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• Karolaine De Gracia

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CAPÍTULO 1 Problemas 1.1

Considere dos salpicaderos con coeficientes de amortiguamiento viscoso y calcule el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente para los casos en que los salpicaderos se agrupan en paralelo y en serie, respectivamente.

1.2

Considere el sistema de la Fig. 1.23 y obtenga una expresión para el resorte equivalente. Luego, derive la ecuación diferencial de movimiento.

1.3

Considere

el

sistema

500 𝑖𝑛 (8.7563 𝑥

𝑁 104 𝑚) , 𝑘3

𝑙𝑏

del

Prob. 𝑙𝑏

1.2,

= 1500 𝑖𝑛 (2.6269 𝑥

siendo

𝑁 105 𝑚) , 𝑦

𝑚 = 1.5 𝑙𝑏 ∙

𝑠 2 /𝑖𝑛 (262.69 𝑘𝑔) y calcule la frecuencia natural del sistema. 1.4

Una boya de área de sección transversal uniforme 𝐴 y masa 𝑚 se desprecia a una distancia 𝑥 desde la posición de equilibrio, como se muestra en la figura 1.24, y luego se libera. Derive la ecuación diferencial de movimiento y obtenga la frecuencia natural de oscilación. La densidad de masa del líquido en el que flota la boya es 𝜌.

𝑘1 = 𝑘2 =

1.5

Los sistemas mostrados en la Fig. 1.25, consisten en una masa desconocida 𝑚 y un resorte con constante de resorte desconocida 𝑘, se han observado que oscilan naturalmente con la frecuencia 𝜔𝑛 = 100 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Determine la masa 𝑚 y la constante de resorte 𝑘 sabiendo que cuando se agrega una masa 𝑚 = 0.9 𝑘𝑔, la frecuencia natural modificada es de Ω𝑛 = 80 𝑟𝑎𝑑/𝑠.

1.6

Derive la ecuación diferencial de movimiento para el sistema que se muestra en la Fig. 1.26 y obtener el periodo de oscilación. Indique la densidad de masa del líquido por 𝜌 y la longitud total de la columna de líquido por 𝐿.

1.7

Las bisagras de la puerta rectangular mostrada en la Fig. 1.27 están montadas en una línea que forma un ángulo 𝛼 con respecto a la vertical. Asuma que la puerta tiene una distribución de masa uniforme y determine la frecuencia natural de oscilación.

1.8

Para determinar el momento de inercia de la masa centroidal 𝐼𝐶 de un neumático montado en una rueda, el sistema se suspende en el borde de la cuchilla, como se muestra en la Fig. 1.28, y se mide el período natural de oscilación 𝑇. Derive una fórmula para 𝐼𝐶 en términos de la masa 𝑚, el período 𝑇 del sistema y el radio 𝑟 desde el centro 𝐶 hasta el borde de la cuchilla.

1.9

Una gota de masa 𝑚 se suspende en una cuerda sin masa, como se muestra en la Fig. 1.29. Asuma que la cuerda está sujeta a la tensión 𝑇, y que esta tensión no cambia a lo largo del movimiento, y derive la ecuación diferencial para los movimientos pequeños del equilibrio, así como la frecuencia natural de oscilación.

1.10 Una biela de masa y un momento de inercia de masa centroidal se suspende en el borde de una cuchilla alrededor de la superficie interior superior del soporte de muñeca, como se muestra en la Fig. 1.30. Cuando se perturba ligeramente, se observa que la varilla oscila con la frecuencia natural. Determine la distancia h entre el soporte y el centro de masa C.

1.11 Una masa 𝑚 está unida al extremo de una cuchilla elástica sin masa de longitud 𝐿 y rigidez a la flexión 𝐸𝐼 (ver Fig. 1.31). Derive la constante de resorte equivalente de la cuchilla y escriba la ecuación de movimiento para el desplazamiento transversal de 𝑚. Calcule el periodo 𝑇.

