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Carrera de Ingeniería Civil Curso: Análisis Estructural

«Formulación matricial para el Análisis Sísmico Dinámico Seudo Tridimensional» «José Velásquez»

1. Introducción Se presentara la formulación matricial para un análisis sísmico lineal y elástico de estructuras aporticadas con un modelo “seudo tridimensional”. Este tipo de modelo permite realizar el análisis fácilmente representando apropiadamente lo que es esencial, por lo menos para estructuras no muy esbeltas.

Análisis matricial de una barra

2. Condensación Estática Para un análisis símico seudo tridimensional se requiere determinar la matriz de rigidez lateral de cada unos de los pórticos. La matriz de rigidez lateral relaciona fuerzas y desplazamientos horizontales; mas explícitamente, se trata de una matriz cuadrada, simétrica, cuya columna j agrupa las fuerzas horizontales requeridas para obtener un desplazamiento unitario en el nivel j mientras que los otros desplazamientos se mantienen como cero.

Análisis sísmico de un pórtico

2. Condensación Estática Conviene considerar inicialmente como grados de libertad solo los asociados a los desplazamientos horizontales sino además dos grados de libertad por cada nudo, asociados a los componentes de desplazamiento vertical y a los giros.

Grados de libertad por nudo del pórtico

2. Condensación Estática Se supone que los desplazamientos verticales y giros en los nudos del pórtico están agrupados en el vector v y los desplazamientos horizontales en u. Ordenando los grados de libertad apropiadamente, se obtiene la matriz de rigidez del pórtico y pueden plantearse las ecuaciones de equilibrio.

En las expresiones anteriores f agrupa las fuerzas asociadas a los grados de libertad horizontales; estas son las fuerzas de inercia e interacciones con otros pórticos a través de las losas.

2. Condensación Estática La matriz 𝐾𝑣𝑣 es una matriz cuadrada simétrica, con estructura de banda. El orden de esta matriz es igual a 2 veces el numero total de nudos en el pórtico. La matriz 𝐾𝑢𝑢 es también cuadrada y simétrica, en un principio tridiagonal, de orden igual al numero de pisos. Se procede a CONDENSAR todos los grados de libertad no asociados a desplazamientos horizontales

2. Condensación Estática La matriz 𝐾𝐿 es la matriz de rigidez lateral del pórtico. Esta se refiere a los grados de libertad horizontales. El proceso de eliminación de grados de libertad utilizado se denomina de CONDENSACION ESTATICA porque se ha hecho uso de ecuaciones de equilibrio, no se incluyen fuerzas de inercia para eliminar las incógnitas.

Grados de libertad horizontales

2. Condensación Estática En la practica no conviene determinar la inversa de 𝐾𝑢𝑢 , mas bien deben resolverse las ecuaciones

La matriz R debe almacenarse temporalmente sobre 𝐾𝑢𝑢 y luego en disco para ser reutilizada en la etapa final del análisis, para determinar los desplazamientos verticales y giros en los nudos del pórtico a partir de los desplazamientos horizontales.

3. Condensación Cinemática La hipótesis de losas infinitamente rígidas para acciones en su plano determina una relación geométrica entre los desplazamientos de todos sus puntos, que es la base para efectuar una CONDENSACION CINEMATICA de las matrices de rigidez lateral ya obtenidas. Del ejemplo de una estructura de un solo piso. El desplazamiento horizontal del pórtico i esta relacionado con las componentes de desplazamiento de la losa

3. Condensación Cinemática

Donde 𝑢0 , 𝑣0 y 𝜃 son las componentes de desplazamiento del centro de masas; 𝛼 define la orientación del pórtico i con referencia al eje global X y 𝑟𝑖 es la distancia del punto de referencia a un punto de alineamiento del pórtico.

Donde 𝑢𝑖 es el desplazamiento lateral del pórtico i; 𝑢0 es un vector que agrupa las tres componentes de desplazamiento del centro de masa; y

3. Condensación Cinemática Las fuerzas aplicadas por la losa sobre cada pórtico pueden ser sustituidas por oras, estáticamente equivalentes, aplicadas en el centro de masas

Esta expresión relaciona las fuerzas totales para los tres grados de libertad de la estructura con los correspondientes desplazamientos, la matriz de rigidez resulta:

3. Condensación Cinemática El mismo procedimiento puede realizarse a una estructura de muchos pisos.

Agrupando las expresiones correspondientes a cada nivel del pórtico i se obtiene:

Las fuerzas sobre cada pórtico también pueden sustituirse por otras estáticamente equivalente en el centro de masas, de donde resulta la matriz de rigidez del modelo con tres grados de libertad por piso.

3. Condensación Cinemática Donde

𝐾𝐿𝑖 𝑟𝑠 denota el coeficiente rs de la matriz de rigidez lateral del pórtico i.

Además de las rigideces, el análisis dinámico requiere definir las masas, siendo habitual considerar masas concentrada, es decir una matriz M diagonal.

