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ETS. Ingeniería de Telecomunicación Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones ______________________________________________

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Temas 4 y 5 Ondas y Polarización

P1.-

~ Una onda plana uniforme con E  E x uˆ x se propaga en un medio simple sin

pérdidas (  r  4,  r  1,   0 ) en la dirección  z . Suponer que E x es senoidal con frecuencia 100 MHz y que su valor máximo es 10 4 V/m en t  0 y z  1

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m.

 (a) Escribir la expresión instantánea de E para cualquier t y z .  (b) Escribir la expresión instantánea de H .

(c) Determinar las posiciones donde E x tiene un máximo positivo cuando

t  10 8 s.   4  1  Sol.: (a) E z, t   10 4 cos 2 10 8 t   z    uˆ x (V/m) 3  8     10 4 4  1  (b) H z, t   cos 2 10 8 t   z    uˆ y (A/m) 60 3  8   (c) z m 

P2.-

13  n 8

(m)

La intensidad de campo eléctrico de una onda plana uniforme polarizada

linealmente que se propaga en el agua de mar en la dirección  z es  E  100 cos 10 7   t  uˆ x (V/m) en z  0 . Los parámetros constitutivos del agua de mar son





 r  72 ,  r  1 y   4 (S/m). (a) Determinar la constante de atenuación, la constante de fase, la impedancia intrínseca, la velocidad de fase, la longitud de onda y la profundidad de penetración.  (b) Calcular la distancia a la cual la amplitud de E es el 1% de su valor en z  0.

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  (c) Escribir las expresiones de E z, t  y H z, t  en z  0.8 (m) como funciones

de t . Sol.: (a)   8.89 N/m

  8.89 rad/m

 c    e j 4 

  0.707 m

v p  3.53  10 6 m/s

  0.112 m

(b) z1  0.518 m  (c) E 0.8, t   0.082 cos 10 7   t  47.5º  uˆ x  H 0.8, t   0.026 cos 10 7   t  92.3º  uˆ y

 

P3.-

 

~ Una onda plana uniforme con E  Ei uˆ y , cuya frecuencia es de 100 MHz, se

propaga en el aire en dirección  x e incide normalmente sobre un plano perfectamente conductor en x  0 . Suponiendo Ei  6 mV/m, escribir las expresiones fasoriales e instantáneas de: (a) Ei y Hi de la onda incidente. (b) Er y Hr de la onda reflejada. (c) Et y Ht de la onda total en el arie.

~ Sol.: (a) Ei x   6  10 3 e  j 2x 3uˆ y (V/m)

10 4  j 2x 3 ~ H i x   e uˆ z (A/m) 2

 2   Ei x, t   6  10 3 cos 2  108 t  x   uˆ y (V/m) 3  

 10 4 2   H i x, t   cos 2  108 t  x   uˆ z (A/m) 2 3   ~ (b) Er x   6  10 3 e j 2x 3uˆ y (V/m)

10 4 j 2x 3 ~ H r x   e uˆ z (A/m) 2

 2   E r x, t   6  10 3 cos 2  108 t  x   uˆ y (V/m) 3  

 10 4 2  H r x, t   cos 2  10 8 t  2 3 

 x   uˆ z (A/m) 

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~  2  (c) Et x    j  12  10 3 sen x uˆ y (V/m)  3 

10 4 ~  2  H t x   cos x uˆ z (A/m)   3    2  E t x, t   12 10 3 sen x   sen 2 10 8 t  uˆ y (V/m)  3 



 10 4  2 H t x, t   cos   3

P4.-







 x  cos 2  108 t  uˆ z (A/m) 

Se puede usar una varilla dieléctrica o fibra de material transparente para guiar la

luz o una onda electromagnética en condiciones de reflexión interna total. Determinar la mínima constante dieléctrica del medio que sirve de guía para que una onda que incida con cualquier ángulo sobre un extremo quede confinada dentro de la varilla hasta que salga por el extremo opuesto. Sol.: n  2

P5.-

La expresión instantánea del campo eléctrico de una onda plana uniforme en el aire

es:

 Ei x, z; t   10 coswt  3x  4 z   uˆ y (V/m) La onda incide sobre un frontera plana perfectamente conductora en z  0 . (a) Calcular la constante de fase  1 , la frecuencia angular  y el ángulo de incidencia  i . ~ (b) Determinar Er x, z  .  (c) Analizar el comportamiento de E1 x, z; t  .