1.12 Un disco de momento de inercia de masa 𝐼 está unido al extremo de un eje uniforme sin masa de longitud 𝐿 y rigidez torsional 𝐺𝐽 (ver Fig. 1.32). Derive la ecuación para la vibración torsional del disco y obtenga la frecuencia natural de vibración.

1.13 Una barra rígida sin masa articulada en O, como se muestra en la figura 1.33, determina la frecuencia natural de oscilación del sistema para los parámetros 𝑘1 = 2,500 𝑙𝑏⁄𝑝𝑢𝑙𝑔 (4.3782 × 105 𝑁⁄𝑚), 𝑘2 = 900 𝑙𝑏⁄𝑝𝑢𝑙𝑔 (1.5761 × 105 𝑁⁄𝑚), 2 𝑚 = 1𝑙𝑏 ∙ 𝑠 ⁄𝑝𝑢𝑙𝑔 (175.13 𝑘𝑔) 𝑎 = 80 𝑝𝑢𝑙𝑔 (2.03𝑚) 𝑦 𝑏 = 100 𝑝𝑢𝑙𝑔 (2.54𝑚)

1.14 El momento de inercia de Polar de un disco circular de masa es 𝐼𝑝 = 0.8 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 y se monta en un eje circular hecho de dos segmentos de diferentes diámetros y longitudes, como se muestra en la figura. El eje

se fija en ambos extremos. Deje que el módulo de corte del material del eje sea 𝐺 = 80 × 109 𝑁⁄𝑚2 y obtenga la frecuencia natural de 1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

oscilación angular del disco. El edificio de un piso que se muestra en la figura se puede modelar en la primera aproximación como un sistema de un solo grado de libertad considerando las columnas como sin masa y el techo como rígido. Derivar la ecuación diferencial del movimiento y determinar la frecuencia natural. Supongamos que la masa M solo se puede traducir horizontalmente para que las columnas no sufran una rotación en la parte superior. Dos engranajes A y B de momento de inercia de masa 𝐼𝐴 e 𝐼𝐵 , respectivamente están unidos a ejes circulares de igual rigidez 𝐺𝐽⁄𝐿 Figura 1.36. Derive la ecuación diferencial para el sistema y determine 𝑅 la frecuencia natural del sistema para el caso 𝐴⁄𝑅 = 𝑛. Consejo: 𝐵 dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada engranaje, reconociendo que las fuerzas de reacción en los engranajes en el punto de contacto son iguales en magnitud y opuestas en la dirección y que el movimiento angular del engranaje B es n veces el movimiento angular del engranaje A. Una masa m se suspende en un haz sin masa de rigidez de flexión 𝐸𝐼 a través de un resorte de rigidez K como se muestra en la figura 1.37. Derive la ecuación diferencial de movimiento y determine la frecuencia natural de oscilación. El eje circular que se muestra en la figura tiene la rigidez torsional 2 1 𝐺𝐽(𝑥) = 𝐺𝐽 [1 − 2 (𝑥⁄𝐿) ]. El eje está fijo en 𝑥 = 0 y tiene un disco rígido de masa polar, momento de inercia igual a I unido al extremo 𝑥 = 𝐿. Suponga que la masa del eje es despreciable, derive la ecuación diferencial de movimiento y obtenga la frecuencia natural de oscilación. Una viga voladiza hecha de dos secciones tiene una masa en masa en 𝑥 = 𝐿, como se muestra en la figura 1.39. Supongamos que se puede ignorar la masa del haz, derivar la ecuación diferencial de movimiento y obtener el período de oscilación. Una barra rígida uniforme de masa m está suspendida por dos cuerdas sin masa inextensibles de longitud L. Este sistema se conoce como un péndulo bifilar. Derive la ecuación diferencial para la oscilación 𝜃 sobre el eje vertical a través del centro de la barra. Tenga en cuenta que el 1 momento de inercia de la barra sobre su centro es 𝐼𝑐 = 3 𝑚𝑎2 .

