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• Jose Reynaldo Vargas Ari

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

1. BASES DE DISEÑO 1.1.

GENERALIDADES SOBRE ELEMENTOS DE DISEÑO DE ESCALERAS.

Escalera es una serie de escalones que sirve para subir y bajar y para poner en comunicación los pisos de un edificio o dos terrenos de diferente nivel. Las escaleras se construyen de variadas formas y de diversos materiales, pueden estar situadas al aire o en el interior de los edificios, la cara horizontal de cada peldaño se llama huella y la vertical contrahuella. Existe una relación entre la anchura de la huella “L” y la altura contrahuella “h”, un primer principio general es que cuanto más ancha es la huella más baja debe ser la contrahuella. La experiencia demuestra que resultan escaleras cómodas, si en sus peldaños se cumple una de las siguientes relaciones. L+h=47 a 48 cm.(1.1) L+2 h=63 cm .(1.2)

L−h=12 cm.(1.3) Otro principio general, es que todos los escalones de una escalera deben ser de igual altura. La longitud de los peldaños o el ancho de la escalera no está sujeta a ninguna regla, pero es conveniente que el ámbito sea suficiente para que puedan cruzarse las personas, lo que se logra con una anchura de 1.3 a 2.0 metros. Sin embargo, en los grandes edificios públicos las escaleras se ensanchan de 4 a 5 metros. En las viviendas y edificios públicos las escaleras se dividen en tramos que no deben contener menos de 3 ni más de 20 peldaños. Los tramos van separados por los descansos, que son como unos peldaños más extensos y cuya longitud se determinara posteriormente. Las escaleras toman denominaciones variadas, según los usos a que se destinan, forma que tienen o materiales de que están construidas. Por los materiales, se conocen las escaleras de maderas, de ladrillos, de piedra natural o artificial, de hormigón armado, de hierro, etc. Por su destino hay escaleras de deshago, secretas, de servicio, etc. Por su forma puede ser la escalera colgada, con alma o con ojo, de ida y vuelta, de mano, etc.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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Entre las escaleras de hormigón armado, un tipo de uso muy frecuente es la escalera simple o común de tramos rectos y que para simplificar se muestra en la Fig. 1.1. Fig. 1.1 Escalera común y ortopoligonal

Una variación de esta escalera simple es la escalera Ortopoligonal (Fig. 1.1), y resulta de la supresión de la losa principal en la primera. Así huellas y contrahuellas de espesores constantes en todos los escalones conforman la losa principal de este nuevo tipo de escalera y es al que se dedicara el presente trabajo. Debido a su configuración reciben la denominación de escaleras ortopoligonales, lo que significa “Escalera de varios ángulos rectos” es decir, que una escalera ortopoligonal, es aquella cuyo eje es una serie de segmentos consecutivos (línea poligonal) que forman ángulos de 90 grados entre ellos. 1.2.

ELEMENTOS DE DISEÑO DE ESCALERAS.

1.2.1. Antecedentes. En el diseño de escaleras, las medidas más importantes son deducidas de las experiencias y se encuentran en su mayoría en las diversas normas de construcción con que todo país cuenta. Tal vez en lo que se refiere a escaleras, las normas más usuales en nuestro medio son las normas Alemanas DIN, así tenemos: DIN

4172………..Sobre sus medidas en edificios elevados.

DIN

4174………..Altura de pisos e inclinaciones de las escaleras.

DIN

18064………Sobre su concepción, trazado y ejecución.

DIN

18065………Escaleras de casas de pisos, medidas principales.

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1.2.2. Proporción de las pendientes en las Escaleras. El grado de facilidad con que se sube una escalera, depende de su inclinación, es decir de la relación entre huella y contrahuella, indicadas en la tabla 1.1. Tabla 1.1 valores para la Contrahuella Descripción Escaleras al aire libre Salas de reunión, teatros, escuelas, y edificios públicos Escaleras principales de casas de viviendas Escaleras de servicios Escaleras a sótanos y desvanes

h(cm) 14 – 16 16 – 17 17 – 18 Hasta 20 Hasta 22

El paso normal humano, al moverse despacio sobre terreno horizontal, mide de 61 cm. de largo, cuando el terreno sube, el paso se acorta y la reducción es el doble del desnivel a vencer, en consecuencia la ecuación que relaciona las dimensiones de los peldaños y el paso medio son las ecuaciones 1.1 y 1.2 que nos da en general escaleras cómodas para subir. También se debe tener en cuenta la denominada “Regla de la comodidad” que viene dada por la ecuación 1.3. 1.2.3. Calculo de las Dimensiones de una Escalera Recta. Para el diseño de una escalera generalmente se adopta un valor para la contrahuella de acuerdo al uso del edificio (ver tabla 1.1), el número total de contrahuellas (n´) se obtiene mediante la fórmula: n ´=

H (1.4) h

Y la longitud de cada huella “L” viene dada por:

( n ´ +1 )∗L=L´ (1.5)

L=

1.3.

L´ (1.6) (n ´ +1) ANCHO DE LA ESCALERA.

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Definimos el ancho útil de una escalera como la luz libre entre pasamano o entre pasamano y muro. El ancho debe guardar relación con el número de personas que utilizan simultáneamente la escalera. Según norma DIN Tabla 1.2 valores para el Ancho de la Escalera número de personas 1 2 3

Ancho optimo (m) 1.0 1.3 1.9

Ancho mínimo (m) 0.75 1.10 1.8

Cuando el número de personas que va a utilizar la escalera es mayor, podemos calcular el ancho de la escalera con ayuda de la tabla 1.3. Tabla 1.3 incremento para el Ancho de la Escalera Nro. De personas que usan la escalera 100 a 500 500 a 1000 Más de 1000

Incremento del ancho de la escalera, sobre 1 metro por c/100 personas 0.70 m 0.50m 0.30m

También se puede adoptar el ancho de una escalera considerando el tipo de construcción. Tabla 1.4 Ancho de la Escalera Según el Tipo de Construcción Tipo de construcción Casas de vivienda uní y multifamiliares hasta 2 plantas. Casa de vivienda multifamiliares de más de 2 plantas y un solo departamento por planta. Multifamiliares de más de 2 plantas y más de un departamento por planta. Sótanos y altillos en casas y hospitales. Teatros. Grandes almacenes. Lugares de reunión.

Ancho de la escalera (m) 0.90 1.00 1.10 1.30 1.25 a 1.80 1.50 a 2.00 1.25 a 2.50

Las escaleras cuyo ancho sea mayor a 1.90m. Pueden ser divididas por medio de una barandilla, lo cual es imprescindible para aquellos cuyo ancho sobrepase los 2.50m. ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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1.4.

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LONGITUD DEL TRAMO.

Se denomina tramo a la sucesión de peldaños entre dos descansos, se recomienda que el número máximo de peldaños no pase de 20, siendo el número más conveniente de 8 a 12 peldaños por tramo. 1.5.

DESCANSOS.

