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2009 -

Ing. José Manuel García

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Objetivos de Aprendizaje Definir que es una hipótesis y una prueba de hipótesis. Describir el procedimiento de cinco pasos para demostrar una hipótesis. Diferenciar entre una prueba de una cola y una de dos colas. Realizar una prueba de hipótesis respecto a la diferencia entre medias poblacionales. Describir los errores estadísticos que pueden 2

¿Qué es una hipótesis? • Hipótesis: enunciado acerca de una población elaborada con el propósito de ponerse a prueba. Ejemplos de hipótesis acerca de un parámetro de población son: – La media mensual de ingresos para analistas de sistemas es $3625. – El 20% de los delincuentes juveniles son capturados y sentenciados a prisión. – Las resistencias al impacto de las parabrisas que producen dos empresas industriales son iguales. 3

¿Qué es una prueba de hipótesis? • Prueba de hipótesis: procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad que se emplea para determinar si la hipótesis es un enunciado razonable y no debe rechazarse o si no es razonable y debe ser rechazado.

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Pasos para probar una Hipótesis

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Definiciones I • Hipótesis nula H0: afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional • Hipótesis alterna H1: afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa. • Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. • Error Tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. 6

Definiciones I • Error Tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. • Estadístico de prueba: valor obtenido a partir de la información muestral, se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis. • Valor crítico: el punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula. 7

Prueba de significancia de una cola • Una prueba es de una cola cuando la hipótesis alterna, H1, establece una dirección, como: • H0 : el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de los hombres. • H1 : el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres.

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Prueba de significancia de una cola • Distribución de muestreo para el valor estadístico z, prueba de una cola, nivel de significancia de .05

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Prueba de significancia de dos colas • Una prueba es de dos colas cuando no se establece una dirección específica de la hipótesis alterna H1, como: • H0 : el ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los hombres. • H1 : el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres.

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Prueba de significancia de dos colas • Distribución de muestreo para el valor estadístico z, prueba de dos colas, nivel de significancia de 0.05

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Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional conocida • Cuando se hace una prueba para la media poblacional de una muestra grande y se conoce la desviación estándar, el estadístico de prueba está dado por:

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Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional conocida • Los fabricantes de Fries’ Catsup indican en su etiqueta que el contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido. La muestra de la última hora tiene un peso medio de 16.12 onzas con una desviación estándar de .5 onzas. ¿Está el proceso fuera de control para un nivel de significancia de .05? • Paso 1: establezca la hipótesis nula y alterna • Paso 2: establezca la regla de decisión: 13

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional conocida • Los fabricantes de Fries’ Catsup indican en su etiqueta que el contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido. La muestra de la última hora tiene un peso medio de 16.12 onzas con una desviación estándar de .5 onzas. ¿Está el proceso fuera de control para un nivel de significancia de .05? • Paso 1: establezca la hipótesis nula y alterna

H0: µ=16 & H1: µ≠16 • Paso 2: establezca la regla de decisión:

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Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional conocida • Paso 3: calcule el valor del estadístico de prueba: H0 se rechaza si z 1.96 • Paso 4: decisión sobre H0: no se rechaza H0 porque 1.44 es menor que el valor crítico 1.96

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Valor p en la prueba de hipótesis • Valor p: es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o más que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera. • Si el valor p es menor que el nivel de significancia, H0 se rechaza. • Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, H0 no se rechaza. 16

Cálculo del valor p Prueba de una cola: • valor p = P { z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado} Prueba de dos colas: • valor p = 2P { z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado} • Para el primer ejemplo, z = 1.44, y para una prueba de dos colas, el valor p = 2P { z 1.44} = 2(.5-.4251) = .1498. Como .1498 > .05, no se rechaza H0. 17

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional desconocida • Aquí σ es desconocida, así que se estimará con la desviación estándar de la muestra s. Siempre que el tamaño de muestra n ≥30, z puede aproximarse con:

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Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional desconocida • Ejemplo: • La cadena Roder’s Discount emite su propia tarjeta de crédito. Lisa, la gerente de crédito, quiere encontrar si la media mensual de saldos no pagados es mayor que $400. El nivel de significancia es de .05. Una revisión al azar de 172 saldos reveló que la media muestral es $407 y la desviación estándar muestral es $38. ¿Debe Lisa concluir que la población media es mayor que $400, o es razonable suponer que la diferencia de $7 ($407-$400) se debe al azar? • Paso 1: 19

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar poblacional desconocida Paso 1:

Paso 2: H0 se rechaza si z > 1.645 Paso 3: Paso 4: H0 se rechaza. Lisa puede concluir que la media de saldos no pagados es mayor que $400.

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Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales • Suponga que los parámetros para dos poblaciones son:

• Para muestras grandes el estadístico de prueba es:

• Cuando σ1 y σ2 no se conocen pero el tamaño de muestra n1 y n2 es mayor o igual que 30, el estadístico de prueba es: 21

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales

• Ejemplo: • Se realizó un estudio para comparar los años promedio de servicio de quienes se retiraron en 1979 con los que se retiraron el año anterior en Delong Manufacturing Co. Con un nivel de significancia de .01 ¿podemos concluir que los trabajadores que se retiraron el año pasado trabajaron más años según la siguiente muestra? Nota: sea población #1= año anterior. 22

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales

•Paso 1:

H0: µ2≤µ1 & H1: µ2>µ1 •Paso 2: Rechace H0 si z > 2.33 23

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales Paso 3:

Paso 4: Como z = 6.80 > 2.33, H0 se rechaza. Los que se retiraron el año anterior tenían más años de servicio. 24