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“UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN” FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

TITULO DEL TRABAJO “Resolución de problemas de aplicación de la derivada”

DOCENTE Yober Oblitas Díaz

ESTUDIANTES     

Kiara Daleshka Arboleda Puicon Stephany Laleska cabanillas Cholan Muguerza Ojeda Lee Ruiz Neira Nilson Anthony Luna Molina Yeny Marita

CIUDAD/PAIS Chiclayo/Perú

2020

Resumen El trabajo que se muestra a continuación tiene como objetivo fundamental el darnos a conocer y a la vez aprender a resolver diversos tipos de problemas de aplicación de la Derivada, por otro lado, este tipo de problemas son muy importantes para nosotros mismos, ya que nos ayudara a desenvolverse mucho mejor en el área de Matemática y no solo eso, sino que también nos servirá en el campo laboral de la Ingeniería Industrial, además para resolver este tipo de problemas fue necesario agenciarse de libros, videos, de las clases realizadas semana tras semana y así reforzar un poco más el tema sin tener ningún inconveniente al momento de hacer dicha tarea encomendada.

Introducción El presente trabajo tiene como finalidad desarrollar algunos ejercicios sobre problemas de aplicación de la Derivada, vistos en el cálculo de las diferentes sesiones realizadas durante este tiempo de estudios académicos, es decir, de esta manera lograremos un aprendizaje basado en problemas, en donde nosotros mismos como estudiantes desarrollaremos diferentes fases de la Matemática, los cuales nos servirá en nuestra formación profesional, por otro lado, un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto, como también de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Finalmente utilizaremos fórmulas de resolución de derivadas para así aplicarlo en los ejercicios dados, en la vida cotidiana y poder desarrollar con facilidad el tema.

EJERCICIO N° 1:

En un cono circular recto con radio de la base igual a 6 𝑐𝑚 y altura 12 𝑐𝑚 se inscribe un cilindro circular recto. Halle el valor del radio del cilindro de máximo volumen posible.

R H = r H −h r

6 12 = r 12−h

H-12 h R= 6 6(12-h) =12r

2 π ¿)

12-h=12r/6

2π ¿

12-h=2r

V(r)=64 π

h=12−2 r

Volumen del Cilindro 2

V ( r )=π r ( 12−2r )

V(r)= π r 2 h

V(r)=2 π r 2 ( 6−r )

64 π=π ( 4 2 ) h

V(r)=2 π (6 r 2−r 3)

h=4 RPTA: El radio del cilindro es 4

V(r)=2 π ¿

cm

0=2 π (12 r−3 r 2 ) 0=12r−¿3r 2 0= r(12−¿3r) r =4 0= 12−¿3r 12=3r

EJERCICIO N° 2:

Se debe hacer un embudo cónico que tenga la generatriz de longitud 30 𝑐𝑚. ¿Cuál debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el máximo posible?

h 3

V= π .r 2 . ……………ec (1) h

30

Por otro lado

900=r 2 +h2 900−h2 ¿ r 2 reemplazando en …..ec (1) Para que el volumen sea máximo

r

( 900 h−h2 ) h debe ser maximo Derivada de (900-h3 ¿=0 3h2 = 900

h= EJERCICIO N° 3:

√

900 3

Dos postes, uno de 12 𝑝𝑖𝑒𝑠 de altura y el otro de 28 𝑝𝑖𝑒𝑠, están a 30 𝑝𝑖𝑒𝑠 de distancia. Se sostienen por dos cables, conectados a una sola estaca, desde el nivel del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿Dónde debe colocarse la estaca para que se use la menor cantidad de cable? Para que se utilice la menor cantidad posible de cable la estaca debe colocarse a 9 [ ft ] del poste izquierdo

Z

28[ ft ]

Y

12[ft ]

CANTIDAD DE CABLE W =Y +Z

30−X

X

30[ ft ] TEOREMA DE PITAGORAS 2

Y = √( 12 ) + X

2

Y = √144 + X 2

2

Z=√ ( 28 ) + ( 30−X )

2

Z=√ 784+ ( 30−X )

2

W =Y +Z d [ √u ]= u ' dx 2√ u

2

W =√144 + X 2 + √ 784+ (30−X )

2 ( 30−x )(−1) dw 2x = + dx 2 √ 144+ X 2 2 √ 784 + ( 30− X )2 Igualamosa cerola primera derivada x

√144 + X

2

x

√144 + X

(

2

−

=

30−x

√784 +( 30− X )

2

=0

30−x

√784 +( 30− X )

2 x = √ 144+ X 2

) (√

2 2

30−x 784+ ( 30−X )

2

)

(30−x )2 x2 = 144+ X 2 784+ (30−X )2

Multiplicando por su mínimo común múltiplo

[

( 30−x )2 x2 = [ 144 + X 2 ] [ 784+ ( 30−X )2 ] 2 2 144 + X 784+ ( 30−X )