Los descansos son trechos horizontales exentos de peldaños, colocados a diversas alturas de la escalera. La longitud del descanso debe ser tal que una persona no se vea obligada a alterar su paso normal, esa longitud viene dada por la fórmula: S=63∗r + L ( cm ) (1.7)

Dónde: S = longitud apropiada del descanso. r = número de pasos. L = longitud de una huella (cm). Los descansos de acuerdo a la dirección del tramo que los sigue, se clasifican en: a) Descansos Rectos.- cuando la dirección de la escalera no cambia. b) Descansos de Cuarto de Vuelta.- cuando la dirección de la escalera cambia en 90 grados. c) Descansos de Media Vuelta.- cuando la dirección de la escalera cambia en 180 grados. a) Descanso recto.

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b) Descanso de cuarto de vuelta.

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c)

descanso de media vuelta.

La longitud de los descansos de cuarto de vuelta y de media vuelta se calcula también aplicando la fórmula 1.7. 1.6.

ALTURA DE PASO LIBRE.

Esta altura se mide verticalmente desde el borde superior del peldaño terminado hasta el borde inferior del techo terminado, debiendo tener como mínimo las siguientes alturas: a) En viviendas pequeñas y casa para una sola familia por lo menos 1.80m. b) En casa de pisos por lo menos 2.0m. c) En escaleras de edificios públicos y comerciales, como mínimo 2.20m. 1.7.

SOBRECARGAS.

Son cargas verticales por m2, de proyección horizontal de escalera, el valor de la sobrecarga varía de acuerdo al tipo de edificio, así tenemos: Tabla 1.5 cargas para las escaleras. Tipo de escaleras Escaleras en edificios de residencias. Escaleras en edificios públicos. Escaleras secundarias 1.8.

Cargas (kg/m2) 250 a 300 400 a 500 200 a 250

CLASIFICACION DE LAS ESCALERAS ORTOPOLIGONALES.

Para un estudio más ordenado de las mismas las clasificaremos en 7 casos típicos.

Figura 1.2 Tipos de Escaleras ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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Tipo a. Escalera sin descanso y con extremos empotrados.

Tipo b. Escalera con descanso igual y apoyo intermedio

Tipo c. Escalera con descanso igual pero sin apoyo intermedio

Tipo d. Escalera con descanso intermedio y extremos empotrados

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Tipo e. Escalera con descanso intermedio, extremos y apoyos intermedios. Tipo f. Escalera con descanso intermedio, extremos pero sin apoyos intermedios.

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2. CALCULO DE ESCALERAS ORTOPOLIGONALES POR EL METODO DE LA ENERGIA Y EL METODO SIMPLIFICADO

2.1 ENERGIA DE DEFORMACION. Los cuerpos se consideran constituidos por materia, la misma que está formada por partículas denominadas puntos materiales entre los cuales existen fuerzas de interacción (que se denominan interiores al sistema) que pueden o no estar en equilibrio. En el caso de cuerpos solido dicho sistema se halla en equilibrio con la cual la distancia relativa entre las partículas permanece invariable. Si se aplica un sistema de fuerzas externas a un cuerpo, este se deforma modificándose su configuración hasta que el sistema de fuerzas internas lo equilibra, se dice entonces que las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y se acumula en el cuerpo. Este trabajo o energía de deformación es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma primitiva cuando cesa la acción del agente externo. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice que es un cuerpo perfectamente elástico, e indica que el trabajo de las fuerzas externas durante la deformación se transformó totalmente en energía de deformación, y el diagrama carga-deformación es una línea recta, como se ve en la figura 2.1a.

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Fig. 2.1a. Energía de deformación Caso lineal

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Fig. 2.1b. Energía de deformación Caso no lineal

El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:

Para el caso lineal es:

W e =∫ P∗dδ

(2.1a)

1 W e = ∗P∗δ 2

(2.1b)

Donde: W e =¿ Trabajo externo δ =¿ Deformación en dirección de la carga

La ecuación 2.1b corresponde al área sombreada del triángulo mostrado en la figura 2.1a. Cuando se trata de solidos elásticos, el trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la energía interna de deformación, como se dijo anteriormente, es decir. W e =U

(2.2)

En el caso de la elasticidad no lineal como es el del Hormigón, la energía de deformación es el área bajo la curva sombreada en la figura 2.2. ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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En este caso la energía es variable de un punto a otro con una ley de variación aproximadamente parabólica razón por la cual para facilitar su integración es necesario definir el módulo elástico del Hormigón correspondiente a una deformación del 0.2% como la recta paralela a la tangente en el origen de la curva tensión-deformación (figura 2.3), con este justificativo se puede considerar que el Hormigón para la deformación indicada se comporta como un material elástico, siendo posible considerar su curva de energía de deformación como una curva de variación lineal, con lo cual la integración queda facilitada. Fig. 2.2. Energía de

deformación

Fig. 2.3. Diagrama de tensión de caso no lineal.

deformación del hormigón.

2.2 ENERGIA COMPLEMENTARIA DE DEFORMACION. La energía complementaria de deformación se representa con ”C” y corresponde al área superior de la curva carga-deformación y limitada superiormente por la recta horizontal que corresponde a la carga “P” figura 2.1a, la denominación de energía complementaria resulta obvia por ser el complemento respecto al rectángulo P-8 de la energía interna de deformación. Para un cuerpo linealmente elástico, la energía de deformación “U” y complementaria de deformación “C” son iguales, como se observa en la figura 2.1a. 2.3 ENERGIA ESPECÍFICA DE DEFORMACION. Para una barra con carga axial, se tiene que el esfuerzo normal es:

Y la deformación unitaria

σ=

P A

(2.3)

ε=

δ L

(2.4)

Despejando valores de 2.3 y 2.4 y sustituyendo en 2.1b.

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1 U=W e = ∗σ∗ε∗A∗L 2

(2.5)

A y L representa un volumen que se puede considerar unitario, Así 1 U u= ∗σ∗ε 2

(2.6)

La ecuación 2.6 es la energía específica de deformación almacenada en la unidad de volumen debido al esfuerzo normal. Para el caso de esfuerzo cortante se tiene: 1 U u= ∗τ∗γ 2 (2.7)

2.4 CALCULO DE LA ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION. 2.4.1. Energía de deformación causada por el esfuerzo normal. Consideremos una barra elástica de sección transversal A y longitud L. El esfuerzo normal es:

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σ=

Nx A

(2.8)

Según la ley de Hooke tenemos: ε=

σ Ec (2.9)

Reemplazando 2.9 en 2.6 tenemos: 2

1 σ U H = ∗σ∗ε= 2 2∗E c

(2.10)

Reemplazando 2.8 en 2.10 e integrando: L

U N =∫ 0

L

N x2 N x 2∗A dL dA= ∬ ∫ 2∗E ∗A 2 2∗E c∗A2 0 c L

U N =∫ 0

N x2 dL(2.11) 2∗E c∗A

La expresión 2.11 es la energía de deformación por fuerza Normal. 2.4.2. Energía de deformación causada por el esfuerzo de corte. Se considera la fuerza cortante