1.21 Obtenga la frecuencia natural del sistema que se muestra en la figura 1.41. El resorte es lineal y la polea tiene un momento de inercia de masa I sobre el centro o. Sea 𝑘 = 2500 𝑙𝑏⁄𝑝𝑢𝑙𝑔 (4.3782 × 105 𝑁⁄𝑚),

1.22

1.23

1.24

1.25

𝐼 = 600 𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∙ 𝑠 2 (67.79 𝑁 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 2 ), 𝑚 = 2 2.5 𝑙𝑏 ∙ 𝑠 ⁄𝑝𝑢𝑙𝑔 (437.82 𝑘𝑔) 𝑦 𝑅 = 20 𝑝𝑢𝑙𝑔 (0.51𝑚). Un disco uniforme de radio r rueda sin deslizarse dentro de una pista circular de radio R como se muestra en la figura 1.42. Derive la ecuación de movimiento para ángulos 𝜃 arbitrariamente grandes. Luego, muestre que en la vecindad del equilibrio trivial el sistema se comporta como un oscilador armónico y determine la frecuencia natural de la oscilación. El péndulo que se muestra en la figura está unido a un resorte lineal de rigidez k. Derive la ecuación diferencial de movimiento del sistema, luego linealice la ecuación y determine la frecuencia natural de oscilación. Una barra uniforme de masa total m y longitud l gira con la velocidad angular constante Ω son sobre el eje vertical, como se muestra en la figura 1.44. Indique por 𝜃 el ángulo entre el eje vertical y la barra, y: • Determine la posición de equilibrio expresada por el ángulo constante θ. • Derive la ecuación diferencial para pequeños movimientos θ_1 sobre θ_0. • Determine un criterio de estabilidad para cada posición de equilibrio basándose en el requisito de que el movimiento θ_1 sea armónico. • Calcule la frecuencia natural de la oscilación o para los casos estables. • Determinar la frecuencia natural para Ω muy grandes y sacar conclusiones. El péndulo invertido está soportado por un resorte lineal de rigidez k, como se muestra. Denotar por 𝜃 el ángulo entre el péndulo y la vertical a través de la bisagra O y:

a) Determinar las posiciones de equilibrio, expresadas por el ángulo 𝜃𝑜 b) Derivar la ecuación diferencial para pequeños movimientos angulares 𝜃1 sobre 𝜃𝑜 c) Determinar el criterio de estabilidad basado en el requisito de que el movimiento 𝜃1 sea armónico

d)Calcular la frecuencia natural de la oscilación𝜃1

1.26 Un miembro rígido sin masa en forma de L está articulado en el punto O y tiene una masa m en la punta. El miembro está apoyado por un resorte de rigidez k, como se muestra. Se requiere: a) Determinar la posición de equilibrio, expresada por el ángulo 𝜃𝑜 sobre O b) Derivar la ecuación diferencial para pequeños movimientos angulares de 𝜃1 sobre𝜃𝑜 c)Calcular la frecuencia natural de oscilación 𝜃1 d) Determinar la altura H para la cual el sistema se vuelve inestable

1.27 El sistema del problema 1.12 se sumerge en líquido viscoso, de modo que hay una fuerza de amortiguación 𝑐𝜃 que resiste el movimiento. Calcular el periodo de la oscilación amortiguada, donde el período se relaciona al factor armónico en la respuesta. 1.28 El péndulo simple que se muestra está sumergido en líquido viscoso para que haya una fuerza 𝑐𝜃 resistiendo el movimiento. Derive la ecuación de movimiento para amplitudes arbitrarias 𝜃 luego linealice la ecuación y obtenga la frecuencia de la oscilación amortiguada.

1.29 Demostrar que la solución (1.50) también se puede escribir en la forma: 𝑥(𝑡) = (𝐶1𝑐𝑜𝑠ℎ√𝜗 2 − 1𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛ℎ√𝜗 2 − 1𝜔𝑛𝑡)𝑒 −𝜗𝜔𝑛𝑡 A continuación, deje que 𝜗 2 = 0 establezca 𝐶1 = 𝐴1y , 𝐶2 = √𝜗 2 − 1𝜔𝑛 = 𝐴2 y pruebe la Ecuación 1.51 1.30 Calcular la frecuencia de la oscilación amortiguada del sistema mostrado, para los valores k=4000 lb/pulg (7.0051x105N/m) c=20lbs/in (3502.54 Ns/m), m= 10 lbs2/in (1751,27 kg), a=50in (1,27m) y L=100 in (2,54m). Determine el valor de la amortiguación crítica.

