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• Juan Pablo Requez

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REACTOR ISOTÉRMICO IRREVERSIBLE El reactor es un reactor mezcla completa agitado (CSTR, continued Stirred-tank Reactor). El componente A reacciona irreversiblemente a una razón específica k para formar el componente B

Asumase que la concentración de los componentes en el flujo de entrada es como se muestra, y que la reacción es de primer orden

Asumimos que el tanque esta perfectamente mezclado y que la temperatura del sistema es constante. Además asumamos que la velocidad de reacción es directamente proporcional a la concentración instantánea dentro del tanque y que no hay gradientes de concentración. Suposiciones • el tanque esta perfectamente mezclado • la temperatura del sistema es constante • el volumen del liquido contenido es constante • La velocidad de reaccion es proporcional a la concentracion instantanea • no hay gradientes de concentracion.

Fo⋅ CAo F ⋅ CA

Flujo de A a la entrada: flujo de A a la salida:

velocidad de formación de A:

V ⋅ CA

Moles de A en el reactor

Fo⋅ CAo − F ⋅ CA − V ⋅ k ⋅ CA =

(

−V ⋅ k ⋅ CA

d V ⋅ CA dt

)

1 ecuacion, 4 incognitas Fo⋅ CBo Flujo de B a la entrada: F ⋅ CB Flujo de B a la salida Velocidad de formacion de B V ⋅ k ⋅ CA moles de B en el reactor V ⋅ CB Fo⋅ CBo − F ⋅ CB + V ⋅ k ⋅ CA =

(

d V ⋅ CB dt

) 2 ecuaciones, 6 incognitas

tomemos como incognitas solo a Ca y a Cb, las otras son variables libres (variables de diseño, variables de control o perturbaciones)

Fo⋅ CAo − F ⋅ CA − V ⋅ k ⋅ CA = V

d dt

CA

linealizando los terminos

(

)

(

Fo⋅ CAo = Fo ( 0) CAo ( 0) + Fo ( 0) CAo ( t ) − CAo ( 0) + CAo ( 0) Fo ( t ) − Fo ( 0)

(

)

)

F ⋅ CA = F ( 0) CA ( 0) + F ( 0) CA ( t ) − CA ( 0) + CA ( 0) ( F ( t ) − F ( 0) )

la ecuacion del estado estacionario Fo ( 0) ⋅ CAo ( 0) − F ( 0) ⋅ CA ( 0) − V ⋅ k ⋅ CA ( 0) = 0

las variables de desviacion seran Γo ( t) = Fo ( t) − Fo ( 0)

DAo ( t ) = CAo ( t ) − CAo ( 0)

Γ ( t ) = F ( t) − F ( 0)

DA ( t ) = CA ( t ) − CA ( 0)

sustituyendo en la ecuacion diferencial Fo ( 0) ⋅ DAo ( t ) + CAo ( 0) ⋅ Γo ( t ) − F ( 0) ⋅ DA ( t ) − CA ( 0) ⋅ Γ ( t ) − V ⋅ k ⋅ DA ( t ) = V

d DA ( t ) dt

de igual manera, para la segunda ecuacion

(

)

(

Fo⋅ CBo = Fo ( 0) CBo ( 0) + Fo ( 0) CBo ( t ) − CBo ( 0) + CBo ( 0) Fo ( t ) − Fo ( 0)

(

)

)

F ⋅ CB = F ( 0) CB ( 0) + F ( 0) CB ( t ) − CB ( 0) + CB ( 0) ( F ( t ) − F ( 0) )

la ecuacion del estado estacionario

Fo ( 0) ⋅ CBo ( 0) − F ( 0) ⋅ CB ( 0) + V ⋅ k ⋅ CA ( 0) = 0

las variables de desviacion seran DBo ( t ) = CBo ( t ) − CBo ( 0) DB ( t ) = CB ( t ) − CB ( 0) Fo⋅ CBo − F ⋅ CB + V ⋅ k ⋅ CA =