QY

y por la teoría

del esfuerzo cortante se produce el esfuerzo: τY=

QY ∗S z ( 2.12) I z∗b z Se

tiene además que: ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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γ=

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τ G

Donde: S = momento estático del área limitada entre la fibra en estudio y la fibra más alejada de la sección. b = ancho de la fibra en estudio. I = momento de inercia de la sección. G = es el módulo de elasticidad al corte. γ =¿ Deformación angular por cortante, distorsión. Teniendo en cuenta la ecuación 2.7 1 τ2 U H = ∗τ∗γ = (2.13) 2 2∗G Sustituyendo la ecuación 2.12 en 2.13 e integrando. L

L

U Qy =∫ dL∬ 0

0

2

2

Q y ∗S z dA 2 2 2∗G∗I z∗b z I z= A∗r 2z

Si: rz

Donde L

es el radio de giro de la sección, se tiene entonces: L

2

2

Q y∗S z U Qy =∫ dL∬ dA 2 2 0 0 2∗G∗A r z∗I z∗b z En donde

Qy

, G y A son constantes en una sección, y

L

S2z S2y k r =∬ 2 dA k z =∬ 2 dA 2 r y∗I y∗b2y 0 r z∗I z∗b z

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k solo depende de la forma de la sección (que puede cambiar a lo largo d la barra) y se denomina el coeficiente de forma k, por lo tanto: L

2

Qy U Q =∫ k y dL(2.14) 2∗G∗A o y

L

Q2z U Q =∫ k z dL( 2.15) 2∗G∗A o z

Las expresiones 2.14 y 2.15 expresan la energía de deformación por fuerza cortante 2.4.3. Energía de deformación causada por el momento flexionante. Si actúa el momento flexionante, se produce el esfuerzo: σ x=

Mz ∗y (2.16) Iz

Donde: I z=¿

Es el momento de inercia con respecto al

eje Z. Y = es la distancia del punto en cuestión al eje neutro.

Reemplazando la ecuación 2.16 en 2.10 se tiene: L

M 2z∗Y 2 U ML=∫ dL∫ dA 2 0 o 2∗E c∗I z Pero

Mz

L

,

Ec

y

Iz

son constantes en una sección, y

∬ Y 2 dA=I z Por lo tanto: ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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L

U Mz=∫ o

L

U My =∫ o

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M 2z dL( 2.17) 2∗E c∗I z

M 2y dL(2.18) 2∗Ec∗I y

Las ecuaciones 2.17 y 2.18 expresan la energía de deformación por momento flexionante. 2.4.4. Energía de deformación causada por el momento torsionante. τ

Las tensiones tangenciales distancia

ρ

en un punto arbitrario de la sección transversal, situado a una

del centro, se calculan por la fórmula: τ=

Mx ρ Ip

Donde: I p =¿ Momento polar de inercia. ρ=¿

Distancia del centro de la sección al punto

en estudio. Se cumple la ecuación 2.13 y se tiene L

2

U Mx =∫ dL∬ o

En donde

Mx

2

M x∗ρ dA 2 2∗G∗I p , G,

Ip

son constantes en una sección, y

∬ ρ2 dA=I p Por lo tanto:

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L

U Mx =∫ o

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2

Mx dL(2.19) 2∗G∗I p

La expresión 2.19 es la energía de deformación por momento torsionante. En el caso general de una barra sujeta a los seis posibles esfuerzos, se obtiene que: L

U T =∫ 0

L L L L L N 2x Q 2y Q2z M 2z M 2y M 2x dL+∫ k y dL+∫ k z dL+∫ dL+∫ dL+∫ dL(2.20 2∗E∗A 2∗G∗A 2∗G∗A 0 0 0 2∗E∗I z 0 2∗E∗I y 0 2∗G∗I p

La expresión 2.20 es la energía de deformación total para un elemento sometido a 6 esfuerzos.

2.5 TEOREMA DE BETTY. El teorema del trabajo reciproco de Betty establece que el trabajo realizado por un sistema de Pm Pn fuerzas durante la deformación ocasionada por otro sistema de fuerzas (figura 2.4) es igual al trabajo realizado por las fuerzas fuerzas

Pm

Pn

durante la deformación ocasionada por las

“es decir, los trabajos mutuos o indirectos de dos sistemas de cargas y

deformaciones son iguales”, y está representada por la ecuación 2.21.

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2.6. TEOREMA DE CASTIGLIANO. 2.6.1. Primer teorema. Consideremos un cuerpo elástico sujeto a la acción de un sistema de fuerzas. La energía de deformación es función de las fuerzas, es decir: U T =U ( Pi ) Se esta función se supone diferenciable ∆U=

En donde “a” tiende a cero cuando

∆ Pi

Supóngase que se aplica primero el sistema

∂U T ∆ Pi +a ∆ P i(2.22) ∂ Pi

tiende a cero y recíprocamente. ∆ Pi

y después el sistema

Pi

obteniéndose.

1 1 U ∆ P ,P = ∆ Pi∗∆ δ 1 + Pi∗δ i +∆ Pi∗δ i (2.23) 2 2 i

i

En donde: 1 U P = P i∗δ i 2 i

O sea que: 1 ∆ U =U ∆ P ,P −U P = ∆ P i∗∆ δ 1 +∆ Pi∗δ i (2.24) 2 i

i

i

Igualando las ecuaciones 2.22 y 2.24 ∂U T 1 ∆ Pi + a ∆ P i= ∆ Pi∗∆ δ 1 + ∆ Pi∗δ i ∂ Pi 2

Dividiendo ambos miembros entre

∆ Pi

y tomando límites cuando

∆ Pi

tiende

a cero, se obtiene finalmente que: ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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∂U T =δ i (2.25) ∂ Pi La ecuación 2.25 se conoce como el primer teorema de Castigliano. Enunciado: la derivada parcial de la energía de deformación total con respecto a una fuerza que obra en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza y en la dirección de dicha fuerza. 2.6.2. Segundo teorema. El segundo teorema de Castigliano puede obtenerse de la misma manera, obteniéndose: ∂U T =Pi (2.26) ∂ δi Los dos teoremas son aplicables a los sistemas elásticos lineales o no lineales siempre que la temperatura sea constante u los apoyos sean firmes.

3. CALCULO DE ESCALERAS ORTOPOLIGONALES POR EL METODO DE LA ENERGIA

1

INTRODUCCION.-

En este capítulo se ofrecerá un método para el cálculo de las escaleras ortopoligonales, se señalará el método de la energía deduciendo las fórmulas para los momentos. En el método se considera a la escalera como una estructura compuesta por elementos de barras, orientadas por el eje geométrico (figura 3.1). Los elementos están definidos por las huellas y contrahuellas de base igual al ancho de la escalera y conectados por sus extremidades, el eje ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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geométrico nos sirve de marco de referencia en base al cual efectuaremos todo el cálculo, sobre él se aplicarán las cargas y se determinaran los momentos. Figura 3.1

3.1.

Definición del Eje Geométrico.

DISTRIBUCION DE CARGAS.

