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• Jose Antonio Arenas Vicencio

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO

CAP 6 ESTATICA BEDFORD 6.1 Armaduras 6.2 Método de las juntas o nudos

Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga – Colombia 2011

[email protected] [email protected] [email protected]

1

Método de las juntas o nudos El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio. 400 N

D

B

C

E

A 2m

2m

Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas 400 N

800 N

D

B

3m C

A AX 1m AY

1m 2m

400 N

E 1m

1m 2m

B

EY

TAB

800 N

TBD

TBD

TBC

TDC

D TDE

TAB TBC

A

TAC

TAC

TDE

C

TEC

TEC

E

AY

Fig. 6. 6(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura

2

Σ MA = 0 - 400 (1) - 800 (1 +1+1) + EY (1+1+1+1) = 0

+

∑ FX = 0

AX = 0

- 400 - 800 (3) + EY (4) = 0

∑ FY = 0

- 400 - 2400 + 4 EY = 0

AY + EY – 400 - 800 = 0

- 2800 + 4 EY = 0 4 EY = 2800

EY =

2800 = 700 N 4

EY = 700 N Σ ME = 0 - AY (1+1+1+1) + 400 (1+1+1) + 800 (1) = 0

+

- AY (4) + 400 (3) + 800 = 0 - 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000

AY =

2000 = 500 N 4

AY = 500 N El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial. Pensamos que escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores. 400 N

NUDO A B

TAB

TAB 2

A

TAB

3 1

AY

TAB

TAC AY

TAC

A

Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A.

C TAC

TAC

AY

3

Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:

TAB TAC A Y = = 2 1 3

Hallar TAC

Hallar TAB

TAB TAC = 2 1

TAB A Y = 2 3

T TAC = AB 2

AY = 500 N

TAB = 577,35 Newton

TAB 500 = = 288,67 2 3 TAB = 2 (288,67 ) = 577,35 N

TAC =

577,35 = 288,67 N 2

TAC = 288,67 Newton (Tension)

TAB = 577,35 Newton(compresión) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las ecuaciones de equilibrio para la junta B. 400 N

400 N

TBD

B

B

400 N

TBD

TBD

TAB TAB

800 N

TBD

D 0

60

TBC TAB (Y)

TBC TAB

TAC

TAC

TBC TBC (Y) TAB

TBC (X)

TAB (X)

TBC

A

600

C

AY

Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B.

TAB(Y ) sen 60 = TAB TAB (Y) = TAB sen 60

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

⎛ 3⎞ ⎟ TAB(Y ) = TAB ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 4

⎛ 3⎞ ⎟ TAB TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TAB = 577,35 Newton

⎛ 3⎞ ⎟ (577,35) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

cos 60 =

TAB (X) = TAB cos 60

TAB (Y) = 500 N

sen 60 =

TBC(Y ) TBC

cos 60 =

TBC (Y) = TBC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ TBC(Y ) = TBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

TAB(X ) TAB

TBC(X ) TBC

⎛1⎞ TAB(X ) = TAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TAB(X ) = ⎜ ⎟ TAB ⎝2⎠

TBC (X) = TBC cos 60

TAB = 577,35 Newton

⎛1⎞ TBC(X ) = TBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠

TAB(X ) =

1 (577,35) = 288,67 N 2

TAB (X) = 288,67 N

⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∑ FY = 0

100 = TBC (Y)

- 400 + TAB (Y) - TBC (Y) = 0

100 - TBC (Y) = 0

⎛ 3⎞ ⎟ TBC 100 = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 200 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ = 115,47 N ⎟ 100 = 3 ⎝ 3⎠

100 = TBC (Y)

TBC = 115,47 N

TAB (Y) = 500 N - 400 + 500 - TBC (Y) = 0

∑ FX = 0

(compresión)

Se halla TBC (X)

