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Problemas resueltos Series DE Fourier Fundamentos Matemáticos De La Ingeniería Iii (Universidad de Alicante)

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Series de Fourier.     pág.1 

EJERCICIOS CON SOLUCIONES 1. Encontrar los coeficientes y el desarrollo de Fourier de la función periódica definida por

⎧ −k , si − π < x < 0 ⎩ k , si 0 < x < π

f ( x) = ⎨

y

f ( x + 2π ) = f ( x)

2. Encontrar los coeficientes y el desarrollo de Fourier de la función periódica definida por

f ( x ) = x, − π < x < π 3. Encontrar los coeficientes y el desarrollo de Fourier de la función periódica definida por

⎧ − x, si − π < x < 0 ⎩ x, si 0 < x < π

f ( x) = ⎨

4. Sea una función periódica f ( x ) de periodo 2π definida del siguiente modo:

f ( x) = x 2 , − π < x < π Desarrollarla en serie de Fourier 5. Desarrollarla en serie de Fourier la función periódica f ( x ) de periodo 2π definida del siguiente modo:

⎧0, si − π ≤ x ≤ 0 ⎩ x, si 0 < x ≤ π

f ( x) = ⎨

SOLUCIONES Ejercicio 1. Onda periódica rectangular Encontrar los coeficientes de Fourier de la función periódica definida por

⎧ −k , si − π < x < 0 ⎩ k , si 0 < x < π

f ( x) = ⎨

y

f ( x + 2π ) = f ( x)

Funciones de este tipo (ver Figura) aparecen como fuerzas externas actuando en sistemas mecánicos, fuerzas electromotrices en circuitos, etc. (El valor de f ( x ) en los puntos extremos de los intervalos no afectan a la integral, podemos dejar indefinida a f ( x ) en

x = 0 y x = ±π ).

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Series de Fourier.     pág.2 

Figura. Onda periódica rectangular Calculemos los coeficientes de Fourier. De (5)

a0 =

1

π

1

0

1

f ( x) dx = ∫ (−k ) dx + ∫ π∫π π π π −

−

π 0

k dx = − k + k = 0

Resultado que también se puede ver sin integración, puesto que el área bajo la curva de f ( x ) entre

−π y π es cero. De (8),

an =

π

1

−

π

π

0

k cos nx dx ⎤⎥ = ⎦

para todo n = 1, 2,... . Análogamente de (9) 0

π

−

0

f ( x) sen nx dx = ⎡⎢ ∫ (−k ) sen nx dx + ∫ π∫π π⎣ π 1

1

−

k sen nx dx ⎤⎥ = ⎦

π

cos nx ⎤ k 1 ⎡ cos nx −k [cos 0 − cos(−nπ ) − cos nπ + cos 0] = ⎢k ⎥= n −π n 0 ⎦⎥ π n π ⎣⎢ 0

=

−

sen nx ⎤ 1 ⎡ sen nx +k ⎢ −k ⎥=0 n −π n 0 ⎥⎦ π ⎢⎣

puesto que sen nx = 0 en −π , 0 y

bn =

π

π

0

=

0

f ( x) cos nx dx = ⎡⎢ ∫ (−k ) cos nx dx + ∫ π∫π π⎣ π 1

⎧ 4k 2k 2k ⎪ n (1 − cos nπ ) = (1 − (−1) ) = ⎨ π n = πn πn ⎪⎩0

si n es impar si n es par

La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

f ( x) =

2 (1 − ( −1) n ) 4k ⎛ 1 1 ⎞ sen nx = ⎜ sen x + sen 3x + sen 5 x + .... ⎟ ∑ n 3 5 π n =1 π π ⎝ ⎠

4k

∞

Las sumas parciales son

S1 =

4k

π

sen x, S2 =

4k ⎛ 1 4k ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ ⎜ sen x + sen 3x ⎟ , S3 = ⎜ sen x + sen 3x + sen 5x ⎟ , ... 3 3 5 π ⎝ π ⎝ ⎠ ⎠

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Series de Fourier.     pág.3 

Ejercicio 2. Encontrar los coeficientes de Fourier de la función periódica definida por

f ( x ) = x, − π < x < π Es una función suave a trozos (ver Figura 6).

