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INGENIERÍA CIVIL Diseño y Construcción de Obras Marítimas

MECÁNICA DE OLAS OLEAJE REGULAR

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular Por oleaje entenderemos aquellas ondas cuyo período está entre 3 - 30 s, siendo generalmente causado por la acción del viento. El oleaje concentra un porcentaje importante de la energía de un estado de mar y constituye una de las principales solicitaciones estructurales, de operación y de morfología costera.

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular GENERALIDADES Existe abundante bibliografía relacionada con el análisis estadístico de oleaje, no obstante, las referencias que son de consulta obligatoria para efectos de este curso se enumeran a continuación: USACE (2003). Coastal Engineering Manual. Water Wave Mechanics. Wave train (wave-by-wave) analysis. Liu & Frigaard (2001). Generation and analysis of random waves. Aalborg Universitet.

Silva, Rodolfo (2005). Análisis y descripción estadística de oleaje. UNAM, México. GIOC (N.D.). Documento de referencia V1 - Mecánica de olas. Universidad de Cantabria.

Es también necesario conocer los requerimientos de la Autoridad Marítima (SHOA), los que en lo referido a oleaje, se indican en la instrucción oceanográfica: SHOA (2005). Instrucciones oceanográficas Nº1. Especificaciones técnicas para mediciones y análisis oceanográficos. 3ª Ed. 2005. SHOA Pub.3201.

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA DE OLEAJE BIDIMENSIONAL OLEAJE REGULAR E IRREGULAR

OLEAJE REGULAR Permite la comprensión de la mecánica del oleaje mediante el examen de ondas de altura y período constante.

OLEAJE IRREGULAR Utilizar métodos estadísticos y espectrales para analizar sistemas de olas con altura y período diferentes, más descriptivos del fenómeno natural.

Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA DE OLEAJE BIDIMENSIONAL

Oleaje Regular

Por oleaje se entenderán aquellas ondas cuyo período está en el rango Entre 3 y 20 s, siendo generalmente causado por la acción del viento. También incluyen paletas de laboratorio, buques, etc. El oleaje concentra un porcentaje importante de la energía de un estado de mar y es una de las principales solicitaciones estructurales, de operación y de morfología costera (erosión y transporte de sedimentos)

Comenzaremos con una teoría bidimensional (x,z), donde se desprecian los efectos de variación en planta (refracción, difracción, etc) y es más simple en términos matemáticos.

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA DE OLEAJE BIDIMENSIONAL

http://ceprofs.tamu.edu/jzhang/oe671class/n-trajectory.html

Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA DE OLEAJE BIDIMENSIONAL

Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

MÉHAUTÉ (1976)

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA DE OLEAJE BIDIMENSIONAL

Oleaje Regular

PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA DE CONTORNO

Un problema de contorno corresponde una ecuación de gobierno (en este caso la Ecuación de Laplace) y condiciones de contorno cuya solución es compleja y tiene soluciones bajo hipótesis simplificatorias.

 2  2  0 x 2 z 2 En un medio continuo como un fluido, las ecuaciones que gobiernan el fenómeno son las ecuaciones de conservación (masa, cantidad de movimiento y energía).

Por simplicidad, consideraremos que la única fuerza que existe es la gravedad (no existe turbulencia, viscosidad, calor, tensión superficial). Asumiremos que el nivel medio del mar coincide con el de reposo de la masa de agua y buscaremos una solución lineal que permite la superposición de ondas.

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA DE OLEAJE BIDIMENSIONAL PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA DE CONTORNO

Despreciando la viscosidad y asumiendo un flujo irrotacional:

    V  0

Puede demostrarse que existe una función escalar (ϕ), llamada potencial de velocidades:

     V    u, w    ,   x z  OBSERVACIONES: Los problemas de ondas de superficie presentan carácter turbulento. (Re>>1, fuerzas inerciales >> viscosidad) Se puede asumir que lejos de la capa límite, los esfuerzos tangenciales son pequeños y el flujo es aproximadamente irrotacional. En la capa límite, los esfuerzos tangenciales son importantes y el flujo es marcadamente rotacional. Un flujo irrotacional implica que no hay vorticidad, turbulencia ni rotura.

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De la ecuación de continuidad para un flujo incompresible:

   V   0 t

Combinando ambas ecuaciones,

 V     2  0

Se obtiene la Ecuación de Laplace:

 2  2  2 0 2 x z

  V  0

La Ecuación de Laplace es lineal y permite la superposición (suma) de soluciones. Esto permitirá estudiar los fenómenos de superposición y grupos de olas. Es una ecuación elíptica de 2º orden en dos variable independientes, por lo que para integrarse requiere de 2 condiciones de contorno para cada variable.