]

x 2 [ 784 + ( 30− X )2 ]=( 30−x )2 [ 144+ X 2 ] 784 x 2 + x2 ( 30− X )2=144 ( 30−x )2+ X 2 ( 30−x )2 784 x 2=144 ¿ ) 784 x 2=144 ( 900 )−144 ( 60 ) x+ 144 X 2 2

910 2 405 3

2

784 x −144 X + 8640 x−129600=0 2

640 x 8640 x 129600 + − =0 8 8 8

135 3 45 3 15 3

2

80 x 1080 x 16200 + − =0 10 10 10 8 x2 108 x 1620 + − =0 4 4 4

18

55 1

45

2 x2 +27 x−405=0 2 x2 ±18 x +45 x−405=0 2 x ( x−9 )+ 45 ( x−9 ) =0

( x−9 )+ ( 2 x−45 )=0

x−9=0

2 x−45=0 x=

x=9

−45 → 2

RPTA: Para que se utilice la menor cantidad posible de cable la estaca debe colocarse a 9 [ ft ] del poste izquierdo EJERCICIO N° 4: Un granjero plantea cercar un pastizal rectangular adyacente a un río. El pastizal debe contener 45 000 𝑚2 para proporcionar suficiente pastura para el rebaño. ¿Qué dimensiones requeriría la cantidad mínima de cercado si no es necesario vallar a lo largo del río? x y

A=x.y y

45000=x.y Y=45000/x

Río Perímetro del cerco, no incluimos el lado del río: P=x+2y Sustituimos la y: P=x+2(45000) /x P=x+90000/x Derivamos e igualamos a cero para obtener el lado x mínimo P´=1-90000/x2 P´= 0 0=1-9000/x2 1= 90000/ x2 x2= 90000

EJERCICIO N° 5:

Tiene que construirse una cisterna subterránea con la finalidad de albergar 100 pies cúbicos de desechos radiactivos. La cisterna tendrá forma cilíndrica. La base circular y la cara lateral, todos bajo tierra un costo de S/100 por pie cuadrado y la tapa, al nivel del suelo tiene un costo de 𝑆/300 por pie cuadrado debido a la necesidad de protección. Más aún, la profundidad del tanque no puede exceder los 6 pies porque

una capa de dura roca está por debajo de la superficie, lo que incrementaría el costo de la excavación enormemente si se atraviesa. Por último, el radio del tanque no puede exceder 4 pies por limitaciones de espacio. ¿Qué dimensiones del tanque hacen del costo un mínimo?

V=A.h 100 = π .r 2 . h

6

100 R2 }

100 =π . r . h r

a r 2=300 Ao+ AL π r 2+ π rh π r 2+ 2(2

( 100r ))

AT =Ao+ Ao+ AL AT =300 π r 2 +100 π r 2+ 400 πrh AT =400 π r 2+ 400 AT =400 π r 2+

40000 r

−40000 =400 π r 2 r −40000 3 =r 400 π r=

− √3 100 π π

( 100r )

r =−3.17 EJERCICIO N° 6: La alcaldía de un municipio exige que el retiro de frente sea de al menos 7 metros, 5 metros al menos de fondo y de cada lado exista un retiro de al menos 4 metros. Entre todos los terrenos de forma rectangular con 600 𝑚2 de área. a) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que tiene mayor área para construir?

b b≥ 7 c≥ 5

y

a≥ 4 c

a

x

a

(y + b + c) (x + 2a) = 600 y= x (para maximizar)

(x + 12) (x + 8) = 600 . x 2 + 20x + 96 = 600 →. x 2 + 20x – 504 = 0

x = 14,576m

Conclusiones

En conclusión, las derivadas son muy importantes porque pueden ayudarnos a entender en detalle las cosas cotidianas, e incluso utilizar métodos más científicos para hacerlo sin darnos cuenta. El uso de la derivada permite resolver múltiples problemas de optimización en el ámbito económico

La derivada optimiza los sistemas que se expresan por las funciones más o menos complejo. Además, aplica los valores máximos y mínimos de ciertas expresiones matemáticas. Las derivadas son útiles para la búsqueda de los intervalos de aumento o disminución del valor de interés cada vez que se puede expresar y optimizar por funciones. En los casos en que sea necesario medir la tasa de cambio de la situación, se puede utilizar la derivada. Por tanto, es una herramienta de cálculo básica en la investigación en física, química y biología. Se consideramos la derivada como una de las operaciones más importantes Estudia la función real, porque con ella podemos conocer el cambio El valor instantáneo (valor específico) de estas funciones.

Referencias Garcia, M. (2018). LA COMPRENSIÓN DE LA DERIVADA COMO OBJETO DE INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. SCIELO, 35.

Gutierrez, P. (2017). DERIVADAS DE FUNCIONES. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES, 45. Jimenez, E. R. (2003). La derivada como objetivo Matematico y como objeto de enseñanza y aprendizaje en profesores de Matematica de Colombia. https://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/4702/erbj1de4.pdf, 36.