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• Romel Quijada Uribarri

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MECANICA DE SUELOS TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES MATEMATICOS. 1.2 SOLUCION MATEMATICA DE FORCHEIMER Y SOLUCION GRAFICA DECASAGRANDE. 1.3 TRAZO DE RED DE FLUJO, CALCULO DEL GASTO, GRADIENTE,SUBPRESIONES, ESTABILIDAD, GRADIENTES CRITICOS Y FUERZA DEFILTRACIÓN.

1. TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO Entendiendo una red de flujo como un grafo dirigido, donde la fuente es quienproduce o inicia el traspaso de algún material o producto por los arcos, estos últimos, vistoscomo caminos o conductos y tomando en cuenta la ley de corrientes de Kirchhoff, donde, lasuma de flujos entrantes a un vértice debe ser igual a la suma de flujos saliendo del vértice. Línea de Corriente: También llamada Línea de flujo es la trayectoria seguida por laspartículas de agua al fluir a través del suelo. Línea Equipotencial: Es aquella que une puntos en donde se tiene el mismo potencialhidráulico o carga hidráulica. Tubo de Corriente: Es el espacio comprendido entre líneas de corriente vecinas. Red de Flujo: Es el conjunto de líneas de corriente y de líneas equipotenciales. Celda de Flujo: Es el espacio comprendido entre dos líneas equipotenciales vecinas y doslíneas de corriente vecinas.

Una vez encontrada la ecuación diferencial, lo que sigue es integrarla y para elloexisten diferentes caminos, uno de ellos es emplear métodos numéricos que finalmentepermitan la generación de programas de cómputo para casos especiales, otro método es elgráfico mediante el trazo de redes de flujo.Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando lascondiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la soluciónúnica del problema; esta aproximación, si el dibujo se ha realizado con cuidado, es losuficientemente buena para los fines ingenieriles y da soluciones del problema ventajosasrespecto a las que se obtienes por los métodos matemáticos rigurosos, algo más precisosquizá, pero mucho más complicados.

1.1CONCEPTOS FUNDAMENTALES MATEMATICOS Descripción matemática: Una red de flujo es un grafo dirigido G = (V,E) en donde cadaarco (u,v) E tiene una capacidad no negativa c(u,v) = 0. Se distinguen dos vértices: la fuente s y el destino t. Se supone que cada vértice se encuentra en alguna ruta de s a t. Un flujo en G es una función tal que Restricción de capacidad: Simetría: Conservación: El problema del flujo máximo trata de maximizar este flujo.

PROBLEMAS DE REDES DE FLUJO. Algoritmo de flujo máximo Tenemos el conocido problema de flujo máximo omaximal: ¿cuál es la tasa mayor a la cual el material puede ser transportado de la fuente alsumidero sin violar ninguna restricción de capacidad? En otras palabras, el problema consiste en determinar la máxima capacidad de flujoque puede ingresar a través de la fuente y salir por el nodo de destino. El procedimiento para obtener el flujo máximo de una red, consiste en seleccionarrepetidas veces cualquier trayectoria de la fuente al destino y asignar el flujo máximoposible en esa trayectoria. Capacidad residual: es la capacidad adicional de flujo que un arco puede llevar. Se puede considerar un grafo como una red de flujo. Donde un nodo fuente produceo introduce en la red cierta cantidad de algún tipo de material, y un nodo sumidero loconsume. Cada arco, por tanto, puede considerarse como un conducto que tiene ciertacapacidad de flujo. De igual modo que en redes eléctricas (Ley de Kirchhoff), la suma deflujos entrantes a un nodo, debe ser igual a la suma de los salientes (principio deconservación de energía), excepto para el nodo fuente y el nodo sumidero. Por tanto, elproblema de flujo máximo se enuncia como: ¿cuál es la tasa a la cual se puede transportarel material desde el nodo fuente al nodo sumidero, sin violar las restricciones decapacidad?. Este algoritmo se puede usar para resolver modelos de: transporte demercancías (logística de aprovisionamiento y distribución), flujo de gases y líquidos portuberías, componentes o piezas en líneas de montaje, corriente en redes eléctricas,