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La idea es determinar la mecánica del oleaje para el dominio de integración.

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El problema de integrar la ecuación de Laplace se simplifica modificando el dominio de integración y linealizando las condiciones de borde!

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Tenemos que tener claro que estamos adoptando una teoría simplificada, que puede distar mucho de la realidad. Por ende, debemos ser capaces de tantear el grado de desviación entre la realidad y la teoría, lo que se logra con criterio y experiencia!!!

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Oleaje Regular

PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA DE CONTORNO

Desde el punto de vista matemático, las ondas son soluciones no estacionarias al problema de contorno no lineal, cuya linealidad viene impuesta por las potencias de las variables independientes en las condiciones de contorno: (u, v, w, p , ρ) Se puede obtener una gran cantidad de información sobre el movimiento de las partículas (cinemática) si asumimos que la contribución de términos no lineales constituye una “corrección” y el fenómeno es caracterizado principalmente por la componente lineal. Recordemos que estamos utilizando un enfoque euleriano en este desarrollo, es decir, intentamos especificar la velocidad, desplazamiento y aceleración en puntos fijos del dominio del fluido.

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• Profundidad constante (fondo plano) • Fenómeno bidimensional (oleaje de frente largo)

• Oleaje de forma y período constantes • Flujo irrotacional • Presión en la superficie uniforme y constante • Fluido incompresible, homogéneo y continuo • No se considera viscosidad, turbulencia ni tensión superficial

• Se desprecia el efecto de Coriolis • La altura de la ola es mucho menor que su longitud (H/L  0)

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El oleaje que resulta de estas condiciones se conoce como:

• Oleaje de pequeña amplitud • Oleaje infinitesimal • Teoría lineal del oleaje • Oleaje sinusoidal • Oleaje armónico simple

• Oleaje de Airy George Biddell Airy (1845)

George Biddell Airy, astrónomo inglés, (1845) y George Gabriel Stokes, matemático irlandés (1847), derivaron esta teoría. Cuando se aplican los supuestos de la TLO, el problema se reduce a integrar la ecuación de Laplace, sujeta a las condiciones de borde linealizadas:

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Condición cinemática de fondo:

w z d  0

Condición cinemática de superficie:

z   x, t 



  dx  dt x t dz  dx    dt x dt t

dz 

u

dx   dt dx

w

dz   dt dz

 0 z z   d

      z  x x t 0

1 dt



   z t

0 z 0

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           x z g        cte 2  t  2

Condición dinámica de superficie Viene de integrar las ecuaciones de Euler. Desprecia tensión superficial y viscosidad.

2

0



g 

 t

0 z 0

Condición de periodicidad (lados)

El dominio es infinito y por ello es posible asumir periodicidad

 x, z, t    x  nL, z, t  Se puede demostrar que para ello basta

 x, z, t    x  nL, z, t  x x

n N

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CONCICIONES DE BORDE

El problema es típico de la integración de la ecuación de Laplace y C.D.B. Con la excepción de que éstas contienen un término transiente. ECUACIÓN DE LAPLACE

 2  2  0 x 2 z 2

CONDICIÓN DE FONDO

 0 z z  d

CONDICIÓN CINENÁMICA DE SUPERFICIE

   0 z t z 0

CONDICIÓN DINÁMICA DE SUPERFICIE

g 

CONDICIÓN DE PERIODICIDAD

 x , z,t    x  nL , z,t  x x

 0 t z 0

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CONCICIONES DE BORDE

Recordemos y comparemos con el planteamiento general del problema de contorno, en C.D.B. no lineales: ECUACIÓN DE LAPLACE

 2  2  0 x 2 z 2

CONDICIÓN DE FONDO

 0 z z  d

CONDICIÓN DINÁMICA DE SUPERFICIE

          x  z     cte g    2 t

CONDICIÓN CINEMÁTICA DE SUPERFICIE

       z t x x

CONDICIÓN DE PERIODICIDAD

 x , z,t    x  nL , z,t  x x

2

2

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Rotación de la tierra: el efecto de coriolis es aproximadamente 1000 veces más pequeño que el término inercial, por lo que parece evidente despreciar la rotación de la tierra.