En las escaleras calculadas como losas inclinadas se asumen que la carga es uniformemente distribuida, para el análisis de las escaleras ortopoligonales, por razones de simplificación y facilidad en los cálculos, adoptaremos la distribución de cargas de la figura 3.2. Figura 3.2 Distribución de Cargas.

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Es decir, consideraremos una carga P concentrada actuando en el plano medio de cada huella. Al hacer esta sustitución, estamos dentro de lo razonable, ya que si bien es cierto que la carga muerta se asemeja más a una carga uniformemente distribuida, con la hipótesis adoptada el error es insignificante ya que la longitud de la huella es pequeña. En lo que se refiere a la carga viva, esta se aproxima más a la acción de una carga concentrada actuando en el plano medio de la huella, pues si observamos detenidamente como una persona sube o baja una escalera, vemos que esta tiende a pisar en la proximidad del plano medio de la huella siendo la misma el principal sostén de la carga viva. La carga concentrada (P) está constituida por la carga muerta y la carga viva que es el peso impuesto por el transito sobre la escalera. En esta situación, encontraremos las expresiones para los momentos en el centro de la estructura como también en los empotramientos.

3.2. METODO DE LA ENERGIA. 3.2.1. Escaleras Ortopoligonales de un Solo Tramo. 3.2.1.1. Caso “A” Cuando el Número de Huellas es Impar. En el siguiente análisis se designará a: L = longitud de la huella h = altura de la contrahuella. ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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n = número de huellas en la mitad de la luz de la escalera Figura 3.3 Escalera Tipo (a) Y P P

P nh P

(a) X

P 2nh

P/2 Mo nL

L h

P

L/2

(b) P

La=L(2n+1)

Analizando la estructura seccionada por el plano de simetría de carga (figura 3.3b), y de acuerdo al primer teorema de castigliano ecuación 2.25 tenemos: ∂U T =∅i ∂ Mi Para el plano de simetría de carga resulta: ∂ UT =0( 3.1) ∂M0

Desarrollando la ecuación 3.1 e integrando se tiene:

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Mx My dx +¿∫ dy=ϕ0 =0(3.2) E c∗I L E c∗I h ∂ UT =∫ ¿ ∂M0 Dónde: IL = Inercia de la huella. Ih = Inercia de la contrahuella. Resolviendo en forma separada los términos de la ecuación 3.2, y con los ejes coordenados de la figura 3.3b, encontraremos la expresión para el momento en el centro de la estructura. a) Momento en el centro de la Estructura. Mx dx  I1 c * IL

E Para el primer término tenemos:

Aplicando el principio de superposición, la ecuación anterior se resume en:  2 n 1

I1 



L 2

 2 n 1

M o dx 

0

 0

L 2



Px  2

 2 n 1



L 2

 P  x  L  dx  .... 

 2 n 1



L 2

nL  L

L

 P  x   n  1 L  dx 

 2 n 1



L 2

 P  x  nL  dx

nL

Integrando la anterior ecuación en sus límites y operando se tiene: I1  M 0  2n  1

L PL2 PL2 PL2 PL2 P 32 L2 P12 L2 2 2 2 2    2n  1   2n  1   2n  3   2n  5  ...  2 16 8 8 8 8 8

I1  M 0  2n  1

L PL2 PL2  2 2 2 2   2n  1   2n  1   2n  3   2n  5   ...32  12 2 16 8

I1  M 0  2n  1

L PL2 PL2  2 2 2 2 2  1  32  ...  2n  5    2n  3    2n  1   2n  1    2 16 8

Pero : 12  32  52  7 2  .....   2n  5    2 n  3    2 n  1  2

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

2

2

n *  2 n  1  2 n  1 3

(a)

23

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Por lo tanto: 1 I1  EC * I L



 M0 

 2n  1 L 2

 2n  1 

16

 PL 



2

2



  n  2n  1  2n  1  24   

(3.3)

Llamando:

 2n  1 C 16

II 

2



n  2n  1  2n  1 24

y

A

 2n  1 2

1  M 0 * L * A  P * L2 * C  EC * I L (3.4)

Para el segundo término tenemos:

E

My

C

0 yh

dy  I 2

P L * 2 2 P 3L L My  M 0  *  P * 2 2 2 P 5L 3L L My  M 0  *  P*  P* 2 2 2 2  n  1 h  y  n * h My  M 0 

h  y  2h 2h  y  3h Generalizando : My  M 0 

* Ih

P  2n  5  L P  2n  3 L P  2n  1 L PL 3PL 5PL    ...........   2 2 2 2 4 2

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

24

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nh

P  2n  5  L P  2n  3  L PL 3PL 5 PL dy   dy   dy  ....   dy   dy  2 2 2 2 2 2h 3h  n2 h  n 1 h

nh

nh

I 2   M 0 dy   0

h

 0

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

h

nh

nh

nh

PL  2n  1 PL 3PL 5 PL 7 PL dy   dy   dy   dy  .........   dy 4 4 4 4 4 h 2h 3h  n 1 h 2h

3h

4h

nh

Integrando y operando tenemos: I 2  M 0 nh 

PLh PLh  n  1  3  n  2   ....2  2n  5    2n  3      1  3  5  7  ....   2n 1  2 4

Por inducción se demuestra que:

1 n  1  3  n  2   5  n  3   .....  2  2n  5    2 n  3  1  3  5  7  ..................   2n  1  n 2

n  2n  1  n  1 6 (b)

Reemplazando estas en la anterior ecuación y agrupando:  n  2n  1  n 1 I 2  M 0 n h P L h  12 

D

Llamando B=n

y

n 2  4

(3.5)

n n2  n  1  2n  1  12 4

Reemplazando B y D en la ecuación 3.5: I2 

1  M 0 h B P L hD  EC * I h (3.6)

Finalmente:

I 1 + I2 = 0

Sumando 3.4 y 3.6 K

I L h I h L

Si

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

25

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M0 

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

P L   C K D   A  K B 

TENEMOS:

(3.7)

La expresión (3.7) es para el momento en el centro de la estructura. b) Momento en el Extremo de la Estructura. De la figura 3.3b se tiene la siguiente expresión: M ab  M 0  P

L 3L 5L PL PL P P  ........   2n  1   2n  1 2 2 2 2 4 (c)

Pero 1+3+5+7+……+ (2n-1)=n2 M ab  M 0 

PL 2 PL n   2n  1 2 4

E

Llamando

M ab  M 0 

PL 2 n 2  2 n  1  4

2n 2  2 n  1 4

M ab  M 0  P L E TENEMOS:

(3.8)

La ecuación 3.8 es el momento en el extremo de la estructura. Si la escalera esta simplemente apoyada, el momento en el centro vale : Mo = P . L . E

3.2.1.2.

Caso “B” Cuando El Numero De Huellas Es Par. Figura 3.4 escalera tipo (a)

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

26

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Y P

P

P

P (2n-1)h 2

P (a)

P Mo

P

(2n-1)h

X P nL

nL (b)

P

2nL

a) Momento en el Centro de la Estructura.

