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PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA N° 1 Sea un volumen de agua de 1 m3, sometido inicialmente a una presión de 105 Pa y a una temperatura de 280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presión del fluido son de 300 K y 3 105 Pa, determine el volumen que ocupará el líquido en estas condiciones.

Resolución La definición del módulo de compresibilidad y del coeficiente de expansión térmica es:

La variación de volumen con la presión y la temperatura se define:

Sustituyendo valores, se obtiene:

∀ final

=∀

1, 002961 inicial

El volumen del fluido al final será ligeramente mayor que el inicial.

PROBLEMA N° 2

Calcule: La velocidad transversal, v(x, y). La aceleración lineal, la velocidad angular, la verticidad, la velocidad de deformación volumétrica y la velocidad de deformación angular para dicho fluido.

Resolución Para un fluido incompresible y flujo bidimensional, la ecuación de continuidad puede expresarse:

En función de los datos del enunciado, la velocidad en dirección x se puede dar:

Cabe recordar que, aunque matemáticamente se puedan separar, la rotación, la dilatación y la deformación angular, ocurren en el fluido de forma simultánea, y no se pueden separar desde el punto de vista físico.

PROBLEMA N° 3

Sea un flujo definido por una distribución de velocidades tal como:

Halle la línea de corriente, senda o trayectoria y la línea de traza que en el instante t = 0 pasa por el punto (x0, y0, z0).

Resolución Puesto que w = 0, el flujo es bidimensional y, todas la líneas de corriente serán paralelas al plano XY La determinación de las líneas de corriente se basa en la ecuación:

Para calcular las constantes, se impondrá la condición: s=0; x=X 0; y=Y0, y se obtendrá C1= x0; C2= y0; Eliminando s, queda:

Se obtiene así la ecuación de las líneas de corriente que pasan por (x 0, y0) en cualquier instante t:

La línea de corriente será una línea inclinada 45º que pasa por el punto (X 0, Y0), ver figura 7.1:

Véase que se obtiene la misma ecuación que en el apartado anterior. Las sendas o trayectorias se determinan integrando las ecuaciones A y B

Aparecen dos nuevas constantes, k’1 y k’2, que corresponden a ek1 y ek2 Aplicando las condiciones de contorno t=0, x=X0, y=Y0, queda:

Ésta se muestra en la figura 2.Véase que no coincide con la ecuación de la línea de corriente en t=0. Para hallar la línea de traza, se parte de las ecuaciones integradas de las sendas, ecuaciones C y D, y se calcula la familia de partículas que pasaron por (X 0, Y0) en instantes ε < t.

Físicamente, la línea de traza refleja el comportamiento de las líneas de corriente antes del instante t =0, mientras que la senda refleja lo que ocurre después. Una línea de traza se genera experimentalmente por medio de la inyección continua de partículas marcadas (tinta, humo o burbujas) desde un punto fijo. Como última observación, cabe decir que en caso de flujo estacionario, las líneas de traza, senda y corriente coinciden.

PROBLEMA N° 4

Resolución 1. La ecuación de conservación de la masa en forma diferencial se enuncia:

Ecuación de la línea de corriente que pasa por el punto (1,1,0) y representa la ecuación de una elipse centrada en el origen pero inclinada un ángulo θ. Con el fin de hallar la ecuación de la elipse referida a sus ejes centrales, se debe determinar el ángulo de rotación de la misma. La expresión de una elipse plana en cualquier punto del eje de coordenadas y girada un ángulo θ viene dada por: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 El término x y es el que da la rotación. Los términos en x e y dan el desplazamiento (en este caso, no existe desplazamiento) El ángulo de giro viene dado por: