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• Luis Sierra

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⃗ = (2𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑖 + (𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦)𝑗, determinar: 𝑉

3. Un campo de velocidades está dado por a) b) c) d) e) f)

Magnitud y dirección de la velocidad. Magnitud y dirección de la aceleración. Forma del Movimiento. Clasificar el flujo. Presentar un diagrama de los vectores velocidad para diferentes puntos en el sistema cartesiano XY entre -10m y 10m. Dibuje el mapa de velocidades. Presente un diagrama de los vectores aceleración para diferentes puntos comprendidos en el primer cuadrante del sistema cartesiano.

Desarrollo: a) Con el campo de velocidades dado, podemos determinar la dirección y la magnitud de la velocidad en diferentes puntos. Para facilitar el desarrollo de este problema tomaremos diferentes puntos enunciados en la tabla 1.

Punto #1 Punto #2 Punto #3 Punto #4

(-2,1) (-1.5,-1) (-1,1.5) (-0.5,-0.5)

Punto #5 Punto #6 Punto #7 Punto #8

(0,0) (0.5,-2) (1,0) (1.5,1)

Punto #9 Punto #10 Punto #11 Punto #12

(2,0.5) (0.5,-2) (1,0.5) (1.5,-2.5)

Tabla 1 – Puntos aleatorios.

Ahora bien, con los puntos definidos podemos comenzar a realizar los cálculos de la siguiente manera: ⃗ −2,1 = (2 ∗ (−2)2 + 12 )𝑖 + ((−2)3 − (−2) ∗ 12 + 2 ∗ −2 ∗ 1)𝑗 = 9𝑖 + (−10)𝑗 Define 𝑉 la dirección en (1,1) 𝑉−2,1 = √92 + (−10)2 = 13.45

𝑚 𝑠

Define la Magnitud en el punto (1,1)

Y repetimos el procedimiento para los siguientes puntos: ⃗ −1.5,−1 = (2 ∗ −1.52 + (−1)2 )𝑖 + (−1.53 − (−1.5) ∗ (−1)2 + 2 ∗ −1.5 ∗ −1)𝑗 = 𝑉 5.5𝑖 + 1.1𝑗 𝑚 𝑉−1.5,−1 = √5.52 + 1.12 = 5.61 𝑠 ⃗ −1,1.5 = (2 ∗ (−1)2 + (1.5)2 )𝑖 + ((−1)3 − (−1) ∗ (1.5)2 + 2 ∗ −1 ∗ 1.5)𝑗 = 4.25𝑖 + 𝑉 (−1.75)𝑗 𝑚 𝑉−1,1.5 = √4.252 + (−1.75)2 = 4.60 𝑠

⃗ −0.5,−0.5 = (2 ∗ (−0.5)2 + (−0.5)2 )𝑖 + ((−0.5)3 − (−0.5) ∗ (−0.5)2 + 2 ∗ −0.5 ∗ 𝑉 −0.5)𝑗 = 0.75𝑖 + 0.5𝑗 𝑚 𝑉−0.5,−0.5 = √0.752 + 0.52 = 0.9 𝑠 ⃗ 0,0 = (2 ∗ (0)2 + (0)2 )𝑖 + ((0)3 − 0 ∗ (0)2 + 2 ∗ 0 ∗ 0)𝑗 = 0𝑖 + 0𝑗 𝑉 𝑉0,0 = √02 + 02 = 0

𝑚 𝑠

⃗ 0.5,−2 = (2 ∗ (0.5)2 + (−2)2 )𝑖 + ((0.5)3 − 0.5 ∗ (−2)2 + 2 ∗ 0.5 ∗ −2)𝑗 = 4.5𝑖 + 𝑉 (−3.88)𝑗 𝑚 𝑉0.5,−2 = √4.52 + (−3.88)2 = 5.94 𝑠

⃗ 1,0 = (2 ∗ (1)2 + (0)2 )𝑖 + ((1)3 − 1 ∗ (0)2 + 2 ∗ 1 ∗ 0)𝑗 = 2𝑖 + 1𝑗 𝑉 𝑉1.0 = √22 + 12 = 2.24

𝑚 𝑠

⃗ 1.5,1 = (2 ∗ (1.5)2 + (1)2 )𝑖 + ((1.5)3 − 1.5 ∗ (1)2 + 2 ∗ 1.5 ∗ 1)𝑗 = 5.5𝑖 + 4.88𝑗 𝑉 𝑉1.5.1 = √5.52 + 4.882 = 7.35

