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Aporte trabajo colaborativo: Fase 4 - Aplicar los conocimientos sobre círculo y circunferencia Unidad 3 Por Ederman Luna Hermosilla 73227193

Geometría plana 551121

Tutor CRISTIAN ALFONSO PACHECO

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD CDA Región Caribe Noviembre 2019

INTRODUCCIÓN En la geometría y especialmente en la geometría plana, la circunferencia y el circulo hacen parte de un conjunto donde la primera son todos los sitios de un plano que distan desde un lugar llamado eje, mientras que el segundo (circulo) es el conjunto de puntos de la circunferencia más lo que se encuentran dentro de ella. En esta nueva actividad se buscará afianzar los conocimientos relacionados con temáticas de geometría plana como lo son: la razón, proporción, teorema de Thales, semejanzas de triángulos, circulo, circunferencia, líneas de la circunferencia. En esta actividad vamos a descubrir muchas fórmulas para darle solucion a los diferentes ejercicios planteados, asi también le damos solucion a nuestros problemas de la vida cotidiana buscando diferentes métodos de solucion.

Realizar las siguientes actividades de manera grupal a. ¿Qué se entiende por razón y proporción? Explicar las propiedades de las proporciones. La razón en geometría se puede entender como la relación que tiene dos cantidades y estas a su vez se pueden comparar restándolas o dividiéndolas. Por este motivo hay clases de razones como lo son la razón aritmética (donde se observa la diferencia en dichas cantidades) y razón geométrica (que es el cociente de dos cantidades). Cada uno de los valores de una razón tiene un nombre, el valor que está al lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y el valor que se encuentra al lado derecho se le llama consecuente. La proporción indica la comparación de dos razones mediante una igualdad, para hacerlo, se debe tener en cuenta que los valores antecedentes, siempre estén del mismo lado, al igual que los consecuentes. También se encuentran diferentes tipos de proporciones: Proporción equidiferencia: es la igualdad de dos diferencias o razones aritmética. Es decir, dos razones que son iguales. Proporción equicociente: es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente. Es decir, dos razones que son iguales. Los términos de cada una de las razones de la proporción equidiferencia y de la proporción equicociente reciben los nombres de medios y extremos. Propiedades fundamentales de las proporciones aritméticas:  En toda proporción equidiferencia, un extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo.  En toda proporción equidiferencia, un medio es igual a la suma de los extremos menos el otro medio. Propiedad fundamental de las proporciones geométricas: En toda proporción equicociente, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. b. ¿Qué significa cuarta proporcional, tercera proporcional y media proporcional? Poner un ejemplo de cada significado. El medio proporcional es una proporción que es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. Ejemplo: 𝟑 𝒙

=

𝐱 𝟏𝟐

𝒙𝟐 = 𝟑 ∗12

𝑥=

±√36

=𝑥=6

La tercera proporcionalidad hace referencia a una proporción continua. Se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Este es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el termino desigual. Ejemplo: 𝑥 6 = 6 12 62 x= =𝑥=3 12 La cuarta proporcionalidad es hallar uno de cualquier término de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. Ejemplo: 𝑥 4 = 5 10 x=

4 ∗ 5 20 = =𝑥=2 10 10

c. ¿Qué significa serie de razones iguales? Proponer dos ejemplos. ¿Qué significa Razón de dos segmentos? Proponer dos ejemplos. La serie de razones iguales son simplemente la igualdad de dos o más razones. Otra forma de entenderlo es cuando el cociente entre el numerador y el denominador de una razón es igual al cociente entre el numerador y el denominador de la otra razón. A continuación, dos ejemplos: 𝟏 𝟐 𝟒 𝟔 = = = 𝟐 𝟒 𝟖 𝟏𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝟔 Se denomina razón entre dos segmentos, AB y CD, al cociente entre la longitud del segmento AB y la longitud del segmento CD y se describe 𝐴𝐵̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷̅̅̅̅.̅̅̅̅ A continuación, se muestran dos ejemplos:  La longitud del segmento AB es 2 y de CD es 4, determine la razón entre los dos segmentos

𝐴𝐵 2 = = 0,5 𝐶𝐷 4  Cuál es la razón entre los segmentos de 5 cm y 2 m. 5 200 d. Consultar el antecedente y consecuente en una proporción cualquiera. Proponer dos ejemplos. Como ya sabemos una proporción esta conformadas por dos o más razones. Ahora, cada uno de los valores de una razón tiene un nombre, el valor que está al lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y el valor que se encuentra al lado derecho se le llama consecuente. e. Un número es igual a 275 veces otro número y la razón de estos dos números es de 7:12 (se lee de 7 a 12). Hallar dichos números. 𝟐𝟕𝟓 𝟕 = 𝑿 𝟏𝟐 𝑿 = 𝟐𝟕𝟓 ∗