(

d V ⋅ CB dt

)

al sustituir se tiene que Fo ( 0) ⋅ DBo ( t ) + CBo ( 0) ⋅ Γo ( t ) − F ( 0) ⋅ DB ( t ) − CB ( 0) ⋅ Γ ( t ) + V ⋅ k ⋅ DA ( t ) = V

d DB ( t ) dt

de la primera ecuacion, despejando se tiene que Fo ( 0) V

⋅ DAo ( t ) +

CAo ( 0) V

CA ( 0) F ( 0) d ⋅ DA ( t ) − ⋅ Γ ( t) − k ⋅ DA ( t) = DA ( t) V V dt

⋅ Γo ( t ) −

al aplicar la transformada de laplace Fo ( 0) V

⋅ DAo ( s) +

CAo ( 0) V

CA ( 0) F ( 0) ⋅ DA ( s) − ⋅ Γ ( s) − k ⋅ DA ( s) = s⋅ DA ( s) V V

⋅ Γo ( s) −

al hacer lo mismo con la segunda ecuacion Fo ( 0) V

⋅ DBo ( s) +

CBo ( 0) V

⋅ Γo ( s) −

CB ( 0) F ( 0) ⋅ DB ( s) − ⋅ Γ ( s) + k ⋅ DA ( s) = s⋅ DB ( s) V V

F o ( 0)

DA ( s) =

llamemos

CAo ( 0)

V

F ( 0) s+k+ V

⋅ DAo ( s) +

V

F ( 0) s+k+ V

1 τ1 = F ( 0) k+ V

CA ( 0)

⋅ Γo ( s) −

K1 =

V

F ( 0) s+k + V

⋅ Γ ( s)

F o ( 0)

CAo ( 0)

V

V

F ( 0) k+ V

K2 =

k+

F ( 0) V

CA ( 0)

K3 =

V

k+

F ( 0) V

K1

DA ( s) =

τ1⋅ s + 1

K2

⋅ DAo ( s) +

τ1⋅ s + 1

⋅ Γo ( s) −

K3

τ1⋅ s + 1

⋅ Γ ( s)

de igual manera, de la segunda ecuacion Fo ( 0) V

CBo ( 0)

⋅ DBo ( s) +

V

⋅ Γo ( s) −

Fo ( 0)

DB ( s) =

V

s+

F ( 0) V

⋅ DBo ( s) +

CB ( 0) F ( 0) ⋅ DB ( s) − ⋅ Γ ( s) + k ⋅ DA ( s) = s⋅ DB ( s) V V

CBo ( 0) V

s+

F ( 0) V

⋅ Γo ( s) −

CB ( 0) V

s+

F ( 0) V

⋅ Γ ( s) +

k ⋅ D ( s) F ( 0) A s+ V

llamemos

F o ( 0)

F ( 0) τ2 = V

K4 =

V F ( 0)

CBo ( 0) V K5 = F ( 0) V

V

DB ( s) =

K4

τ2⋅ s + 1

⋅ DBo ( s) +

CB ( 0) V K6 = F ( 0)

K5

τ2⋅ s + 1

⋅ Γo ( s) −

K6

τ2⋅ s + 1

⋅ Γ ( s) +

V

K7

τ2⋅ s + 1

⋅ DA ( s)

K7 =

k F ( 0) V

el modelo es, entonces, en resumen DA ( s) = DB ( s) =

K1

τ1⋅ s + 1 K4

τ2⋅ s + 1

⋅ DAo ( s) + ⋅ DBo ( s) +

K2

τ1⋅ s + 1 K5

τ2⋅ s + 1

⋅ Γo ( s) − ⋅ Γo ( s) −

K3

τ1⋅ s + 1 K6

τ2⋅ s + 1

⋅ Γ ( s) ⋅ Γ ( s) +

Γo ( t) = Fo ( t) − Fo ( 0)

Γ ( t ) = F ( t) − F ( 0)

DAo ( t ) = CAo ( t ) − CAo ( 0)