paquetesde información en redes de comunicaciones, tráfico ferroviario, sistema de regadíos, etc.Una red de flujo es un grafo dirigido G=(V,E) donde cada arco (u,v) perteneciente a E tieneuna capacidad no negativa. Se distinguen dos nodos: la fuente o nodo s, y el sumidero onodo t. Si existen múltiples fuentes y sumideros, el problema se puede simplificarañadiendo una fuente común y un sumidero común. Este algoritmo depende de tres conceptos principales: Un camino de aumento, es una trayectoria desde el nodo fuente s alnodo sumidero t que puede conducir más flujo. La capacidad residual es la capacidadadicional de flujo que un arco puede llevar cf (u,v) = c(u,v) - f(u,v) Teorema de Ford-Fulkerson (1962): En cualquier red, el flujo máximo que fluye de la fuente al destino esigual a la capacidad del corte mínimo que separa a la fuente del destino. El algoritmo es iterativo, se comienza con f(u,v)=0 para cada par de nodos y en cadaiteración se incrementa el valor del flujo buscando un camino de aumento. El proceso serepite hasta no encontrar un camino de aumento. A continuación se muestra elpseudocódigo del Algoritmo: Ford-Fulkerson (G,s,t) para cada arco (u,v) de E f(u,v) = 0f(v,u) = 0 mientras exista un camino p desde s a t en la red residual Gf cf (p) = min {cf (u,v) : (u,v)está sobre p} para cada arco (u,v) en p f(u,v) = f(u,v) + cf (p) f(u,v) = -f(u,v) Una variación del algoritmo de Ford-Fulkerson es el algoritmo de Edmonds-Karp(J. Edmonds; R.M. Karp -1972). En éste, el ‘camino de aumento’ es elegido usando una búsqueda por niveles o en anchura (breadth-first search). El algoritmo de Edmonds-arprequiere O(VE2) tiempo de computación, donde V es el número de nodos o vértices, y E elnúmero de arcos del grafo.

1.2SOLUCION MATEMATICA DE FORCHEIMER Y SOLUCION GRAFICA DECASAGRANDE.ECUACION DE FORCHEIMER La ley de Darcy como tal considera que un solo fluido satura 100 % el medioporoso, por lo tanto, el estado estable prevalece. Otra consideración hecha por Darcy es queel flujo es homogéneo y laminar. La ecuación de Forchheimer tiene en cuenta los factoresinerciales que determinan que el flujo no es laminar o no Darcy.

ß es la constante inercial y es obtenida normalmente por medio de correlaciones empíricascomo la de Geertsma:

La correlación de Firoozabadi and Katz:

Estando k en md.

SOLUCION GRAFICA DE CASAGRANDE Casagrande propuso una solución gráfica de la fórmula del seno para calcular elgasto sin el trazo de la red de flujo, descrita brevemente en la siguiente figura.

A partir del punto conocido M puede trazarse una horizontal que define al punto B.Con centro en B y radio MB puede obtenerse el punto C. Es obvio que, de un modoaproximado, la distancia 3C es una buena aproximación al valor del SO. Con diámetro 3C,trácese el semicírculo indicado en la figura. Con centro en 3C y radio 3B se debe trazarahora el arco que define al punto D sobre el semicírculo mencionado; finalmente, un arcode centro en C y radio CD corta el talud de la presa precisamente en el punto 4,proporcionando así la distancia a. Se menciono que el adoptar la pendiente de la línea de corriente superior como el gradiente hidráulico conduce a resultados poco satisfactorios para α≥30°. En cambio, la hipótesis de que el gradiente es constante en una vertical e igual a dy/ds que realizó Casagrande es satisfactoria para valores de α hasta 60° e inclusive arriba de 60°; de hecho,si se aceptan errores de 25%, la hipótesis es aplicable hasta para valores de α de 90°. Ahora bien, el hecho de aceptar la formula como valor de S0 es fuente de errores considerables para valores de α mayores de 60°. Así en resumen, para α