• Author / Uploaded
• Diego Gomez

Citation preview

´ Asignatura: Algebra Moderna[405085M-01] Fecha: Mi´ercoles 22 de Febrero de 2017 Quiz 1 Estudiante: Lee y responde las siguientes preguntas o ejercicios justificando de manera clara su respuesta. El examen es individual y no se permiten salidas del sal´ on durante la realizaci´ on de esta prueba. Cualquier intento de fraude es causal de anulaci´ on inmediata. Tiempo: 40 minutos.

1. Demuestre que si a < b y c < 0 entonces ac > bc. 2. Demuestre que 1 + 3 + 9 + · · · + 3n =

3n+1 − 1 para todo n ∈ Z+ . 2

3. Demuestre que −(ab) = a(−b), para cualquier par a, b ∈ Z. 4. Demostrar que si a, b, c ∈ Z son tales que a|b y a|c, entonces a|bx + cy, para cualquier x, y ∈ Z. 5. Use el algoritmo de Euclides para expresar (284, 36) como combinaci´on lineal de los dos n´ umeros.

´ Asignatura: Algebra Moderna[405085M-01] Fecha: Lunes 12 de Marzo de 2018 Quiz 2 Estudiante: Lee y responde las siguientes preguntas o ejercicios justificando de manera clara su respuesta. El examen es individual y no se permiten salidas del sal´ on durante la realizaci´ on de esta prueba. Cualquier intento de fraude es causal de anulaci´ on inmediata. Tiempo: 40 minutos.

1. [1,0] Demuestre si a ≡ b(modm) entonces an ≡ bn (modm) para todo n ∈ Z+ . 2. [1,0] Hallar el conjunto soluci´on de la congruencia 32x ≡ 28(mod36) 3. [1,5] Demostrar que si 2n − 1 es primo, entonces n es primo. 4. [1,5] Demuestre que existen infinitos n´ umeros primos.

´ Asignatura: Algebra Moderna[405085M-01] Fecha: 22 de Marzo de 2018 Parcial 1 Estudiante: Lee y responde las siguientes preguntas o ejercicios justificando de manera clara su respuesta. El examen es individual y no se permiten salidas del sal´ on durante la realizaci´ on de esta prueba. Cualquier intento de fraude es causal de anulaci´ on inmediata. Tiempo: 2 horas.

1. Demuestra empleando inducci´on matem´atica que 6 divide a n3 − n siempre que n sea un entero no negativo. Soluci´ on Sea P (n) : el enunciado 6 divide a n3 − n siempre que n ≥ 0. Esto es equivalente a P (n) : n3 − n = 6k, con k ∈ Z y n ≥ 0. Hay que demostrar el caso base n = 0 y demostrar que si P (k) es cierto, entonces se obtiene P (k + 1) como v´alido. P (0) : 03 − 0 = 0 = 6 · 0 el cual es v´alido. H.I. Supongamos que P (k) : k 3 − k = 6p es valido para alg´ un k ∈ Z+ . Demostremos que P (k + 1) : 3 3 (k + 1) − (k + 1) tambi´en es divisible entre 6, es decir, (k + 1) − (k + 1) = 6h. Entonces (k + 1)3 − (k + 1) = k 3 +3k 2 +3k +1−k −1 = (k 3 −k)+(3k 2 +3k) = 6p+3k(k +1). Como k ≥ 1 entonces k +1 ≥ 2 de tal forma que 3k(k +1) es una cantidad divisible entre 6. Por tanto, (k +1)3 −(k +1) = 6p+3k(k +1) = 6p+6m = 6h con h = p + m haciendo P (k + 1) un enunciado v´alido. Esto demuestra que P (n) es v´alido para todo n ≥ 0. 2. Sean a, b ∈ Z. Demuestra que si (a, b) = 1 y a|bc entonces a|c. Soluci´ on. Como (a, b) = 1 entonces existen x, y ∈ Z tales que ax + by = 1. Al multiplicar por 0 ̸= c ∈ Z ambos lados de esta expresi´on, obtenemos acx + bcy = c. Como a|bc, entonces existe un k ∈ Z tal que bc = ak. Al sustituir esta igualdad en la anterior, quedar´a entonces que acx + bcy = c implica acx + aky = c. Al factorizar el a queda a(cx + ky) = c, de donde a|c. 3. Si (a, b) = 1 y (a, c) = 1, entonces (a, bc) = 1. Soluci´ on:Como (a, b) = 1 entonces ax + by = 1. Como (a, c) = 1 entonces ap + cq = 1. Al multiplicar ambas ecuaciones tenemos a2 xp + acxq + abyp + bcyq = 1. Al factorizar el a y bc queda entonces a(axp + acxq + byp) + bc(yq) = 1 que es lo que se quer´ıa demostrar. 4. Hallar la cifra de las unidades de 987123 . En el desarrollo decimal, 987123 = an 10n + an−1 10n−1 + · · · + a1 10 + a0 . Esta cifra de las unidades es un el u ´nico entero a0 que satisface 987123 ≡ a0 (mod10). Sabemos que 987 ≡ −3(mod10) y as´ı 9872 ≡ (−3)2 (mod10). De aqu´ı, 9872 ≡ 9(mod10) (A). Tambi´en, 9 ≡ −1(mod10) y por transitividad con (A), queda 9872 ≡ −1(mod10). Al volver a aplicar potencias, (9872 )61 ≡ (−1)61 (mod10), as´ı que 987122 ≡ −1(mod10). Al multiplicar por 987 quedar´a, 987123 ≡ −987(mod10). Pero −987 ≡ 3(mod10), y as´ı 987123 ≡ 3(mod10) (transitividad). Esto nos indica que el d´ıgito de las unidades es 3. 5. Hallar el m´ınimo entero positivo que satisface el siguiente sistema. No usar tanteo. 3x ≡ 2(mod4) 2x ≡ 5(mod3) 4x ≡ 4(mod5) Como (4, 3, 5) = 1 y (3, 4) = (2, 3) = (4, 5) = 1 entonces por teorema chino, el sistema tiene soluci´on u ´nica mod 60. El sistema 3x ≡ 1(mod4) 2x ≡ 1(mod3)

