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• Henry Castro

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GUIA

M311GUI0023ME-A18V1

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

MATEMÁTICA - programa 3º medio

s ma e l ob es pr onal e i n d rac ó i s luc ro so úme e R sn lo

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¿Qué aprenderemos hoy?

CONTENIDOS - -

Reforzaremos los conocimientos acerca de las propiedades de las potencias y su aplicación, tanto en problemas numéricos cómo algebraicos. Además, analizaremos cómo las potencias se relacionan con las Cartas de Cadena. Finalmente, aplicarás estos conceptos a la resolución de ejercicios tipo PSU.

Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero. Operatoria con potencias.

sección 1: ¿Qué recuerdo de las propiedades de las potencias?

1

2 4

3

2 =

3

27 =

110 =

A) 2 • 2 • 2 • 2

A) 33

A) 1

B) 2 • 4

B) 36

B) 10

C) 2 + 2 + 2 + 2

2

A continuación se presenta una serie de ejercicios que deben ser contestados en 4 minutos. Posteriormente, revisen las respuestas con su profesor y aclaren cualquier inquietud que tengan. Finalmente, completen entre todos el mapa conceptual de Estrategia de Síntesis.

9

C) 3

C) 100

guia de ejercitación

4

5

7–1 =

6 0

A) – 7 1 B) 7 –1 C) 7

7

3 =

(– 3)2 =

A) 0

A) – 9

B) 1

B)

9

C) 3

C)

6

8

9

2

3

(– 2) =

(3 – 3 • 3)2 =

A) – 8

A)

0

B) – 9

B)

B)

1

C)

C) – 6

–3 = A)

9 6

8

C) 36

ntesis

de Sí Estrategia

POTENCIAS

an = ________________ ; donde a

Consiste en multiplicar una cantidad por sí misma varias veces. Propiedades a1 =

Entonces

Signo

es _________ y n es ___________.

Positivo Si a es un valor real positivo y n es un entero mayor que 1, entonces an es positivo para cualquier valor de n.

a0 = Negativo a = –n

(a n)m =

Si a es un valor real negativo y n es un entero mayor que 1, entonces an es positivo cuando n es ___________ y negativo cuando n es ____________.

3

MATEMÁTICA - programa 3º medio A continuación se presenta una serie de ejercicios que deben ser contestados en 4 minutos. Posteriormente, revisen las respuestas con su profesor y aclaren cualquier inquietud que tengan. Finalmente, completen entre todos el mapa conceptual de Estrategia de Síntesis.

sección 2: ¿QUÉ RECUERDO DE LA OPERATORIA DE POTENCIAS? 1

La expresión (33 • 34) es igual a

2

A) 37

La expresión (xa : xb), con x, a, y b

3

enteros mayores que uno, es igual a

La expresión (73 • 23) es igual a

B) 3

A) x

a:b

A) 143

C) 34

B) x a – b

B) 146

C) xb – a

C) 76

12

4

5

La expresión (510 : 55) es igual a A) 515

53 + 53 + 53 + 53 + 53 = A) 515

5

B) 5

B) 54

C) 52

C) 5 • 35

ntesis

de Sí Estrategia

operatoria DE POTENCIAS Suma y resta No hay propiedades, sin embargo, en ciertos casos es posible agrupar términos.

3x + 3x + 3x =

Multiplicación y división Misma base y distinto exponente En la multiplicación, se mantiene la _______ y se suman los ______________________. En la división, se mantiene la __________ y se restan los ________________________.

an ∙ am = an = am

Distinta base y mismo exponente En la multiplicación, se mantiene el __________________ y se multiplican las ______________________. En la división, se mantiene el ____________________ y se dividen las ____________________.

4

an ∙ bn = an = bn

guia de ejercitación

sección 3: ¡contextualizando! Lean detenidamente el siguiente texto, luego respondan las preguntas individualmente. Posteriormente, discutan sus respuestas como curso, guiados por su profesor.

