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• Lu Buenfil

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PROBLEMA: Los arcoíris se forman cuando la luz incide sobre gotas de lluvia, sufriendo reflexión y refracción como se indica en la figura. (Esta figura presenta una sección transversal de una gota de lluvia esférica). La ley de la refracción establece que (𝑠𝑒𝑛𝛼/𝑠𝑒𝑛𝛽) = 𝑘, donde 𝑘 ≈ 1.33 (para el agua). El ángulo de deflexión está dado por: 𝐷 = 𝜋 + 2𝛼 − 4β a) Utilizar una herramienta de graficación para representar: 1

D = 𝜋 + 2α − 4𝑠𝑒𝑛−1 (𝑘𝑠𝑒𝑛α), 0 ≤ α ≤ 𝜋/2

𝑘 2 −1 3

b) Demostrar que el ángulo mínimo de la deflexión ocurre cuando 𝑐𝑜𝑠𝛼 = √

Para el agua, ¿cuál es el ángulo mínimo de deflexión, 𝐷𝑚í𝑛? (El ángulo 𝜋 − 𝐷𝑚í𝑛 recibe el nombre de ángulo de arcoíris). ¿Qué valor de 𝛼 produce este ángulo mínimo? (Un rayo de luz solar que incide sobre una gota de lluvia a este ángulo, 𝛼, se conoce como un rayo de arcoíris.) 𝑠𝑒𝑛 ∝ =𝑘 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛− ( ) 𝑘 𝐷 = 𝜋 + 2𝛼 − 4β

𝑠𝑒𝑛𝛼 ) 𝑘

𝐷 = 𝜋 + 2𝛼 – 4 𝑠𝑒𝑛− (

𝐷´ = 2 − 4

(𝑐𝑜𝑠𝛼) 2 √1 − (1 𝑠𝑒𝑛𝛼) 𝑘 [ ] 𝑘

𝑐𝑜𝑠𝛼

𝐷´ = 2 − 4

𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ] 𝑘2 𝑘(𝑐𝑜𝑠𝛼) 𝐷´ = 2 − 4 [ ] 𝑘√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 √ [𝑘

𝐷´ = 2 − 4 [

𝐷´ = 2 − 4 [

(𝑐𝑜𝑠𝛼) √𝑘 2

− 𝑠𝑒𝑛2 𝛼

]

(𝑐𝑜𝑠𝛼) √𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1

] 𝑘 2 −1 3

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼 = √

𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑘2 − 1 3 )

(√ 𝐷´ = 2 − 4

2

2 √𝑘 2 + (√𝑘 − 1) − 1 3 [ ]

𝑘2 − 1 3 )

(√ 𝐷´ = 2 − 4

𝑘2 − 1 √𝑘 2 − 1 + ( 3 )] [ 𝑘2 − 1 3 )

(√ 𝐷´ = 2 − 4

4𝑘 2 − 4 √( ) 3 [ ]

√3(√𝑘 2 − 1) 𝐷´ = 2 − 4 [ ] √3(√4𝑘 2 − 4) 1 (√𝑘 2 − 1) 𝐷´ = 2 − 4 [ ] = 2 − 4( ) = 0 2 2 2(√𝑘 − 1)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 cosα = √

𝑘2 − 1 𝑝𝑜𝑑𝑟í𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑜 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 3

−2𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝑠𝑒𝑛𝛼(√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼) − 𝑐𝑜𝑠𝛼 ( ) 2√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ] 𝐷´´ = −4 [ 2

(√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼)

−𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝑠𝑒𝑛𝛼(√𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) − 𝑐𝑜𝑠𝛼 ( 2 ) 2𝛼 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 √𝑘 𝐷´´ = −4 [ ] 2

(√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼)

𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 −𝑠𝑒𝑛𝛼(√𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) + ( 2 ) √𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 𝐷´´ = −4 2 (√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼) [ ] −√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼(√𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) + ( 𝐷´´ = −4

√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼(𝑐𝑜𝑠 2 𝛼) ) √𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1

2

(√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼) [

] (

𝐷´´ = −4

−√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼(𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) + √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼(𝑐𝑜𝑠 2 𝛼) ) √𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 (√𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1)2

[

]

𝐷´´ = −4 [ (

−√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼(𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) + √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼(𝑐𝑜𝑠 2 𝛼) 3⁄ 2

(𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1)

𝐷´´ = −4 [√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 (

−(𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) + (𝑐𝑜𝑠 2 𝛼) )] 3 (𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1) ⁄2