- TBD + TAB (X) + TBC (X) = 0 TAB (X) = 288,67 N

⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠ TBC = 115,47 N

TBC (X) = 57,73 Newton - TBD + 288,67 + 57,73 = 0

⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ (115,47 ) = 57,73 N ⎝2⎠ TBC (X) = 57,73 Newton

- TBD + 346,4 = 0 TBD = 346,4 Newton

(compresión)

5

NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D. 800 N 800 N

800 N

D

TBD

TBD

TBD

D

600

TDE

TDC

TDC (Y)

TDE

TDE

C

TEC

E

TEC EY

TDC(Y ) TDC

cos 60 =

TDE (Y)

TDC TDE (X)

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

TDC(X ) TDC

TDC (X) = TDC cos 60

TDC (Y) = TDC sen 60

⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ 3⎞ ⎟ TDC(Y ) = TDC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

cos 60 =

TDE

TDC (X)

TDC

sen 60 =

600

TDE(X ) TDE

sen 60 =

TDE (X) = TDE cos 60

TDE(Y ) TDE

TDE (Y) = TDE sen 60

⎛1⎞ TDE (X ) = TDE ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝2⎠

⎛ 3⎞ ⎟ TDE (Y ) = TDE ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∑ FX = 0 TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0 TBD = 346,4 Newton

(compresión)

6

346,4

- TDE (X) + TDC (X) = 0

TDE (X) - TDC (X) = 346,4 ecuación 1 Pero:

⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝2⎠ ⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Reemplazando en la ecuación 1

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 ecuación 3 ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ∑ FY = 0 - 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0 TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación 2 Pero:

⎛ TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎝

3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠ 3⎞ ⎟ TDC 2 ⎟⎠

Reemplazando en la ecuación 2

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ resolver ecuación 3 y ecuación 4

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 multiplicar por ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠

⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 346,4 - ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

[ 3]

[ 3 ]= 600

7

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ TDE + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDE = 600 + 800 = 1400 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE = 1400 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 TDE = 1400 TDE =

1400 = 808,29 N 3

TDE = 808,29 Newton (compresión) Reemplazando en la ecuación 4, se halla TDC

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDE + ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ (808,29) + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 800 700 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 - 700 = 100 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ 200 TDC = 100 ⎜ = 115,47 N ⎟= 3 ⎝ 3⎠ TDC = 115,47 Newton (Tensión)

8

Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) A

A

A

10 KN

10 KN

2m

2m

2m

B

BX

C

B

BY

Σ MC = 0 BY (1) – 10 (2) = 0 B

BY (1) = 10 (2) B

B

BX

C

1m

+

10 KN

C BY

CY

1m

∑ FX = 0

∑ FY = 0

10 – BX = 0

CY – BY = 0

BX = 10 KN

CY = BY

B

BY = 20 KN B

1m

CY

Pero: BY = 20 KN

CY = 20 KN

NUDO B ∑FY = 0

∑FX = 0

FBA

BX

FBA – BY = 0 FBA = BY

FBC – BX = 0 BX

FBC = BX pero: BX = 10 KN

B FBC

BY

FBA

BY

pero: BY = 20 KN FBA = 20 KN (tensión)

FBC = 10 KN (tensión)

FBC

A

NUDO A

10 KN

FBA 10 FAC = = 2 1 5 Hallamos FAC

10 FAC = 1 5

5

2 FBA

FAC FBA

1

FAC

( )

FAC = 10 5 = 22,36 KN FAC = 22,36 KN (compresión)

10 KN

9

Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 4 La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) . BY BX

B

FCB

FAB

=0

FAB

=0

3m

AX

FCB

A FCA

FCA 4m

Σ MB = 0

+

C 10 KN

AX (3) - 10 (4) = 0 ∑ FY = 0

AX (3) = 10 (4)