𝟕 𝟏𝟐

𝑿 = 𝟒𝟕𝟏, 𝟒

f. Encontrar la media proporcional entre 6 y 24. Encontrar la cuarta proporcional entre 3, 5 y 27. - Media proporcional para 6 y 24: 𝟔: 𝑿 = 𝑿: 𝟐𝟒 𝟔 ∗ 𝟐𝟒 = 𝑿 ∗ 𝑿 𝑿 = √𝟏𝟒𝟒 𝑿 = 𝟏𝟐 Por lo tanto, la media proporcional para 6 y 24 es 12. Cuarta proporcional entre 3, 5 y 27: 𝟑: 𝟓 = 𝟐𝟕: 𝑿 𝟓 ∗ 𝟐𝟕 = 𝟑. 𝑿 𝑿 = 𝟏𝟑𝟓

𝑿=

𝟏𝟑𝟓 𝟑

𝑿 = 𝟒𝟓 Por lo tanto, la cuarta proporcional entre 3, 5 y 27 es 45.

g. ¿Para qué se utiliza la razón y la proporción en Geometría? Proponer dos ejemplos. La razón se utiliza para comparar dos cantidades y se mide a partir de la división (de dos valores a/b). la proporción es la igualdad entre dos o más razones. Sea a/b (que corresponden a la razón), entonces a/b =c/d, equivaldrá a una proporción. Ejemplo práctico: En una clase de idiomas, la razón entre chicas y chicos es de 5 para 8. Si el total es de 65 alumnos, ¿cuántas chicas hay en esa clase de idiomas? Rta: Si la razón es dada por la división de dos cantidades, luego 5/13 (5 es el número de chicas y 13 la suma de 5 + 8 de los chicos). Si multiplicáramos el numerador y el denominador por 5 para llegar al número total de alumnos en la clase, tendremos que el número de chicas en la clase es de 25, entonces tendremos: 25/65. Ejemplo práctico: Juan pago 60.000 por dos cuadernos; si tuviese 40.000 hubiera comprado cuatro. ¿Los resultados representan una proporción? 𝟑𝟎 𝟐

= 𝟏𝟓

𝟔𝟎 𝟒

= 𝟏𝟓

h. Consultar el Teorema de Thales y proponer dos ejemplos (En GeoGebra). El teorema de Thales describe a dos rectas que son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Ejemplos:

i. ¿Qué significa que un número sea conmensurable o inconmensurable? Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común. Las líneas rectas son conmensurables en cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común. j. Los lados no paralelos de un trapezoide miden 10 y 15 unidades, respectivamente. Una recta paralela a las bases divide al lado de 10.

k. (En GeoGebra) Dividir proporcionalmente a 3, 5 y 7 un segmento de 15 unidades.

l. ¿Qué se entiende por razón de semejanza en un triángulo? ¿Cuándo se dice que dos triángulos son semejantes? Explicar los casos de semejanzas de triángulos. La semejanza en un triángulo se observa cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes. Razón de un triángulo de semejanza de un triángulo: la razón o cociente constante de las longitudes de los lados homólogos, la razón de la proporción entre los lados de los triángulos. Se dice que 2 triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos son proporcionales. Existen tres casos de semejanza de triángulos: AA (ángulo-ángulo), LLL (lado-lado-lado), LAL (lado-ángulo-lado). -primer caso (AA): dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos correspondientes iguales. -Segundo caso (LLL): dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales. -tercer caso (LAL): dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus lados correspondientes proporcionales y el ángulo correspondiente comprendido entre ellos igual.

m. Explicar los casos de semejanzas de dos triángulos rectángulos. 1)Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3) dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto

n. ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia? Círculo Para la geometría euclídea, un círculo es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo conocido como centro es menor o igual a una cantidad constate denominada radio. Un círculo es, la región del plano que se encuentra delimitada por una circunferencia y que cuenta con un área definida.

Circunferencia La circunferencia es el perímetro del círculo, los puntos que conforman la circunferencia se encuentran a una distancia igual al radio del centro del círculo. Se le considera como una elipse de excentricidad nula o una elipse cuyos semiejes son iguales o se da el caso que los focos coinciden.