Viscosidad: Lejos de los contornos el fluido puede considerarse como no viscoso. Re = O(108). En el fondo ambas fuerzas son del similar orden (flujo tendiendo a cero, capa límite). sin embargo, la capa límite turbulenta es pequeña (cm) frente a las profundidades de propagación de las ondas.

Irrotacionalidad: Se puede asumir una vez demostradas la viscosidad nula e incompresibilidad.

Tensión superficial: Su inclusión requiere modificar la condición dinámica de contorno y su efecto es aumentar la celeridad de las ondas. Sin embargo, se puede demostrar que ésta es sólo importante para las ondas capilares de período inferior a 0.1 s.

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TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE RESULTADOS

Función potencial:

Integrando la ecuación de Laplace, sujeta a las C.D.B., se obtiene la expresión del flujo potencial:



De ésta ecuación se desprende la ecuación de

dispersión de frecuencias

Celeridad:

en sus diferentes versiones:



Frecuencia angular:

Número de ola:

k

2 L

 2  g k tanh(kd) gT 2  2  L tanh d 2  L 

L c  k T



H L cosh k( z  d) sin (t  kx ) 2 T cosh (kd)

2 T

c

gT  2  tanh d 2 L  

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE RESULTADOS

En ingeniería interesa determinar el oleaje con una teoría sencilla y relativamente precisa, como la teoría lineal del oleaje. Si se conoce la función potencial ( ) en el dominio de integración, se pueden conocer las propiedades cinemáticas del oleaje (velocidad, aceleración, desplazamiento) y la dinámicas (presión) en todos los puntos. Si se conoce la profundidad d, entonces para especificar el flujo potencial se requiere de: H, c, L y T. Pero estos parámetros no son independientes, dado que la ecuación de dispersión de frecuencias liga c, L y d. Además tenemos la relación L=c T.

gT 2  2  L tanh  d 2 L  

c

 k



L T

Luego, para especificar la mecánica del oleaje según la TLO se requiere d, H y c ó L ó T (dada una, la solución para las dos restantes es única)

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Oleaje Regular

RESULTADOS

Dado que es difícil medir la longitud de onda L, por lo general se especifican d, H y T.

Conocidos d y T, la longitud de onda L se obtiene de la ecuación trascendental mediante métodos numéricos (Newton-Raphson):

gT2  2d  L tanh   2 L   Para determinadas condiciones de d/L, se definen tres condiciones: • Aguas profundas (d > L/2) El oleaje no “siente” el fondo.

• Aguas intermedias (L/20 < d < L/2)

• Aguas poco profundas (d < L/20)

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE RESULTADOS

Aguas profundas (d > L/2)

2d grande L  2d   tanh   1 L  

kd 

gT 2 Lo  2 gL o co  2

Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE RESULTADOS

Aguas poco profundas (d < L/20)

2d pequeño L  2d  2d  tanh   L  L 

kd 

L  T gd c  gd

Oleaje Regular

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

A partir de estos resultados, se observa que a medida que la onda se propaga hacia aguas menos profundas, sintiendo el fondo, comenzará a frenarse y disminuir su longitud. Simultáneamente para conservar la energía, comenzará a aumentar su altura.

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE RESULTADOS

A partir de la celeridad: c 

c

L 2 L    T T 2 k gT g  2d  g  d  tanh    tanh kd  tanh   2   L    c 

Derivando…

c c  1 G        1 G 

Como:

G0

G1 

Ecuación de dispersión de frecuencia

con G 

2kd senh(2kd)

c 0 

 2  g k tanh(kd)

Esto indica que olas con distinta celeridad se separan a medida que se propagan desde la fuente. Este efecto se conoce como “dispersión de frecuencias”, y es responsable del arribo primero de las bajas frecuencias y luego de aquellas con mayor frecuencia.

TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE ECUACIONES PARA OLEAJE PROGRESIVO

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE ECUACIONES PARA OLEAJE PROGRESIVO

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MECÁNICA DE OLAS TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE

Oleaje Regular

CAMPO CINEMATICO

El campo cinemático (trayectorias, velocidades y aceleraciones) y dinámico (presiones), podemos obtener la mecánica de las olas en el dominio de integración, para una condición de aguas profundas:

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular

www.coastal.udel.edu/faculty/rad/

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Oleaje Regular

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Oleaje Regular

CAMPO CINEMATICO

DESPLAZAMIENTOS El desplazamiento máximo permite estimar la altura de ola mediante las ecuaciones planteadas

