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I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS

Matemática 4º de Secundaria

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Como por ejemplo:

b) Triángulo de 16º y 74º

1. Triángulo Notable de 45º k c) Triángulo de 8º y 82º

45º

k

k

82º

5 2k

k

45º

k

8º 7k

2. Triángulo Notable de 30º y 60º

Ejercicios Resueltos 30º

30º 30º

2k 60º

k

2k

2k 3

k

1. Calcular: E = Sen230º + Tg37º

60º

k

60º

k

Solución: Reemplazando valores: 

E   

1  2 

2



3 1 3    E 1 4 4 4

3. Triángulo Notables Aproximados 2. Evaluar: E  a) Triángulo de 37º y 53º

sen 2 45º  cos60º csc30º

Solución: Reemplazando:     

2 2

    

2

2



1 2

2 1  1 4 2   2 2

E=

1 2

Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS

Matemática 4º de Secundaria 07. Determine el valor de “m” para que “x” sea

Práctica dirigida Nº 01

30º. cos2x 

m1 m1

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

01. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º a) 1 d) 3/4

b) 2 e) 4/3

c) 1/4

08. Sea: F  θ  

02. Calcular

F 

10 . cos 37 º 2 . sec 45º b) 1/2 e) 2/3

 9θ   Tg3θ . Sec6θ  Cot   2  

 = 10º

Para evaluar:

 . sen 30º 3 . tg 60º

a) 1 d) 2

 9θ   Sen3θ . Cos6θ . Csc   2  

c) -1/3

a)

13

b)

6 /8

d)

15 / 7

e) 17

c) 15

09. Del gráfico hallar: ctg 03. Calcular:

E  6tg30º sec 45º 3 sec 53º b) 5 c) 7 e) 11

a) 3 d) 9

a) 1,6 b) 1,7

45º

c) 0,4

x+3

d) 0,6 e) 1,4 04. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

 2x + 1

5x - 3

10. Del gráfico, hallar Ctg  4 5 7 b) 4

a) 05. Resolver: 5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º a) 1 d) 1/2

b) 2 e) 1/4

c) 3

2 c) 5 7 d) 5

5



53º 10

e) 1 11. Del gráfico calcular: E 

06. Indicar el valor de “x” en: tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º

a) a) 15º d) 30º

b) 20º e) 35º

c) 25º

4 2 5

x

4 b) 5

c)

2 5

53º

senx seny

y

45º

d) 4 2 e) 1

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Matemática 4º de Secundaria 6. Hallar “x”.

Tarea Nº 01

1

Siendo: Csc x 45º

Csc30º 1. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

a) –1

b) –2

d) 2

e) 3

c) 1

7. Determine tg  en el gráfico. 2. Calcular: “x” 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º) a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

3. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º) a) 25/12 d) 49/24

b) 25/24 e) 7/18

sec60º

b)

11 3 5

d)

5 3 3

e)

2 3 5

c)

d) 1  2

3 2

d)

3 6

e)

3 3 2

30º



53º a-b

a+b

9. Del gráfico hallar

y x

a) 1 tg

2

c)

3 3 5

5. Calcular:

a)

3 3

a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8

Sen 2 45º 3 5

b)

8. De la figura calcular a/b

Tg30º  Sec60º  Sen37º  Cos30º

a)

3

c) 49/12

4. Calcular: E

a) csc30º

45º 2



b) 2 c) 3 b)

2 1

e)

2 2

c)

2 1

d) 4 e) 6

 x

37º y

y

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Matemática 4º de Secundaria

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Razones Trigonométricas Recíprocas

Ejercicios Resueltos

Para un mismo ángulo, siempre se cumple: 1. Resolver el menor valor positivo de “x” verifique: Sen5x = Cosx

Sen . Csc = 1 Cos . Sec = 1

Solución:

Tg . Ctg = 1

Dada la ecuación: Sen5x = Cosx Luego los ángulos deben sumar 90º, entonces:

Ejemplos:    

5x + x = 90º 6x = 90º

Sen 10º . Csc10º = 1 Tg A . Ctg A = 1 Cos(x+y).Sec(x+y) = 1 Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1

.x = 15º. 2. Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy = 0 Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0

2. Razones trigonométricas de Ángulos Complementarios

Solución: Nótese que el sistema planteado es equivalente a:

Si:  y  son dos ángulos complementarios, siempre se cumple que:



2y = 30º

(R.T. recíprocas) a

tg = ctg sec = csc

 Tg2y . Ctg30º = 1



c

sen = cos

 Sen3x = Cosy  3x + y = 90º (R.T. complementarios)