U T 0 M 0 Aplicando la condición

para el plano de simetría se tiene:

My Mx U T  dx   dy  0  0 M 0 Ec * I L Ec * I h

Mx dx  I1 c * IL

E Para el primer término:

Según la figura 3.4b se tiene:

  2n  1 L dx L 3 L    5L I1   M o dx   P  x   dx   P x   dx   P x   dx  .......   P  x   2 2   2  2 0 L /2 3 L /2  5 L /2  2 n 1  L /2   nL

nL



nL

nL

nL

Integrando la anterior ecuación en sus límites y operando tenemos:

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

27

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I1  M 0 nL 

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

PL2 PL2 PL2 PL2 2 2 2  2n  1   2n  3    2n  5   .....  8 8 8 8



PL2 2 2 2 2 2 I1  M 0 nL  1  3  ........   2n  5    2n  3    2n  1 8



Utilizando la ecuación (a) se tiene: PL2 n I1  M 0 nL  *  2n  1  2n  1 8 3 C

Llamando A=n

y

n  2n  1  2n  1 24

I1 

1 M 0 AL  PL2C   Ec * I L

Reemplazando A y C en I1

(3.9)

My

E

c

* Ih

dy  I 2

Para el segundo término: Según la figura 3.4b tenemos:  2 n 1

I2 



h 2

 2 n 1

M 0 dy 

0



h /2

h 2

PL dy  2

 2 n 1



3 h /2

h 2

 2 n 1

h 2

 2 n 1

h 2

3PL PL PL dy  .....    2n  5  dy    2n  3  dy 2  2 n 5  h /2 2  2 n 3 h /2 2

I 2  M 0  2n  1

h PLh 3PLh 5 PLh PL PL   n  1   n  2   n  3  .....   2n  5  2h   2n  3 h 2 2 2 2 2 2

I 2  M 0  2n  1

h PLh    n  1  3  n  2   5  n  3  .............  2  2n  5    2n  3  2 2

Utilizando la ecuación (b) se tiene:

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

28

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I2 

1 Ec * I h



 M 0h 

B

Llamando

 2n  1  PLh 2

1  2n  1 2

I2 

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

 n  2n  1  n  1  12 

y

D

n  2 n  1   n  1 12

1  M 0 hB  PLhD  Ec * I h (3.10)

Finalmente K

I1 + I2 =0

Sumando 3.9 y 3.10 y,

I L h I h L

Si M0 

P L   C K D   A  K B 

TENEMOS

(3.11)

La expresión (3.11) es para el momento en el centro de la estructura b) Momento en el Extremo de la Estructura. De la figura 3.4b se tiene la siguiente expresión para el momento: M ab  M 0  P

L 3L 5L L P P  .......................  P  2 n 1 2 2 2 2

Agrupando términos y reemplazando la ecuación (c): M ab  M 0 

PLn 2 2

llamando E 

n2 2

M ab  M 0  P L E TENEMOS

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

(3.12)

29

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

La ecuación (3.12) es el momento en el extremo de la estructura. Si la escalera esta simplemente apoyada, el momento en el centro vale:

Mo = P . L . E

3.2.2.

Escaleras con dos Descansos Extremos.

3.2.2.1.

Escaleras con Descansos Iguales y Apoyos en los puntos, “A” y ”B”. Figura 3.5 Escalera Tipo (b) P

q

P A1

A

P P P

q B

S

La=L(2n+1)

B1 S

Resolveremos la estructura presentada en la figura 3.5, que en forma reducida consiste en lo siguiente: a) b) c)

Se calcula los momentos de empotramiento de cada tramo. Se calcula el momento de desequilibrio Md en el nudo considerado. Se determinan las rigideces angulares y los factores de transporte correspondientes, de acuerdo a la condición de apoyo.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

30

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d) e)

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Se obtiene la rigidez del nudo y los factores de distribución en cada una de las piezas. Se obtiene los momentos debido al giro (MØ) en el nudo considerado, para cada pieza que concurre a cada nudo, multiplicando los factores de distribución por el momento de desequilibrio Md con signo contrario. Para obtener los momentos debido al giro (MØ) en el extremo opuesto, se debe multiplicar los momentos debidos al giro en el nudo por los correspondientes factores de transporte.

f)

Se determina los momentos finales sumando algebraicamente los momentos de empotramiento (Me) con los momentos debido al giro (MØ).

a)

Calculo de los Momentos de Empotramiento.

Como la estructura es simétrica, podemos resolver el problema considerando un solo nudo, sea este el nudo A.

Tramo A1A M

e A1 A

q*S2  12

M

e AA1

q*S2  12

(3.13)

Tramo AB Reemplazando la ecuación 3.7 en la 3.8, tendremos el momento de empotramiento.

C  KD  M e AB  PL  E   A  KB  Se observa que los signos de los términos están cambiados, esto en razón de que el momento en “A” debe ser positivo y en “B” negativo. b)

Calculo del Momento Desequilibrado en el Nudo “A”.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

31

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

C  KD q *S2  M d  M e AA1  M e AB  PL  E    A  KB 12  c)

(3.14)

Calculo de las Rigideces Angulares y de los Factores de Transporte.

Consideremos una viga fija en sus extremos y sin ninguna carga entre los puntos A y B. Por las ecuaciones de la deflexión de la pendiente podemos escribir:

MA 

2 Ec I  2a  b  L

MB 

2 Ec I  a  2b  L

b  K1 * a Si hacemos la siguiente relación

MA 

2 Ec I  2  K1  a L

tenemos:

MB 

2 Ec I  1  2 K1   a L

Ecuaciones que nos dicen que los momentos en los extremos

(3.15) A y B son directamente

proporcionales al giro en el punto “A” (ϴA) y los factores de proporcionalidad son: M A 2 Ec I   2  K1  a L

M B 2 Ec I   1  2 K1  a L (3.16)

Podemos decir que dependen exclusivamente de las condiciones de apoyos y de las propiedades geométricas y elásticas de la pieza. Si hacemos ϴA = 1 en la primera de la ecuación 3.16, la constante: 2 Ec I  2  K1  L

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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Representa al momento que actuando en el punto “A”, origina un giro unitario en dicho punto, a este valor se lo denomina RIGIDEZ ANGULAR. Y lo denominaremos con: RAB 

2 Ec I  2  K1  L

(3.17)

Si se dividen las ecuaciones 3.16 entre sí, tenemos: MB 

2 K1  1 MA 2  K1

Si

t AB 

2 K1  1 2  K1 (3.18)

Donde tAB es el factor transporte. -

Calculo de la Rigidez y Factor de Transporte del Tramo AA1

En nuestro caso el extremo A1 se encuentra empotrado; entonces ϴA = 0 lo cual da:

K1 

 A1 0 A

Reemplazando este valor en las ecuaciones 3.17 y 3.18, obtenemos la rigidez y el factor de transporte para este tramo.

RAA1 

4 Ec I s S

t AA1 

1 2

Dónde: RAA1 = Rigidez angular en el punto “A” del tramo AA1. tA1A = Factor de transporte del momento en “A” hacia A1. IS = Momento de inercia de la sección transversal del descanso.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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S = Longitud del descanso.