MECÁNICA DE OLAS TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE CAMPO CINEMATICO

VELOCIDADES

ACELERACIONES

Oleaje Regular

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Oleaje Regular

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MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE FUERZAS SOBRE ELEMENTOS ESBELTOS

Ecuacion de Morison: Las fuerzas se ajustan mediante coeficientes adimensionales que dependen de la forma del cuerpo y la relación de sus dimensiones con las características del medio.

o Peso específico del agua CD Coeficiente de Arrastre

CM Coeficiente de Masa o Inercia un Velocidad de las partículas D Diámetro de un pilote circular

n Aceleración de las partículas

A Área proyectada por largo unitario S Elemento de longitud

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE FUERZAS SOBRE ELEMENTOS ESBELTOS

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE FUERZAS SOBRE ELEMENTOS ESBELTOS

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE DISTRIBUCION DE PRESIONES

Como la presión corresponde a la perturbación de la ola, es conveniente descartar la presión hidrostática. Así, la “presión de exceso” (P+) es:

TLO NO VALIDA TLO NO VALIDA

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE DISTRIBUCION DE PRESIONES

El hecho de que la presión es proporcional a la altura del oleaje permite medir su altura con registros de presión. La presión hidrostática está presente con o sin la ola. La presión dinámica se debe a la variación del nivel que se produce por el paso por la onda así como de la contribución de la aceleración vertical inducida.

TLO NO VALIDA TLO NO VALIDA

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DEL OLEAJE DISTRIBUCION DE PRESIONES

Cuando una ola impacta una estructura, se refleja y por ende se genera un oleaje estacionario (fenómeno que se verá más adelante en esta presentación). En este caso, no es válido utilizar las expresiones previas pues está asociadas a un oleaje progresivo). Para eses caso, se puede utilizar expresiones analíticas o instrumentar la estructura con sensores de presión (monitoreo de eventos extremos).

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DE ONDAS SOLUCIÓN CON INCIDENCIA OBLICUA

En este caso el número de onda se descompone en dos y se obtiene la siguiente función para el potencial de velocidades.

x , y , z , t    k X  k cos 

Ag cosh k ( z  d ) sin ( t  k X x  kY y )  sinh ( kd ) k y  ksen 

El resto de las expresiones son fáciles de deducir. Por ejemplo, la desnivelación instantánea tiene la siguiente expresión:

  A cos  

H cos t  k X x  kY y  2

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DE ONDAS SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

La solución de la ecuación de Laplace es lineal ( está elevado a la potencia 1) así como las condiciones de borde.

Matemáticamente puede demostrarse que si 1 y 2 son dos campos de ola, entonces s = 1 + 2 Esto es muy útil en ingeniería, pues la solución permite soluciones a movimientos ondulatorios más complejos presentes en la naturaleza… Para la ecuación de la superficie libre, puede demostrarse que s = 1 + 2 Se puede proceder de igual forma con la velocidad, aceleración y presión. Para esta condición de superposición el oleaje no necesariamente deberá ser progresivo o propagarse en la misma dirección. El hecho de que en general los oleajes que se superponen son de distinta amplitud, período y estar desfasados hace que la suma directa sea engorrosa.

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DE ONDAS SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

Dos olas o más ondas progresivas pueden combinarse de las siguientes formas:

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DE ONDAS SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

Dos olas viajando en sentido opuesto e igual periodo generan reflexión. Se produce cuando una ola se refleja en una pared vertical. El oleaje se conoce como “oleaje estacionario”, “clapotis” o “standing wave”. El período se mantiene constante y los desfases son pequeños. Se produce una variación en la amplitud del oleaje, debida a la reflexión sobre la pared. Así, se puede definir un coeficiente de reflexión:

Kr 

Hr Hi

0  Kr  1

La desnivelación para la reflexión perfecta es:

  Hi coskx cost 

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DE ONDAS SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

La desnivelación para la reflexión cuasi estacionaria es:



Hi 1  K r coskx cost   Hi 1  K r senkx sent  2 2

La amplitud del oleaje es función de la distancia a la obra (x). Se generan nodos, en que la desnivelación es nula para todo tiempo y antinodos, en que la desnivelación puede alcanzar el doble de la generada por la ola incidente sin reflexión.

MECÁNICA DE OLAS Oleaje Regular TEORÍA LINEAL DE ONDAS SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

REFLEXION PERFECTA (Kr=1)

REFLEXION IMPERFECTA (Kr