BY - 10 = 0 B

3 AX = 40

AX =

40 = 13,33KN 3

BY = 10 KN B

AX = 13,33 KN Σ MA = 0

+

BX (3) - 10 (4) = 0

BX (3) = 10 (4) B

3 BX = 40

BX =

40 = 13,33KN 3

BX = 13,33 KN B

NUDO C

FCB FCA 10 = = 5 4 3

FCB

FCA

C

3 10 KN

5 4

FCB

10 KN FCA

10

Hallar FCB Hallar FCA

FCB 10 = 5 3 (5)10 = 16,66 KN FCB = 3

FCA 10 = 4 3 (4)10 = 13,33 KN FCA = 3

FCB = 16,66 kN (Tensión)

FCA = 13,33 kN (compresión)

NUDO A ∑ FY = 0

AX = 13,33 KN FAB = 0

FAB AX

∑ FX = 0

=0

BY = 10 KN B

A

BX = 13,33 KN

FCA

AX - FCA = 0

B

FCB = 16,66 kN (Tensión)

AX = FCA

FCA = 13,33 kN (compresión)

Pero: FCA = 13,33 kN

FAB = 0

AX = FCA =13,33 kN Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) A

A

A

10 KN

10 KN

10 KN

2m

2m

C

B 1m

BX

2m

B C BY

1m

CY

BX

B C BY

1m

CY

11

Σ MC = 0

+

BY (1) – 10 (2) = 0

∑ FX = 0

B

BY (1) = 10 (2)

∑ FY = 0

10 – BX = 0

B

BY = 20 KN

CY – BY = 0

BX = 10 KN

B

CY = BY

B

NUDO B

CY = 20 KN BX

FBA

BX

Pero: BY = 20 KN

B FBC

BY

FBA

BY

∑FY = 0 FBC

∑FX = 0

FBA – BY = 0 FBA = BY

FBC – BX = 0

pero: BY = 20 KN

FBC = BX

FBA = 20 KN (tensión)

pero: BX = 10 KN FBC = 10 KN (tensión) NUDO A

FBA 10 FAC = = 2 1 5

A 10 KN

10 FAC = 1 5

5

2

Hallamos FAC FBA

FAC

FBA

1

FAC

( )

FAC = 10 5 = 22,36 KN

10 KN

FAC = 22,36 KN (compresión)

12

Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 4 The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) F D

B

F FBD

B

D

FBA

C

FBC

FBA AX = 0

L

FCD

C

FBC

A

A

FBD

FCD

FAC

FAC

CY

AY L

NUDO D Σ MC = 0

+

F

AY (L) – F (L/2) = 0

AY (L) = F (L/2)

D

FBD

FBD

FBD

D FDC

FCD

Σ MA = 0

FDC (Y)

FDC FDC (X) AX = 0

CY (L) - F ( 3/2 L) = 0

L AY

CY (L) = F ( 3/2 L) CY = F ( 3/2)

Para abreviar los cálculos

CY = 3/2 F

sen 60 =

FDC(Y ) FDC

C

A

CY (L) – F ( L + L/2) = 0

sen 60 =

FBD

B

600

AY = ½ F

+

F

F

3 2

cos 60 =

CY

FDC

L/2

1 2

FDC (Y) = FDC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FDC(Y ) = FDC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FDC FDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 13

∑ FY = 0

cos 60 =

- F + FDC (Y) = 0

FDC(X ) FDC

FDC (X) = FDC cos 60

F = FDC (Y)

⎛1⎞ FDC(X ) = FDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠

Pero: FDC (Y) = FDC sen 60 F = FDC sen 60 DESPEJANDO FDC

FDC =

1 (F) = 1,154 F sen 60

FDC = 1,154 F (Compresion)

∑ FX = 0

AX = 0

∑ FX = 0

∑ FY = 0

- FBD + FDC (X) = 0

AY + EY – 400 - 800 = 0

FBD = FDC (X) Pero: FDC (X) = FDC cos 60 FBD = FDC cos 60 Pero: FDC = 1,154 F FBD = (1,154 F) cos 60