Sol.: (a)

1  5 rad/m

 i  36.9º

  1.5  109 rad/seg

(b)

~ Er x, z   10e j 3 x  j 4 z  uˆ y 

(c)

 E1 x, z; t   20  sen4 z cos 1.5  10 9 t  3x  



2

 uˆ

y

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P6.-

Una onda electromagnética plana, monocromática y linealmente polarizada (se

supone conocida w y la amplitud E ) se propaga en sentido  z en el vacío e incide de forma perpendicular sobre un plano conductor. Determinar: (a) Campo eléctrico y magnético encima del plano (componentes espacial y temporal), distribución de carga y corriente inducida en el plano. (b) Valor temporal de la densidad de energía electromagnética. (c) Verificar el Teorema de Poyting para un cilindro de base s y altura  , apoyado 4 en el plano conductor.

Sol.: (a)

~ Eest  2 jE  senkz  uˆ x (V/m)

 E z, t   2E  senkz  sent   uˆ x (V/m)

E ~ H est  2 coskz  uˆ y (A/m)

0

 E H z, t   2  coskz  cost   uˆ y

0

(A/m)  E J x  2 uˆ x

s  0

0

(b)

P7.-





U em  2 0 E 2 sen 2 kzsen 2 t   cos 2 kzcos 2 t 

Una onda TEM se propaga en el espacio libre y su fasor campo magnético es: 10  j 6 x 8 z  ~ H i z   e uˆ y 120

Obtener: (a) Dirección de propagación, frecuencia y longitud de onda. (b) Polarización. (c) Expresión temporal del campo electromagnético. La onda incide en z=0 sobre un plano conductor perfecto (plano XY). Calcular: (a) Campos reflejados. (b) Campos totales en z  0 .

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(c) Vector de Poynting en z  0 . (d) Valores de z correspondientes a máximos de H.

P8.-

Hallar el tipo de polarización de las ondas:  (a) Ez, t   3sent  z   6sent  z  75º  (V/m)





j ~ (b) E x, y   2  j uˆ x  2  j uˆ y e

x y 2

(V/m)

Sol.: (a) Elíptica (b)

P9.-

Lineal

Hallar para la siguiente onda: ~ E  y, z   1  j uˆ y  uˆ z e  j20  y  z  (a) Tipo de polarización. (b) Dirección de propagación. (c) Frecuencia. (d) Potencia transmitida.

Sol.: (a)

uˆ y  uˆ z 2

(b) 3GHz (c) Lineal (d) WT 

2 W 60

P10.- El campo eléctrico de una onda EM plana y monocromática en el vacío es: Ex  0

  c  E x, t   0.4sen3  10 t  x  c E y x, t   0.4 cos 3  10 7 t  x 7

z

Determinar:

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(a)  (b) Tipo de polarización (c) Dirección de propagación (d) Campo magnético de la onda Sol.: (a)   20m (b) Circular levógira (c)

x

(d)

Bz 

Ey c

By  

Ez c

B  1.33  10 9 T

P11.- Dada la onda EM cuyo campo eléctrico es: Ex  0

E y x, t   E0 sent  kx

  E z x, t   E0 sen t  kx   6  Hallar: (a) Estado de polarización.  (b) B Sol.: (a) Elíptica dextrógira (ángulo del semieje mayor con el eje y 45º)

  E Ey   (b) B   0, z , c c  

P12.- Hallar la expresión de una onda plana de frecuencia 3GHz con polarización circular positiva, amplitud máxima 1 V/m y que se propaga en la dirección -z en el vacío.  Sol.: E z   uˆ x  juˆ y e j e j 20 z

P13.- La amplitud compleja del campo eléctrico de una onda plana homogénea monocromática que se propaga en el vacío está dada por:

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~ E z  

 3  j uˆ

x



 2 j  uˆ y e  j 20 z 3 (V/m)

Determinar: (a) La dirección de propagación. (b) La frecuencia. (c) El tipo de polarización. (d) La relación axial. (e) El ángulo  que el eje mayor de la elipse descrita por el campo eléctrico forma con el eje X. (f) El campo magnético. (g) La potencia transmitida.

Sol.: (a) +z (b)

f  1GHz

(c)

Elíptica negativa.

(d)

R. A.  3

(e)

  45º

(f)

~ H z  

(g)

WT 



1  2 juˆ x  120



 

3  j uˆ y e  j 20 z 3 (A/m)

1 mW 30

P14.- Determinar la amplitud compleja del campo eléctrico de una onda plana homogénea monocromática con polarización elíptica negativa sabiendo que: 1. Se propaga en el vacío según una dirección que se considera como eje Z. 2. La relación entre el valor máximo y el valor mínimo del campo eléctrico es N.

3. La dirección según la cual se mide el máximo valor del campo eléctrico se toma como eje Y. 4. El valor medio de la densidad de potencia que transmite la onda es P W/m2. 5. El campo eléctrico en el plano Z=0 tiene dirección uˆ x en el instante t  0 .

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~ Sol.: E z  

2 0 P uˆ x  jN  uˆ y  e  j 2f z c V/m 2 N 1

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