-

Calculo de la Rigidez y Factor de Transporte del Tramo AB.

Para el cálculo de la rigidez en este tramo nos remitimos a la definición de Rigidez Angular que dice: “La rigidez Angular en el extremo de una pieza es el momento que se requiere aplicar en este para que gire un ángulo unitario”. Por tratarse de una estructura geométricamente simétrica, además de existir simetría de cargas y propiedades elásticas, es fácil prever que el giro en “A” será igual al giro en “B”, pero de signo contrario ϴA = -ϴB (figura 3.6). Así pues, si tenemos un Angulo unitario en los extremos, el Angulo que forman estas dos tangentes será igual a dos. Por el primer teorema de Mohr sabemos que el Angulo formado por dos tangentes esta medido por el área del diagrama de los momentos flectores entre los puntos de tangencia, dividido entre EI, por lo que podemos escribir: Figura 3.6

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

34

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? =1 A

A M

1

2nh

? =1 B

B L(2n+1) M

2

M 1  2n  1 Ec I L

L

1

M 1 2nh Ec I h

Dividiendo ambos miembros entre 2 se tiene:

1

A

2n  1 2

M 1  2n  1 M 1 2nh  2 Ec I L 2 Ec I h

y

Bn

Pero sabemos que:

1

M 1 AL M 1 Bh  Ec I L Ec I h

K



1

LM 1  BhI L  A  Ec I L  LI h 

hI L LI h

Pero: M1 = RAB

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

35

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1

LRAB  A  BK  Ec I L

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307



RAB 

Ec I L 1 L  A  BK 

Como ϴA = -ϴB = 1 K1 

d)

B  1 A

t AB  1

Calculo de la Rigidez del Nudo y factores de Distribución.

RA  RAA1  RAB Rigidez del nudo:

RA 

4 Ec I s Ec I L 1  S L  A  KB 

Reemplazando valores:

d AA1 

RAA1 RA

Factores de distribución: Reemplazando valores y ordenando;

d AA1 

K2 

4 4

S I L 1 L I S  A KB 

S I L L I S

Denominando:

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

36

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d AA1 

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

4 K2 4  A  KB 

Tenemos el factor de distribución. Como los factores de distribución deben sumar 1 tendremos:

d AB  1  d AA1

e)

Calculo de los Momentos Debido al Giro.

El momento de desequilibrio se distribuye en las barras que concurren al nudo proporcionalmente a las rigideces angulares de las piezas.

M  AA1   d AA1 * M d

M  AB  d AB * M d

Para obtener el momento debido al giro en el extremo A1 debemos multiplicar el momento debido al giro correspondiente (en el nudo) por el factor de transporte del nudo A al A1.

M  A1 A  M  AA1 * t AA1

Reemplazando valores,

M  A1 A  d AA1 * M d * t AA1   f)

d AA1 2

Md

Calculo de Momentos Finales.

Los momentos finales en el nudo “A” y el extremo “A1” los obtenemos sumando algebraicamente los momentos de empotramiento Me con los momentos debido al giro Mϴ.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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Momento final en “A”. Sumando los momentos mencionados y reemplazando valores da:

M AB   M AA1  d AA1 M e AB  d AB M e AA1

Momento final en “A1”. Sumando los momentos mencionados y reemplazando valores da:

M A1 A  M e A1 A 

d AA1 2

M

e AB

 M e AA1



Momento final en el centro:

M 0  PEL  M AB

3.2.2.2.

Escaleras con Descansos Iguales pero Sin Apoyos en los Puntos “A” y ”B”.

Resolvemos por el método de la energía, por la simetría de la estructura y cargas, la fuerza de corte y la fuerza axial será igual a cero, solamente actúa un momento M0. Figura 3.7 P

q A

A1

Escalera Tipo (c)

P P P AL = (2n-1)h 2

S

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

La=L(2n+1)

P

q

B

S

B1

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El giro en el plano de simetría será igual a cero, por la ecuación 3.2 podemos escribir:

UT  M 0

AL

 0

nh AL  S My Mx Mx dx   dy   dx  0  0 Ec I L Ec I h Ec I S 0 AL

(3.19) Los dos primeros términos de 3.19 fueron determinados en el apartado 3.3.1 y está dada por: AL

I1  I 2 

 0

nh My Mx L dx   dy    M 0 A  PLC   K  M 0 B  PLD   Ec I L Ec I h Ec I L 0

(3.20) a)

Momento en el Centro. AL  S



AL

Mx dx  I 3 Ec I S

Evaluación de: AL  x  AL  S

Ecuación general del momento:

Mx  M0 

q P 2  x  AL   P  x  nL   P  x   nL  L   P x   nL  2 L   ......  P  x  2L   P  x  L   x 2 2

Agrupando e integrando se tiene:

I3 

AL  S



AL

q M 0 dx  2

AL  S

  x  AL 

2

dx  Pn

AL

AL  S



AL

xdx  PL

AL  S

AL  S

AL

AL

  n   n  1   n  2   ......2  1 dx  

n   n  1   n  2    n  3  ........3  2  1 

P xdx 2

n  n  1 2

Pero Reemplazando en la expresión anterior, integrando y operando se tiene I3.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

 S  qS 2 I3   EPL  PZ  M0  Ec I S  6 

(3.21)

Dónde:

E

n  n  1 2

 2 AL  S  

Z

2

1  B  2 

Bn

Reemplazando las ecuaciones 3.20 y 3.21 en la ecuación 3.19 tenemos:

M0 

PL  C  KD  K 2 F  A  KB  K 2 (3.22)

Dónde:

F

qS 2 Z E 6 PL L

K2 

SI L IS L

La ecuación 3.22. Es el momento en el centro de la estructura. b)

Calculo del Momento en el Punto “A”.

Tomando momento de las fuerzas a la derecha del punto “A” se tiene:

M A  M 0  PLE (3.23)

 2n E

2

 2n  1 4

Dónde:

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

40

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c)

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Calculo del Momento en el empotramiento “A1”.

Tomando momento de las fuerzas a la derecha de “A1” se tiene: M A1  M A 

3.2.3.

qS 2 PS   2n  1 2 2

(3.24)

Escaleras con Descanso Intermedio.

3.2.3.1.

Escaleras con Descanso Intermedio y Extremos Empotrados. Figura 3.8 Escalera Tipo (d)

P P

A

h q

2nh

h P h P h B

nL

S

nL

Para este caso se empleó el método de la energía, y las soluciones obtenidas por un análisis idéntico al del caso anterior son los siguientes: a)

Momento en el Centro de la Estructura.

qS 2 X  QLY  PLZ M0  W

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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Dónde: K  6n  1  K  X 2 24 W  K 2  2n  1  K 

b)

n 2  Kn  n  1 Y 2 Q  qS  P

K2 

Z

SI L IS L

n  n  1  2n  1 Kn  n  1  n  2   6 3 K

ILh Ih L

Momento de Empotramiento.

