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PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS. Vamos a estudiar qué sucede con la UNIÓN y la INTERSECCIÓN de conjuntos convexos. Comendemos con la INTERSECCIÓN de conjuntos convexos. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS. EJEMPLO. Sean los siguientes conjuntos convexos:

Si los representamos tendremos:

¿Cuál es la intersección de estos dos conjuntos? Se puede ver que la intersección es el conjunto

Se puede ver gráficamente que es un conjunto convexo. Y este ejemplo se puede generalizar con la siguiente propiedad: LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS ES UN CONJUNTO CONVEXO: Demostración: Si Xi es un conjunto convexo para i=1,...,n. Esto quiere decir que dados dos puntos cualesquiera de este conjunto entonces el segmento que los une está totalmente contenido en el conjunto Xi, es decir que queda demostrado.

luego esto quiere decir que

con lo

UNIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS. A partir de los conjuntos convexos anteriores S y T, veamos cuál es el conjunto unión.

Este conjunto no es convexo pues si considero dos puntos del conjunto por ejemplo (1.04, -1.57) y (2.43,-0.3) Si representamo el segmento que une dichos puntos editando

Obtenemos

Segmento que no está totalmente contenido en el conjunto. Luego: LA UNION DE CONJUNTOS CONVEXOS EN GENERAL NO ES UN CONVEXO Vamos a introducir ahora dos nuevos conceptos el concepto de punto extremo de un convexo y el concepto de combinación lineal convexa: CONCEPTO DE PUNTO EXTREMO DE UN CONVEXO. Consideremos el siguiente conjunto convexo:

Para representarlo dibujamos las rectas que delimitan los conjuntos: Vamos ahora a ir delimitando los semiplanos determinados por cada una de las desigualdades: 0 x 1 Este recinto es clara su representación:

Vamos a delimitar los otros dos: 2-x y Consideremos un punto que no está en la recta por ejemplo (0,0). (0,0) verifica la desigualdad? ¿2-0 0? No es cierto por tanto al otro lado del (0,0) es decir

Por último vamos a delimitar el recinto de la desigualdad y 2+x De nuevo consideremos un punto que no está en la recta y=2+x como es el (0,0), ¿(0,0) satisface la desigualdad? ¿0  2+0? Como es cierto entonces el semiplano está situado de la recta hacia el (0,0), es decir

En consecuencia el conjunto delimitado es:

¿Cuáles son los VERTICES de este conjunto? La intersección de rectas:

Da el punto Las rectas El punto

Y las rectas El punto Luego los vértices de este conjunto serán:

(0,2), (1,1) y (1,3), también llamados puntos extremos de S.

Para dar la definición más formal de PUNTO EXTREMO de un conjunto convexo, vamos a definir el concepto de COMBINACIÓN LINEAL CONVEXA.

DEFINICIÓN: COMBINACIÓN LINEAL CONVEXA. Diremos que existen

es una combinación lineal convexa de

si

tales que: 1. 2.

Según el ejemplo anterior, podemos comprobar que TODAS LAS COMBINACIONES LINEALES CONVEXAS de los puntos (0,2), (1,3), (1,1)

son todos los puntos del triangulo definido antes. Si queremos comprobar esto vamos a realizar algunas combinaciones lineales convexas de estos tres puntos. Lo vamos a hacer con DERIVE: Definamos en primer lugar los puntos

Vamos a ir realizando combinaciones lineales convexas y vamos a ir representando los puntos obtenidos:

Obsérvese que en esta caso la combinación lineal convexa da el propio p1. En este caso p2

Y en este caso p3.

Pero existen otras formas de realizar combinaciones lineales convexas:

Veamos lo que tenemos representado hasta ahora: Continuemos haciendo combinaciones lineales convexas

Obtendremos las representaciones:

A partir de estas combinaciones lineales convexas podemos obtener una definición de punto extremo de un conjunto convexo, de la siguiente forma. ¿Cuál es la combinación lineal convexa mediante la cual obteníamos: ¿p1? ¿y p2? ¿y p3? ¿Tiene alguna característica especial? Como puede verse estos puntos tienen una característica expecial y es que tan solo intervienen en la combinación lineal el propio punto, por ello definimos: DEFINICION Punto extremo de un conjunto convexo: Sea S un conjunto convexo. Diremos que es un PUNTO EXTREMO de S si no se puede expresar como combinación lineal convexa de dos puntos distintos del propio . También se les suele llamar VERTICES del conjunto (si es en R2 ó R3). EJERCICIO VII-4 Calcular los puntos extremos de los conjuntos: a.

b. SOLUCIÓN: (A)

(b)

Para obtener puntos extremos hay que resolver la intersección entre recta y circunferencia Como x=1+y, entonces sustituyendo este valor de x en la circunferencia tenemos:

Resolviendo ahora obtenemos: Luego los puntos son para y=0, x=1 (1,0) Y para y=.-1, x=0 (0,-1) que son los puntos extremos.