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Problema de Markov 6.- La línea rápida del K-Roger Supermarket atiende sólo clientes con 12 artículos o menos, y como resultado, es mucho más veloz para estos clientes de las filas normales. El gerente, Wayne Edwards, ha estudiado esta fila y ha determinado que los clientes llegan a una tasa aleatoria de 30 por hora y que, en promedio, el tiempo de servicio para un cliente es de 1 minuto. Suponiendo que la tasa de servicio también es aleatoria, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son μ y λ para la caja rápida? λ = 30 clientes por hora μ = 1 minuto por cliente b) En promedio, ¿a cuántos clientes se está atendiendo o están esperando? L=

λ=

μ- λ

30 = 0.96774193548387096774193548387097 30-1

c) En promedio, ¿Cuánto debe esperar un cliente antes de poder retirarse? ρ = 12/30 = 0.4 Lq = L – ρ = 0.9677 – 0.4 = 0.5677 Wq = Lq = 0.5677 = 0.01892333333333333333333333333333 minutos λ

30

60 min = 1 hora 0.0189 = 0.000315 hora

Problemas de Líneas de Espera 4.- Suponga que para la máquina cajera automática de los 2 problemas anteriores, los clientes llegan al azar y el tiempo necesario para dar servicio a un cliente también es aleatorio. Suponga además que la tasa de llegada es de 5 por hora y la tasa de servicio es de 10 por hora. Responda las siguientes preguntas: M/D/1 λ = 5 clientes por hora μ = 10 por hora Parameter M/M/1 (exponential service times) Arrival rate(lambda) Service rate(mu) Number of servers

Value 5 10 1

Parameter Average server utilization Average number in the queue(Lq) Average number in the system(L) Average time in the queue(Wq) Average time in the system(W)

Value Minutes Seconds 0.5 0.5 1 0.1 6 360 0.2 12 720

a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un cliente se le atienda de inmediato, a su llegada, en la cajera automática? Po = 1 - λ =1 - 5 = 0.5 μ

10

b) ¿Cuál es el promedio de tiempo que un cliente invierte con la cajera automática (tanto en espera del servicio como recibiéndolo)? L=

μ= μ–λ

10 = 2 10 - 5

c) Trace la gráfica de Pn con respecto a n, en donde n=número de clientes en el sistema. Marque en la gráfica el valor esperado de n.

d) En promedio, ¿cuántos clientes se encuentran esperando en la línea para que la cajera automática los atienda? Lq =

(5)2 = 25 = 0.5 10(10-5)

50

7.- En el mostrador de libros de la principal biblioteca de la Universidad de Hard Knocks llegan estudiantes al azar (los colores de la escuela son negro y azul). En el mostrador de salida deben abrir cualesquier bolsas, portafolios, etc., que traigan para que el dependiente verifique si no hay robos de libros, revistas o documentos. El tiempo que se requiere para hacer esta verificación es de duración aleatoria debido al diferente número de libros y bolsas que los estudiantes se llevan. Se ha determinado que la tasa promedio de llegada es 20 estudiantes por hora y que el tiempo promedio para realizar la revisión de las bolsas es de 1 minuto.  = 20 estudiantes /hora  = 1 estudiante / hora

Parameter M/M/1 with a Finite System Size Arrival rate(lambda) Service rate(mu) Number of servers Maximum system size

Value 20 20 1 1

Parameter Average server utilization Average number in the queue(Lq) Average number in the system(L) Average time in the queue(Wq) Average time in the system(W) Effective Arrival Rate Probability that system is full

Value Minutes Seconds 0.5 0 0.5 0 0 0 0.05 3 180 10 0.5

a) ¿Qué valores tienen λ y μ para este problema?  = 20 estudiantes /hora  = 1 estudiante / hora

b) ¿Cuál es el factor de utilización? ρ = r = 20/1 = 20 Pw = r c) ¿Qué tiempo le llevará a un estudiante promedio pasar por la revisión de bolsas? L=





