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• Silvia Marcela Fuentes Miranda

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7. En cierto proceso automatizado se utilizan las maquinas M y N durante m y n horas respectivamente. Si la producción diaria Q es función de m y n, es decir: 𝑄 = 4.5𝑚 + 5𝑛 − 0.5𝑚2 − 𝑛2 − 0.25𝑚𝑛, halle los valores de m y n que maximizan Q. 𝑄 = 4.5𝑚 + 5𝑛 − 0.5𝑚2 − 𝑛2 − 0.25𝑚𝑛 𝑄𝑚 = 4.5 − 0.5(2𝑚) − 0.25𝑛 𝑄𝑚 = 4.5 − 𝑚 − 0.25𝑛 = 0 𝑚 + 0.25𝑛 = 4.5 𝑄𝑛 = 5 − 2𝑛 − 0.25𝑚 𝑄𝑛 = 5 − 2𝑛 − 0.25𝑚 = 0 0.25𝑚 + 2𝑛 = 5 −0.25𝑚 − 0.0625𝑛 = −1.125 +++++++++++++ 1.9375𝑛 = 3.875 𝑛=

3.875 1.9375

𝑛=2 𝑚 = 4.5 − 0.25(2) 𝑚=4 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜: (4, 2) 𝑄𝑚𝑚 = −1 𝑄𝑚𝑛 = −0.25 𝑄𝑛𝑛 = −2 2 𝐷 = 𝑄𝑚𝑚 ∗ 𝑄𝑛𝑛 − 𝑄𝑚𝑛

𝐷 = −1 ∗ −2 − (−0,25)2 𝐷 = 1,9375 > 0 𝑄𝑚𝑚 = −1 < 0

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (4, 2) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑄(4, 2) = 4.5(4) + 5(2) − 0.5(4)2 − (2)2 − 0.25(4)(2) 𝑄(4, 2) = 14 Respuesta: la producción máxima es de 14 unidades y se logra al utilizar 4 horas en la máquina M y 2 horas en la máquina N. 8. Una empresa utiliza dos tipos de materias primas, A y B en su producto. Usando x unidades de A, y unidades de B, la empresa puede elaborar P unidades del producto, con: 𝑃 = 0.52𝑥 + 0.48𝑦 + 0.12𝑥𝑦 − 0.07𝑥 2 − 0.06𝑦 2

Si el costo de cada unidad de x es de $5.10 y de $1.80 por cada unidad utilizada de y, y la empresa puede vender todas las unidades que produce a $15 cada una. ¿Qué cantidades de x y y debería utilizar la empresa con objeto de maximizar las utilidades? 𝑈 = 15𝑃 − 5.10𝑥 − 1.80𝑦 𝑈 = 15(0.52𝑥 + 0.48𝑦 + 0.12𝑥𝑦 − 0.07𝑥 2 − 0.06𝑦 2 ) − 5.10𝑥 − 1.80𝑦 𝑈 = 7.8𝑥 + 7.2𝑦 + 1.8𝑥𝑦 − 1.05𝑥 2 − 0.9𝑦 2 − 5.10𝑥 − 1.80𝑦 𝑈 = 2.7𝑥 + 5.4𝑦 + 1.8𝑥𝑦 − 1.05𝑥 2 − 0.9𝑦 2 𝑈𝑥 = 2.7 + 1.8𝑦 − 1.05(2𝑥) 𝑈𝑥 = 2.7 + 1.8𝑦 − 2.1𝑥 = 0 −2.1𝑥 + 1.8𝑦 = −2.7 𝑈𝑦 = 5.4 + 1.8𝑥 − 0.9(2𝑦) 𝑈𝑦 = 5.4 + 1.8𝑥 − 1.8𝑦 = 0 1.8𝑥 − 1.8𝑦 = −5.4 −2.1𝑥 + 1.8𝑦 = −2.7 +++++++++++ −0.3𝑥 = −8.1

𝑥=

−8.1 −0.3

𝑥 = 27 𝑦=

−2.7 + 2.1(27) 1.8

𝑦 = 30 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜: (27, 30) 𝑈𝑥𝑥 = −2.1 𝑈𝑥𝑦 = 1.8 𝑈𝑦𝑦 = −1.8 2 𝐷 = 𝑈𝑥𝑥 ∗ 𝑈𝑦𝑦 − 𝑈𝑥𝑦