4. Consideraciones Prácticas En todo análisis están implícitas aproximaciones, en las propiedades de los materiales, las características de la estructura y las acciones sobre esta. Estas aproximaciones son necesarias para obtener soluciones a un coso razonable. Siendo el análisis no un objetivo final, sino solo un medio para proyectar, pudiéndose prescindir de detalles que solo dificultaran el análisis. Cuando se tienen pórticos con placas es imprescindible considerar brazos rígidos en las vigas. Otra consideración es ignorar deformaciones axiales en vigas. Además para estructuras típicas el peso esta entre 1.0 y 1.3 tonf/m2, excepto en el ultimo nivel.

5. Ejemplo de aplicación Considerar la estructura de dos pisos cuya planta se muestra en la figura. En la tabla siguiente se indica la ubicación del centro de masas y las propiedades de inercia en cada nivel

5. Ejemplo de aplicación La estructura esta compuesta por seis pórticos que corresponden a tres tipos, cuyas características se indican en la figura. Los pórticos están unidos por losas en cada nivel, que se suponen infinitamente rígidas para acciones de membrana. La tabla siguiente resumen el tipo y la ubicación de cada pórtico.

5. Ejemplo de aplicación

5. Ejemplo de aplicación Para el análisis se ha considerado 𝐸 = 2.3 𝑥 106 tonf/m2 y G = 0.4 E. Las inercias de vigas se han reducido por un factor de 0.7; se ha considerado 100% de la longitud de brazos rígidos. La matriz de rigidez de las vigas puede obtenerse considerando las expresiones ya conocidas. En este caso L = 4m; la sección transversal es de 30 cm x 60 cm.

5. Ejemplo de aplicación La matriz de rigidez de las placas, incluyendo las deformaciones por corte, es de la siguiente manera

5. Ejemplo de aplicación La matriz de rigidez de las columnas seria.

También se han incluido en esta matriz las deformaciones de corte, aunque en este caso son mucho menos importantes que para los elementos de placa.

5. Ejemplo de aplicación Estableciendo la correspondencia entre los grados de libertad de cada uno de los seis elementos con aquellos de la estructura, se procede a ensamblar la matriz de rigidez. Separando los grados asociados a desplazamientos horizontales u de aquellos asociados a desplazamientos verticales y giros v, se obtiene.

5. Ejemplo de aplicación Y resolviendo las ecuaciones

5. Ejemplo de aplicación Con un procedimiento análogo pueden obtenerse las matrices de rigidez lateral de los pórticos 2 y 3

Conocidas las matrices de rigidez lateral de cada pórtico, puede hacerse la condensación cinemática para obtener la rigidez de la estructura.

5. Ejemplo de aplicación Las distancias rij se determinan mediante:

5. Ejemplo de aplicación Se obtienen entonces

5. Ejemplo de aplicación De donde:

Por otro lado:

5. Ejemplo de aplicación A partir de K y M puede entonces determinarse los periodos naturales y modos de vibración, para luego realizar el análisis dinámico por superposición modal espectral. Sin embargo para edificios pequeños y regulares puede ser suficiente realizar un análisis estático con cargas equivalente a las acciones sísmicas. Para el sismo actuando en dirección X podrían considerarse las siguientes fuerzas:

Resolviendo el sistema de ecuaciones K 𝑢0 = f, se obtiene:

5. Ejemplo de aplicación Los tres primeros valores corresponden al nivel inferior. Las rotaciones son también importantes; debe tenerse en cuenta que en el computo de los desplazamientos de cada pórticos se consideran multiplicadas por la distancia al centro de masas.

5. Ejemplo de aplicación De los resultados precedentes puede obtenerse las fuerzas laterales en cada pórtico

5. Ejemplo de aplicación Para cada pórtico puede también obtenerse los desplazamientos verticales y giros de los nudos.

Por ejemplo, para el pórtico del eje A:

6. Limitaciones del Análisis Seudo Tridimensional Un serio defecto del análisis seudo tridimensional esta en la incompatibilidad de los desplazamientos axiales obtenidos para las columnas. Como los grados de libertad asociados a estos desplazamientos se condensan estáticamente en forma independiente para cada pórtico, se obtienen resultados distintos para dos pórticos que comparten una misma columna. Otro defecto similar se presentan en los giros de los nudos. Al realizar la condensación estática en un pórtico se eliminan los grados de libertad asociados a los giros ignorando la rigidez torsional de las vigas transversales.

6. Limitaciones del Análisis Seudo Tridimensional En el análisis dinámico es muy frecuente despreciar los efectos rigidizantes de la tabiquería. Esto conduce a la determinación de un periodo fundamente mucho mayor que el real. Esto se corrige en los códigos por ejemplo limitando el cortante en la base no sea menor que 80% del que se utilizaría para un análisis estático.

Para el análisis se puede argumentar ignorar los efectos de la tabiquería corresponde a una situación limite para la que se supone que los elementos no estructurales han sido tan dañados que han perdido toda su rigidez.

BIBLIOGRAFÍA

 Hugo Scaletti & Javier Pique(1991). Análisis Sísmico de Edificios. Perú: Primera edición.