Figura. Función periódica f ( x) = x, − π < x < π Por consiguiente, admite el desarrollo en serie de Fourier. Según la fórmula (5) hallamos

a0 =

1

π

π

∫π −

π

1 ⎡ x2 ⎤ f ( x) dx = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = 0. π −π π ⎣ 2 ⎦ −π 1

π

De (8), e integrando por partes tenemos

an =

1

π

π

∫π −

f ( x) cos nx dx =

ya que sen nx = 0 en −π , 0 y

π

π 1⎡ π ⎤ = 1 ⎢⎡ x sen nx − 1 π sen nx dx ⎥⎤ = 0, cos dx x nx ⎦⎥ π ⎣⎢ π ⎣⎢ ∫ −π n −π n ∫−π ⎦⎥

para todo n = 1, 2,... . Análogamente de (9)

⎡ cos nx π ⎤ 1 π + ∫ cos nx dx ⎥ = −x bn = ∫ ⎢ π −π n −π n −π ⎢⎣ ⎥⎦ 1⎡ 1 2 2 cos nπ cos nπ 1 ⎤ = ⎢ −π −π − 2 sen nπ + 2 sen nπ ⎥ = − (cos nπ ) = (−1) n +1 π⎣ n n n n n n ⎦ 1

π

1 π 1 f ( x) sen nx dx = ⎡⎢ ∫ xsen nx dx ⎤⎥ = π − ⎦ π π⎣

La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

1 1 1 ⎛ ⎞ f ( x) = 2 ⎜ sen x − sen 2 x + sen 3x − ...(−1) n +1 sen nx + .... ⎟ 2 3 n ⎝ ⎠

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Series de Fourier.     pág.4 

Esta igualdad tiene lugar en todos los puntos, excepto en los de discontinuidad. En cada punto de discontinuidad la suma de la serie es igual a la media aritmética de los límites de la función a la derecha y a la izquierda, es decir, es cero Ejercicio 3. Encontrar los coeficientes de Fourier de la función periódica definida por

⎧ − x, si − π < x < 0 ⎩ x, si 0 < x < π

f ( x) = ⎨ (es decir

f ( x) = x , − π < x < π ). Es una función suave a trozos en −π < x < π

(ver Figura ).

Figur a1 Determinemos los coeficientes de Fourier. Según la fórmula (5) hallamos

a0 =

π

1

∫π

π

−

π 1 0 1 f ( x) dx = ⎢⎡ ∫ (− x) dx + ∫ x dx ⎥⎤ = 0 ⎦ π π ⎣ −π

⎡ x2 ⎢ ⎢⎣ 2

0

−π

π x2 ⎤ + ⎥ =π, 2 0⎥ ⎦

De (8), e integrando por partes tenemos

an = =

π

0

π

−

0

f ( x)cos nx dx = ⎡⎢ ∫ (− x) cos nx dx + ∫ ∫ π π π⎣ π 1

1

−

x cos nx dx ⎤⎥ = ⎦

π 0 ⎤ 1 ⎡ sen nx 1 0 1 π sen nx x sen nx sen nx + − − + dx dx ⎢ ⎥= n −π n ∫−π n 0 n ∫0 π ⎢⎣ ⎥⎦

n par ⎧0, π 0 ⎤ 1⎡ 1 1 2 2 ⎪ n = ⎢ − 2 cos nx + 2 cos nx ⎥ = 2 [ −1 + cos nπ ] = 2 ⎡⎣(−1) − 1⎤⎦ = ⎨ 4 n π ⎢⎣ n πn −π 0 ⎥ ⎪⎩− π n 2 , n impar ⎦ πn Análogamente de (9)

bn =

1

π

π

∫π −

f ( x) sen nx dx =

π 1⎡ 0 + − dx x sen nx xsen nx dx ⎤⎥ = ( ) ∫ ∫ ⎢ 0 π − ⎣ ⎦ π

π 0 ⎤ 1 ⎡ cos nx 1 0 1 π cos nx x nx x cos dx − − + ∫ cos nx dx ⎥ = ⎢ ∫ n −π n −π n 0 n 0 π ⎢⎣ ⎥⎦ 1 ⎡ cos nπ 1 cos nπ 1 ⎤ + 2 sen nπ ⎥ = 0 = ⎢π − 2 sen nπ − π n n n n π⎣ ⎦

=

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Series de Fourier.     pág.5 

De este modo obtenemos la serie de Fourier de f ( x )

f ( x) =

π 2

−

⎞ cos (2k + 1) x 4 ⎛ cos x cos3 x cos5 x + .... ⎟ + ... + ⎜ 2 + 2 2 2 (2k + 1) π⎝ 1 3 5 ⎠

Esta serie converge en todos los puntos y su suma es igual a la función dada. Ejercicio 4.- Sea una función periódica f ( x ) de periodo 2π definida del siguiente modo:

f ( x) = x 2 , − π < x < π Es una función suave a trozos (ver Figura). Por consiguiente, admite el desarrollo en serie de Fourier.