F

FBD = 0,577 F (tensión)

FBC

FBA FBA

FBA(Y ) TAB

FBC

A FBD

sen 60 =

FBC

FBA

FBC AX = 0

FBD

D

FBA

FBD

B

NUDO B

FBD

B

C

L AY

CY

FBA (Y) = TBA sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FBA(Y ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 14

⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

cos 60 =

FBA(X ) FBA

FBD

FBA (X) = FBA cos 60

sen 60 =

FBC(Y ) FBC

FBC (Y) = TBC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0 FBD - FBC (X) - FBA (X) = 0

600

⎛1⎞ FBA(X ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2⎠

cos 60 =

FBA (Y)

600

FBC (Y)

FBC FBA

FBC (X)

FBA (X)

FBC(x ) FBC

FBC (X) = FBC cos 60

⎛1⎞ FBC (X ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠

FBD - FBC(X ) - FBA (X ) = 0 FBC(X ) + FBA (X ) = FBD

Para abreviar los cálculos

PERO: FBD = 0,577 F

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

FBC(X ) + FBA (X ) = 0,577 F ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F (ECUACIÓN 1) ⎝2⎠ ⎝2⎠ ∑ FY = 0 FBC (Y) - FBA (Y) = 0

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBC − ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ resolver ecuación 1 y ecuación 2

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F multiplicar por ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ 3]

15

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

( )

⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 3 (0,577 F) 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

⎛ 3⎞ ⎟ FBC = F 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 FBC = F ⎛ 1 ⎞ FBC = ⎜ ⎟F ⎝ 3⎠ FBC = 0,577 F (compresión) Reemplazando en la ecuación 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F) − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F) = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

Cancelando terminos semejantes

(0,577 F) = FBA

FBA = 0,577 F (tensión)

F

FBA

NUDO A

FBA FAC = L L2

FBA 2 FAC = L L Cancelando términos semejantes FBA = 2 FAC

FBD

B L

A

FBD

D

FBA

FBC

FCD

FAC FBA

AY

AY L/2

AY

L/2

C

FCD

FAC

FAC

L

FBA

FBC

A

L

CY

Pero: FBA = 0,577 F

0,577 F = 2 FAC

FAC

16

FAC =

0,577 F 2

FAC = 0,288 F (Compresión) Problema 6.13 bedford edic 4 La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE?

Σ MG = 0

+

6 (1) + 3 (1 +1) - AY (1+1+1) = 0

6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0

AX

AY

1m

A

B

1m

1m

D

6 + 6 – 3 AY = 0 6 + 6 = 3 AY 12 = 3 AY

AY =

1m

12 = 4 KN 3

AY = 4 KN Σ MA = 0

+

- 3 (1) - 6 (1 +1) + GY (1+1+1) = 0

G E

C

GY

3 kN

∑ FX = 0

6 kN

AX = 0

- 3 - 6 (2) + GY (3) = 0 - 3 - 12 + 3 GY = 0 - 15 + 3 GY = 0 3 GY = 15

GY =

15 = 5 KN 3

GY = 5 KN

17

NUDO G

1m

AY

AX

A

1m

B

1m

D FGD

FGD 1m

FGD

G

G

FGE

1

3 kN

FGD 1

2

FGE

E

C

FGE

GY

FGE

GY

6 kN

GY = 5 KN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta G son:

FGD FGE 5 = = 1 1 2 Hallar FGD

FGD =5 2 FGD = 2 (5)

Hallar FGE

FGE 5 = 1 1

FGD = 7,071 KN (compresión)

FGE = 5 KN (Tensión)

NUDO D D FDB

AX

AY

1m

A

1m

B

D FDB

FDB

FGD

FDE

FGD

FDE

1m

1m

FDB

FGD FDE

1

FGD

2

G 1

FDE

C 3 kN

E

FGE

FGE

GY

6 kN

18

Las ecuaciones de equilibrio para la junta D son: Hallar FDB

FGD FDE FDB = = 1 1 2

5 = FDB

PERO: FGD = 7,071 KN

FDB = 5 KN (compresion)