𝐷´´ = −4 [√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 (

−𝑘 2 + 1

3⁄ )] 2

(𝑘 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1)

𝑘2 − 1 cosα = √ 3

2

𝑘2

𝐷´´ = −4 √1 − (√ [

−1 ) 3

−𝑘 2 + 1 2

3⁄ 2

𝑘2 − 1 (𝑘 2 + (√ 3 ) − 1) (

)]

)]

𝐷´´ = −4 √1 −

−𝑘 2 + 1

𝑘2 − 1 3

[

(

(𝑘 2

−𝑘 2 + 4 𝐷´´ = −4 √ 3 [

𝐷´´ = −4

(4𝑘 2 − 4)(√4𝑘 2 − 4 ) 3√3 ( )]

(√4𝑘 2 − 4)

)]

1⁄ 2

4𝑘 2 − 4 4𝑘 2 − 4 ( )( ) 3 3 (

√3

(3)√−𝑘 2 + 4

4𝑘 2 − 4 ( 3 )

−𝑘 2 + 1

−𝑘 2 + 1

)]

(

𝐷´´ = −4 [√−𝑘 2 + 4 (

𝐷´´ = [ (

3⁄ 2

(

√−𝑘 2 + 4 [

)]

−𝑘 2 + 1

−𝑘 2 + 4 𝐷´´ = −4 √ 3 [

3⁄ 2

𝑘2 − 1 + ( 3 ) − 1)

(−3)𝑘 2 − 1

)] (4(𝑘 2 − 1)(√4𝑘 2 − 4)

)]

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑘2 − 1 cosα = √ 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 3 •

Para el agua, ¿cuál es el ángulo mínimo de deflexión, 𝐷𝑚í𝑛?

𝐷´ = 2 − 4 [

0 = 2 − 4[

4[

(𝑐𝑜𝑠𝛼) √𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 (𝑐𝑜𝑠𝛼)

√𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼

(𝑐𝑜𝑠𝛼) √𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼

]

]

]=2

2[𝑐𝑜𝑠𝛼] = √𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 4

4[𝑐𝑜𝑠 2 𝛼] = 𝑘 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 → 𝑘 = 3

4 2 4[𝑐𝑜𝑠 2 𝛼] = ( ) − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 3 4𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =

16 − 9𝑠𝑒𝑛2 𝛼 9

36𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 16 − 9𝑠𝑒𝑛2 𝛼 36𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 9𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 16 9(4𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼) = 16 9(3𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼) = 16 9(3𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 1) = 16 27𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 9 = 16 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =

7 27

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √

7 27

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 − √

7 27

𝛼 = 57°23`27.97`` 4 2 (3)√− ( ) + 4 3

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛼: 𝐷´´ = [(

4 2 (√4 (3) − 4)

)]

𝐷´´ = 2.5354 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼 = 57°23`27.97`` 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛− ( ) 𝑘 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛− (

𝑠𝑒𝑛57°23´27.97´´ ) = 40°12´10.68´´ 4 3

𝐷 = 𝜋 + 2𝛼 − 4β 𝐷𝑚𝑖𝑛. = 180° + 2(57°23´27.97´´ ) − 4(40°12´10.68´´) 𝐷𝑚𝑖𝑛. = 137°58´13.2´´

•

El ángulo 𝜋 − 𝐷𝑚í𝑛 recibe el nombre de ángulo de arcoíris

Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜í𝑟𝑖𝑠 = 180° − 137° 58´´ 13.2´´ Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜í𝑟𝑖𝑠 = 42° 1´´ 46.77´´ •

¿Qué valor de 𝛼 produce este ángulo mínimo? (Un rayo de luz solar que incide sobre una gota de lluvia a este ángulo, 𝛼, se conoce como un rayo de arcoíris.)

𝑅𝑎𝑦𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜í𝑟𝑖𝑠 = 59°23´27.97´´

Conclusión: Gracias al cálculo, y así como las múltiples ramas de las matemáticas, somos capaces de poder aplicar los diversos conocimientos de estas para comprender y explicar cualquier fenómeno ocurrido e inclusive en la vida cotidiana. Como es el ejemplo del arcoíris al usar máximos y mínimos locales en el Criterio de la segunda derivada. Por esto y por más es importante aprender bien el cálculo en ingeniería y otras ramas, nos ayuda a entender y resolver problemas que pueden parecer un poco complicados, pero de una manera sencilla, aplicando reglas básicas del cálculo.