1.31 Considere el sistema del ejemplo 1.7 y determine la respuesta x(t) a las condiciones iniciales x(0)= x0, x'(0)=0 para 𝜗 > 1 𝑦 𝜗 < 1 1.32 Trazar la respuesta del sistema del problema 1,31 al desplazamiento inicial x0=10 in (0,254m) para los valores del factor de amortiguación 𝜗 = 2,1,0.1 que 𝜔𝑛 = 5𝑟𝑎𝑑/𝑠 y considere el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≥ 6 s. 1.33 Diseñar una construcción vectorial que represente la ecuación 1.54 1.34 A partir de la observación de la oscilación de un sistema amortiguado se determinó que la amplitud de desplazamiento máxima durante el segundo ciclo es del 75 por ciento con respecto al primero. Calcular el factor de amortiguación 𝜗. Determinar la amplitud de desplazamiento máxima después de 4 ciclos y medio como una fracción de la primera amplitud.

1.35 Demostrar la desigualdad 1.70 1.36 Grafique x(t) versus t para el sistema del ejemplo 1.9.

CAPÍTULO 2 Problemas 2.1

Una pestaña de control de un elevador de avión se articula alrededor de un eje en el elevador, que se muestra como el punto 𝑂 en la Fig. 2.33, y se activa mediante un enlace de control que se comporta como un resorte torsional de rigidez 𝑘 𝑇 . El momento de inercia de masa de la pestaña de control es 𝐼𝑂 , por lo que la frecuencia natural del sistema es 𝜔𝑛 = √𝑘 𝑇 /𝐼𝑂 . Debido a que 𝑘 𝑇 no se puede calcular exactamente, es necesario obtener experimentalmente la frecuencia natural 𝜔𝑛 . Para este fin, el elevador se mantiene fijo y la pestaña se excita armónicamente por medio del resorte 𝑘2 mientras está restringido por el resorte 𝑘1 , como se muestra en la Fig. 2.23, y la frecuencia de excitación 𝜔 se varía hasta que se alcanza la frecuencia de resonancia 𝜔𝑟 . Calcule la frecuencia natural 𝜔𝑛 de la pestaña de control en términos de 𝜔𝑟 y los parámetros de la configuración experimental.

2.2

Una máquina de masa 𝑀 descansa sobre un piso elástico sin masa, como se muestra en la Fig. 2.34. Si se aplica una carga unitaria en la mitad del camino o tiempo, el piso sufre una desviación 𝑥𝑠𝑡 . Un agitador que tiene una masa total 𝑚𝑠 y que lleva dos masas no balanceadas giratorias (similar a las masas giratorias que se muestran en la Fig. 2.6a) produce una fuerza armónica vertical 𝑚𝑙𝜔2 sin 𝜔𝑡, donde la frecuencia de rotación puede variar. Muestre cómo se puede usar el agitador para derivar una fórmula para la frecuencia natural de vibración de flexión de la estructura.

2.3

Derive la ecuación diferencial de movimiento para el péndulo invertido de la figura 2.35, donde 𝐴 cos 𝜔𝑡 representa una excitación por desplazamiento. Luego, asuma pequeñas amplitudes y resuelva el ángulo 𝜃 en función del tiempo.