Diferencias entre círculo y circunferencia  Un

círculo es un área o superficie plana que se encuentra contenida dentro de una circunferencia.

 Una

circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos se encuentran equidistantes del centro, un punto situado en el mismo plano.  Una

circunferencia es la región del plano que se encuentra delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.

 Un

círculo es una superficie

 Una circunferencia

es una línea curva.

 En

el caso de la cartografía, se emplean indistintamente el término círculo como un sinónimo de circunferencia, por ejemplo: Círculo Polar Ártico.

 La

circunferencia es el perímetro del círculo.

 En

el círculo, los puntos en su interior están a una distancia menor que el radio.

o. Consultar y graficar las definiciones de: círculo; circunferencia; cuerda, arco, radio y diámetro de una circunferencia; secante y tangente de una circunferencia; segmento circular; sector circular; corona circular y trapecio circular.

NOMBRE

Circulo

SIGNIFICADO Para la geometría euclídea, un círculo es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo conocido como centro es menor o igual a una cantidad constate denominada radio.

GRAFICA

Circunferencia

Cuerda

Arco

Radio

Diámetro

La circunferencia es el perímetro del círculo, los puntos que conforman la circunferencia se encuentran a una distancia igual al radio del centro del círculo. Se le considera como una elipse de excentricidad nula o una elipse cuyos semiejes son iguales o se da el caso que los focos coinciden Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro, una cuerda define un arco.

Hace referencia a cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita

Es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral

Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales

Circunferencia de la secante

Tangente de la circunferencia

Segmento circular

sector circular

Es la recta que corta a la circunferencia en dos partes

Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto, es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto.

Es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.

Corona circular

Es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas

Trapecio circular

Es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios

p. ¿Cuánto mide el ángulo central de una cuerda igual al radio del círculo? ¿Cómo se llaman los lados de un ángulo inscrito? ¿Es lo mismo decir semicircunferencia que semicírculo? Un ángulo central es un tipo de ángulo cuyo vértice es el centro O de una circunferencia, y cuyos lados son dos radios correspondientes a dos puntos distintos de la circunferencia A y B. Se dice que el ángulo central es subtendido por un arco entre esos dos puntos. La longitud del arco se corresponde con el producto del ángulo central por el radio. El valor del ángulo central es también conocido como distancia angular del arco. Al definir o dibujar un ángulo central, además de especificar los puntos A y B, debe especificarse si el ángulo que se está definiendo es el ángulo convexo (180°). De forma equivalente, se debe especificar si el movimiento del punto A al punto B es dextrógiro o levógiro. Se llama ángulo inscrito en una circunferencia, a cualquier ángulo cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son secantes a la misma. Se llama ángulo central a cualquier ángulo cuyo vértice sea el centro de la circunferencia. En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo convexo que tiene su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de esta. No es lo mismo decir una semicircunferencia que un semicírculo. Una semicircunferencia es la mitad de una circunferencia, la cual es una línea curva cerrada sin región interior, un semicírculo es la mitad de un círculo, el cual es una figura plana que sí contiene región interior.

q. (En GeoGebra) Trace una circunferencia y luego trace una tangente cualquiera.

r. ¿Cómo se llama el punto común a una circunferencia y a una tangente a dicha circunferencia? La tangente a una curva en un punto P, es una recta que toca a la curva solo en dicho punto llamado “punto de tangencia”.

̅̅̅̅ es tangente a la circunferencia y 𝑂 es el centro de dicha circunferencia. Encontrar el s. Si 𝑨𝑩 ̅̅̅̅ = 𝟑. ̅̅̅̅ = 𝟒 y 𝑨𝑶 radio de la circunferencia si 𝑨𝑩

SOLUCION ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝑨𝑶𝟐 = ̅̅̅̅̅̅ 𝑨𝑩𝟐 + ̅̅̅̅̅̅ 𝑩𝑶𝟐 ; 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑩𝑶 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅𝟐 𝑩𝑶𝟐 = ̅̅̅̅̅̅ 𝑨𝑶𝟐 − 𝑨𝑩 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅𝟐 𝑩𝑶 = √̅̅̅̅ 𝑨𝑶𝟐 − 𝑨𝑩

