 1 +

Jcirf21

Como existen dos soluciones, se considera como solución una combinación lineal de ellas. Esto implica la aparición de las dos constantes k1 y k2, lo cual justifica que se requieran dos oondiciones iniciales para determinarlas en forma única. La solución particular para e(() = E se obtiene con:

La solución de este tipo de ecuaciones se ve con más detalle en un curso de sistemas lineales o de ecuaciones diferenciales.

7.2.2. Red LC Consideramos la red de la Figura 7.26. Aplicando L VK, se obtiene:

e= V¿+

V

(7.73)

Redes dinámicas

Z43

V

a

e

i(t)

e

l

b Figura 7 .28. Oscilador LC.

Las ecuaciones de equilibrio:

(7.74)

Eliminando

vL

y luego i, reemplazando (7.74) en (7.73), se obtiene:

d2v 1 e df + LCV = LC

(7.75)

Para resolverla deben conocerse las siguientes condiciones iniciales, que reflejan las energías almacenadas en la red de la Figura 7.26:

= Vo i(O) = 10

v(O)

(7.76)

F.cuación diferencial, cuya solución homogénea es:

d2v11 1 df + LCv11 =0

(7.77)

Si se supone que la solución homogénea es: (7.78) reemplazando (7.78) en la F.cuación (7.77) se debe cumplir, para que sea solución, que:

(-wi+ c) =o 1 L

·v11

(7.79)

Como v 11 no es cero, salvo como solución trivial, se debe cumplir: 2

1

w11 = LC

(7.80)

que comprueba que la solución es sinusoidal, corroborando la elección realizada en (7.78). La solución es estrictamente sinusoidal, ya que se supone que las componentes dinámicas no tienen pérdidas.

Z44

Redes eléctricas

Las condiciones iniciales en (7.76) deben cumplir (7.78) y además la ecuación de equilibrio del condensador: (7.81)

Si la red tiene excitación cero, sólo se tendrá respuesta homogénea, y se pueden calcular Vh y Yh de las Ecuaciones (7.81). Si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene: (7.82) Si se dividen se obtiene:

yh = arctg ( Vo

~~ ~

(7.83)

Conocido el voltaje v, puede determinarse i mediante (7.74). Y con éstas, se pueden determinar las formas de ondas de las energías almacenadas en el condensador e inductor. Puede comprobarse que el intercambio de energías es oscilatorio. Esta situación puede compararse con el sistema mecánico de una masa y un resorte. Cuando la excitación es cero, el sistema descrito por (7.75) se denomina ........... .........,. Si se aplica una excitación sinusoidal: (7.84) y si se asume una solución particular del tipo:

Vp

=

~sen(w/ + O se tiene: Con respecto al voltaje en el condensador, R4 es redundante paralelo con ei. Si se abre R4 , se tendrá que ei es redundante serie con}¡, por lo cual puede eliminarse ei. Se tiene la siguiente red y su equivalente Thévenin para t > O:

b)

R2

A

R3

e,

E

+

e

A

¡,

Rr

+

er

e

B

e

1' B

R, j¡

F'lgura P7.3 .

La solución para t > O, en la red a la derecha en la Figura P7.3, es:

v(f)

= (v(O)

- er)e RrC + er

(2)

Para el cálculo de la red pasiva Thévenin, a partir de la Figura P7.3, se tiene: A

¡,

R3

E

R2

B

F'lgura P7.4 .

e R,

Redes dinámicas

Z51

Se obtiene: (3) Para el cálculo de la fuente Thévenin se tiene:

e,

I.,

+

E

+ i 1R1

B Figura P7.S.

LVK en circuito AEBA:

er= e1 + R.;i

(4)

F.cuación de malla: (5) Resulta:

er=

R.;}1 + (R1 + Ri)e1

R1

R1

(6)

+ Ri + R 3

Reemplazando (6) y (3) en (2) se obtiene lo pedido.

Problema Z3 Para la red de la Figura P7.6, con e({) de valor constante E: t=O

¡.,

e

Figura P7.8 .

Suponiendo que el interruptor se ha mantenido cerrado mucho tiempo, determinar el voltaje en el condensador y la corriente en el inductor, en el instante t = O.

Solución: Como la excitación es constante, las soluciones estacionarias de v1({) e i 2 (f) serán constantes para t < O. Esto se demuestra a continuación.

