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• Agustin Martin

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M´etodos Num´ericos - Introducci´on a la Optimizaci´on Algunas cuestiones de propagaci´on de errores1 Sea y = f (x1 , x2 , . . . xn ) una funci´ on de n variables independientes. Supongamos adem´as que cada una de las variables x1 , x2 , . . . , xn corresponden a medidas de magnitudes y se hacen con un cierto error (con signo) δx1 , δx2 , . . . δxn . En este caso entonces el valor de y tambi´en tendr´a un error determinado δy: δy = f (x1 + δx1 , x2 + δx2 , . . . , xn + δxn ) − f (x1 , x2 , . . . xn ). Si los errores son suficientemente peque˜ nos y f es derivable, podemos aproximar el incremento δy por el diferencial de y: ∂f ∂f ∂f δx1 + δx2 + · · · + δxn . δy ≈ ∂x1 ∂x2 ∂xn Aqu´ı los valores de las derivadas parciales y de los errores pueden ser tanto positivos como negativos. En valor absoluto resulta ∂f ∂f ∂f |δxn | . |δy| ≤ |δx1 | + |δx2 | + · · · + ∂x1 ∂x2 ∂xn Es razonable suponer que se desconocen, en general, los errores |δxi | pero en cambio se conoce una cota superior para cada uno de esos errores |∆xi |, ∀i = 1, 2, . . . , n, (dada por la precisi´on del instrumento de medici´on, entre otras variables a tener en cuenta). Luego, podemos dar una cota (superior) del error cometido al calcular y: ∂f ∂f ∂f |∆xn | . |∆x1 | + |∆x2 | + · · · + |δy| ≤ |∆y| = ∂x1 ∂x2 ∂xn

Sea z =

Pn

i=1 xi ,

entonces |∆z| = |∆x1 | + |∆x2 | + · · · + |∆xn | ,

que normalmente enunciamos diciendo que el error absoluto de una suma es la suma de los errores absolutos de los sumandos.

Para el c´alculo de errores relativos, observamos que corresponde al cociente

|∆x| |x| .

Luego,

∂f ∂f ∂f |∆y| ∂x1 ∂x ∂x = |∆x1 | + 2 |∆x2 | + · · · + n |∆xn | , f f f |y| ∂ ∂ ∂ ∂x1 ln |f | |∆x1 | + ∂x2 ln |f | |∆x2 | + · · · + ∂xn ln |f | |∆xn | .

Sea y = x1 x2 , entonces |∆y| |∆x1 ||x2 | |x1 ||∆x2 | |∆x1 | |∆x2 | = + = + , |y| |x1 x2 | |x1 x2 | |x1 | |x2 | que normalmente enunciamos diciendo que el error relativo de un producto es la suma de los errores relativos de los factores.

1´

Ultima correcci´ on: 31-ago-2019.

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El ´area de un tri´ angulo puede calcularse a partir de la expresi´on A = 12 ab sen C. Si a = 5 ± 0.1 cm, b = 3 ± 0.1 cm y C = 30o ± 1o . Calcular el error m´aximo cometido (relativo y absoluto) al calcular el ´area del tri´ angulo.

Sea A(a, b, C) = 12 ab sen C. Para el c´ alculo del error absoluto: 1 1 1 |∆A| = b sen C∆a + a sen C∆b + ab cos C∆C, 2 2 2 1 π 1 π 1 π π = × 3 × sen × 0.1 + × 5 × sen × 0.1 + × 5 × 3 × cos × , 2 6 2 6 2 6 180 = 0.075 + 0.125 + 0.113362 = 0.313362. Para el error relativo, consideramos la funci´ on 1 1 f (a, b, c) = ln ab sen C = ln + ln |a| + ln |b| + ln | sen C|, 2 2 y el error relativo resulta |∆A| |∆a| |∆b| | cos C||∆C| = + + , |A| |a| |b| | sen C| 0.1 0.1 cos π6 π + + , = 5 3 sen π6 180 = 0.0835633. El error relativo es del 8.356 %. Si hubi´esemos aprovechado el c´alculo del error absoluto, entonces el error relativo podr´ıa haberse calculado a partir de ´este: |∆A| |A|

1 2

0.313362 0.313362 = 0.0835633. π = 3.75 × 5 × 3 × sen 6

Se desea determinar el valor de la gravedad utilizando un p´endulo. Para ello, se miden la longitud del p´endulo l y el tiempo T que demora el p´endulo en hacer una oscilaci´on completa, y se emplea la expresi´on  2 2π g= l. T Determinar los errores relativos y absolutos en la medici´on de la gravedad a partir de la expresi´ on anterior. ¿Qu´e es m´ as conveniente: medir con mayor precisi´on la longitud del p´endulo l o el per´ıodo del mismo T ?

Sea  g(l, T ) =

2π T

2



2 l.

Luego  2π 2π ∆g = ∆l + 2 − l ∆T T T2  2  2 2π 2π 2l = ∆l + ∆T. T T T 

2π T

2

∆g = g =

1
2π 2 T

" l

2π T

2

 ∆l +

2π T

2

2l ∆T T

#

∆l ∆T +2 . l T

El error relativo del per´ıodo aporta las dos terceras partes en el error relativo de la gravedad; por lo tanto, es m´as importante medir con mayor precisi´ on T que l. Comprueba que el error absoluto en la deformaci´on verdadera  = ln

lf li

es igual a la suma de los errores relativos de las longitudes final e inicial.

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