4x ≡ 1(mod5) tiene soluci´on a′1 = 3, a′2 = 2 y a′3 = 4 respectivamente. Ahora, resolvemos el sistema x ≡ 2 · 3(mod4) x ≡ 5 · 2(mod3) x ≡ 4 · 4(mod5) que equivale a x ≡ 6(mod4) x ≡ 10(mod3) x ≡ 16(mod5) Este sistema lo solucionamos con el procedimiento descrito en el TCR. Sea M = 60, M1 = 15, M2 = 20 y M3 = 12. Resolvemos el sistema 15x ≡ 1(mod4) 20x ≡ 1mod3) 12x ≡ 1(mod5) el cual tiene soluci´on M1′ = 3, M2′ = 2 y M3′ = 3 respectivamente. As´ı, la soluci´on est´a dada por x = b1 M1 M1′ + b2 M2 M2′ + b3 M3 M3′ = 6 · 15 · 3 + 10 · 20 · 2 + 16 · 12 · 3 = 1246. Al restar sucesivamente el 60, llegamos a la soluci´on x = 46.

´ Asignatura: Algebra Moderna[405085M-01] Fecha: 09 de Abril de 2018 Opcional Parcial 1 Estudiante: Lee y responde las siguientes preguntas o ejercicios justificando de manera clara su respuesta. El examen es individual y no se permiten salidas del sal´ on durante la realizaci´ on de esta prueba. Cualquier intento de fraude es causal de anulaci´ on inmediata. Tiempo: 2 horas.

1. Demuestre que 1 + 3 + 9 + · · · + 3n =

3n+1 − 1 para todo n. 2

2. Demuestre que si a/m, b/m y (a, b) = 1 entonces (ab)/m. 3. Demostrar que si 2n − 1 es primo, entonces n es primo. 4. Demostrar que para dos enteros a, b, y k ∈ Z+ , siempre se cumple que (ka, kb) = k(a, b). 5. Un ni˜ no recogi´o en una pi˜ nata cierto n´ umero de dulces. Al contarlos de tres en tres, le sobraron 2. Al contarlos de cuatro en cuatro le sobraron le sobraron 3 y al contarlos de cinco en cinco le sobr´o 1. Finalmente recogi´o menos de 20 dulces. Halle la cantidad de dulces que recogi´o.

´ Asignatura: Algebra Moderna[405085M-01] Fecha: 23 de Abril de 2018 Quiz 3 Estudiante: Lee y responde las siguientes preguntas o ejercicios justificando de manera clara su respuesta. El examen es individual y no se permiten salidas del sal´ on durante la realizaci´ on de esta prueba. Cualquier intento de fraude es causal de anulaci´ on inmediata. Tiempo: 2 horas.

1. [1,0] Utilice el teorema de Euler-Fermat para hallar el d´ıgito de las unidades del n´ umero 131275 . 2. [1,5] Responde las siguientes preguntas en Z8 . a) Escriba por extensi´on el conjunto de las unidades de Z8 . b) Determine el resultado de (3 · 5) + (15 + 11). c) Halle la soluci´on de la ecuaci´on 6x = 3. 3. [1,0] Demuestre que si G es un grupo abeliano entonces ∀a, b ∈ G (ab)−1 = a−1 b−1 . 4. [1,5] ¿Es Z un grupo abeliano con respecto a la operaci´on ⋆ definida como a ⋆ b = a + b − 2, para todo a, b ∈ Z?

´ Asignatura: Algebra Moderna[405085M-01] Fecha: 17 de Mayo de 2018 Quiz 4 Lee y responde las siguientes preguntas o ejercicios justificando de manera clara su respuesta. El examen es individual y no se permiten salidas del sal´ on durante la realizaci´ on de esta prueba. Cualquier intento de fraude es causal de anulaci´ on inmediata. Tiempo: 1 hora.

Estudiantes: (E1) . (E2) .

1. [1,0] Hallar el orden de la permutaci´ on α = (123)(12). 2. [1,0] Sea H un subgrupo de G, a ∈ G y aHa−1 = {aha−1 : h ∈ H}. Demuestre que aHa−1 es subgrupo de G. 3. [3,0] Sea S = N × N el conjunto de pares ordenados de enteros positivos y ∗ definida sobre S como (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d) a) Demuestre que si f : ⟨S, ∗⟩ → ⟨Z, +⟩ se define por medio de f (a, b) = a − b entonces f es un homomorfismo. b) Determine el n´ ucleo de f . c) Responda: ¿Es f sobreyectiva?