DA ( t ) = CA ( t ) − CA ( 0)

DBo ( t ) = CBo ( t ) − CBo ( 0)

DB ( t ) = CB ( t ) − CB ( 0)

1 τ1 = F ( 0) k+ V

K4 =

V F ( 0) V

K1 =

CBo ( 0)

K5 =

V F ( 0) V

τ2⋅ s + 1

⋅ DA ( s)

F o ( 0)

F ( 0) τ2 = V

F o ( 0)

K7

CAo ( 0)

V

k+

F ( 0) V

CB ( 0)

K6 =

V F ( 0) V

K7 =

k F ( 0) V

K2 =

V

k+

F ( 0) V

CA ( 0)

K3 =

V

k+

F ( 0) V

Parámetros: Fo ( t ) := 1

F ( t ) := 1

V := 20

CAo ( t ) := 1

CAi := 1

CBi := 0.2

k := 0.1

tend := 40

CBo ( t ) := 0.5

Dado Fo ( t ) V Fo ( t ) V

⋅ CAo ( t ) −

⋅ CBo ( t ) −

F ( t) d ⋅ CA ( t ) − k ⋅ CA ( t ) = CA ( t ) V dt

CA ( 0) = CAi CB ( 0) = CBi

F ( t) d ⋅ CB ( t ) + k ⋅ CA ( t ) = CB ( t ) V dt

 CA   C     := Odesolve A  , t , tend  CB   CB       

MODELO NO LINEAL

1.5

CA ( t) CB ( t)

1

0.5

0 0

10

20 t

30

40

CAeq := CA ( tend )

CBeq := CB ( tend )

Γo ( t) := Fo ( t) − Fo ( 0) = 0

DAo ( t ) := CAo ( t ) − CAo ( 0) = 0

Γ ( t ) := F ( t) − F ( 0) = 0

DBo ( t ) := CBo ( t ) − CBo ( 0) = 0.0

Dado Fo ( 0) V Fo ( 0) V

⋅ DAo ( t ) + ⋅ DBo ( t ) +

CAo ( 0) V CBo ( 0) V

⋅ Γo ( t ) − ⋅ Γo ( t ) −

F ( 0) V

⋅ DA ( t ) −

CA ( 0) V

⋅ Γ ( t) − k ⋅ DA ( t) =

d DA ( t) dt

CB ( 0) F ( 0) d ⋅ DB ( t ) − ⋅ Γ ( t) + k ⋅ DA ( t) = DB ( t) V V dt

 DA   D     := Odesolve A  , t , tend  DB   DB       

MODELO LINEAL

DA ( 0) = CAi − CAeq

DB ( 0) = CBi − CBeq

1 0.5 DA ( t) DB ( t)

0 − 0.5 −1 0

10

20

30

40

t

Comparación modelo lineal y no lineal 1.2 1 CA ( t) DA ( t) +CAeq CB ( t)

0.8 0.6

DB ( t) +CBeq 0.4 0.2 0 0

10

20 t

30

40

REACTOR NO ISOTÉRMICO IRREVERSIBLE Considérese el reactor con una chaqueta de enfriamiento que puede remover el calor de reacción exotérmico λ (joule/mol de A consumido). Asumimos que λ es negativo para una reacción exotérmica y positivo para una reacción endotermica. La velocidad de generación de calor por unidad de tiempo viene dada por la velocidad del reactivo consumido multiplicado por λ. El reactor es un reactor mezcla completa agitado (CSTR, continued Stirred-tank Reactor). El componente A reacciona irreversiblemente a una razón específica k para formar el componente B Asumase que la concentración de los componentes en el flujo de entrada es como se muestra,

y que la reacción es de primer orden Suposiciones • el tanque esta perfectamente mezclado • el volumen del liquido contenido es constante • La velocidad de reaccion es proporcional a la concentracion instantánea • la entalpia es solo funcion de la temperatura • Cp no cambia con la temperatura • Cv y Cp son esencialmente iguales para liquidos • La densidad no cambia con la temperatura, y la densidad de todas las sustancias es esencialmente la misma