M A  M0 

 S   nL  PLn 2  4  2

qS 

(3.26)

2n = número total de contrahuella. 3.2.3.2.

Escaleras con Descanso Intermedio y Extremos Apoyados en “A” y ”B”.

P

q

P A1

A q

2nh

P P

q B1

B S

nL

S

nL

S

Figura 3.9 Escaleras Tipo (e) En este caso es algo semejante al presentado en el apartado 3.3.2.1 por lo que sugerimos el mismo procedimiento para su solución. ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

42

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a)

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Calculo de los Momentos de Empotramiento.

Consideremos la figura 3.9

M e A1 A 

qS 2 12

M e AA1  

qS 2 12

Tramo AA1 Tramo AB. Para este tramo el momento de empotramiento viene dado por la ecuación 3.26.

M e BA  M 0  b)

 S   nL  PLn2  4  2

qS 

M e AB

 S  qS  nL  PLn2 4     M0 2

Calculo del Momento Desequilibrante en el Nudo “A”.

M d  M e AA1  M e AB c)

Calculo de las Rigideces Angulares y del Factor de Transporte.

Por las mismas consideraciones que en el apartado 3.3.2.1 tenemos: Tramo AA1

RAA1 

4 Ec I S S

t AA1 

1 2

(3.27)

Tramo AB Partimos de la definición de rigidez angular, por consiguiente:

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

43

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2 2

M 1  2nL  Ec I L



ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

M 1S M 1  2nh   Ec I S Ec I h

M1L  SI L hI L   2n  2n  Ec I L  LI S LI h 

(3.28)

Pero sabemos que:

K2 

SI L IS L

K

I Lh Ih L

M 1  RAB Por definición sabemos: Luego la ecuación 3.28 será:

RAB 

2 Ec I L 1 L K 2  2n  1  K  (3.29)

d)

Calculo de la Rigidez del Nudo y de los Factores de Distribución.

RA  RAA1  RAB (3.30)

Rigidez del nudo:

d AA1 

RAA1 RA (3.31)

Factores de distribución, Reemplazando las ecuaciones (3.27)(3.29), en (3.30) y ella en (3.31) se tiene:

d AA1 

2 K2 2 K 2  2n  1  K  (3.32)

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

44

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Como los factores de distribución en el nudo “A” deben sumar 1 tenemos:

d AB  1  d AA1 e)

Calculo de los Momentos debido al Giro.

El momento de desequilibrio (Md) se distribuye en forma proporcionada a las rigideces angulares de las barras que concurren al nudo, así tenemos:

M  AA1  d AA1 M d

M  AB  d AB M d

El signo negativo se explica ya que estos momentos Mϴ tienden a equilibrar al Md. Para el momento debido al giro en el extremo A1, debemos multiplicar el momento correspondiente en el nudo por el factor de transporte de A hacia A1.

M  A1 A   f)

d AA1 2

Md

Calculo de los Momentos Finales.

Esto se obtiene sumando los momentos de empotramiento con los debido al giro. Momento final en “A”.

M AB   M AA1  d AA1 M e AB  d AB M e AA1

Momento final en “A1”.

M A1 A  M e A1 A 

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

d AA1 2

M

e AB

 M e AA1



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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Momento final en el centro. 4 PLn 2  qS  S  4 Ln  M0   M AB 8

Donde cada variable fue definida anteriormente, y: q = carga distribuida en el descanso. S = longitud del descanso. L= longitud de la huella. 3.2.3.3.

Escaleras con Descansos Intermedio, pero sin apoyo en los extremos “A” y “B”. Figura 3.10 Escalera tipo (f) Y P

q

P

A

A1

q 2nh

P

X

S/2 P

q B

S

nL

S

nL

B1 S

Este tipo se resolvió por el método de la energía, y las expresiones de los momentos encontrados son las que se dan a continuación en forma resumida.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

46

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a)

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Momento en el Centro de la Escalera. M0 

qS 2 X  PLY  qLSZ  PLE W

Dónde: 6n  1  K   27 K 2 X 24

3n 2  2 K 2  1  n  n  1  2n  1  1  K  Y 6

n 2  Kn  n  1  2nK 2 Z 2 K2 

b)

SI L IS L

K

I Lh Ih L

W  3K 2  2n  1  K 

E  nK 2

2n............. numero total de contrahuella

Momento en el Punto A. S  qS  nL    PLn 2 4 M A  M0   2

c)

Momento en el Punto A1.

M A1  M A  S  qS  Pn 

EJEMPLO NUMERICO. Diseñar la escalera ortopoligonal para una s/c de 500 kg/m2 y un ancho de escalera de 1 m. ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

Espesor de la huella y contrahuella

e = 0.10 m

Longitud de la huella

L = 0.30 m

Longitud de la contrahuella

h = 0.18 m

Ancho de escalera

b = 1.00 m

Numero de huellas

2n = 9.00

Sobrecarga

q = 500 kg/m2

Peso específico del hormigón

γH° = 2400 kg/m3

Peso específico de la carpeta de nivelación

γM = 2000 kg/m3

Peso específico del revoque de yeso

γy = 18 kg/m2

Peso específico del mosaico

Pp = 20 kg/m2

Espesor de la carpeta de nivelación

ec = 0.02 m

Espesor del revoque de yeso

ey = 0.015 m

Espesor del mosaico

emos = 0.015 m

SOLUCION POR EL METODO DE LA ENERGIA Figura 1. Escalera Ortopoligonal Tipo “A”

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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A

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

P P P P P P

2nh

2nh

P P P

B

La = (2n+1) L La = (2n+1)L

1. ANALISIS DE CARGAS - Carga Permanente “G” Peso del mosaico en una huella………… 2000 kg/m3 *0.010 m *0.30 m*1.00 m = 6.00 kg Peso del piso en una contrahuella……….2000 kg/m3 *0.010 m *0.18 m*1.00 m = 3.60 kg Peso de la carpeta en una huella………..2000 kg/m3*0.02 m*0.30 m*1.00 m

= 12.00 kg

Peso de la carpeta en una contrahuella…2000 kg/m3*0.02 m*0.18 m*1.00 m

= 7.20 kg

Peso propio de la huella………………...2400 kg/m3*0.30 m*0.10 m*1.00 m

= 72.00 kg

Peso propio de una contrahuella………..2400 kg/m3*0.18 m*0.10 m*1.00 m

= 43.20 kg

Peso del cielo debajo una huella…………1200 kg/m3*0.015 m*0.30 m*1.00 m = 5.40 kg Peso del cielo debajo una contrahuella…1200 kg/m3*0.015 m*0.18 m*1.00 m TOTAL CARGA MUERTA

-

= 3.24 kg

G = 152.64 kg

Carga Variable “Q”

Sobrecarga de uso en una huella

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

500 kg/m2*0.30 m* 1.00 m = 150.00 kg

49

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

TOTAL CARGA VIVA

Q = 150.00 kg

CARGA TOTAL: P=γ G∗G+γ Q∗Q P=1.5∗152.64+1.6∗150.00

P=468.96 kg 2. CALCULO DE LOS MOMENTOS Figura 2. Numero de huellas a la mitad de la escalera