2.4

Un lado del tubo del Prob. 1.6 está sujeto a la presión 𝑝(𝑡) = 𝑝𝑜 cos 𝜔𝑡, donde 𝑝𝑜 tiene unidades en libras por pulgada cuadrada (𝑙𝑏/𝑖𝑛2 ) [newtons por metro cuadrado (𝑁/𝑚2 )]. Derive la ecuación diferencial de movimiento, y obtenga la frecuencia de resonancia. El extremo izquierdo de la viga en voladizo que se muestra en la Fig. 2.36 sufre el movimiento armónico 𝑥(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡. Derive la ecuación diferencial para el movimiento de la masa 𝑀 y determine la frecuencia de resonancia. Asuma que la viga no tiene masa y que la rigidez a la flexión 𝐸𝐼 es constante.

2.5

2.6

La cimentación del edificio en el Prob. 1.15 sufre el movimiento horizontal 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑜 sin 𝜔𝑡. Derive la respuesta del sistema. 2.7 El engranaje A en el Prob. 1.16 está sujeto al torque 𝑀𝐴 = 𝑀𝑂 cos 𝜔𝑡. Deriva una expresión para el movimiento angular del engranaje B. 2.8 Resuelve la ecuación diferencial 𝑚𝑥̈ (𝑡) + 𝑐𝑥̇ (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 𝑘𝐴 sin 𝜔𝑡 describiendo el movimiento de un sistema de un solo grado de libertad amortiguado sometido a una fuerza armónica. Suponga una solución en la forma 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝜔) sin(𝜔𝑡 − ∅) y derive expresiones para 𝑋 y ∅ igualando los coeficientes de sin 𝜔𝑡 y cos 𝜔𝑡 en ambos lados de la ecuación. 2.9 Asuma una solución de la Ecuación (2.41) en la forma 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝜔)𝑒 𝑖(𝜔𝑡−∅) y demuestre que esta forma contiene las soluciones para ambos 𝑓(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 y 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin 𝜔𝑡. 2.10 Comience con la Ecuación (2.48) y verifique las Ecuaciones (2.49), (2.50) y (2.51). 2.11 Un sistema de amortiguador de masa-resorte del tipo mostrado en la Fig. 1.9a se ha observado que logra un factor de aumento de pico 𝑄 = 5 en la frecuencia de conducción 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Se requiere determinar: (1) el factor de amortiguación, (2) las frecuencias de conducción correspondientes a los puntos de potencia-media y (3) el ancho de banda del sistema. 2.12 Una pieza de maquinaria puede considerarse como una masa rígida con dos masas desequilibradas rotativas alternativas como la figura. La masa total de los sistemas es de 12 kg. Cada una de las masas desequilibradas es igual a 0,5 kg. Durante el funcionamiento normal, la rotación de las masas varía de 0 a 600 revoluciones por minuto. Diseñe un sistema de soporte para que la amplitud de vibración máxima no exceda el 10% de la excentricidad de las masas en rotación.

2.13 El rotor de una turbina que tiene la forma de un disco está montado en la parte media de un eje de acero uniforme como se muestra en la figura. La masa del disco es de 15 kg y su diámetro es de 0,3 metros. El disco tiene un orificio circular de 0.03 metros de diámetro a una distancia de 0.12 metros del Centro geométrico. La rigidez de flexión del eje es EI = 1600 N / m2. Determine la amplitud de la vibración si el rotor de la turbina gira con una velocidad angular de 6000 revoluciones por minuto, suponiendo que los cojinetes del eje son rígidos. 2.14 Demostrar las ecuaciones (2.90) y (2.91) 2.15 Considere el sistema de la figura 2.16 cuando el soporte está fijo y = 0 y la masa puede vibrar libremente, la radio entre dos amplitudes de 𝑥 desplazamiento máximo consecutivas es 𝑥2 = 0.8. Por otro lado, 1

cuando la masa está en equilibrio, el resorte se comprime en una cantidad 𝑥𝑠𝑡 = 0.1 𝑝𝑢𝑙𝑔 (2.54 × 10−3 𝑚). El peso de la masa es 𝑚𝑔 = 𝑋 20 𝑙𝑏 (88.96 𝑁). Sea 𝑦(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 , 𝑥(𝑡) = 𝑋 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) y el tramo 𝐴 𝜔