𝐷 = −2.1 ∗ −1.8 − (1.8)2 𝐷 = 0.54 > 0 𝑈𝑥𝑥 = −2.1 < 0 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (27, 30) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑈 = 2.7(27) + 5.4(30) + 1.8(27)(30) − 1.05(27)2 − 0.9(30)2 𝑈(27, 30) = 117.45 Respuesta: La utilidad máxima es de $117,45 y se logra al producir x=27 unidades de A y y=30 unidades de B. 9. Un consumidor tiene US $600 para gastar en dos artić ulos. El primero tiene un valor de US $20 por unidad y el segundo US $30 por unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de X unidades del primer artić ulo y Y unidades del segundo artić ulo está dada por 𝑈(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 0.6 𝑦 0.4. ¿Cuántas unidades de cada artić ulo deberia ́ comprar el consumidor para maximizar la utilidad? 20𝑥 + 30𝑦 = 600 𝑈(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 0.6 𝑦 0.4

∇𝑈 = 𝜆∇R 10〈0.6𝑥 −0.4 𝑦 0.4 ,

0.4𝑥 0.6 𝑦 −0.6 〉 = 𝜆〈20,

30〉

10〈0.6𝑥 −0.4 𝑦 0.4 ,

0.4𝑥 0.6 𝑦 −0.6 〉 = 10𝜆〈2,

3〉

〈0.6𝑥 −0.4 𝑦 0.4 ,

0.4𝑥 0.6 𝑦 −0.6 〉 = 𝜆〈2,

0.6𝑥 −0.4 𝑦 0.4 = 2𝜆 0.3𝑥 −0.4 𝑦 0.4 = 𝜆 0.4𝑥 0.6 𝑦 −0.6 = 3𝜆 0.4𝑥 0.6 𝑦 −0.6 =𝜆 3 0.3𝑥 −0.4 𝑦 0.4 =

0.4𝑥 0.6 𝑦 −0.6 3

0.9𝑦 0.4 𝑦 0.6 = 0.4𝑥 0.6 𝑥 0.4 0.9𝑦 = 0.4𝑥 𝑦=

4𝑥 9

4𝑥 20𝑥 + 30 ( ) = 600 9 20𝑥 +

40𝑥 = 600 3

20𝑥 +

40𝑥 = 600 3

100𝑥 = 600 3 𝑥 = 600 ∗ 𝑥 = 18 𝑦=

4(18) 9

3 100

3〉

𝑦=8 𝑈(18, 8) = 10(18)0.6 (8)0.4 𝑈(18, 8) = 130.1366 Respuesta: para maximizar la utilidad en $130.1366 el consumidor deberia ́ comprar 18 unidades del primer artículo y 8 unidades del segundo artículo. 10.Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1.500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. El costo del acero por unidad de área es de $6 y el costo del concreto es de $3 por unidad de área. Determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de la construcción. 𝑥𝑦𝑧 = 1500 𝐶 = 6𝑥𝑦 + 3(𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧) 𝐶 = 9𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧 + 6𝑦𝑧 ∇𝐶 = 𝜆∇R 〈9𝑦 + 6𝑧,

9𝑥 + 6𝑧,

9𝑦 + 6𝑧 = 𝜆𝑦𝑧 9𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧 = 𝜆𝑥𝑦𝑧 9𝑥 + 6𝑧 = 𝜆𝑥𝑧 9𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧 = 𝜆𝑥𝑦𝑧 6𝑥 + 6𝑦 = 𝜆𝑥𝑦 6𝑥𝑧 + 6𝑦𝑧 = 𝜆𝑥𝑦𝑧 9𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧 = 9𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧 6𝑥𝑧 = 6𝑦𝑧 𝑥=𝑦 9𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧 = 6𝑥𝑧 + 6𝑦𝑧

6𝑥 + 6𝑦〉 = 𝜆〈𝑦𝑧,

𝑥𝑧,

𝑥𝑦〉

9𝑥𝑦 = 6𝑥𝑧 9𝑦 =𝑧 6 𝑧=

3𝑦 2

𝑥𝑦𝑧 = 1500 3𝑦 𝑦(𝑦) ( ) = 1500 2 3𝑦 3 = 1500 2 2 𝑥 3 = (1500) 3 𝑥 3 = 1000 3

𝑥 = √1000 𝑥 = 10 𝑦 = 10 𝑧=

3(10) 2

𝑧 = 15 𝐶 = 9(10)(10) + 6(10)(15) + 6(10)(15) 𝐶 = 2700 Respuesta: El costo mínimo es de $2.700 y se alcanza cuando la base mide 10 pies x 10 pies y la altura mide 15 pies. 11. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde 𝑃(𝐿, 𝐾) = 2

1

60𝐿3 𝐾 3 . Los costos de mano de obra y del capital son de $64 y $108 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 2.160 unidades de su producto. Halle el número de insumos de mano de obra y de capital que debe emplearse con el fin de minimizar el costo total.