̅̅̅̅̅ 𝑩𝑶 = √𝟑𝟐 − 𝟒𝟐 ̅̅̅̅̅ 𝑩𝑶 = √𝟗 − 𝟏𝟔

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

̅̅̅̅ = 𝟏𝟐. Encontrar ̅̅̅̅ t. En la figura siguiente. Si el radio de la circunferencia es igual a 8 y 𝑨𝑩 𝑨𝑶. SOLUCION

̅̅̅̅̅̅ 𝑨𝑶𝟐 = ̅̅̅̅̅̅ 𝑨𝑩𝟐 + ̅̅̅̅̅̅ 𝑩𝑶𝟐 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅𝟐 + ̅̅̅̅̅ 𝑨𝑶 = √𝑨𝑩 𝑩𝑶𝟐 ̅̅̅̅ = √𝟏𝟐𝟐 + 𝟖𝟐 𝑨𝑶 ̅̅̅̅ = √𝟏𝟒𝟒 + 𝟔𝟒 𝑨𝑶 ̅̅̅̅ = √𝟐𝟎𝟖 𝑨𝑶 ̅̅̅̅̅ 𝑨𝑶 = 𝟏𝟒, 𝟒𝟐

u. (En GeoGebra) circunferencias.

Trazar

las

posiciones

relativas

de

dos

- Exteriores: Si no tienen ningún punto en común y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

Tangentes exteriores: Tienen un punto en común y la distancia entre sus centros es igual que la suma de sus radios.

-Secantes: Tienen dos puntos en común. La distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios y mayor que su diferencia.

- Tangentes interiores: Tienen un punto en común y la distancia entre sus centros es igual que la diferencia de sus radios.

Interiores: No tienen ningún punto en común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

- Interiores concéntricas: No tienen puntos en común y la distancia entre sus centros es cero (coinciden).

v. Si 𝑟1 = 4𝑐𝑚 y 𝑟2 = 4𝑐𝑚, encontrar la distancia entre los centros de las circunferencias.

Según las posiciones relativas de dos circunferencias, cuando dos circunferencias son tangentes exteriores como se visualiza en la imagen, la suma de sus radios es igual a la distancia de sus centros, lo que quiere decir que: 𝐷 = 𝑟1 + 𝑟2 𝐷 = 4𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 𝐷 = 8𝑐𝑚

Por lo tanto, la distancia entre los centros de las circunferencias es igual a 8 cm. w. (En GeoGebra) Trazar los distintos tipos de ángulos en una circunferencia. Respuesta. Ángulo central: es el Angulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia

Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes.

-Ángulo semi-inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro secante.

Ángulo interior: es el ángulo que tiene su vértice en un punto interior a la circunferencia.

-

Ángulo exterior: es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus lados son secantes.

Ángulo circunscrito: es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus dos lados son tangentes.

x. ¿Cómo descubrirías el número pi? El numero pi según grandes investigadores, se puede localizar en cualquier sitio ya que todo se encuentra relacionado (especialmente la naturaleza). El número Pi (π) es uno de los más importantes y fascinantes de las matemáticas. Aproximadamente 3,14, es una constante que se utiliza para calcular la circunferencia de un círculo a partir del radio o del diámetro. También es un número irracional, lo que significa que se le pueden calcular un número infinito de decimales que ni siquiera tienen un patrón repetitivo. Esto hace que sea difícil, pero no imposible, calcular con precisión el valor de Pi.

CONCLUSIÓN después de realizado el siguiente trabajo podemos decir que la geometría plana abarca un sin números de tema que lo podemos reflejar en nuestra vida cotidiana y en nuestro diario vivir, se conoce toda clase métodos para resolución de problemas, aunque algunos sean de difícil solucion para llegar al objetivo que es manejar en un gran porcentaje de lo aprendido. a mí en particular se me hizo difíciles algunos ejercicios, pero con empeño y utilizando algunas herramientas tecnológicas como es GeoGebra se hizo más fácil la solucion de estos ejercicios.

Bibliografías Figueroa, M. (2001). Geometría y Trigonometría. Editorial Firmas Press. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10360762&ppg=7 Acevedo, V. (1999). Geometría y Trigonometría: matemáticas con aplicaciones 2. Editorial McGraw-Hill Interamericana. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10433814&ppg=4 Scherzer, R. (2010). Matemáticas III: geometría y trigonometría. Editorial Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10365706&ppg=9 https://aprendomatematics.blogspot.com/p/solucion-de-la-actividad-geogebra.html https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/criterios-desemejanza-de-triangulos-rectangulos.html https://www.diferencias.cc/circulo-circunferencia/