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PROBLEMAS RESUELTOS DE METALURGIA FISICA SEPARATA 1

1. (a) Utilizando los valores de los radios iónicos, determínese la fuerza de atracción electrostática entre el Na+ y el Cl- en el NaCl. (b) ¿Cuál es la fuerza de repulsión en ese caso? (SHAKELFORD) Dato: 𝑟𝑁𝑎+ = 0.098 𝑛𝑚; 𝑟𝐶𝑙− = 0.181 𝑛𝑚.

Solución (a) Según los datos, 𝑟𝑁𝑎+ = 0.098 𝑛𝑚 𝑟𝐶𝑙− = 0.181 𝑛𝑚. Entonces, 𝑎0 = 𝑟𝑁𝑎+ + 𝑟𝐶𝑙− = 0.098 𝑛𝑚 + 0.181 𝑛𝑚 = 0.278 𝑛𝑚. A partir de la ecuación:

𝐹𝑐 = −

𝑘0 (𝑍1 𝑞)(𝑍2 𝑞) 𝑎0 2

Donde ya se ha utilizado la distancia de equilibrio del enlace. Sustituyendo los datos numéricos en la ecuación, se obtiene 𝐹𝑐 = −

(9𝑥109 𝑉. 𝑚/𝐶)(+1)(0.16𝑥10−18 𝐶)(−1)(0.16𝑥10−18 𝐶) (0.278 𝑥10−9 𝑚)2

Como 1 𝑉. 𝐶 = 1 𝐽, se tiene que 𝐹𝑐 = 2.98 𝑥 10−9 𝑁. (b) Como: 𝐹𝑅 + 𝐹𝑐 = 0

𝐹𝐶 = −𝐹𝑅 = −2.98 𝑥 10−9 𝑁.

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SEPARATA 3 3. Calcular el volumen de la celdilla unidad FCC en función del radio atómico R. (CALLISTER) Solución En la celdilla unidad esquematizada, cada átomo contacta con el vecino a lo largo dela diagonal, cuya longitud es 4R. Ya que la celdilla unidad es un cubo, su volumen es a3 donde a es la longitud de la arista. Del triángulo rectángulo de la cara: 𝑎2 + 𝑎2 = (4𝑅)2

De donde se deduce el valor de a, 𝑎 = 2𝑅√2 El volumen Vc de la celdilla unidad vale 𝑉𝐶 = 𝑎3 = (2𝑅√2)3 = 16𝑅 3 √2

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4. Calcular la densidad del cobre y compararla con la densidad experimental sabiendo que tiene un radio atómico de 0.128 nm (1.28 ºA), estructura cristalina FCC y un peso atómico de 63.5 g/mol. (CALLISTER) Solución Como

es

FCC, entonces

n=4

y el

volumen de la celdilla unidad es

𝑉𝐶 = 16𝑅 3 √2, sustituyendo los parámetros en la ecuación 𝜌=

𝑛𝐴𝐶𝑢 𝑛𝐴𝐶𝑢 = 𝑉𝐶 𝑁𝐴 16𝑅 3 √2𝑁𝐴

63.5𝑔 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 )( ) 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑜𝑙 𝜌= = 8.89𝑔/𝑐𝑚3 16√2(1.28𝑥10−8 𝑐𝑚)3 6.023𝑥1023 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 [ ]( ) 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑜𝑙 (4

El valor experimental del cobre es 8.84 g/cm3, valor muy próximo al resultado

SEPARATA 04

5. Determine los índices de Miller de las direcciones A, B, C de la siguiente figura. (ASKELAND)

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Solución Dirección A 1. Los puntos son 1, 0, 0 y 0, 0, 0 2. 1, 0, 0 - 0, 0, 0 = 1, 0, 0 3. No hay fracciones ni enteros a reducir 4. [100] Dirección B 1. Los puntos son 1, 1, 1 y 0, 0, 0 2. 1, 1, 1 - 0, 0, 0 = 1, 1, 1 3. No hay ni fracciones por simplificar ni enteros por reducir 4. [111] Dirección C 1. Los puntos son 0, 0, 1 y 1/2, 1, 0 2. 0, 0, 1 – 1/2, 1, 0 = -1/2, -1, 1 3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 4.

̅ 2, ̅ 2] [1,

6. Determine los índices de Miller de los planos A, B y C de la figura (ASKELAND)

Solución Plano A 1. 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1 2.

1 𝑥

1

1

= 1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1

3. No hay fracciones a simplificar 4. (111)

4

Plano B 1. El plano nunca cruza el eje de la z, por lo que 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = ∞ 2.

1 𝑥

1

1 1

= 1, 𝑦 = 2 , 𝑧 = 0 1

1

1

3. Simplificar fracciones: 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 0 4. (210) Plano C 1. Se debe mover el origen ya que el plano pasa a través de 0, 0, 0. Se mueve también el origen un parámetro de red en la dirección y, entonces 𝑥 = ∞, 𝑦 = −1, 𝑧 = ∞. 2.