.y = 15º. Reemplazando en la primera igualdad: 3x + 15º = 90º

b

3x = 75º Es decir:

 +  = 90º

Ejemplos:

 Sen20º = Cos 70º  Tg 50º = Ctg 40º

.x = 25º. 3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0, Tg7x calcular: P  Ctg6x Solución:

 Sec 80º = Csc10º Del Dato:

Sen 9x = Cos 4x 9x + 4 x = 9 0 º 13x = 9 0º

Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Pero:

Matemática 4º de Secundaria

7x + 6 x = 13x 7x + 6 x = 90º

7.

Calcular: E 

Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x)

Tg7x

Luego:

a) 1 d) -1

1

Ctg6x 

sen10º 2tg20º 3sec40º   cos80º ctg70º csc50º

P=1

8.

b) 2 e) -2

c) 0

Si: Sec7x = Csc4x 2Senx Tg3x Calcular: E   Cos10x Ctg8x

Práctica Dirigida Nº 02 a) 0 d) -1 1.

a) sen20º = cos70º

(

)

b) tg10º . ctg10º = 1

(

)

c) sec(x + 40º) = csc(50º - x)

(

)

d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1

(

)

e) tg20º = ctg20º

(

)

9.

Calcular: cos(x + y) Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1 Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)

a) 10º

b) 5º

d) 20º

e) 40º

Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1 Calcular: Cos3x a) 1 d)

4.

3

c)

2 2

b) 24º e) 8º

3 5

b)

2 2

e)

3 2

c) 36º

c)

1 2

10. Simplificar: Tg10º  Tg20º  Tg30º ........ Tg80º E Ctg10º  Ctg20º  Ctg30º ........ Ctg80º a) 1 d)

b) 3 2

e)

1 2

sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º + a) 17º d) 30º

c)

1 3

2 2

11. Determine “x” :

Hallar “x” Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1

b) 20º e) 34º

tg 1 5º ctg 75º

c) 28º

Determine “x” en: Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1 a) 5º d) 15º

6.

1 2 2 e) 3

b)

a) 12º d) 48º

5.

c) 15º

2

a)

Señale el valor de “x” Si: Sen2x . Csc40º = 1

3.

c) 2

Poner V o F según convenga:

d) 2.

b) 1 e) -2

b) 8º e) 20º

c) 10º

Calcular: E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º) a) 5 d) 12

b) 14 e) 8

c) 10

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Matemática 4º de Secundaria

Tarea Nº 02 1.

b) 12º e) 18º

d)

1 2 4 e) 5

b)

3 5

b) 20º e) 50º

d)

b) 2 3 2

e)

c)

a) 4 d) 10

b) 6 e) 12

b) 4 e) 7

3x 2

c) 5

Determine el valor de “x” en : Tg(x – 10º) = Tg1º Tg2º Tg3º ……. Tg89º a) 30º d) 65º

b) 45º e) 75º

c) 55º

10. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º) Calcular: xy xy Sen( )  Cos( ) 4 2

Cos(x  y  85º)  Sen(x  y  120º)

3

a) 1/2 d) 0

b) 2 e) 1

c) -1

11. Calcular :  3  x) tg(  x) 5 8 E   3 cos(  x) ctg(  x) 8 10 sen(

c) 11

2sen10º 3tg30º 5 sec 20º   cos80º ctg60º csc 70º

c) 3

Si: Sec(4x – 10º) = Csc(40º - x) Calcular: E  tg2 3x  csc

9.

c) 30º

Simplificar: E

8.

2 sec x csc 16x

b) 2 e) 5

a) 3 d) 6

2 3 3

b) 13 e) 7

a) 1 d) 4

2 2

Calcular: E = (4Sen2º + 3Cos88º) Csc2º a) 14 d) 9

6.

c)

Si: Sen(3x – 10º) . Csc(x + 10º) = 1 Calcular: E = Sec6x . Tg8x . Tgx a) 1

5.

c) 14º

Señale el valor de “x” Si: Cos(2x – 10º) . Sec(x + 30º) = 1 a) 10º d) 40º

4.

E  tg5x tg12x 

Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40º) = 1 Calcular: cos3x a) 1

3.

Si: Sen3x = Cos14x Calcular:

Señale el valor de “x” Si: Sen3x . Csc54º = 1 a) 10º d) 16º

2.

7.

a) 2 d) 0

b) 3 e) 1/2

c) 1

c) 8

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