W = L /  d) ¿En promedio, cuántos estudiantes se encuentran esperando en la fila en cualquier momento? Lq = L – ρ = 1.0526 – 20 = 18.9474 e) ¿Durante qué fracción de tiempo estará libre el empleado que revisa las bolsas para poder dedicarse a estudiar? Wq = Lq0.94737 de hora



8.- El autocinema Oconee tiene tres taquillas, cada una de las cuales atiende una fila de clientes. Los automóviles llegan al autocinema a una tasa total de 90 automóviles por hora y cada taquilla puede atender 40 automóviles por hora. Tanto las llegadas como los servicios son por completo aleatorios. Con base en esta información responda las siguientes preguntas: M/M/s m = µ = 40 l = λ = 1/90 = 0.01111111111111111111111111111111 s=3 Pn = 0.482 a) ¿Qué tipo de situación de líneas de espera es esta? (Sea preciso). Modelo M/M/s, porque este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples. b) ¿Cuál es la probabilidad de que, si consideramos una sola de las taquillas, se encuentre desocupada? ¿Cuál es la probabilidad de que esté atendiendo a 3 automóviles o haya 3 automóviles esperando en la fila? ρ = λ / µ = 0.0111 / 40 = 0.00027775 Lq = [P(sistemaocupado)* (ρ/(S- ρ))] = [(0.482)*(( 0.00027775/(3-0.00027775)) ] = 0.0004015 c) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema de líneas de espera de cada una de las taquillas (esperando y siendo atendidos)?

P (sistema ocupado) =

= 0.000277753 (40*3) = 0.0000000025712 = 3.58444E-12 3! (40*3-0.0111)

717.3336

= (0.0111111)[(3.58444E-12*(0.00027775/(3-0.00027775))] = 3.68763 de hora d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera antes de llegar a la taquilla? W = Lq = 0.0004015 = 0.03617 de hora λ

0.0111

e) Si el autocinema decide utilizar una sola fila para la venta de todos los boletos en las 3 taquillas, ¿qué característica de operación esperaría usted que cambiara más? ¿Por qué?

Cambiaría al sistema M/M/1, ya que sólo se utilizaría una taquilla para desviar a todos los clientes a esa, aunque en este caso aumentarían los tiempos de espera ya que con una sola en funcionamiento se tendrían que optimizar los tiempos y todo.

10.- La compañía arrendadora de automóviles U-Drive-`em opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 5 por día. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, en donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ej, si se encuentran 4 personas trabajando la tasa de lavado es de 8 automóviles por día. Se ha determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial negativa. La compañía les paga a sus trabajadores $30 por día y ha determinado que el costo de un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de $25 por día. a) Calcule el número de empleados que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo. De acuerdo a los resultados obtenidos con el programa POM, los costos de espera y trabajo de los empleados es de 89.51 y 114.43 por hora. En este caso se deben tener en cuenta la rapidez de los trabajadores en cada automóvil y el resultado del mismo. Si cada trabajador cobra $30 por dia, y entre todos (los 4) serían 120 pesos, y se cobran $20 por dia por coche, sería: 30*4 = 120 por todos los trabajadores 25*8 = 200 por coche Y los costos totales son: El costo por los trabajadores que están disponibles es: 89.51 El costo por los trabajadores que están ocupados es: 114.43 Por lo tanto:

b) Calcule las características de operación L, Lq, W y Wq para el número de empleados que eligió. Parameter M/M/1 with a Finite Population Arvl rt PER CUSTOMER Service rate(mu) Number of servers Population size Server cost $/time Waiting cost $/time

Value 8 5 1 4 30 25

Parameter Average server utilization Average number in the queue(Lq) Average number in the system(L) Average time in the queue(Wq) Average time in the system(W) Effective Arrival Rate Probability that customer waits Cost (Labor + # waiting*wait cost) Cost (Labor + # in system*wait cost)

Value Minutes Seconds 1 2.38 3.38 0.48 28.66 1719.84 0.68 40.66 2439.84 4.98 0.98 89.51 114.43

k Prob (num in sys = k) Prob (num in sys k) 0 0 0 1 1 0.02 0.03 0.97 2 0.1 0.13 0.87 3 0.33 0.46 0.54 4 0.54 1 0