1 𝑥

= 0,

1 𝑦

= −1,

1 𝑧

=0

3. No hay fracciones que simplificar 4. (010) 6.a) Con una cámara de Laue se ha obtenido un punto de difracción (111) a partir de un monocristal de MgO. El punto aparece a 1 cm del centro de la película. Calcúlese el ángulo de difracción (𝟐𝜽) y el ángulo de Bragg (𝜽). Supóngase que la muestra está situado a 3 cm de la película. b) Calcúlese la longitud de onda(𝝀) de la radiación X que produciría una difracción de primero, segundo y tercer orden (es decir, n=1, 2 y 3) (SHACKELFORD)

Solución a) La geometría es

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De la inspección de la figura se obtiene, 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

1𝑐𝑚 ) = 18.4º 3𝑐𝑚

Y 2𝜃 = 180° − 𝜑 = 180° − 18.4° = 161.6° 𝜃 = 80.8° b) Para obtener 𝜆 es preciso recurrir a la ley de Bragg 𝑛𝜆 = 2𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝜆 =

2𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑛

Para obtener d puede utilizarse la siguiente ecuación y el valor de 𝑎 = 0.420𝑛𝑚 𝑑 = √ℎ2

𝑎 +𝑘 2 +𝑙2

0.420𝑛𝑚

= √12

+12 +12

=

0.420𝑛𝑚

= 0.242𝑛𝑚

√3

Sustituyendo para obtener 𝜆 para 𝑛 = 1, resulta lo siguiente: Para 𝑛 = 1, 𝜆𝑛=1 = 2(0.242𝑛𝑚)𝑠𝑒𝑛80.8° = 0.479𝑛𝑚 Para 𝑛 = 2,𝜆𝑛=2 = Para 𝑛 = 3,𝜆𝑛=3 =

2(0.242𝑛𝑚)𝑠𝑒𝑛80.8° 2 2(0.242𝑛𝑚)𝑠𝑒𝑛80.8° 3

= 0.239𝑛𝑚 = 0.160𝑛𝑚

SEPARATA 5 7. la fracción de vacantes en un cristal es muy pequeña. Por ejemplo a 𝟒𝟎𝟎°𝑪, la fracción de vacantes en la red del aluminio es 𝟐. 𝟐𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟓 . Calcúlese la densidad de vacantes en (m3). (SHACKELFORD) Solución Se sabe que la densidad del aluminio es 2.70 Mg/m3 y su masa atómica es de 26.98 uma. Por tanto la densidad de átomos de aluminio correspondiente es: 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎 =

𝜌 2.70𝑥106 𝑔/𝑚3 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎 26.98𝑔(0.602𝑥1024 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠)

= 6.02𝑥1028 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠. 𝑚−3 Entonces la densidad de posiciones de vacantes será: 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 2.29𝑥10−5 𝑥6.02𝑥1028 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠. 𝑚3 = 1.38𝑥1024 𝑚−3

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8. Determine el número de vacancias necesarias para que una red de hierro CC tenga una densidad de 7.87 g/cm3. El parámetro de red del hierro es de 2.866 x 10 -8 cm. (ASKELAND) Solución La densidad teórica esperada del hierro se puede calcular a partir del parámetro de red y de su masa atómica. Dado que el hierro es CC, en cada celda unitaria están presentes dos átomos de hierro. 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 55.847𝑔 )( ) 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙 3 𝜌= 23 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 = 7.8814𝑔/𝑐𝑚 6.023𝑥10 (2.866𝑥10−8 𝑐𝑚)3 ( ) 𝑚𝑜𝑙 (2

Se desea producir un hierro de una densidad menor. Esto se puede hacer introduciendo de manera intencional vacancias en la red. Calculemos el número de átomos y vacancias que deben estar presentes en cada celda unitaria del hierro para obtener la densidad requerida de 7.87 g/cm3. 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 55.847𝑔 )( ) 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙 𝜌= = 7.87𝑔/𝑐𝑚3 6.023𝑥1023 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 −8 3 (2.866𝑥10 𝑐𝑚) ( ) 𝑚𝑜𝑙 (

𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 (7.87)((2.866𝑥10−8 )3 (6.023𝑥1023 ) = = 1.9971 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 55.847 Es decir debe haber 0.0029 vacancias por celda unitaria. El número de vacancia por cm3 es: 𝑣𝑎𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 0.0029𝑣𝑎𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠/𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 = = 1.23𝑥1020 (2.866𝑥10−8 𝑐𝑚)3 𝑐𝑚3

Si se conociera más información como la energía requerida para producir una vacancia, se podría diseñar un tratamiento térmico para producir esta concentración de vacancias.

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