Balance de materia: Fo⋅ CAo − F ⋅ CA − V ⋅ k ⋅ CA =

(

d V ⋅ CA dt

)

Fo⋅ ρo ⋅ ho

Energia Entrante:

F ⋅ρ⋅h

Energia en el flujo de salida Calor extraido

Q

Calor generado por la reaccion λ⋅ V ⋅ k ⋅ CA ρ⋅V ⋅U

energia interna del sistema Balance de energia:

Fo⋅ ρo ⋅ ho − F ⋅ ρ ⋅ h − Q − λ⋅ V ⋅ k ⋅ CA =

(

)

(

d (ρ ⋅ V ⋅ U ) dt

)

Fo⋅ ρo ⋅ Cp⋅ To − Tref − F ⋅ ρ ⋅ Cp⋅ T − Tref − Q − λ⋅ V ⋅ k ⋅ CA =

(

)

d ρ ⋅ V ⋅ Cv⋅ T − Tref  dt 

La constante de velocidad depende de la temperatura

k ( t ) = ko⋅ e

Sustituyendo en el balance de materia, se tiene −

−E R ⋅ T ( t)

Fo ( t ) V

−E

F ( t) R ⋅ T ( t) d ⋅ CAo ( t ) − ⋅ CA ( t ) − ko⋅ e ⋅ CA ( t ) = CA ( t ) V dt

derivando y despejando en el balance de energía se tiene Fo ( t ) ⋅ ρo ⋅ Cp

ρ ⋅ V ⋅ Cv

F ( t ) ⋅ ρ ⋅ Cp λ⋅ V ⋅ k ( t) ⋅ CA ( t) d Q ( t) ⋅ To ( t ) − Tref − ⋅ T ( t ) − Tref − − = T (t) ρ ⋅ V ⋅ Cv ρ ⋅ V ⋅ Cv ρ ⋅ V ⋅ Cv dt

(

)

(

)

al sustituir la expresión de la constante de velocidad: −E    R ⋅ T ( t)  Fo ( t ) λ⋅ ko⋅ e F (t) Q (t)  ⋅ CA ( t ) = d T ( t ) ⋅ ( To ( t ) − Tref ) − ⋅ ( T ( t ) − Tref ) − −  V V ρ⋅V ⋅C ρ⋅C dt

v

El balance de materia en estado transitorio es: −

v

Fo ( t ) V

−E

F ( t) R ⋅ T ( t) d ⋅ CAo ( t ) − ⋅ CA ( t ) − ko⋅ e ⋅ CA ( t ) = CA ( t ) V dt

y el balance de materia en estado estacionario Fo ( 0) V

−E

F ( 0) R ⋅ T ( 0) ⋅ CAo ( 0) − ⋅ CA ( 0) − ko⋅ e ⋅ CA ( 0) = 0 V

La linealización de los términos

(

)

(

Fo ( t ) ⋅ CAo ( t ) = Fo ( 0) ⋅ CAo ( 0) + CAo ( 0) Fo ( t ) − Fo ( 0) + Fo ( 0) ⋅ CAo ( t ) − CAo ( 0)

(

F ( t ) ⋅ CA ( t ) = F ( 0) ⋅ CA ( 0) + CA ( 0) ( F ( t ) − F ( 0) ) + F ( 0) ⋅ CA ( t ) − CA ( 0) −E

e

R ⋅ T ( t)

−E R ⋅ T ( 0)

−E

⋅ CA ( t ) = e

R ⋅ T ( 0)

⋅ CA ( 0) +

)

)

−E

Ee R ⋅ T ( 0) ⋅ CA ( 0) ( T ( t ) − T ( 0) ) + e CA ( t ) − CA ( 0) R T ( 0) 2

(

)

Las variables de desviación ϕo ( t) = Fo ( t) − Fo ( 0)

ϕ ( t) = F ( t ) − F ( 0)

DAo ( t ) = CAo ( t ) − CAo ( 0)