P A

P

nh

P nh

P P/2 nL nL

Mo L/2

CALCULO DE LOS MOMENTOS EN EL CENTRO DE LA ESTRUCTURA “Mo” M o=

P∗L∗( C+ K∗D ) A + K∗B

Donde: A=

( 2 n+1 ) 2

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

B=n

( 2 n+1 )2 n ( 2 n+1 ) ( 2 n−1 ) C= + 16 24

D=

n ( n2 n−1 )( 2 n−1 )+ 12 4

K=

I L∗h e L 3∗h = I h∗L eh3∗L

Determinando: A=

( 2 n+1 ) (2∗4+ 1) = =4.5 2 2

B=n=4

C=

( 2∗4 +1 )2 4 (2∗4 +1 ) ( 2∗4−1 ) + =15.56 16 24

4 ( 4−1 ) (2∗4−1 ) 4 2 D= + =11 12 4 1∗0.103 ∗0.18 12 K= =0.6 3 1∗0.10 ∗0.30 12 Entonces reemplazando: M o=

P∗L∗( C+ K∗D ) 468.96∗0.30∗(15.56+ 0.6∗11 ) = A + K∗B 4.5+0.6∗4

M o=551.83 kg∗m

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

CALCULO DE MOMENTOS EN LOS EXTREMOS DE LA ESTRUCTURA “M AB = MBA” M AB=M 0−PLE Donde: 2

E=

2 n +2 n+1 4

E=

2 ( 4 ) + 2∗4+1 =10.25 4

2

M AB=451.83−468.96∗0.30∗10.25 M AB=−990.22 kg∗m

CALCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS DE LA ESTRUCTURA “R A = RB” Figura 3. Esquema de Fuerzas en el Empotramiento.

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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990.22 kg*m

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

P P P P

RA = R

P P P P P

990.22 kg*m

RB = R

+↑ Σ F y =0 ; 2∗R−9 P=0 ; R=

R=

9P 2

9∗( 468.96) 2

R=2110.32 kg

3. CALCULO DE DIAGRAMA DE ESFUERZOS “M” y “V” MOMENTO FLECTOR 0 ≤ x ≤ ( 2 n+1 )

M x =M O −

L 2

P x −P ( x−L ) −P ( x−2 L )−P ( x−3 L )−P ( x−4 L )−⋯⋯−P ( x−n ) 2

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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M x =M O −

ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

P x −P ( x−L ) −P ( x−2 L )−P ( x−3 L )−P ( x−4 L ) 2

Tabla de momentos para los diferentes tramos de x. x 0 1/2 L 3/2 L 5/2 L 7/2 L 9/2 L

Mx [kg*m] 451,83 416,66 275,97 -5,41 -427,47 -990,22

Figura 4. Diagrama de cortantes “V” [kg]

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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Figura 5. Diagrama de momentos “M” [kg*m]

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

4. DISEÑO DE LA ESCALERA ORTOPOLIGONAL DATOS PARA EL CALCULO DE DISEÑO Momento en el centro

Mo = 451.83 kg*m

Momento en el apoyo

MAB = 990.22 kg*m

Reacción en los apoyos

R = 2110.32 kg

Resistencia característica del hormigón

fck = 210 kg/cm2

Limite elástico del acero

fyk = 5000 kg/cm2

Coeficiente de minoración del hormigón

yc = 1.50

Coeficiente de minoración del acero

ys = 1.15

Recubrimiento

r = 2.0 cm

CALCULO DE LAS RESISTENCIAS MINORADAS. La resistencia de cálculo para el hormigón será: ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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f cd =

f ck γc

f cd =

210 =140 kg /cm 2 1.5

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Donde: fck = resistencia característica del hormigón γc = coeficiente de minoración del hormigón la resistencia de cálculo del acero será: f yd =

f yk γs

f yd =

5000 =4347.83 kg/cm2 1.15

Donde: fyk = resistencia característica del acero γs = coeficiente de minoración del acero

CALCULO DEL PERALTE MÍNIMO. El canto mínimo viene dado por la siguiente formula: d min =2

√

d min =2

√

Md b∗f cd kg∗m∗100 cm 1m 100 cm∗140 kg/cm 2

990.22

d min =5.32 cm ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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La altura útil adoptada es: d=e−r=10 cm−2 cm →d =8 cm Como dmin < dadoptada para el momento mayor, la sección no necesita armadura de compresión. CALCULO DEL AREA MINIMA. Por rotura frágil A min =

0.04∗f cd∗b∗d f yd

A min =

0.04∗140 kg/cm 2∗100 cm∗8 cm 4347.83 kg /cm 2

A min =1.030 cm2 Por retracción y temperatura A min =0.0018∗b∗d A min =0.0018∗100 cm∗8 cm A min =1.44 cm2 Tomamos como área mínima la mayor de ambas que en este caso es por retracción y temperatura A min =1.44 cm2 CALCULO DE LA ARMADURA EN EL CENTRO. Para Md+ = 451.83 kg*m, en el centro de la escalera. Calculo de la armadura en el empotramiento μd =

Md 2

b ¿ d ∗f cd

ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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kg∗m∗100 cm 1m μd = 2 100 cm∗8 cm ∗140 kg /cm2 451.83

lim ¿=0.252( S . S . A .) μd =0.0504 A min =1.44 cm2 El área a emplear es mayor al Amin = 1.44 cm2

VERIFICACION A CORTE La contribución del hormigón es: V cu =0.5 √ f cd∗b∗d V cu =0.5 √140∗100∗8 ESCALERAS ORTOPOLIGONALES

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V cu =4732.864 kg La cortante normal de cálculo es: Vd=2110.32 kg Como Vcu > Vd

(la sección no necesita refuerzo para corte)

DISPOSICIÓN DE ARMADURA Para la disposición de la armadura se usarán estribos horizontales y verticales, esto para facilitar su construcción y colocación, por tal motivo se distribuirá con la mayor área requerida, es decir: A=3.09 cm

2

∅ 8 mm→ A=0.5 cm

2

nbarras=

A Ab

nbarras=

3.09 cm =6.18 ≈6 barras 2 0.5 cm

2

S=

b−2∗r n−1

S=

100 cm−2∗2 cm =19.2 cm ≈19 cm 6−1

S=19 cm Usar: 6 Ø 8 mm c/19 cm

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CONCLUSIONES. 

El método de la energía puede sustituir a muchos metodos hasta un ancho de la escalera igual a 1.0mt para un numero de huellas mayor o igual a cinco, puesto que a partir de este valor prácticamente se igualan los momentos calculados ya sea por uno u otro método.



La adopción que se utiliza para la distribución de carga (carga puntual), proporciona resultados aproximados a las que produciría una carga distribuida en cada huella, cuya diferencia o error entre ambas es despreciable, por lo que se sugiere un calculo practico y

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útil usar el método de la energía con dicha distribución de cargas considerando los puntos anteriores.

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