Una “Carta de Cadena” es un mensaje que tiene una pequeña historia que induce al receptor a realizar una determinada cantidad de copias del escrito, las que debe repartir a nuevos receptores, quienes repetirán el proceso. Las historias prometen grandes beneficios en el caso de cumplir con la cadena, pero terribles desgracias en caso de no hacerlo. “… realiza 3 copias de este mensaje y repártelas entre tus conocidos. Dentro de los próximos 3 días, a la medianoche, tu deseo será concedido, pero si no lo haces, prepárate para 3 años de mala suerte y una vida sin amor”. Las Cartas de Cadena se remontan a la Edad Media, donde las copias debían realizarse manualmente, con pluma, tinta y papel. Luego, el papel carbón facilitó el proceso de copiado; más adelante fueron la máquina de escribir, la fotocopiadora, el correo electrónico y, en la actualidad, WhatsApp. Seguramente en más de una ocasión has recibido este tipo de mensajes y de seguro no prestaste atención. Quién sabe, quizá por no reenviar el mensaje su promesa de desgracia se cumplió…

1

¿Cómo podrías relacionar las Cartas de Cadena con las potencias? ¿Por qué?

________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________

2

Si una persona realiza una cadena con la carta del texto, ¿cuántas copias se harán para la tercera cadena? Resume el procedimiento en una expresión.

________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________

5

MATEMÁTICA - programa 3º medio

3

Según la pregunta anterior, ¿cuántas cartas se habrán escrito en total hasta la tercera cadena? Resume el procedimiento en una expresión.

________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________

4

Menciona un ejemplo que relacione las potencias con alguna situación cotidiana. Discútelo con el resto del curso y determinen expresiones que modelen su comportamiento en algún caso particular.

________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________

6

Término Algebraico

Monomio: 5x2 Binomio: 3x3 + 4y6 Polinomio: 4x5 – 7x4y + 8

Ejemplos

Elemento formado por la suma o resta de términos algebraicos

Expresión Algebraica

24xy3 24 es el factor numérico xy3 es el factor literal

Ejemplo

Producto entre un factor numérico y un factor literal

Elementos

Generalización de definiciones aritméticas a través de variables

ÁLGEBRA

conceptos previos

Algunos tipos

(x + a) ∙ (x + b) = x2 – (a + b)x + ab

Binomio con término

(a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2

Factorizar mediante el producto notable que corresponda

Según productos

ax + ay + bx +by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b) ∙ (x + y)

Polinomio común

Suma por su diferencia

Monomio común ax2 + 2ay = a(x2 + 2y)

Algunos tipos

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Cuadrado de Binomio

Consiste en componer una expresión algebraica en los factores que la originaron

4x3z4 ∙ 7x2z5 = (7 ∙ 4)x(3 + 2)z(4 + 5) = 28x5z9 (Se deben respetar las propiedades de las potencias)

4xz4 + 7xz4 = 11xz4 6xy – 10xy = – 4xy

Transformaciones algebraicas con estructura conocida, lo que facilita su operación

Ejemplo

Ejemplo

Factorización

Procedimientos

Se operan los factores numéricos y literales entre sí

Multiplicación y División

Se realiza entre términos semejantes (que poseen el mismo factor literal)

Productos Notables

Operatoria

Adición y Sustracción

Este mapa contiene conceptos previos que serán útiles al momento de ejercitar

guia de ejercitación

7

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 4: preguntas de modelamiento

Tiempo estimado 15 minutos

a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas conjuntamente por, ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!

1

(– 5)1 – (– 5)2 – (– 5)3 =



2



A) – 155 B) – 105 C) 95 D) 145 E) 625

37 + 37 + 37 = 33

A) 318 B) 312 C) 37

D)

35



E)

34

3

(3x)5 • (7x)3 =

4

Se estima que el volumen total de agua presente en los océanos de la Tierra es de 1,332 ∙ 1015 metros cúbicos. Si una piscina olímpica puede contener aproximadamente 2,5 ∙ 103 metros cúbicos de agua, ¿cuántas piscinas olímpicas se pueden llenar, aproximadamente, con el agua presente en los océanos de la Tierra?

A) 21x8 B) 315x8 C) 315x15 D) 83.349x8 E) 83.349x15



8

A) 5,328 • 10 B) 5,328 • 1011 C) 1,877 • 1011 D) 1,877 • 1018 E) 2,664 • 103

guia de ejercitación

5

Sean a, b, x e y números enteros positivos distintos de uno. ¿Cuál de las siguientes igualdades es FALSA?

x A) ay = ax – y a

a– x B) – y = ay – x a C) ax • a – x = 1

D)

ax – b x =

( ) a b

x

E) (bx)y = (by)x

9

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Tiempo estimado

sección 5: preguntas elementales

10 minutos

Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.