ZSZ

Redes eléctricas

Si se determinan las ecuaciones de estado para la red, se obtiene:

dv¡(f) dt dii,( l)

dt

=

e(() - V¡({) - R1h.(f)

V¡ ( l) - Rih.( l) L

= -----

Eliminando la corriente se obtiene una ecuación de segundo grado para el voltaje en el condensador:

La solución particular para e(() = E se obtiene con:

que puede ser verificada reemplazándola en la anterior. La solución homogénea tendrá la forma:

= k¡tfi 1 + k2e911

V¡J/..{) con s solución de:

R1CLS + (L + R1 RiC)s + (R1 + Ri_)

=O

Las soluciones serán algunas de las formas analizadas en el Problema P7.1, con lo cual podemos garantizar que las soluciones homogéneas tenderán a cero, y las particulares serán constlntes. Las raíces están dadas por:

-(L + R1 Ri,C) 51 2 '

± j(R1Ri,C)2 + L2

=

-

2R1L0..Rz. + 2R1)

2R¡CL

las cuales serán reales negativas o complejas conjugadas con a menor que cero. Según lo anterior, y con las ecuaciones de equilibrio del condensador y el inductor, se deduce que la corriente en el condensador será cero y que el voltaje en el inductor será cero. Si reemplazamos el condensador por un circuito abierto y el inductor por un cortocircuito, tendremos la red de la Figura P7.7 para t ~ = O: t =O

¡

~>-r----'\ R1 i¡

=o

C1

Figura P7. 7.

í2

¡.,-o

Redes dinámicas

ZS3

En esta red podemos calcular la corriente i 2 según:

E i2(fJ

= (R1 + Ri)

El voltaje v1 se calcula con un divisor de tensión según: V¡(t) = (R1

RiE + Ri)

Estos valores son las soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales para la corriente en el inductor y el voltaje en el condensador. Son los valores iniciales en t = O.

EJERCICIOS PROPUESTOS ~ercicio

Z1

Para la ecuación diferencial no homogénea o forzada de segundo orden con coeficientes constantes, se tiene:

Verificar que para los siguientes casos de excitación o función forzante se tienen las siguientes soluciones particulares. Excitación: e(.f)

k

K

kt

K1t+ K2

kt2

K1t2 + K2 t + K3

ksen (wt)

K1 sen (wt) + K2 cos (wt) Ke-at

ke-at ~ercicio

Solución particular: r /_ t)

ZZ

Para la red de la Figura E7.1, determinar la corriente en el inductor en t = O; luego determinar Vz( t) para t > O. t =O i1

e

R1

i2

1·,

F'lgun 17.1.

L2

1"'

ZS4

Redes eléctricas

~ercicio

7. 3

Para la red de la Figura E7.2, determinar el voltaje en el condensador en t = O; luego determinar v2 (t) para t >O.

¡ v,

e

flgun E7.Z.

~ercicio

7. 4

Para la red de la Figura E7.3, determinar v2 (t) para t >O, con v2 (0) = O y JIJ) = ke-atu(l).

¡v, flgun E7.3.

1

Analizar la solución si a = Ri e· ~ercicio

7. S

Para la red de la Figura E7.4, se tiene: v1(0) = 5, C1 = 2,

v2( [) para t > O.

flgun E7.4.

Ci = 4, R1 = 3, Ri = 5. Determinar

Redes dinámicas

~ercicio

ZSS

7. 6

Para la red de la Figura E7.5, con R¡ nar i,_(O), y luego calcular i,,(f).

= 1, R.,, = 2, L = 3,J//J = 2tiJ) y e,,(f.) = 511(_{), determi-

l'lgura E7.S.