2

1

2160 = 60𝐿3 𝐾 3 𝐶 = 64𝐿 + 108𝐾 ∇𝐶 = 𝜆∇R 2 1 1 108〉 = 60𝜆 〈 𝐿−3 𝐾 3 , 3

〈64,

2 1 1 64 = 60𝜆 ( 𝐿−3 𝐾 3 ) 3 1 1 64 3 ∗ = 𝜆𝐿−3 𝐾 3 60 2 1 1 8 = 𝜆𝐿−3 𝐾 3 5

8 −

5𝐿

1 1 3𝐾 3

=𝜆

1 2 2 108 = 60𝜆 ( 𝐿3 𝐾 −3 ) 3 2 2 108 ∗ 3 = 𝜆 (𝐿3 𝐾 −3 ) 60 2 2 27 = 𝜆𝐿3 𝐾 −3 5

27 2 2 5𝐿3 𝐾 −3

8 1 1 5𝐿−3 𝐾 3

=𝜆

=

2 1

27 2

2

5𝐿3 𝐾 −3 1

2

8𝐿3 𝐿3 27𝐾 3 𝐾 3 = 5 5 8𝐿 = 27𝐾 𝐿=

27𝐾 8

1 2 −2 𝐿3 𝐾 3 〉 3

2

1

2160 = 60𝐿3 𝐾 3 2

27𝐾 3 1 2160 = 60 ( ) 𝐾3 8 9 2 1 2160 = 60 ( ) 𝐾 3 𝐾 3 4 2

1

2160 = 135𝐾 3 𝐾 3 2160 =𝐾 135 𝐾 = 16 𝐿=

27(16) 8

𝐿 = 54 𝐶 = 64(54) + 108(16) 𝐶 = 5184 Repuesta: el costo mínimo es de $5.184 y debe emplearse 54 unidades de mano de obra y 16 unidades de capital.

12. Un cable de electricidad está tendido desde una planta de energia ́ hasta una nueva fábrica ubicada al otro lado de un rio. El rio tiene un ancho de 50 ́ pies y la fábrica está 200 pies rio ́ abajo y a 100 pies de la orilla. Tender el cable bajo el agua cuesta $600 por pie, $100 por pie a lo largo de la orilla y $200 por pie tenderlo de la orilla a la fábrica. ¿Qué trayectoria debe elegirse

𝑎 = √𝑥 2 − 502 𝑎 = √𝑥 2 − 2500 200 − 𝑎 = 200 − √𝑥 2 − 2500 𝐶 = 600𝑥 + 100(200 − 𝑎) + 100(200) 𝐶 = 600𝑥 + 100 (200 − √𝑥 2 − 2500) + 100(200) 𝐶 = 600𝑥 + 20000 − 100√𝑥 2 − 2500 + 20000 𝐶 = 600𝑥 + 40000 − 100√𝑥 2 − 2500 𝜕𝐶 2𝑥 (𝑥, 𝑦) = 600 − 100 =0 𝜕𝑦 2√𝑥 2 − 2500 600 = 6=

100𝑥 √𝑥 2 − 2500 𝑥

√𝑥 2 − 2500

6√𝑥 2 − 2500 = 𝑥

√𝑥 2 − 2500 =

𝑥2 36

𝑥 2 − 2500 = 𝑥2 −

𝑥 6

𝑥2 = 2500 36

35𝑥 2 = 2500 36 𝑥 2 = 2500 ∗ 𝑥2 =

36 35

18000 7

18000 𝑥=√ 7 𝑥 = 50.71 𝐶 = 600(50.71) + 40000 − 100√(50.71)2 − 2500 𝐶 = 69580.39 200 − 𝑎 = 200 − √(50.71)2 − 2500 200 − 𝑎 = 191.54 Respuesta: para alcanzar un costo mínimo de $69.580,39 debe tender el cable bajo el agua 50.71 pies, 191.54 pies a lo largo de la orilla y 100 pies de la orilla a la fábrica.