6

¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) 50 • 5 = 0

B)

– 24 = 16

1 C) – 2 = – 9 3 D) (72)3 = 75 E) 113 • 11– 3 = 1

7

10



( ) () –1 2 + 3

1 3

–2

=



A)

82 9



B)

10 9



C)

2 9



D)

–8 9



E)

Ninguno de los valores anteriores.

guia de ejercitación

8

(2a)4 · 2a3 =

A) 4a7 B) 4a12 C) 32a7 D) 32a12 E) Ninguno de los términos anteriores.

9

(mx + mx)3 =

A) m3x B) m6x C) 6mx D) 8mx E) 8m3x

10

Sea p = (1) (2)

( )( ) x2y : 2

x2 y

, con x e y distintos de cero. Se puede determinar el valor numérico de p, si:

x=4 y=6

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

11

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 6: preguntas intermedias

Tiempo estimado 10 minutos

Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!

11

Si a, b y n son números enteros positivos distintos de uno, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones NO es (son) siempre equivalente(s) a (ab)n? I)

( ) 1 ab

–n

II) (– ab)n

12

III)

– bn a– n

A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

Se define la operación (a ∆ b) como (ab – ba) , con a y b en el conjunto S = {– 1, 0, 2}, tal que a ≠ b. ¿Cuál de las siguientes operaciones NO está definida dentro del conjunto S? A) 2 Δ 0 B) –1Δ2 C) 0 Δ 2 D) 0 Δ – 1 E) ninguna de ellas.

13

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) (a3)4 = a7 II) (b2 • b5)3 = b30 III) n2 • (n2)3 = n12

12

A) B) C) D) E)

Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.

guia de ejercitación

14

Un número real positivo a se eleva a una potencia entera positiva n, con a y n distintos de uno. Este resultado se vuelve a elevar a la potencia n y así sucesivamente, hasta realizar n veces este proceso, lo que puede ser representado siempre como A) B) C) D) E)

15

Si a es un número real positivo y n es un número entero positivo, se puede determinar el valor numérico de 7an, si:

(1) (2)

2

an n an n • an a • nn n a2

5a2n = 320 n=3

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

13

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 7: preguntas avanzadas

Tiempo estimado 10 minutos

Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y en algunas ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!

16



4,8 • 1011 · 0,00007 400.000

=

A) 8,4 • 10 11 B) 840

C)

84



D)

8,4 • 10 – 9



E)

Ninguno de los valores anteriores.

17

La suma de los cien primeros números impares positivos es igual a



18

A) 100 B) 10.000 C) 100.000 D) 5.050 E) 9.900



315 + 313 = 317 – 315

1 A) 81 5 B) 36 C)

2 9

D)

5 4

E) Ninguno de los valores anteriores.

14

guia de ejercitación

19

La expresión (1315 – 1313) es divisible por

I) 1313 II) 6 III) 3

Es (son) verdadera(s)



A) B) C) D) E)

20

solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

Se puede determinar el valor numérico de la expresión x2n, con x y n enteros positivos mayores que 1, si se conoce:



(1) (2)

El valor numérico de x2. El valor numérico de xn.



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

15

MATEMÁTICA - programa 3º medio

tabla de corrección

Ítem

16

Alternativa

Habilidad

Dificultad estimada

1

Aplicación

Media

2

Aplicación

Media

3

Aplicación

Media

4

Aplicación

Media

5

Comprensión

Media

6

Comprensión

Fácil

7

Aplicación

Fácil

8

Aplicación

Fácil

9

Aplicación

Fácil

10

ASE

Fácil

11

Comprensión

Media

12

ASE

Media

13

Aplicación

Media

14

ASE

Media

15

ASE

Media

16

Aplicación

Difícil

17

ASE

Difícil

18

Aplicación

Difícil

19

ASE

Difícil

20

ASE

Difícil

guia de ejercitación

Mis apuntes

17

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Mis apuntes

18

guia de ejercitación

Mis apuntes

19

_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech

El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

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