F F = DE = DB 1 1 2 5 = FDE = FDB 7,071

Hallar FDE

5 = FDE

FDE = 5 KN (TENSION) NUDO E FDE

AX

FEB

AY

1m

A

B

1m

1m

FDB FEB

D FDB

FGD

FDE

FEC

E

FGE

1m

FEB

FGD FDE

FEC

6 kN

G

FEC

3 kN

sen 45 =

FEB(Y ) FEB

FEB (Y) = FEB sen 45

⎛ 2⎞ ⎟ FEB(Y ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

cos 45 =

⎛ 2⎞ ⎟ FEB(X ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

FGE

GY

6 kN

FEB(X ) FEB

FEB (X) = FEB cos 45

FGE

E

C

FEB(X) FEB(Y)

FDE = 5 KN

FEB 450

FEC

FGE = 5 KN 6 kN

∑ FY = 0 FDE - 6 + FEB(Y) = 0

19

PERO: FDE = 5 kN 5 - 6 + FEB(Y) = 0 - 1 + FEB(Y) = 0 FEB(Y) = 1 KN

FEB =

FEB(Y ) 1 = = 1,414 kN sen45 sen 45

FEB = 1,414 KN (tension) FEB (X) = FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45 FEB (X) = 1 KN ∑ FX = 0 FGE - FEC - FEB (X) = 0 PERO: FGE = 5 kN FEB (X) = 1 KN FGE - FEC - FEB (X) = 0 5 - FEC - 1 = 0

AX=0

AY

1m

B

A

1m FDB

4 - FEC = 0 FCA

FEC = 4 KN (tension)

FEB

1m FCB

NUDO C

FEC FCB

C

FCA FCA(X) FEC

C

FCA(Y)

FDB

FGD

FEB

FGD FDE

G

FEC

E

FCB 3 kN

FGE

FGE

GY

6 kN

FCA 450 FEC = 4 KN

3 kN

FCA(Y ) sen 45 = FCA

D FDE

FCB FCA

1m

3 kN

20

FCA (Y) = FCA sen 45

⎛ 2⎞ ⎟ FCA (Y ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0 FEC - FAC (X) = 0

cos 45 =

FCA(X ) FCA

FCA (X) = FCA cos 45

⎛ 2⎞ ⎟ FCA (X ) = FCA ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

FEC = FAC (X) PERO: FEC = 4 kN FAC (X) = 4 kN FCA (X) = FCA cos 45

FCA =

FCA (X ) 4 = = 5,656kN cos 45 0,7071

FCA = 5,656 KN (tension)

⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝

2⎞ ⎟ FCA 2 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ 5,656 = 4 KN 2 ⎟⎠

FCA (Y) = 4 kN

∑ FY = 0 - FCB - 3 + FCA(Y) = 0 PERO: FCA (Y) = 4 kN - FCB - 3 + 4 = 0 - FCB + 1 = 0 FCB = 1 KN (compresión)

21

NUDO A AX=0

1m

AY

A

B

FAB

FAB

1m

FEB

FCA

1m

FDB

D FDB

1m FCA

FEB

FCB

G

FEC

AX=0

A

FGE

GY

6 kN FAB

AY = 4 KN

PERO: AY = 4 KN

FGE

E

C 3 kN

FCA FAB A Y = = 1 1 2

FGD FDE

FEC

Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:

FGD

FDE

FCB

1

FCA

FAB

FAB A Y = 1 1

2

1

AY = 4 KN

FCA

FAB = 4 KN (compresión) Problema 6.14 bedford edic 4 If you don't want the members of the truss to be subjected to an axial load (tension or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F?