versus 𝜔 y 𝜙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑛

𝜔

𝜔𝑛

𝜔

para 0 < 𝜔 < 2. 𝑛

2.16 El sistema que se muestra en la figura 2.38 simula un vehículo que viaja en una carretera irregular. Deje que la velocidad del vehículo sea uniforme V = constante y calcule la respuesta z (t), así como la fuerza transmitida al vehículo. 2.17 El soporte del péndulo viscoso amortiguado que se muestra en la figura 2.39 sufre una oscilación armónica. Derive la ecuación diferencial de movimiento del sistema, luego asuma una pequeña amplitud y resuelva para 𝜃(𝑡). 2.18 El sistema de la figura 2.6a tiene los siguientes parámetros: 𝑀 = 80 𝑘𝑔; 𝑚 = 5 𝑘𝑔; 𝑘 = 8000𝑁/𝑚 𝑙 = 0.1 𝑚. Diseñe un amortiguador viscoso para que otra velocidad de rotación 𝜔 = 4𝜔𝑛 , la fuerza transmitida al soporte no supere los 250 Newton. 2.19 Se observa que durante un ciclo de vibración, un sistema estructurado de un solo grado de libertad disipa energía en una cantidad del 1.2% de la energía potencial máxima. Calcular el factor de amortiguamiento estructural y. 2.20 Refiérase a la ecuación 2.122 y defina un factor de aumento |𝐺(𝑖𝜔)|y 𝜔 𝜔 un ángulo 𝜙. El tramo |𝐺(𝑖𝜔)| versus 𝜔 y 𝜙 versus 𝜔 para 𝑦 = 0 y 𝑦 = 𝑛

𝑛

0.01. 2.21 La leva de la figura 2.40a imparte un desplazamiento y (t) en forma de una función de diente de sierra periódica al extremo inferior del sistema,

donde se muestra y (t) en la figura 2.40b. Derive una expresión para la respuesta x (t) mediante un análisis de Fourier. 2.22 Resuelva la ecuación diferencial 𝑚𝑥̃(𝑡) + 𝑐𝑥̇ (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 𝑘𝑓(𝑡) Mediante un análisis de Fourier, donde 𝑓(𝑡) es la función periódica mostrada en la figura 2.41 2.23 Considere el sistema de la figura 2.12 y utilice la integral de convolución para resolver la respuesta x(t), donde y(t) tiene la misma forma que el pulso rectangular mostrado en la figura 2.27. Los parámetros del sistema son los mismos del problema 2.15, y grafique la respuesta para A=0,4 in (0,01m) y T=10s para el intervalo de tiempo -10s > t > 20s. Tenga en cuenta que para las funciones de excitación definidas por t < 0, el límite inferior en la integral de convolución debe cambiarse. 2.24 Resolver la ecuación diferencial del problema 2.22 por medio de la integral de convolución para el caso en el que f(t) es la " función de rampa" dada en la figura siguiente.

2.25 Resolver la ecuación diferencial del problema 2.22 para el caso en el que f(t) sea como se indica en la figura mostrada. Considere f(t) como una superposición de funciones de rampa.

2.26 Resolver la ecuación diferencial del problema 2.22 para el caso en el que f(t) sea como se indica en la figura. Considere f(t) como una superposición de las funciones de paso.

2.27 Resolver la ecuación diferencial del problema 2.22 para el caso en el que f(t) tenga la forma del pulso triangular que se muestra a continuación.

2.28 Repetir el problema 2.27 para el caso en el que f(t) tenga la forma del pulso trapezoidal que se muestra a continuación.

2.29 Trazar el espectro de choque para el sistema del problema 2.27. Compare los resultados con los obtenidos en la sección 2.16 y saque conclusiones. 2.30 Repetir problema 2.29 para el sistema del problema 2.28. 2.31 Obtener la respuesta del sistema del problema 2.24 por el método de transformada de Laplace. Asuma que no existe amortiguación y considere f(t) como cero para t < 0. 2.32 Obtener la respuesta del sistema del problema 2.26 por el método de transformada de Laplace. Asuma que no existe amortiguación y considere f(t) como cero para t < 0.