CAPÍTULO

Análisis sinusoidal 8. 1. Redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario 8.2. Propiedades de las señales sinusoidales 8.2. 1. Derivada 8.2.2. Integral 8.2.3. Suma de sinusoidales 8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo 8.3. Transformación fasorial 8.3. 1. Definición 8.3.2. Teoremas 8.4. Representación gráfica de fasores 8.4. 1. Definición de fasor 8.4.2. Representación del fasor en t = O 8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante 8.4.4. Fasor de coseno 8.4.S. Fasor de coseno más un ángulo 8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo 8.S. Procedimiento gráfico 8.S.1 Transformadas basadas en la parte real 8.S.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria 8.S.3. Referencia coseno arbitraria 8.6 . Impedancia y admitancia comphajas 8.6 . 1. Definiciones 8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales 8.7. Diagramas para redes sometidas a excitaciones sinusoidales 8.7. 1. Símbolos 8.7.2. Leyes de interconexión 8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas 8.8. Potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales 8.8. 1. Análisis en el dornirnio del tiempo 8.8.2. Análisis en el plano compllajo 8.9. Planos compllajos de admitancia e impedancia 8.9.1. Ejemplo 8.9.2. Definiciones 8.1O. Factor de potencia inductivo y capacitivo 8. 11. Teorema de máxima potencia de transferencia 8. 12. Diagramas fasoriales 8. 12.1. Introducción 8.12.2. Reglas elementales para la construcx:ión gráfica 8. 12.3. Ejemplos 8. 13. Lugares geométricos. Diagramas circulares 8. f3.1. lntroducción 8.13.2. Transformaciones 8.13.3. Aplicaciones Problemas resueltos fdercicios propuestos

Z58

8. 1.

Redes eléctricas

REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO Se desea desarrollar métodos eficientes para analizar redes sometidas a excitaciones sinusoidales. Nos interesará determinar la solución de la red que solamente depende de las excitaciones sinusoidales. Supongamos que en cierto instante t(p instante de referencia, conectamos las excitaciones a la red; la solución contendrá una parte que dependerá del estado inicial, es decir, de las condiciones iniciales, y otra parte que dependerá de las excitaciones sinusoidales. Después de un lapso de tiempo, todas las variables de la red serán sinusoidales; esto se justificará en 8.2. Esto sucederá cuando los términos que componen la parte transitoria de la respuesta, puedan considerarse que son iguales a cero, dependiendo de la exactitud con que se desee realizar los cálculos. Cuando todas las variables de la red, que forman el conjunto de la solución, se han estacionado en señales estrictamente sinusoidales, diremos que la red se encuentra en _.., ~

..mo.

La importancia del estudio de métodos adecuados para tratar redes en régimen sinusoidal se justifica por los siguientes hechos: La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica se efectúa mediante señales sinusoidales. Las señales con formas de ondas complejas pueden ser representadas por sumas de señales sinusoidales, mediante desarrollos en series de Fourier. Además, si el sistema es lineal, se podrá ~licar superposición, con lo cual podremos determinar la respuesta para cualquier excitación periódica si conocemos la respuesta a una excitación sinusoidal. En la especialidad de electrónica se presentan a menudo señales con formas de ondas complejas. Ejemplos típicos son las señales de audio y vídeo empleadas en la transmisión de información. En este curso estudiaremos redes sometidas a excitaciones M•ww 1bl 1 fgal fnnwnda ....... Esta restricción no restará generalidad a los métodos que desarrollaremos, ya que, mediante la aplicación del teorema de superposición, siempre se podrá descomponer el problema en redes que solamente estén sometidas a sinusoidales de igual frecuencia angular.

e

F;jemplo B. 1 En la Figura 8.1 se muestra una red con dos excitaciones de frecuencias angulares diferentes, y se desea calcular como respuesta el voltaje v. u 1 = A 1 cos (w 1t)

+

Red lineal e invariante

Figura 8 .1.

Red con dos excitaciones.

Análisis sinusoidal

zsg

El estudio se puede efectuar analizando por separado las redes que se muestran en las Figu-

ras 8.2 y 8.3. Vi =

A 1 COS (w 1t)

+

Red lineal e invariante

Plgura 8.Z.

Red lineal e invariante

Red con excit.ación uno igual a cero.

Plgura 8 .3.

~ con

excitación dos igual a cero.

Cada una de estas redes está sometida a una excitación sinusoidal solamente, y cada una de ellas podrá ser analizada por los métodos especiales que serán desarrollados en este capítulo. Luego de obtenidas las respuestas individuales, la respuesta total, debido a la propiedad de superposición, será: (8.1) v = v;o + l'2o

8.2.

PROPIEDADES DE LAS SEÑALES SINUSOIDALES Denominamos señal sinusoidal a una que tenga uno de los dos siguientes modelos matemáticos.

f(f) f(f)

= F eos (wt +