A

β

12 m

δ

12 m

F

Ө

B

α 4m

β C

D

tg θ =

5 = 0,4166 12

13 m

3m

5m 4m

Ө = arc tg (0,4166) Ө = 22,61

β

0

3m

22

tg β =

β + δ = 900

4 = 1,3333 3

δ + Ө + α = 900

δ = 900 - β 0

β = arc tg (1,3333)

δ = 90 - 53,12

β = 53,120

δ = 36,870

pero: δ = 36,870 Ө = 22,610

0

δ + Ө + α = 900 36,87 + 22,61 + α = 900

NUDO A FAB(X)

α = 900 - 36,87 - 22,61

δ = 36,870

α = 30,520 F

FAB(Y) FAB

α

FAC(Y)

FAC

FAB(Y ) sen 36,87 = FAB

cos 36,87 =

FAC(X)

FAB(X ) FAB

FAB (X) = FAB cos 36,87

FAB(X ) = (0,8) FAB

FAB (Y) = FAB sen 36,87

FAB(Y ) = (0,6 ) FAB

FAC(X ) FAC FAC(X ) sen 30,52 = FAC

sen α =

FAC (X) = FAC sen 30,52

FAC(X ) = (0,507 ) FAC

cos 30,52 =

FAC(Y ) FAC

FAC (Y) = FAC cos 30,52

FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC

∑ FX = 0 FAC(X) - FAB (X) = 0 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 ∑ FY = 0 FAC (Y) - F - FAB (Y) = 0 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2

23

NUDO C FCB

FAC

FCD

FCB(Y ) sen 53,12 = FCB

FCB (Y) = FCB sen 53,12

FAC(Y)

C

β = 53,120

FAC(X)

FCB(X)

FCB (Y)

FCB (X) = FCB cos 53,12

∑ FX = 0

FCB(X ) = (0,6 ) FCB

FCB

FAC

β

FCB(X ) cos 53,12 = FCB

FCB(Y ) = (0,7998 ) FCB

α

FCD

FAC(X ) = (0,507 ) FAC FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC

FCD - FAC(X) - FCB (X) = 0 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 ∑ FY = 0 FCB (Y) - FAC (Y) = 0 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 NUDO D ∑ FX = 0 DX - FCD = 0 ECUACION 5

DX

FCD

0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 DX - FCD = 0 ECUACION 5 DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 Resolver la ecuación 1 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 0,507 FAC = 0,8 FAB Despejando

A 12 m F

BY

FAC

B BX

FCB

FDB 4m FDB

DX

FAC

FCB

D FCD FCD

C

3m

FAC

24

0,8 FAB = 1,577 FAB 0,507 FAC = 1,577 FAB FAC =

Reemplazar FAC en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 (1,577 FAB ) - 0,6 FAB = F 1,3592 FAB - 0,6 FAB = F 0,7592 FAB = F Despejando

FAB

1 FAB = F = 1,317 F 0,7592 FAB = 1,317 F Reemplazar FAB en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 FAC - 0,6 (1,317 F) = F 0,8614 FAC - 0,79 F = F 0,8614 FAC = F + 0,79 F 0,8614 FAC = 1,79 F

1,79 F = 2,078 F 0,8614 FAC = 2,078 F FAC =

Reemplazar FAC en la ecuación 4 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 0,7998 FCB - 0,8614 (2,078 F) = 0 0,7998 FCB - 1,79 F = 0 0,7998 FCB = 1,79 F

FCB =

1,79 F = 2,238 F 0,7998

FCB = 2,238 F Reemplazar FAC y FCB en la ecuación 3 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 FCD – 0,507 (2,078 F ) - 0,6 (2,238 F) = 0

25

FCD – 1,053 F

- 1,342 F = 0

FCD = 1,053 F

+ 1,342 F

FCD = 2,395 F LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES FCD 2,395 F = 20

F=

20 = 8,35 KN 2,395

FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 F FDB = 0

F = 8,35 KN

26