DA ( t ) = CA ( t ) − CA ( 0)

Γ ( t ) = T ( t) − T ( 0)

al restar el balance estacionario al estado transitorio y sustituir las variables de desviación CAo ( 0) V

⋅ ϕo ( t ) +

Fo ( 0) V

⋅ DAo ( t ) −

CA ( 0) V

−E R⋅ T ( 0)

−E

F ( 0) E e R ⋅ T ( 0) d ⋅ ϕ (t) − ⋅ DA ( t ) − ko⋅ ⋅ ⋅ CA ( 0) ⋅ Γ ( t ) − ko e ⋅ DA ( t) = DA ( t) 2 V R T ( 0) dt

El balance de energía en estado transitorio



−



−E    R ⋅ T ( t)  Fo ( t ) λ⋅ ko⋅ e ⋅ CA ( t ) d F (t) Q (t)   ⋅ ( To ( t ) − Tref ) − ⋅ ( T ( t ) − Tref ) − − = T ( t) V V ρ⋅V ⋅C ρ⋅C dt

v

v

El balance en estado estacionario −E    R ⋅ T ( 0)  Fo ( 0) λ⋅ ko⋅ e F ( 0) Q ( 0)  ⋅ CA ( 0) = 0 ⋅ ( To ( 0) − Tref ) − ⋅ ( T ( 0t ) − Tref ) − −  V V ρ⋅V ⋅C ρ⋅C

v

v

La linealización de términos

(

) = Fo (0)⋅ ( To (0) − Tref ) + ( To (0) − Tref ) ⋅ ϕo (t) + Fo (0)⋅ Γo (t) F ( t ) ⋅ ( T ( t ) − Tref ) = F ( 0) ⋅ ( T ( 0) − Tref ) + ( T ( 0) − Tref ) ⋅ ϕ ( t ) + F ( 0) ⋅ Γ ( t ) Fo ( t ) ⋅ To ( t ) − Tref

sustituyendo se tiene que Fo ( 0) T ( 0) − Tref  To ( 0) − Tref F ( 0) ⋅ ϕo ( t ) + ⋅ Γo ( t ) − ⋅ ϕ ( t) − ⋅ Γ ( t ) ...  V V V V  −E  −E R ⋅ T ( 0) λ ⋅ k λ ⋅ k  −1 o E e o R ⋅ T ( 0) ⋅ CA ( 0) ⋅ Γ ( t ) − ⋅e ⋅ DA ( t)  + ρ ⋅ V ⋅ C ⋅ q ( t) − ρ ⋅ C ⋅ R ⋅ 2 ρ ⋅ C v v v T ( 0) 

 d  = Γ ( t)  dt    

La suposición de que el volumen del tanque es constante y que la densidad es la misma, implica que el flujo de entrada y el flujo de salida son iguales, esto implica lo siguiente ϕo ( t) = ϕ( t) CAo ( 0) − CA ( 0) V

⋅ ϕo ( t ) +

Fo ( 0) V

⋅ DAo ( t ) −

Fo ( 0) V

−E R ⋅ T ( 0)

E e ⋅ DA ( t ) − ko⋅ ⋅ ⋅ CA ( 0) ⋅ Γ ( t ) − ko e R T ( 0) 2

Fo ( 0) Fo ( 0)  To ( 0) − T ( 0) ⋅ ϕo ( t ) + ⋅ Γo ( t ) − ⋅ Γ ( t ) ...  V V V  −E  −E λ⋅ ko E e R⋅ T ( 0) λ⋅ ko R ⋅ T ( 0)  −1 ⋅ CA ( 0) ⋅ Γ ( t ) − ⋅e ⋅ DA ( t)  + ρ ⋅ V ⋅ C ⋅ q ( t) − ρ ⋅ C ⋅ R ⋅ 2 ρ ⋅ C v v v T ( 0) 

 d  = Γ ( t)  dt    

−E R ⋅ T ( 0)

⋅ DA ( t ) =

d DA ( t ) dt