𝑚 𝑠

⃗ 2,0.5 = (2 ∗ (2)2 + (0.5)2 )𝑖 + ((2)3 − 2 ∗ (0.5)2 + 2 ∗ 2 ∗ 0.5)𝑗 = 8.25𝑖 + 9.5𝑗 𝑉 𝑉2,0.5 = √8.252 + 9.52 = 12.58

𝑚 𝑠

⃗ 0.5,2 = (2 ∗ (0.5)2 + (2)2 )𝑖 + ((0.5)3 − 0.5 ∗ (2)2 + 2 ∗ 0.5 ∗ 2)𝑗 = 4.5𝑖 + 0.12𝑗 𝑉 𝑉0.5,2 = √4.52 + 0.122 = 4.5

𝑚 𝑠

⃗ 1,0.5 = (2 ∗ (1)2 + (0.5)2 )𝑖 + ((1)3 − 1 ∗ (0.5)2 + 2 ∗ 1 ∗ 0.5)𝑗 = 2.25𝑖 + 1.75𝑗 𝑉 𝑉1.0.5 = √2.252 + 1.752 = 2.85

𝑚 𝑠

⃗ 1.5,2 = (2 ∗ (1.5)2 + (2)2 )𝑖 + ((1.5)3 − 1.5 ∗ (2)2 + 2 ∗ 1.5 ∗ 2)𝑗 = 8.5𝑖 + 3.38𝑗 𝑉 𝑉1.5,2 = √8.52 + 3.382 = 9.14

𝑚 𝑠

b) Para encontrar la dirección y magnitud de la aceleración debemos ayudarnos de la definición de aceleración y velocidad en términos diferenciales, de la siguiente manera:

𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 =

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 + 𝑢 (𝑑𝑥 ) + 𝑣 (𝑑𝑦) + 𝑤 ( 𝑑𝑧 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣 + 𝑢 (𝑑𝑥) + 𝑣 (𝑑𝑦) + 𝑤 (𝑑𝑧 ) 𝑑𝑡

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 𝑎 = √𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2

Como la aceleración local no cambia con el tiempo, el primer valor de 𝑎𝑥 = lo mismo sucede con el primer valor de 𝑎𝑦 =

𝑑𝑣 . 𝑑𝑡

𝑑𝑢 𝑑𝑡

es equivalente a 0,

De la misma manera, y como tenemos un fluido 𝑑𝑢 𝑑𝑧

𝑑𝑣 𝑑𝑧

bidimensional que no actúa en la dirección z, el último valor de 𝑎𝑥 = 𝑤 ( ) y de 𝑎𝑦 = 𝑤 ( ) también son equivalentes a 0. Siendo así, las ecuaciones con las que trabajaremos en este apartado serán tratadas así: 𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑣

𝑎𝑥 = 𝑢 (𝑑𝑥 ) + 𝑣 (𝑑𝑦)

Conocemos, además, del campo de velocidades que: 𝑢 = 2𝑥 2 + 𝑦 2

𝑎𝑦 = 𝑢 (𝑑𝑥) + 𝑣 (𝑑𝑦) 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 𝑎 = √𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2

𝑣 = 𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦

Y realizando las respectivas derivadas, obtenemos: 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= 4𝑥

𝑑𝑢 𝑑𝑦

= 2𝑦

𝑑𝑣 𝑑𝑥

= 3𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑦

𝑑𝑣 𝑑𝑦

= −2𝑥𝑦 + 2𝑦

Reemplazando en las ecuaciones 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦 los valores de u, v y sus respectivas derivadas parciales, obtenemos finalmente: 𝑎𝑥 = (2𝑥 2 + 𝑦 2 )(4𝑥) + (𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦)(2𝑦) 𝑎𝑦 = (2𝑥 2 + 𝑦 2 )(3𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑦) + (𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦)(−2𝑥𝑦 + 2𝑦)

Ahora, comenzamos a tratar los puntos expuestos en el apartado anterior 𝑎𝑥 = (2𝑥 2 + 𝑦 2 )(4𝑥) + (𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦)(2𝑦) 𝑎𝑥−2,1 = (2(−2)2 + (1)2 )(4(−2)) + ((−2)3 − (−2)(1)2 + 2(−2)(1))(2(1)) = −92

𝑚 𝑠2

𝑎𝑦−2,1 = (2(−2)2 + (1)2 )(3(−2)2 − (1)2 + 2(1)) + ((−2)3 − (−2)(1)2 + 𝑚

2(−2)(1))(−2(−2)(1) + 2(1)) = 57 𝑠2 𝑎−2,1 = −92𝑖 + 57𝑗 Dirección ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑚

𝑎−2,1 = √(−92)2 + (57)2 = 108.23 𝑠2 Magnitud

Con el interés de no extender en demasía el procedimiento de cálculo de este apartado, los resultados para el resto de los puntos son los siguientes:

𝑎−1.5,−1 = −35.25𝑖 + 15.00𝑗

𝑎−1,1.5 = −22.25𝑖 + 5.44𝑗

𝑚

𝑎−1.5,−1 = √(−35.25)2 + (15)2 = 38.31 𝑠2

𝑚

𝑎−1,1.5 = √(−22.25)2 + (5.44)2 = 22.90 𝑠2

𝑚 𝑠2

𝑎−0.5,−0.5 = −2.00𝑖 + −1.12𝑗

𝑎−0.5,−0.5 = √(2)2 + (1.12)2 = 2.30

𝑎0,0 = 0𝑖 + 0𝑗

𝑎0,0 = √(0)2 + (0)2 = 0 𝑠2

𝑎0.5,−2 = 24.50𝑖 + (−24.88)𝑗

𝑎0.5,−2 = √(24.5)2 + (−24.88)2 = 34.91

𝑎1,0 = 8.00𝑖 + 6.00𝑗

𝑎1,0 = √(8)2 + (6)2 = 10.00 𝑠2

𝑚

𝑚

𝑚 𝑠2

𝑎1.5,1 = 42.75𝑖 + 37.75𝑗

𝑎1.5,1 = √(42.75)2 + (37.75)2 = 57.03

𝑎2,0.5 = 75.50𝑖 + 95.69𝑗

𝑎2,0.5 = √(75.5)2 + (95.69)2 = 121.89 𝑠2

𝑎0.5,2 = 9.50𝑖 + 3.62𝑗

𝑎0.5,2 = √(9.5)2 + (3.62)2 = 10.17

𝑎1,0.5 = 10.75𝑖 + 8.44𝑗

𝑎1,0.5 = √(10.75)2 + (8.44)2 = 13.67

𝑎1.5,2 = 64.50𝑖 + 50.62𝑗

𝑚 𝑠2

𝑚

𝑚 𝑠2

𝑚 𝑠2

𝑚

𝑎1.5,2 = √(64.50)2 + (50.62)2 = 82.00 𝑠2

c) La velocidad cambia constantemente en diferentes puntos, y la aceleración es estos puntos cambia igualmente de un punto a otro, así que la forma del movimiento de las partículas del flujo es acelerada.

d) Clasificación del flujo: Como lo mencionamos anteriormente, el flujo no cambia sus propiedades en el tiempo, por lo tanto es un flujo permanente. El flujo no cambia con respecto al espacio, eso lo categoriza como un flujo uniforme.

Es evidente en las ecuaciones dadas del campo de velocidades que sólo tiene componentes en dos dimensiones, esto sugiere que el flujo es bidimensional. Calculando el Rotacional en diferentes puntos: 𝑑𝑣

𝑑𝑢

𝑅𝑜𝑡𝑉 = 𝑘 (𝑑𝑥 − 𝑑𝑦) = 0 -> Para que sea no rotacional

𝑅𝑜𝑡𝑉1,1 = 𝑘(4 − 2) = 2𝑘

𝑅𝑜𝑡𝑉2,−1 = 𝑘(11 + 2) = 13𝑘

De esta manera clasificamos el flujo como permanente, uniforma, bidimensional y rotacional. e) Con los resultados obtenidos en el apartado “a” formamos una tabla para comprender mejor y diagramar correctamente el mapa de velocidades. x

y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0,5 1 1,5

1 -1 1,5 -0,5 0 -2 0 1 0,5 2 0,5 2

Direccion i Direccion j 9 -10 5,5 1,125 4,25 -1,75 0,75 0,5 0 0 4,5 -3,875 2 1 5,5 4,875 8,25 9,5 4,5 0,125 2,25 1,75 8,5 3,375

Tabla 2 Vectores de Velocidad

El mapa de velocidades está en un plano cartesiano XY comprendido entre -5m y 5m en cada dimensión.

Figura 1 – Mapa de Velocidades,

f)

Con los resultados obtenidos en el apartado “b” formamos una tabla para comprender mejor y diagramar correctamente el campo de aceleraciones. x

y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0,5 1 1,5

Tabla 3 – Vectores de Aceleración

ax 1 -1 1,5 -0,5 0 -2 0 1 0,5 2 0,5 2

ay -92 -35,25 -22,25 -2 0 24,5 8 42,75 75,5 9,5 10,75 64,5

57 15 5,4375 -1,125 0 -24,875 6 37,75 95,6875 3,625 8,4375 50,625

Figura 2- Campo de Aceleraciones