Figura 2 Según la fórmula (5) hallamos

a0 =

1

π

π

∫π −

π

1 ⎡ x3 ⎤ 2π 2 f ( x) dx = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = π −π π ⎣ 3 ⎦ −π 3 1

π

2

De (8)y (9), e integrando por partes tenemos

an =

1

π

π

∫π −

π ⎤ 1⎡ π 2 1 ⎡ 2 sen nx 2 π ⎤ f ( x) cos nx dx = ⎢ ∫ x cos nx dx ⎥ = ⎢ x − ∫ x sen nx dx ⎥ = ⎦ π ⎣⎢ n −π n −π π ⎣ −π ⎦⎥

π π ⎤ sen nx ⎤ 2 ⎡ cos nx 1 π 2 ⎡ cos nx dx ⎥ = − 2 ⎢ −2π cos nπ + =− + ⎢− x ⎥= n −π n ∫−π n −π ⎦⎥ π n ⎣⎢ π n ⎣⎢ ⎦⎥

⎧4 n par ⎪⎪ n 2 , 4 = 2 cos nπ = ⎨ n ⎪ − 4 , n impar ⎪⎩ n 2

bn =

1

π

π

∫π −

f ( x) sen nx dx =

⎡ 2 cos nx π ⎤ 1 π + ∫ x cos nx dx ⎥ = ⎢− x n − π n −π ⎢⎣ ⎥⎦ π ⎤ 1 π 2 ⎡1 ⎤ − ∫ sen nx dx ⎥ = 2 ⎢ cos nx ⎥ = 0 n −π ⎦ −π ⎦⎥ π n ⎣ n

1⎡ π 2 1 x sen nx dx ⎤⎥ = ∫ ⎢ π − ⎣ ⎦ π π

π 1⎡ 2 π ⎤ 2 ⎡ sen nx = ⎢ 0 + ∫ x cos nx dx ⎥ = ⎢x n −π π ⎣ n −π ⎦ π n ⎣⎢

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Series de Fourier.     pág.6 

La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

x = 2

π2

1 1 1 ⎛ ⎞ − 4 ⎜ cos x − 2 cos 2 x + 2 cos3x − 2 cos 4 x + ... ⎟ 3 2 3 4 ⎝ ⎠

Puesto que la función es suave a tramos, esta igualdad tiene lugar en todos los puntos. Haciendo en la igualdad obtenida x = π , obtenemos

π2 ∞ 1 1 1 1 ⎛ ⎞ − 4 ⎜ −1 − 2 − 2 − 2 + ... ⎟ ⇒ =∑ π = 3 2 3 4 6 n =1 n 2 ⎝ ⎠ 2

π2

Ejercicio 5.- Sea una función periódica f ( x ) de periodo 2π definida del siguiente modo:

⎧0, si − π ≤ x ≤ 0 ⎩ x, si 0 < x ≤ π

f ( x) = ⎨

Es una función suave a trozos (ver Figura). Por consiguiente, admite el desarrollo en serie de Fourier.

Figura Determinamos los coeficientes de Fourier a partir de (5), (8) y (9),

a0 =

1

π

π

∫π −

f ( x) dx =

1

π

0

∫π −

0 dx +

1

π

∫

π 0

x dx =

1 π2 π = , π 2 2

0 ⎤ 1 ⎡ sen nx 1 π − ∫ sen nx dx ⎥ = an = ∫ f ( x) cos nx dx = ∫ x cos nx dx = ⎢ x n −π n 0 π −π π 0 π ⎢⎣ ⎥⎦ n par ⎧0, π 1 ⎡ cos nx ⎤ ⎪ = =⎨ 2 π n ⎢⎣ n ⎥⎦ 0 ⎪− 2 , n impar ⎩ πn

1

π

1

π

π ⎤ 1 ⎡ cos nx 1 π + ∫ cos nx dx ⎥ x − ⎢ ∫ ∫ π −π π 0 π ⎢⎣ n 0 n 0 ⎥⎦ ⎧ 1 π ⎪⎪ n si n es impar 1 ⎡ sen nx ⎤ 1 π π π π n n − − cos cos = − = = [ ] ⎨ ⎢ ⎥ π n ⎢⎣ n 0 ⎥⎦ π n ⎪− 1 si n es par ⎪⎩ n

bn =

1

π

f ( x) sen nx dx =

1

π

x sen nx dx =

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Series de Fourier.     pág.7 

La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

f ( x) =

π 4

−

2⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ cos x + 2 cos3x + 2 cos5 x + ... ⎟ + ⎜ sen x − sen 2 x + sen 3x − .... ⎟ 3 5 2 3 π⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Esta igualdad tiene lugar en todos los puntos, excepto en los de discontinuidad. En cada punto de discontinuidad la suma de la serie es igual a la media aritmética de los límites de la función a la derecha y a la izquierda, es decir, en este caso

π 2

.

Si en la igualdad obtenida hacemos x = 0 , tenemos,

π2 8

∞

1 . 2 n =1 (2n − 1)

=∑

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